Raízes e otimizaçãoRenato Assunção

DCC, UFMG

Raízes de equaçõesUm tipo de problema bastante comum é o de

achar raízes de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) pode ser um polinômio ou uma função transcendental

O valor de x que satisfaz f(x) = 0 é chamada de raiz da equação.

Raramente podemos obter as raízes de tais funções de modo exato.

Vários procedimentos fornecem métodos para calcular uma seqüência de aproximações, que convergem para uma solução tão precisa quanto necessária, resguardadas algumas condições

De funções relativamente simples...Polinômios ecombinações finitas de funçõestranscendentais Fácil de plotar.f(x)=3*sin(x2) + e-x - (x-3)2 + 4*x

...a funções mais complexasAchar a primeira raiz positiva da função de

Bessel de primeira ordem (solução de certas equações diferenciais ordinárias)

Outro problema: maximizaçãoMaximar uma função: otimização de

recursos.No fundo, problema pode ser reduzido a

encontrar a raiz de uma função.Achar Maxx f(x) E’ equivalente a achar a raiz da função

derivadaf ‘(x) = 0 Assim, maximizar reduz-se a achar raízes de

equações não-lineares.

Sistemas de equações não-lineares

α=/4

Sistema de equações não-lineares

Equação do míssil

Equação do interceptador

O que vamos cobrirVamos estudar apenas UMA ÚNICA FUNCAO

NÃO_LINEAR f(x)Não vamos estudar sistemas de equações

não-lineares

Um teorema que dispensa provaAntes de examinarmos vários métodos para

determinar raízes isoladas de f(x) = 0, vamos ver o teorema abaixo e alguns exemplos

Teorema: Suponha que uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b].

Isto é, suponha que f(a) * f(b) < 0Então existe pelo menos um ponto x’ ∈[a,b],

tal que f(x’) = 0Isto e’, existe uma raiz entre a e b.

ExemplosVamos examinar o comportamento dasfunções f(x)= ln(c xp ) e f(x)= e(x)

Método da BissecçãoConsidere o intervalo [a,b] para o qual f(a) * f(b) < 0.

No método da bissecção nós calculamos o valor da função f(x) no ponto médio x1 = (a + b)/2

Caso f(x) =0, x1 é a raiz procurada e o processo para.

Se f(a) * f(x1) < 0, a raiz procurada está entre a e x1, e repete-se o processo para o intervalo [a, x1].

Caso contrário, f(x1) * f(b) < 0, e a raiz procurada está entre x1 e b. Logo, repete-se o processo para o intervalo [x1,b]

Método da Bissecção

e’ a raiz procurada

Precisão e parada: cuidados

Precisão e parada: cuidados

Falta ainda o limite maximo do numero de iterações. Se atingido, enviar uma mensagem de warning: limite atingido

Exemplo

Vantagens e desvantagens

Método de Newton

Iteração 1

Iteração 2

Iteração 3

Vantagens

Desvantagens

Método das secantes

Ilustração – método das secantes

Metodo Regula Falsi

Ordem de convergência