Aula 9 | TATIANA MIRANDA DE SOUZA JOSE CARLOS DE MORAES SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

PET FÍSICA GEOMETRIA ANALÍTICA

Geometria Analítica 2017

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AGRADECIMENTOS

Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do

Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da Educação – Brasil.

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DOS AUTORES

Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos

bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição

de materiais tradicionais e mais completos.

O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as

pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.

Uma boa leitura!

Geometria Analítica 2017

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SUMÁRIO

1. Distância entre dois pontos.......................................................................................................... 05

2. Ponto médio de um segmento de ret............................................................................................ 06

3. Condição de alinhamento de três pontos.................................................................................... 07

4. Inclinação da reta................................................................................................................... 08

5. Equação geral e reduzida da reta................................................................................................ 08

6. Equação segmentária da reta....................................................................................................... 10

7. Equação paramétrica.................................................................................................................... 11

8. Posição relativa de duas retas no plano cartesiano.................................................................... 12

9. Área de um triângulo no plano cartesiano................................................................................. 12

10. Exercícios de fixação..................................................................................................................... 13

11. Referências..................................................................................................................................... 13

12. Respostas dos exercícios de fixação............................................................................................. 13

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1. Distância entre dois pontos

Um dos conceitos básicos da geometria é que em um plano, cartesiano, a menor distância entre

dois pontos, A e B, é dada por uma reta (OLIVEIRA, 2017).

Figura 1: Representação da reta que liga os pontos A e B.

A medida da reta que une os pontos A e B pode ser realizada pela construção de um triângulo

retângulo utilizando os pontos e , como mostra figura a seguir (figura 2):

Figura 2: Construção do triângulo retângulo, para realização da medida da reta que liga os pontos A e B.

Com essa configuração temos que o triângulo retângulo formato terá a reta como a hipotenusa,

enquanto os catetos serão dados pelas medidas e . Nessa condição, então podemos escrever que:

(1)

As medidas de cada um dos catetos podem ser reescrito pelos pontos dos pares ordenados, que

definem o segmento. Tal que se:

e

então podemos escrever que:

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(2)

2. Ponto médio de um segmento de reta

Um segmento de reta, quando representado num plano cartesiano, possui um par ordenado que

divide o segmento analisado em duas partes iguais.

Figura 3: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B.

Esse par, denominado de ponto médio (Pm), pode ser obtido pelas seguintes relações

(ALEJANDRO et al, 1997):

(3)

Exemplo 1

O movimento de uma partícula é representado pelo gráfico abaixo:

Determine qual posição representa a metade do deslocamento e que instante isso ocorrerá.

R: A condição necessária para determinar a metade do deslocamento e o instante em que isso ocorrerá

poder ser dado pela expressão (3) e usando a geometria do problema teremos:

O que nos permite dizer que a posição média do deslocamento é de 10 m da origem e que isso ocorrerá em 5 s

após o início do deslocamento.

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3. Condição de alinhamento de três pontos

Uma reta, representada num plano cartesiano, possui uma série de pontos que descreve a mesma e

a determinação de e alinhamento de três pontos (A, B, C) pode ser obtida pelo cálculo do determinante de

uma matriz de ordem 3×3 pela Regra de Sarrus (SILVA & BARRETO FILHO, 2005).

Figura 4: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B.

A construção dessa matriz será dada da seguinte forma:

as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna;

as ordenadas a 2ª coluna;

a terceira coluna será complementada com o número um.

(4)

sendo o determinante será escrito como:

(5)

Exemplo 2

A expansão de um gás ocorre de forma isobárica, de tal forma que numa temperatura de 100 K o volume

ocupado por ele é de 8,2 L e na temperatura de 350 K o volume ocupado é 28,7 L. Sabendo que no plano V×T a

relação entre essas quantidades é uma reta, determine, utilizando a condição de alinhamento de três pontos,

qual será a temperatura medida quando o volume ocupado pelo gás for de 17,63 L?

R: Nessa condição a matriz será da forma:

O determinante será dado por:

Onde após o procedimento algébrico obteremos que quando volume ocupado pelo gás for 17,63 L a sua

temperatura será 215 K.

