Post on 17-Apr-2015
Segmento: Ensino MédioDisciplina: Matemática
Tema: Sólidos Geométricos - Cone
Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides
nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eix
o
alt
ura
Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
4
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
Planificação do Cone Reto
Rx
h
gClique
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
Cone Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
g
2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
AALL = = R g R g AALL = = R g R g
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )
Áreas e VolumeÁreas e Volume
V = R R22 hV = R R22 h
1 1 33
Áreas e VolumeÁreas e Volume
Pirâmide Cone
Área da Base (AB)
Depende do Polígono da
Base
Área da circunferência
Área Lateral (AL)
Área Total (At)
Volume (V)
3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb
grAl .2
gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..
H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais.
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone original (H)
Altura do cone semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógica
V = v + VT
Tronco de Tronco de ConeCone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
Área Lateral do Tronco(ALT)
ALT = (R + r)gT
Área Total do Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)
Volume do Tronco (VT)
VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3
. th
Ex. 1:
(EPUSP-SP)
Desenvolvendo a superfície lateral de um Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede:setor circular cujo ângulo central mede:
a) 216ºa) 216º
b) 240ºb) 240º
c) 270ºc) 270º
d) 288ºd) 288º
e) Nenhuma das respostase) Nenhuma das respostas anteriores.anteriores.
Ex. 2:
(UF-RS)
O volume do sólido gerado pela revolução O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo euilátero de lado a em de um triângulo euilátero de lado a em torno de um de seus lados é:torno de um de seus lados é:
a) a) 1 1 44
a3
b) b) 1 1 33
a3
c) c) 1 1 22
a3
d) d) 3 3 44
a3
e) e) 4 4 33
a3
Ex. 3:
(PUC-SP)
O volume de um cone eqüilátero, O volume de um cone eqüilátero, circunscrito a uma esfera de raio R, é: circunscrito a uma esfera de raio R, é:
a) a) RR33
b) 3b) 3RR33
c) 2c) 2RR33
d) 4d) 4RR33
e) 5e) 5RR33
(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:
A) 52Π B) 36Π C) 20Π D) 16Π
3 m
8 m
D = 2R8 = 2R
_8_ = R 2
= 4
AT = ΠR(R + G)AT = Π.4(4 + G)
Mas, G = ?
3 m
4 m
G
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos G = 5 m
AT = Π.4(4 + 5)AT = 36Π
(UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm3 é:
A) 100Π B) 200Π C) 400Π D)
13 cm
10 cm
D = 2R10 = 2R_10_ =
R 2
= 5
HR ..3
1 V 2
V = (Π R2 .H):3V = (Π 52 .H):3V = (Π 25 .H):3Mas, H = ?x
5 m
13 m
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos H = 12 m
V = (Π 25 .12):3V = (Π 300):3V = 100Π