Post on 15-Dec-2018
2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Lugar das raízes é um método de análise e projeto para estabilidade e resposta de transiente� É uma representação gráfica dos polos de um sistema
de malha fechada à medida que os parâmetros do sistema variam
� A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho de um sistema de controle e também serve como uma ferramenta quantitativa que dá mais informações do que os métodos já discutidos� A técnica pode ser usada para descrever
qualitativamente o desempenho de um sistema quando vários parâmetros são mudados
3Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Os polos de sistemas de malha aberta são facilmente encontrados; o mesmo não acontece com sistemas de malha fechada
Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de serem encontrados, mas os polos de[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração do denominador e variam com K
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Introdução
� Representação de números complexos como vetores
a) s = σ + jω;
b) (s + a) = (σ + a) + jω;
c) Representaçãoalternativa para (s + a);
d) (s + 7)|s→5 + j2
σ+a
σ+a
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Introdução
� No caso mais geral, considere a função:
Magnitude de F(s) em qualquer ponto s
Ângulo θ de F(s) em qualquer ponto s
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Introdução
� Exemplo 1:� Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]� Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4� Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos
polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado no plano complexo....
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Introdução
� Exemplo 1 (cont.):� F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]� s = -3 + j4� V1:
� |V1| = √20� ∠V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º
� V2:� |V2| = √25=5� ∠V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º
� V3:� |V3| = √17� ∠V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º
V1
V2
V3
∠V1
s
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Introdução
� Exemplo 1 (cont.):
= √205√17
= 116º - (127º + 104º) = -115º
Assim, F(s) = 0,2169∠-115º no ponto s = -3 + j4
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Introdução
� Exemplo 2: Dado
� encontre F(s) para s = -7 + 9j
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Definindo o Lugar das RaízesO que é o Lugar das Raízes?
� Considere o exemplo abaixo:
Variando K...
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Definindo o Lugar das RaízesO que é o Lugar das Raízes?
� Considere o exemplo abaixo:
Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes
Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K ≥ 0.
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Definindo o Lugar das RaízesO que é o Lugar das Raízes?
� O lugar das raízes mostra as mudanças na resposta de transiente com a variação de K
� Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos menores que 25� Sistema Sobreamortecido
� No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais� Sistema Criticamente Amortecido
� Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido� Observe que, nesse caso, a parte real do polo
permanece constante
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Definindo o Lugar das RaízesO que é o Lugar das Raízes?
� Como a parte real do polo permanece constante, o tempo de amortecimento (Ts) também é constante� Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real
do polo
� Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento diminui e a porcentagem sobressinal aumenta
� O tempo de pico diminui com o aumento do ganho� Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza
para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, independente do valor do ganho
� A análise também é aplicável a sistemas com ordem maior que 2
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Propriedades do Lugar das Raízes
� A partir das propriedades do lugar das raízes, é possível fazer seu rascunho para sistemas de alta ordem sem precisar fatorar o polinômio do denominador
� Considere um sistema de controle de malha fechada geral que tem função de transferência:
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Para tal sistema, um polo s existe quando o polinômio no denominador é igual a zero, ou:� KG(s)H(s) = -1 = 1∠(2k + 1)180º , k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
� Onde -1 está representado em sua forma polar� Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um
número complexo e, se o ângulo desse número for um múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para algum valor de K
� Considerando: |KG(s)H(s)| = 1 e ∠KG(s)H(s) =(2k + 1)180º
� Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Vamos considerar novamente o exemplo anterior e a tabela associada ao valor de K:
Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1K = 35 => KG(s)H(s) = -1....
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1: Considere o sistema abaixo
� A função de malha aberta é:
� A função de malha fechada é:
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j� ∠ = (θ1 + θ2) – (θ3 + θ4) = -70,55º � Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes
� Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K� Para o ponto -2 + j√2/2
� θ1 = 19,47º � θ2 = 35,26º� θ3 = 90º� θ4 = 144,73º� ∠=(θ1 + θ2) - (θ3 + θ4) = -180º � Assim, -2+j√2/2 faz parte dolugar das raízes
-2+3j
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho K é:� K = L3L4/(L1L2) = (√2/2)(√3/√2)/[(√9/√2)(√3/√2)] = 0,33
� Assim, o ponto -2 + j√2/2 é um ponto do lugar das raízes para um ganho de 0,33
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Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação unitária que tem a seguinte função à frente:
� Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)� Determine se o ponto está no lugar das raízes
� Se sim, ache o ganho K
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Esboçando o Lugar das Raízes
� O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se todo ponto no plano s para localizar os pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180� Obviamente, essa tarefa é muito custosa
� Podemos simplificar o processo com algumas regras:� 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se
desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, então haverá um ramo para cada polo em malha fechada
� O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha fechada
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação
ao eixo real
� Os polos complexos sempre aparecem com seus conjugados
� 3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 3) Segmentos do Eixo Real:
� Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos P1, P2, P3 e P4 abaixo
� A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam)
� A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)
� Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o
lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real
� O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo de 180º seja ímpar
� No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:
� Início do lugar das raízes: ganho zero� Término do lugar das raízes: ganho infinito� O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de
G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)
� Considere o sistema abaixo:
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:
� Considerando:
� Temos:
� Quando K → 0:
� Quando K → ∞:
N = NumeradorD = Denominador
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:
� Quando K → 0:
� Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha aberta (os polos de T(s) são os mesmos de G(s) e H(s))
� Quando K → ∞, os polos de T(s) se aproximam à combinação dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos zeros de G(s)H(s)
� Observe que são os polos e zeros da função de malha aberta!!
