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1 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Universidade do Estado do Pará
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
Renato Darcio Noleto Silva
Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Belém 2019
2 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Renato Darcio Noleto Silva
Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Dissertação apresentada como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientadora: Profa. Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira.
Belém 2019
4 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
À minha família: mãe, pai, irmãos, minha esposa Elcitânia, a meus filhos Juan Pietro e Ellen Beatriz, pela paciência em minha ausência,
pela compreensão e amor demonstrado em todos os momentos de luta e
de alegrias. Amo vocês!
5 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Agradecimentos
A Deus, pela proteção e escolha dos meus caminhos.
Aos meus pais, responsáveis pelo cidadão que me tornei.
Aos meus irmãos pela companhia e cumplicidade.
A minha querida esposa Elcitânia, pela escolha de viver ao meu lado e compartilhar
de muitos momentos importantes, inclusive este.
Aos meus queridos filhos Juan Pietro e Ellen Beatriz, por me inspirarem e iluminarem.
Aos meus familiares e amigos, pelo apoio e confiança.
Aos companheiros Marcio, Samuel e Wedson, pela parceria e paciência na jornada.
Em especial, a minha orientadora Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira pela confiança,
apoio, serenidade, cuidado e orientação.
Ao prof. Dr. Fábio Alves e Maria de Lourdes, pela constante disponibilidade de ajudar
e co-orientar.
Ao Prof. Pedro Franco de Sá pelo incentivo.
A parceria da Secretária Glads Serra, apoio e cuidado.
Ao coordenador Prof. Dr. Ducival, parceiro e amigo.
Ao prof. Dr. Miguel Chaquian pelas oportunidades e parceria.
Aos meus colegas de turma, novos amigos.
A meus queridos alunos, envolvidos no experimento.
Aos graduandos Daiane, Fernanda e Jardel, pelo apoio na pesquisa.
Aos demais professores, pela paciência e dedicação.
A todos os servidores da UEPA que me acolheram e me trataram com respeito e
carinho.
Ao Instituto Federal do Maranhão, à Secretaria Estadual de Educação e ao Fundo de
Amparo à Pesquisa e ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico do Maranhão, pelo
apoio profissional e financeiro, tornando possível esse sonho.
A todos que contribuíram direta e indiretamente com o desenvolvimento deste
trabalho.
Muito Obrigado!
6 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Eu quase que nada sei, mas desconfio de muita coisa. Grande Sertão: Veredas
Guimarães Rosa
7 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
RESUMO
SILVA, Renato D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones. 2019. 293f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa que objetivou observar como os alunos do 3º ano do ensino médio desenvolvem potencialidades a partir de uma sequência didática com o uso e construção de aplicativos para smartphones, quando estudam Pirâmides. Para alcançar tal finalidade, optamos pela Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, a qual desenvolveu-se em quatro etapas. Inicialmente foram feitas as análises prévias como primeira das etapas, composta pelos aspectos históricos, curriculares e matemáticos das Pirâmides; uma revisão de estudos sobre o tema; a consulta a discentes sobre o processo de ensino-aprendizagem desse conteúdo e sua relação com a utilização de tecnologias. A segunda etapa da pesquisa, concepção e análise a priori, apresenta a descrição da Engenharia Didática na concepção de Artigue, Teoria da Gênese Instrumental de Rabardel, Sequência Didática na perspectiva de Zabala e algumas considerações sobre Tecnologias no ensino de Matemática. A terceira e quarta etapas da pesquisa, experimento e análise, foram realizadas em uma escola pública estadual de São João dos Patos- MA com quinze alunos do 3º ano do ensino médio. Para a validação, fizemos uso as análises a priori e posteriori em cada atividade desenvolvida durante a experimentação, a qual demos tratamento qualitativo, seguida da confrontação entre os dados obtidos entre a análise a priori e posteriori. Os resultados da comparação apontam para instrumentação e instrumentalização da plataforma App Inventor II e dos aplicativos construídos, e que o processo da Gênese Instrumental ocorreu pela mobilização de esquemas novos e preexistentes, constatando que na metodologia de ensino obtivemos efeitos positivos, o que acarretou em uma melhora significativa no desempenho dos discentes na resolução de questões envolvendo Pirâmides. Além disso, o processo de desenvolvimento das atividades, nos mostraram que os estudantes aprenderam estruturar algebricamente as relações entre elementos da Pirâmide de maneira colaborativa e motivadora. Palavras-chave: Pirâmides. Aplicativos. Ensino.
8 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
ABSTRACT
SILVA, Renato D. N. Teaching of Pyramids in the construction of applications for smartphones. 2019. 293f. Dissertation (Masters in Mathematics Teaching) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.
