Séries numéricasConvergência absoluta

Prof.a Priscila Savulski FerreiraUniversidade Tecnológica Federal do Paraná

Cálculo Integral

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Série absolutamente convergente

DefiniçãoDizemos que uma série

∑an é absolutamente convergente

quando∑|an| é convergente.

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absolutamente convergente⇒ convergente

TeoremaSe∑

an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.

Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.

Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑

(an + |an|) converge.

Logo, pela Propriedade da Soma,∑

an =∑

(an + |an|)− |an| converge. ∗

Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.

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absolutamente convergente⇒ convergente

TeoremaSe∑

an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.

Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.

Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑

(an + |an|) converge.

Logo, pela Propriedade da Soma,∑

an =∑

(an + |an|)− |an| converge. ∗

Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.

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absolutamente convergente⇒ convergente

TeoremaSe∑

an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.

Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.

Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑

(an + |an|) converge.

Logo, pela Propriedade da Soma,∑

an =∑

(an + |an|)− |an| converge. ∗

Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.

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absolutamente convergente⇒ convergente

TeoremaSe∑

an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.

Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.

Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑

(an + |an|) converge.

Logo, pela Propriedade da Soma,∑

an =∑

(an + |an|)− |an| converge. ∗

Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25

absolutamente convergente⇒ convergente

TeoremaSe∑

an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.

Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.

Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑

(an + |an|) converge.

Logo, pela Propriedade da Soma,∑

an =∑

(an + |an|)− |an| converge. ∗

Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.

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Volta do Teorema

convergente⇒ absolutamente convergente ?

Não!!!

Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.

Estes tipos de séries recebem um nome especial:

DefiniçãoQuando

∑an é convergente mas não é absolutamente

convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.

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Volta do Teorema

convergente⇒ absolutamente convergente ?

Não!!!

Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.

Estes tipos de séries recebem um nome especial:

DefiniçãoQuando

∑an é convergente mas não é absolutamente

convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25

Volta do Teorema

convergente⇒ absolutamente convergente ?

Não!!!

Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.

Estes tipos de séries recebem um nome especial:

DefiniçãoQuando

∑an é convergente mas não é absolutamente

convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25

Volta do Teorema

convergente⇒ absolutamente convergente ?

Não!!!

Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.

Estes tipos de séries recebem um nome especial:

DefiniçãoQuando

∑an é convergente mas não é absolutamente

convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25

Volta do Teorema

convergente⇒ absolutamente convergente ?

Não!!!

Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.

Estes tipos de séries recebem um nome especial:

DefiniçãoQuando

∑an é convergente mas não é absolutamente

convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.

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Exemplo

Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n+1

n(n + 1).

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Exercício

Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n

n2 .

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – reposta

Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n

n2 .

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Testes de convergência absoluta.

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Teste da razão

Teste da razão ou de D’Alembert

Seja∑

an com an 6= 0 para todo n ∈ IN e limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L. Então

L < 1⇒∑

an é absolutamente conv. ⇒∑

an é convergente;

L > 1⇒∑

an é divergente;

L = 1⇒ nada se conclui.

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Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ an

n!.

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Exercício

Verifique se a série convergente ou divergente∑ n!

nn .

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – desenvolvimento

Verifique se a série convergente ou divergente∑ n!

nn .

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Exemplo

Verifique para que valores de x a série converge:

Função de Bessel de ordem 0: J0(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n

22n(n!)2 .

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Teste da raíz

Teste da raíz

Seja∑

an e limn→∞

n√|an| = L. Então

L < 1⇒∑

an é absolutamente conv. ⇒∑

an é convergente;

L > 1⇒∑

an é divergente;

L = 1⇒ nada se conclui.

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Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑(

7n2 − 2n3n2 + 1

)n

.

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Teste da integral

Operador integral⇒ para função não-negativa, o cálculo de áreas.

Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART

1.1 +122 .1 +

132 .1 +

142 .1 + . . . =

∑ 1n2 .

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Teste da integral

Operador integral⇒ para função não-negativa, o cálculo de áreas.

Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART

1.1 +122 .1 +

132 .1 +

142 .1 + . . . =

∑ 1n2 .

