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8/9/2019 Resolução-Teste MMI
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CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEMESTRE Mar.xx a Jul.xx
MECÂNICA DE MATERIAIS I Teste
CasimiroPinto
T1RV-Mat1-08.doc
P Problema 1
A Fig.1 representa um esquema de um trem de aterragemde um avião. O tirante AB faz um ângulo de 50º com AC. Os
cavilhões que passam em A e B trabalham ao corte duplo e ocavilhão que passa por C ao corte simples. O avião produz naaterragem uma reacção R=20 kN. Neste contexto calcule:a)-A tensão no troço oco do tirante AB;
b)-Os diâmetros dos cavilhões, sabendo que τadm= 56 MPa;
c)-A tensão normal e a tangencial na secção oblíqua s,s´quefaz um ângulo de 30º com o plano longitudinal do tirante.
P Problema 2
A barra AB da Fig.2 é considerada indeformável.As colunas CD e EH são de secção circular de 20e 30 mm respectivamente, de E=200 GPa ecoeficiente de dilatação 12.10-6/ºc. Determine:a)- A deslocação do ponto A;b)-A tensão em cada coluna;O aumento da temperatura a que se deveaquecer cada coluna para manter a barra ABhorizontal.
P Problema 3
Na fig.3 representa-se um prisma sujeito a um estado plano detensão. Aplicam-se esforços no prisma que originam as tensõesnormais de 500MPa e de 800MPa. Sabendo que ν=0,34 e E=120 GPa, calcule:a)-As dimensões finais do prisma;b)-A variação de volume do prisma;
c)-Qual o valor da tensão na direcção b para que a dimensão c
se mantenha inalterável.Dados: a= 50 mm; b= 300 mm; c=20 mm
a
b
20
10 0
20F=10 kN
40 a
F=10 kN
Fig.4
parafusos
Vista lateral
Vista superior A B
Corte AB
P Problema 4
Construiu-se um amortecedor (Fig.4), colando o varão(a) a um tubo (b) e a um cilindro oco de borracha(G=400Mpa), que por sua vez está ligado a uma placa
que é fixa, através de 3 parafusos (τadm= 82,5 Mpa) deaço sobre outra placa. Aplica-se o esforço F=10kN.Calcule:a)-O deslocamento do varão;b)- Os diâmetros dos Parafusos.
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CasimiroPi
RESOLUÇÃOP Problema 1
nto T1RV-Mat1-08.doc
A
C
1)-Condições da estática
0=∑ Y F −↓+↑
0=∑ X F −+ ←→
0=∑ F M to
C
20 + FAB sen 50+ VC = 0FAB cos 50+ HC =0
60.20 + 40.FAB sen 50 = 0
R=20 kN
FAB VC
40cm20cm
HC
50º
20 + FAB sen 50+ VC = 0FAB cos 50+ HC =0
60.20 + 40(FAB sen 50) = 0
------------------------
------------------------
FAB = - 39,162 kN
20 -39,162 sen 50+ VC = 0
---------------------------------------------------------
VC = 39,162 sen50-20------------------------
------------------------
VC = 9,9998 kN------------------------
------------------------
-------------------------39,162 cos 50+ HC =0
------------------------
------------------------HC =25,1728 kN
------------------------
a)-A tensão no tirante AB
FAB
FAB
σaço tir
AB
A
F =
4
)3040(
3916222 −
−=π
=-71,23Mpa
b)-Os diâmetros dos cavilhões, sabendo que τadm= 56 MPa
Cavilhão que passa em A
τA =
4.2
2
d
F AB
π
56.106 =
4
.2
391622d π
d=0,0210998 md=21,1mm
Cavilhão que passa em B
τB =
4.2
2
d
F AB
π
56.106 =
4
.2
391622d π
d=0,0210998 md=21,1mm
Cavilhão que passa em C
Cálculo da reacção em C
RC=22
C C H V + RC= 22
1728,259998,9 + RC= 27,0863 kN
τB =
4
.2d
RC
π 56.106 =
4
.
3,270862d π
d=0,024816 md=24,82mm
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c)-A tensão normal e a tangencial na secção oblíqua s,s´que faz um ângulo de 30º com o plano longitudinal do tirante.
σn = σ. cos2α
τ =2
σ sen 2α
σn = 71,23. cos260
τ =2
23,71sen 120
σn = 17,8075 σn = 17,8 MPa
τ = 30,843 τ = 30,8 MPa
P Problema 2
A barra AB da Fig.2 é considerada indeformável.As colunas EH e CD são de secção circular de 30e 20 mm respectivamente, de E=200 GPa ecoeficiente de dilatação 12.10-6/ºc. Determine:a)- A deslocação do ponto A;b)-A tensão em cada coluna;c)-O aumento da temperatura a que se deve
aquecer cada coluna para manter a barra AB
horizontal.