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4. Inclinação da reta

Toda reta, representada no plano cartesiano, tem uma inclinação () em relação ao eixo que

pode variar entre 0º e 180º (0º 180º). Poder ser obtida a partir da razão entre o cateto oposto e o

cateto adjacente ao ângulo (), que fornece o coeficiente angular (a) da reta, isto é (ALEJANDRO et al,

1997):

(6)

que também pode ser reescrita como:

(7)

Onde:

(8)

5. Equação geral e reduzida da reta

Dizemos que a equação geral de uma reta é escrita na forma (SHIGUEKIYO, 2008):

(9)

Exemplo 3

Em um circuito simples, onde existe um dispositivo que se comporta como um resistor ôhmico, isto é,

aqueles que obedecem a lei de Ohm (V = Ri), são medidos os seguintes valores para a corrente (i) e a tensão (V):

i (V) V (A)

2,0 6,0

4,0 14,0

Sabendo que essa relação será representada por uma reta no plano V×i, determine o valor da resistência

sabendo que ele será o coeficiente angular da reta.

R: Usando a relação (7), temos que:

Onde a resistência do dispositivo (que será o coeficiente angular) será igual a 4,0 .

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enquanto a equação reduzida é apresentada como (SHIGUEKIYO, 2008):

(10)

Para determinarmos a equação geral de uma reta devemos ter no mínimo dois pares ordenados

dos possíveis pontos alinhados e a partir deles construir a seguinte matriz:

(11)

uma vez montada a matriz recorremos a Regra de Sarrus e, após alguns pequenos procedimentos

algébricos, obtemos a equação geral.

No caso da equação reduzida, o procedimento para sua obtenção deve respeitar dois passos

fundamentais:

Determinar o coeficiente angular (a) da reta;

Inserir os pontos x1 e y1 na relação – – e resolver para obter a equação.

Outro procedimento que pode ser adotado é inserir os pontos (x1, y1) e (x2, y2) na equação da lei

de formação da equação reduzida e obter os valores de a e c por meio da resolução de um sistema de

equações.

Exemplo 4

Usando dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, é possível verificar as

seguintes medidas:

Medida T (°C) T (K)

1 0 273

2 100 273

Sabendo que a relação entre elas é linear, determine a equação geral que relaciona esses valores.

R: Utilizando a matriz (10) temos que:

Realizando o procedimento algébrico, pela Regra de Sarrus, ficaremos com:

0373+100 +273 -273100-373 -0 =0

Onde encontramos:

que é a equação geral da reta no plano TK×TC.

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6. Equação segmentária da reta

Considere uma reta qualquer no plano cartesiano, descrita pela equação , se

dividirmos toda a equação por c obtemos o que chamados de forma segmentária da reta (ALEJANDRO et

al, 1997):

(12)

onde

representa ponto de interseção da reta com o eixo x e

representa ponto de interseção da reta com

o eixo y.

Figura 5: Representação dos pontos de interseção de uma reta 4x + y = 8.

– –

Exemplo 5

Voltando a medida dos dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, onde é

possível verificar as seguintes medidas:

Medida T (°C) T (K)

1 0 273

2 100 273

R: Teremos que o coeficiente angular será

Assim, teremos que a relação – – será escrita como:

O que nos fornecerá:

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7. Equação paramétrica

Em muitas situações é muito conveniente relacionar as coordenadas e por uma terceira

variável, representa na maioria das vezes pela letra , denominada parâmetro. Essa forma escrever essas

variáveis fornece o que chamamos de equações paramétricas da reta, onde (BONJORNO & GIOVANNI,

2001):

(13)

Exemplo 6

Considere a equação da reta:

4x + y = 8

Determine:

a) A equação segmentária da reta;

R: Para determinarmos a equação segmentária da reta precisamos dividir todos os termos pelo termo c,

tal que teremos:

Onde encontramos:

b) Os pontos de interseção da reta com os eixos x e y.

R: Podem ser obtidos diretamente da equação segmentária os pontos de interseção com o eixo x e y são

respectivamente: e 8.

Exemplo 7

Considere um vetor v (1,2) e um ponto qualquer no espaço, definido pelas coordenadas p (1,0).