This work presents the results of a research that had as objective to observe how the students of the 3rd year of High School appropriate the knowledge related to Pyramids when using and constructing applications for smartphones. In order to achieve this goal, Didactic Engineering was chosen as a research methodology, which was developed in four stages. Initially, preliminary analyzes were made, the first stage of the research, composed of the historical, curricular and mathematical aspects of the Pyramids; a review of studies on the subject; the consultation of 3rd year high school students about the teaching-learning process of this content and its relation with the use of technologies. The second stage of the research, conception and analysis a priori, presents the description of Didactic Engineering in Artigue's conception, Rabardel's Theory of Instrumental Genesis, Didactic Sequence in Zabala's perspective and some considerations on Mathematics teaching. The third and final stage of the research, experiment and analysis was carried out at a state public school in São João dos Patos-MA with fifteen students from the 3rd year of high school. For the validation, we used the a priori and posteriori analyzes in each activity developed during the experiment, which we gave qualitative treatment, followed by the comparison between the data obtained in the two stages. The results of the comparison point to the instrumentation and instrumentation of the App Inventor II platform and the applications built, and that the process of Instrumental Genesis occurred by the mobilization of new and preexisting schemes, noting that in the teaching methodology we obtained positive effects, which resulted in a significant improvement in students' performance in solving questions involving Pyramids. In addition, the process of developing activities, showed us that students learned to structure algebraically the relationships between elements of the Pyramid in a collaborative and motivating way. Key Words: Pyramids. Applications. Teaching.
9 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE DIAGRAMAS
Diagrama 1- Etapas da Engenharia Didática ............................................. 29
Diagrama 2: Esquema de instrumentalização do App Inventor nas
atividades propostas.................................................................................... 253
10 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Localização territorial do médio sertão maranhense.......................... 26
Figura 2- Estrutura arquitetônica da Pirâmide de Djoser .................................. 35
Figura 3- Pirâmide de Quéops (Khufu).............................................................. 37
Figura 4- Museu do Louvre (1989) ................................................................... 38
Figura 5- Questão ENEM (2009) – Pirâmide .................................................... 45
Figura 6- Pirâmide definida por planos.............................................................. 50
Figura 7- Pirâmides de bases diversas.............................................................. 52
Figura 8- Pirâmide ilimitada............................................................................... 53
Figura 9- Pirâmide limitada................................................................................ 54
Figura 10- Classificação de uma Pirâmide de acordo com a base poligonal.... 55
Figura 11- Seção transversal da Pirâmide...................................................... 56
Figura 12- Classificação das Pirâmides quanto a inclinação............................. 56
Figura 13- Pirâmide triangular regular- tetraedro............................................... 57
Figura 14- Relações notáveis na Pirâmide triangular regular............................ 59
Figura 15- Triângulo retângulo que destaca a relação entre a e 𝑙.................... 60
Figura 16- Relações notáveis na Pirâmide de base quadrada.......................... 61
Figura 17- Triângulo retângulo que destaca a relação entre r e 𝑙..................... 61
Figura 18- Relações notáveis na Pirâmide de base hexagonal regular............ 62
Figura 19- Triângulo equilátero que destaca a relação entre r e a.................... 63
Figura 20- Seção da Pirâmide e sua relação com a base ……………………… 71
Figura 21- Pirâmides de volumes semelhantes………………………………….. 72
Figura 22- Prisma triangular…………………………………………………..……. 73
Figura 23- Decomposição do prisma em tetraedros…………………………….. 73
Figura 24- Congruência do volume de tetraedros……………………………….. 74
Figura 25- Resposta de atividade proposta por Viana....................................... 84
Figura 26: Respostas de atividade proposta por Boiago................................... 88
Figura 27: Janelas do GeoGebra com um modelo matemático........................ 89
Figura 28: Resolução de atividade proposta por Borsoi.................................... 92
Figura 29: Conversões de registro de atividades.............................................. 92
Figura 30: Resolução de atividade proposta por Bittencourt............................. 93
Figura 31: Resolução de atividade proposta por Schonornberger.................... 99
11 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 32: Modelo das Situações de Atividades Instrumentais......................... 125
Figura 33: Ambiente Designer do App Inventor II............................................. 139
Figura 34: Ambiente Blocks do App Inventor II ................................................ 139
Figura 35: Tela do aplicativo VOLPIR (Volume da Pirâmide) ........................... 140
Figura 36: Programação em blocos da tela do volume da Pirâmide
hexagonal............................................................................................................ 141
Figura 37: Impressões iniciais de juros simples................................................. 144
Figura 38: Estruturação da programação do bloco de juros simples................. 145
Figura 39: Aplicativo, estrutura e validação da questão 9................................. 146
Figura 40: Aplicativo de juros simples personalizado pelo aluno...................... 148
Figura 41: Imagem do aluno construindo o aplicativo de juros simples............ 148
Figura 42: Esboço do aplicativo para o cálculo de área do trapézio................ 149
Figura 43: Aplicativo criado por aluno para cálculo da área do triângulo......... 150
Figura 44: Pirâmide de Kukulcán...................................................................... 160
Figura 45: Imagem da fachada frontal e superior da FAESF............................ 162
Figura 46: Ideia preliminar da área de uma Pirâmide (Aluna N13)................... 163
Figura 47: Ideia preliminar do volume de uma Pirâmide (Aluno H8)................ 163
