Post on 17-Apr-2015
Sistemas Estuarinos Costeiros
Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL
MÓDULO IV:
Formulação Matemática dos processos ambientaisParte 1 – Introdução e Escoamento
2
CONTEÚDO:-
I Conceitos
Fundamentais
II Equações Básicas do
Escoamento
III Exercício
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I CONCEITOS FUNDAMENTAIS
4
Processos no Sistema
Equações Matemáticas
Métodos Numéricos
Predições do Modelo
Representados usando
Resolvidas usando
Modelo Computacional
I CONCEITOS FUNDAMENTAIS
5
Processos no Sistema
Hidrólise
Nitrificação
Deoxigenação
Reaeração
Assimilação de Nutrientes
Decaimento
Crescimento
Respiração
Mortalidade
Hidrodinâmica
Transporte de Massa
QuímicosFísicos Biologicos
I CONCEITOS FUNDAMENTAIS
6
• Cada processo é representado usando equações “Equações governantes”
• Uso de equações diferenciais– Descrevendo continuamente mudanças de quantidades e suas
taxas de mudança
• Equações diferenciais podem ser complexas + dificuldade de resolver analiticamente
• Métodos numéricos são requeridos para estimar soluções aproximadas
– Converte EDs em formas algebricas de diferenças podem ser resolvidas em um número finito de pontos no espaço e no tempo
– E.g. Esquema numérico de diferenças finitas
I CONCEITOS FUNDAMENTAIS
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I CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Modelo Numérico
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MÉTODO NUMÉRICO
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS
MODELO COMPUTACION
AL
ESTIMATIVAS DO
MODELO
ENTRADA
PROCESSOS NO SISTEMA
8
9
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Processos no Sistemas
Hidrólise
Nitrificação
Deoxigenação
Reaeração
Assimilação de Nutrientes
Decaimento
Crescimento
Respiração
Mortalidade
Hidrodinâmica
Transporte de Massa
QuímicosFísicos Biological
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• Representadas usando as Equações de Navier-Stokes– Representação do escoamento em toda a sua complexidade (convecção e
turbulência)
• Derivação das ENS começa com a análise da conservação na massa e da quantidade de movimento em um elemento infinitesinal arbitário
• As ENS assume que um fluido é um continuum, consequentemente na realidade um fluido é uma coleção de moléculas discretas
• A solução analítica das ENS não é conhecida UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
y
xzU
VW
• Velocidade (U, V, W) e nível da água
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
11
•Conservação da quantidade de movimento– Balanço de forças no volume de controle
U
VW
•Conservação da massa– Balanço de massa através de um volume de controle
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
12
Equação da continuidade
Princípio da conservação da massa:
Taxa de matéria que entra
Taxa de matéria que sai
Taxa de variação interna
- =
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
13
dx dy
x
y
z
j
ik dz esqm dirm
baixom
cimamEquação da continuidade
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
14
Princípio da conservação da massa
Taxa de massa = vazão mássica = VAρ
Taxa de variação interna dxdydzt
Equação da continuidade
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
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As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente
dydzρVm
dxdyρVm dxdzρVm
xtrás
zbaixoyesq
As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor
Equação da continuidade
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
16
dxdzdyρVy
ρVm yydir
dxdydzρVz
ρVm zzcima
dydzdxρVx
ρVm xxfrente
x
y
z
j
ik
Equação da continuidade
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
17
Taxa de matéria que entra
Substituindo no princípio da conservação da massa
= dydzρV
dxdyρVdxdzρV
x
zy
Equação da continuidade
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
18
Taxa de matéria que sai
Substituindo no princípio da conservação da massa
= frentecimadir mmm
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
19
Substituindo no princípio da conservação da massa
Taxa que entra
Taxa que sai
- =
= dxdydzρVz
ρVy
ρVx zyx
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
20
Substituindo no princípio da conservação da massa com a taxa de variação interna
dxdydztρ
dxdydzρVz
ρVy
ρVx zyx
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
21
Substituindo no princípio da conservação da massa equação da continuidade para qualquer escoamento
0tρ
ρVz
ρVy
ρVx zyx
0tρ
Vρ
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
22
Casos particulares
- Escoamento permanente:
0
ρwz
ρvy
ρux
0tρ
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
23
Casos particulares
- Fluido incompressível:
0z
w
y
v
x
u
const
0V
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
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II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
• Balanço de forças no elemento infinitesimal– Gravitacionais (forças de campo)
• Força peso e Força de Coriolis– Perpendiculares à superfície (força superficial)
• Pressão– Tangenciais à superfície (força superficial)
• Viscosas (cisalhamento e compressão)
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ElemElem dt
Vddm
F
ElemdtVd
FF
dmCampoisSuperficia
Elem
dtVd
mFFFF
outrasnaisGravitacioascosVisessãoPr
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
26
Da 2ª lei de Newton para um elemento infinitesimal de massa dm
elemdtVd
dmF
tV
VVDtVD
dtVd
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
27
zyx VzV
VyV
VxV
tV
DtVD
Aceleração convectiva
Aceleração instantânea
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
28
Da 2ª lei de Newton Para um elemento infinitesimal de massa dm
ElemdtVd
dmF
tV
VVDtVD
dtVd
dxdydzdxdydzdm
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
29
• Atua na direção vertical;• Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento.
• Significativa em simulações de rompimento de barragem;
x1
x2
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força Peso)
30
kdmgFG
kdxdydzgFG
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força Peso)
31
• A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes.
• A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação.
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
32
• Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os escoamentos são sempre desviados para a esquerda no hemisfério Sul.
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
33
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
34
• Força de Coriolis é dada por
• onde u e v são as componentes de velocidade da água na direção x e y, respectivamente (m.s-1); é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude.
lf sin2
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
dmufF
dmvfF
Cy
Cx
35
• É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento.
• O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
36
Balanço de pressões
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
37
dy dx
x
y
z
j
ik dz
xp xxp
xxp-xpFpx zy
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
38
xxpxpdydzFpx
Pela 2ª lei de Newton, têm-se:
Analogamente para as outras direções
dxx
pxpxpdydzFpx
dxdydzx
pFpx
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• Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; • A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de
água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido)
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
40
Vento
Atrito do fundo
• Nos contornos
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
41
Forças de superfície normais na direção x.
dxdydzx
σxx
42
Forças de superfície normais na direção x.
x
u
xxσ
43
Tangenciais na direção x:
dxdydzzyzxyx
ττ
44
Tangenciais na direção x:
z
u
zxτ
y
u
yxτ
45
Um resultado análogo é obtido nas demais direções
dxdydz2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
u
A resultante na direção x é:
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
46
A EQM se torna, nas 3 direções:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
pg
z
ww
y
wv
x
wu
t
w z
II EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
47
Casos particulares
- Escoamento permanente:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
Equação da quantidade de movimento
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
z
vw
y
vv
x
vu
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
pg
z
ww
y
wv
x
wu z
48
Casos particulares
- Escoamento bidimensional (w=0):
2
2
2
2
y
u
x
u
x
pg
y
uv
x
uu x
Equação da quantidade de movimento
2
2
2
2
y
v
x
v
y
pg
y
vv
x
vu y
49
Casos particulares
- Escoamento unidimensional (v=w=0):
2
2
x
u
x
pg
x
uu
x
Equação da quantidade de movimento
50
• Ver lista
EXERCÍCIOS