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:� No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos
polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4� O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no
espaço entre esses polos indo de um para o outro� Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e
partem como números complexos conjugados até se encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles caminham em direção a esses zeros
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:
11
2
3
3
4
55
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:� 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes
tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real em σa com ângulo θa, como segue:
k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
# = Número de....
O número de polos deve ser maior que o de zeros!!
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o sistema:
� Polos: 0, -1, -2, -4� Zeros: -3� Primeiro, calculamos as assíntotas:
� σa = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3
� θa = (2k + 1)π/(4 – 1) = (2k + 1)π/3 = π/3, para k = 0π, para k = 15π/3, para k = 2A partir daqui, os ângulosse repetem....
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.):� O número de linhas é igual à diferença entre o número
de polos finitos e o número de zeros finitos
-4/3
Polos e zeros Assíntota
Assíntota
Assíntota
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.):� Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta
e termina nos zeros de malha aberta� Existem mais polos do que zeros� Assim, devem existir zeros no infinito� As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito� A forma final pode ser vista a seguir....
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.): Forma final
Assíntota
Assíntota
Assíntota
Inicia nos polos e termina nos zeros:• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito• Começa em -2 e termina em -3• Começa em -4 e termina em infinito
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Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o sistema de re-alimentação unitária com função de transferência à frente:
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Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Ponto de Saída Ponto de Entrada
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Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um
ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou chegando no ponto de entrada
� Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 = 90º com o eixo real
� Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e -2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse ponto� O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes
caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse ponto em relação ao eixo real apenas
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Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho
mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros
� Para encontrar os pontos:� Três soluções possíveis...
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Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ� Exemplo:
� Para todos os pontos no lugar das raízes:
� Resolvendo para K:
σ1=-1,45σ2 = 3,82
= 0
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Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a
relação:
� Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
σ1=-1,45σ2 = 3,82
zi e pi são os negativos dos zeros e polos!!!
Polos: -1 e -2Zeros: 3 e 5
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Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e
mínimo ganho através de recursos computacionais
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Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω� Considere um exemplo anterior:� Como os polos estão no semi-
plano esquerdo, o ponto de interceptação com o eixo imaginário indica no lugar das raízes o ponto que separa uma operação estável do sistema de uma operação instável do sistema
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Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω� Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω,
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando uma linha para a equação de polinômios par, com esse vsalor de K, buscam-se as raízes, obtendo a frequência de cruzamento com o eixo imaginário
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Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω� Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o
ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário
Tabela Routh:
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Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω� Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que
pode ser completamente anulada é a de s1
� No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0� K = -74,65 e 9,65� Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de
sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos usar K = 9,65
� Considerando esse valor de K e retornando para s2:� (90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0� s = ±j1,59
� Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para um ganho 9,65
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Refinando o Esboço
� Ângulos de Chegada e Partida� É possível também calcular os ângulos de chegada e de
partida dos polos e zeros� Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é
mais apropriado
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Resumo
� Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes� Número de ramos é igual ao número de polos em
malha fechada� O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real� No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à
esquerda de um número ímpar de polos e/ou zerosfinitos em malha aberta sobre o eixo real
� O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s)
� O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são definidas por:
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Resumo
� Regras Adicionais para Refinar o Esboço� O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o
ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é máximo
� O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de cruzamento
� Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados precisamente
� Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:
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Exemplo 1
� Considere o sistema abaixo:
� Esboce o lugar das raízes e encontre:� a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω� b) O ponto de saída do eixo real� c) A faixa de K na qual o sistema é estável
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Exemplo 1 (cont.)
� Polos de G(s): -2 e -4� Zeros de G(s): 2 ± j4
No. de zeros = No. de polos⇒Não se calculam as assíntotas.
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Exemplo 1 (cont.)
� Polos: -2 e -4� Zeros: 2 ± j4
O lugar começa entre os polos e termina nos zeros sendo simétrico em relação ao eixo real
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Exemplo 1 (cont.)
� a) Cruzamento com o eixo imaginário
s2
s1
s0
(K + 1) (20K + 8)
(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser anulada com K = 3/2
Tabela de Routh:
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Exemplo 1 (cont.)
� a) Cruzamento com o eixo imaginário� Considerando a linha anterior de equação par para o
ganho definido, temos:
Assim, o cruzamento com o eixo imaginário se dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2
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Exemplo 1 (cont.)
� b) Pontos de entrada e saída� Polos: -2 e -4� Zeros: 2 ± j4
σ1 = 5,28
σ2 = -2,88Pelo esboço do lugar das raízes, só pode ser esse valor
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Exemplo 1 (cont.)
� c) A faixa de K na qual o sistema é estável� Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5
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Lugar das Raízes para Sistema de Re-Alimentação Positiva
� Considere o sistema abaixo:
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Lugar das Raízes para Sistema de Re-Alimentação Positiva
� Regras:� 1. Número de ramos: Mesmo que antes� 2. Simetria: Mesmo que antes� 3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para
sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha aberta
� 4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes� 5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:
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Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 8, Problemas:� 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)
� Ferramenta gratuita para desenhar Lugar das Raízes:� http://www.coppice.myzen.co.uk/RootLocs_Site/RootLoc
s.html