Determine as equações paramétricas pertinentes e a reta que possui a direção de v e que contenha o ponto p.

R: Inicialmente precisamos definir um ponto genérico q (x,y), que possa permitir escrever a reta e que

esteja na mesma direção de v, isto é, que exista um escalar t onde . Assim:

(x - 1, y-0) = t(1,2)

x - 1 = t x = 1+t

y = 2t

Multiplicando a equação de x por 2, ficamos com 2x = 2 + 2t. Substituindo y, obtemos finalmente:

2x – y – 2 = 0

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8. Posição relativa de duas retas no plano cartesiano

Duas ou mais retas podem ser descritas no mesmo plano cartesiano e em algumas situações elas

podem ou não se cruzar, nesse último caso criando um ponto de interseção. Nesse caso, podem ser

(RIBEIRO, 2015):

Retas Paralelas: São aquelas que possuem os mesmo coeficientes angulares (a), isto é, a1 = a2.

Retas Concorrentes: São aquelas que possuem diferentes coeficientes angulares (a), isto é, a1 a2.

Retas Perpendiculares: É um caso particular de reta concorrente, onde relação entre os

coeficientes angulares é escrito como

9. Área de um triângulo no plano cartesiano

É muito comum, em muitas situações de estudo de gráficos, encontrar problemas onde se faz

necessária à determinação da área interna de uma figura para obter o valor de uma grandeza física

representada por ela. Pode ser citada como exemplo a área formada abaixo da curva do gráfico v×t, que

informa o deslocamento de uma partícula, e do gráfico F×x, que permite determinar o trabalho realizado

pela força.

A determinação dessa área é muito simples na maioria das vezes, no entanto em alguns casos ela

pode ser torna um tanto trabalhosa e que pode comprometer a obtenção correta do resultado. Um exemplo

disso é quando precisamos obter a área de um triângulo no plano cartesiano, nesse caso uma forma

relativamente simples é dado pelo módulo do determinante dos vértices do triangulo dividido por dois:

(14)

onde:

(15)

Exemplo 8

Na expansão de um gás, são medidos os seguintes valores de pressão e volume ao longo de um ciclo

termodinâmico no plano p×V. Onde:

Medida P (105 Pa) V (m3)

1 1,0 1,0 2 2,0 2,0 3 0,5 3,0

Com base nesses valores determine o trabalho total.

R: No caso específico temos que:

Isto é, o trabalho é igual a 0,5×105 J.

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10. Exercícios de fixação

1. Determine a distância percorrida por uma partícula que tem sua posição, em duas dimensões, descritas

pelas relações:

3

4t

entre os instantes 0 s t 6 s.

2. Considere um segmento de reata limitado entre os pontos A(1,2) e B(6,8), que estão no plano xy. Quais

as coordenadas que permite dividir essa reta em três partes iguais?

3. Uma reta com extremos nos pontos A(x,7) e B(5,y), possui como ponto médio o ponto M(2,5).

Determine, com bases nesses pontos, x e y.

4. Em um experimento foram anotadas as temperaturas medidas e os respectivos instantes, como mostra a

tabela abaixo:

Temperatura (K) Tempo (s)

23 10

38 15

Se a temperatura representa o eixo das ordenadas e o tempo às abscissas determine a equação da reta para

essas grandezas.

11. Referências

ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa – Matemática. São Paulo: Klick Editora,

1997.

OLIVEIRA, G. A. Brasil Escola: Distância entre dois pontos. Disponível em: https://goo.gl/uKlDJG.

Acesso em: 14 jan. 2017.

BONJORNO. J. R.; GIOVANNI, J. R. Matemática: Uma Nova Abordagem, v. 3. São Paulo: FTD, 2001.

RIBEIRO. T. Brasil Escola: Posições relativas de duas retas. Disponível em: http://goo.gl/tP9gn. Acesso

em: 05 set. 2016.

SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna, 2008.

SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, 2005.

12. Respostas dos exercícios de fixação

1. 10

2. C

4,

3

8 e D

6,

6

13

3. x = -1 e y = 3

4. t = 3T – 7