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Teste da integral

Pelo o que vimos na parte de integrais, temos que a série converge, pois

S` ≤∫ b

af (x)dx

Assim,

1.1 +122 .1 +

132 .1 +

142 .1 + . . . ≤ 1 +

∫ ∞1

f (x)dx = 2.

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Teste da integral

Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.

Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . =

∑ 1√n

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . ≤ 1 +

∫ ∞1

f (x)dx =∞.

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Teste da integral

Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.

Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . =

∑ 1√n

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . ≤ 1 +

∫ ∞1

f (x)dx =∞.

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Teste da integral

Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.

Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . =

∑ 1√n

1.1 +1√2.1 +

1√3.1 +

1√4.1 + . . . ≤ 1 +

∫ ∞1

f (x)dx =∞.

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Teste da integral

Teste da integralSeja

∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.

Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então

a)∫ ∞

n0

f (x)dx converge⇒∑

an converge.

b)∫ ∞

n0

f (x)dx diverge⇒∑

an diverge.

(ideia) a) Note que∑

an =

n0∑k=0

ak +∞∑

k=n0+1

ak.

Por outro lado, pelas somas parciais,

snn0=

n∑k=n0+1

ak ≤∫ n

n0

f (x)dx ≤∫ ∞

n0

f (x)dx.

Como∫ ∞

n0

f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e

limitada, portanto convergente.

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Teste da integral

Teste da integralSeja

∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.

Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então

a)∫ ∞

n0

f (x)dx converge⇒∑

an converge.

b)∫ ∞

n0

f (x)dx diverge⇒∑

an diverge.

(ideia) a) Note que∑

an =

n0∑k=0

ak +

∞∑k=n0+1

ak.

Por outro lado, pelas somas parciais,

snn0=

n∑k=n0+1

ak ≤∫ n

n0

f (x)dx ≤∫ ∞

n0

f (x)dx.

Como∫ ∞

n0

f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e

limitada, portanto convergente.

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Teste da integral

Teste da integralSeja

∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.

Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então

a)∫ ∞

n0

f (x)dx converge⇒∑

an converge.

b)∫ ∞

n0

f (x)dx diverge⇒∑

an diverge.

(ideia) a) Note que∑

an =

n0∑k=0

ak +

∞∑k=n0+1

ak.

Por outro lado, pelas somas parciais,

snn0=

n∑k=n0+1

ak ≤∫ n

n0

f (x)dx ≤∫ ∞

n0

f (x)dx.

Como∫ ∞

n0

f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e

limitada, portanto convergente.

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Teste da integral

Teste da integralSeja

∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.

Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então

a)∫ ∞

n0

f (x)dx converge⇒∑

an converge.

b)∫ ∞

n0

f (x)dx diverge⇒∑

an diverge.

(ideia) a) Note que∑

an =

n0∑k=0

ak +

∞∑k=n0+1

ak.

Por outro lado, pelas somas parciais,

snn0=

n∑k=n0+1

ak ≤∫ n

n0

f (x)dx ≤∫ ∞

n0

f (x)dx.

Como∫ ∞

n0

f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e

limitada, portanto convergente.Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 19 / 25

Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

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Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25

Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25

Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0.

Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25

Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

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Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2

convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

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Exemplo

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1

n2 + 1.

Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an

é contínua, decrescente e positiva.

Considere f (x) =1

x2 + 1, temos que é contínua e positiva.

Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para

todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.

Como∫ ∞

1

1x2 + 1

= limt→∞

(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,

temos pelo teste da integral que,∑ 1

n2 + 1converge.

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Exercício

Verifique se a série convergente ou divergente∑

n2e−n3.

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – desenvolvimento

Verifique se a série convergente ou divergente∑

n2e−n3.

Note que a função f (x) = x2e−x3é positiva, contínua e decrescente para todo

x > 3√

2/3.

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Exercício

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1√

n.

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – desenvolvimento

Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1√

n.

Note que a função f (x) =1√x

é positiva, contínua e decrescente.∫ ∞1

x−1/2dx =∞, logo pelo teste da integral∑ 1√

ndiverge.

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Referências

Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).

Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).

Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).

Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).

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