Cálculo do comprimento das colunas
25,2
5,1 EH =
EH=1,2m
25,15,2
5,1 CD=
CD=0,75m
1)-Condições da estática
0=∑ Y F −↓+↑
0=∑ X F −+ ←→
0=∑ F M
to
B RE + RC + VB = 100 (1) HB =0 (2)
− 100(2,5) + 2.RE + 1,25RC = 0 (3) Sistema Hiperestático
F=100 kN
RERC
VB
HB
A E C B25m0,75m0,5m 1,
2)-Condições da deformação
AE
C B0,5m 0,75m 1,25m
δEδC
A’E’
C’
25,12
C E δ δ = ⇒ δE =1,6δC
420..200
75,0.6,1
430..200
2,1.22
π π
C E R R
=
RE.1,2.202 = 1,6.RC.0,75.302
RE = 2,25 RC (4) Substituindo em (3) temos
− 250 + 2. 2,25RC + 1,25RC = 0− 250 + 4,5.RC + 1,25RC = 0− 250 + 5,75.RC= 0
RC= 43,478 kN
Substituindo em (4) temosRE = 2,25 .43,478
RE = 97,826 kN
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a)- A deslocação do ponto A;
AE
C B0,5m 0,75m 1,25m
δEδC
A’ E’
C’A
25,2
E A δ δ =
δA= 1,25 δE
δA= 1,25 E
E E
A E
L R
.
.
δA= 1,25 4
030,0...10.200
2,1.97826
29 π
δA=0,001037966 m
δA=1,038 mm
b)-A tensão em cada coluna
σEH E
E
A
R=
4
30.
978262
π = =138,4 Mpa σCD
C
C
A
R=
4
20.
434782
π = =138,4 Mpa
c)-O aumento da temperatura a que se deve aquecer cada coluna para manter a barra AB horizontal
LEH. α. ΔT - ⎯ E
E E
A E
L R
.
.=0 1,2. 0,000012. ΔT - ⎯
4
030,0...10.200
2,1.978262
9 π =0
0,0000144. ΔT ⎯ 0,00083037=0
ΔT =57,66 º
P Problema 3
a)-Cálculo das dimensões finais do prismaa.1)-Das condições do contorno do prisma tiramos:
x
y
z
εx ≠ 0 ε y ≠ 0 εz ≠ 0
σx= 800 MPa σ y=-500 MPa
σz = 0
As dimensões finais serão calculadas por:
af = a + a.εy
bf = b + b.εx
cf = c + c.εz
a.2)- Cálculo das deformações específicas
εx = +σ x
E −
νσ y
E −νσ
z
E
εy = −νσ x
E +σ y
E −
νσ z
E
εx = + 9
6
10.120
10.800 −
9
6
10.120
)10.500.(34,0 − − 9
10.120
0
εy = − 9
6
10.120
10.800.34,0+ 9
6
10.120
)10.500(− −9
10.120
0
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εz = −
νσ x
E −νσ y
E +σ z
E εz = − 9
6
10.120
10.800.34,0 −
9
6
10.120
)10.500.(34,0 −+ 9
10.120
0
εx = + 310.120
800+ 3
10.120
500.34,0
εy = − 310.120800.34,0 - 3
10.120500
εz = − 310.120
800.34,0+ 3
10.120
500.34,0
εx = +0,0066667 +0,0014167
εy = − 0,0022667-0,0041667
εz = − 0,0022667 +0,0014167
εx = 0,0080834
εy = − 0,0064334
εz = − 0,00085
af = a + a.εy
bf = b + b.εx
cf = c + c.εz
af = 50 + 50.(− 0,0064334) bf = 300 + 300. 0,0080834
cf = 20 + 20.(− 0,00085)
af = 49,67833 mm
bf = 302,42502 mmcf = 19,983 mm
af = 49,68 mm
bf = 302,43 mmcf = 19,98 mm
b) Variação de volume do prisma
e = εx+εy+εy
V
V δ = e
δV = V.((εx+εy+εz) δV = 300.50.20(0,0080834−0,0064334−0,00085) δV =240 mm3
Logo a variação no prisma foi de + 240 mm3
c) Qual o valor de σx para que a dimensão c se mantenha inalterável.
Para que a dimensão C não sofra qualquer alteração terá que o εz =0, ou seja:
νσ σ 0 = −
νσ x
E −
y
E +
z
E
0= − 310.120
.34,0 xσ + 3
10.120
500.34,0 0=− 0,34.σx + 0,34.500 σx = 500 MPa
P Problema 4
a
b
20
100
20F=10 kN
40 a
a
b
20
100
20F=10 kN
40
Fig.4
a
parafusos
Vista lateral
Vista superior
Construiu-se um amortecedor (Fig.4), colando ovarão (a) a um tubo (b) e a um cilindro oco deborracha (G=400Mpa), que por sua vez está ligadoa uma placa que é fixa, através de 3 parafusos
(τadm= 82,5 Mpa) de aço sobre outra placa. Aplica-se o esforço F=10kN. Calcule:a)-O deslocamento do varão.b)- Os diâmetros dos Parafusos
a)-O deslocamento do varão.
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δ
γ 10
10020
Pela lei deHooke temos τ=G.γ
Por outro lado
τ= A
F
G=400.106
γ=?
A=área lateral da borracha que
envolve o varão A=2πR.LA=2π10.100A= 6283 mm2
τ
= 6283
10000
τ=1,6 MPa
1,6.106=400.106.γ γ=0,004 rad
tgγ=10
δ tgγ ≈ γ 0,004 =
10
δ δ = 0,04 mm
b)- Os diâmetros dos Parafusos
τadm = 82,5 Mpa
τadm =c
c
A
F c/ Fc = Força de corte = 10 kN = 10000 N
Ac = Área de corte = 3x π × d 2
4
82,5 =
4
3
100002d ××π
d =π .3.5,82
4.10000 d = 7,17 mm
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