Figura 48: Pirâmide pentagonal regular............................................................. 167
Figura 49: Figuras selecionadas para a AI-3..................................................... 169
Figura 50: Definição de Pirâmides para o aluno G7.......................................... 172
Figura 51: Registro das respostas da AI-4 pela aluna N13............................... 174
Figura 52: Construção coletiva do conceito de Pirâmide regular...................... 175
Figura 53: Quadro valor do apótema- aluna N13............................................... 182
Figura 54: Resposta da aluna N13 à questão a (valor apótema)...................... 183
Figura 55: Resposta da aluna N13 à questão b (valor apótema)...................... 183
Figura 56: Resposta da aluna N13 à questão c (valor apótema)...................... 184
Figura 57: Esboço da tela do aplicativo apótema da base da Pirâmide (aluna
N13)................................................................................................................... 184
Figura 58: Interpretação dos blocos pela aluna N13 no cálculo do apótema... 189
Figura 59: Preenchimento do quadro de valores com o aplicativo construído
(Aluna A1)........................................................................................................... 194
Figura 60: Cálculo manual – do quadro atividade móbile (Aluna A1)................ 194
Figura 61: Cálculo manual – valor do móbile (Aluna A1).................................. 195
12 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 62: Cálculo manual do apótema da Pirâmide de base triangular
regular (Aluna A1)............................................................................................... 196
Figura 63: Cálculo manual do lado da base da Pirâmide triangular regular
(Aluna A1) .......................................................................................................... 196
Figura 64: Quadro de valores área da base (Aluno H8).................................... 202
Figura 65: Questão a tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 202
Figura 66: Questão b tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 202
Figura 67: Questão c tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 203
Figura 68: Questão d tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 203
Figura 69: Blocos de programação (Aluno H8).................................................. 206
Figura 70: Quadro área lateral (Aluno H8)........................................................ 209
Figura 71: Questão a sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209
Figura 72: Questão b sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209
Figura 73: Questão c sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209
Figura 74: Questão d sobre a área lateral (Aluno H8)....................................... 210
Figura 75: Questão e sobre a área lateral (Aluno H8)....................................... 210
Figura 76: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)....................... 211
Figura 77: Quadro área total (Aluno H8)........................................................... 214
Figura 78: Resposta para a questão a – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 214
Figura 79: Resposta para a questão b – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215
Figura 80: Resposta para a questão c – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215
Figura 81: Resposta para a questão d – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215
Figura 82: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)....................... 217
Figura 83: Extensão da atividade (para casa)................................................... 219
Figura 84: Proposta do docente para encontrar o apótema da Pirâmide.......... 220
Figura 85: Esboço das telas do aplicativo para a questão barracas (Aluno F6) 220
Figura 86: Construção coletiva de aplicativos.................................................... 225
Figura 87: Preenchimento do quadro teste do aplicativo barraca – quadro a
(Aluna O14)......................................................................................................... 226
Figura 88: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barraca – quadro
b (Aluna O14)..................................................................................................... 227
Figura 89: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barracas –
quadro c (Aluna O14)......................................................................................... 227
13 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 90: Resolução da questão barracas utilizando o aplicativo.................... 227
Figura 91: Resolução da questão barracas com o uso do quadro de pincel..... 228
Figura 92: Quadro de valores volume da Pirâmide (Aluna C3)......................... 232
Figura 93: Resposta para a questão a – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 232
Figura 94: Resposta para a questão b – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 232
Figura 95: Resposta para a questão c – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 233
Figura 96: Estrutura de blocos do aplicativo volume da Pirâmide (Aluna C3)... 237
Figura 97: Utilização de novos esquemas (Aluna C3)....................................... 237
Figura 98: Esboço do aplicativo volume do iceberg (Aluna O14)..................... 240
Figura 99: Resposta da questão 1- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 243
Figura 100: Resposta da questão 2- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 244
Figura 101: Resposta da questão 3- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 244
Figura 102: Resposta da questão 4- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 244
Figura 103: Resposta da questão 5- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 245
Figura 104:Gravação de vídeo aula construção de aplicativos (Aluno P15)..... 254
14 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1- Evolução do IDEB – Maranhão......................................................... 27
Gráfico 2: Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo.......... 119
Gráfico 3: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta a). 171
Gráfico 4: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta b). 171
Gráfico 5: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta c). 171
Gráfico 6: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta d). 172
15 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Resumo de médias das avaliações externas................................... 27
Quadro 2- Resultados da aplicação de questão ENEM.................................... 46
Quadro 3: Classificação nominal das Pirâmides de acordo com a base 55
Quadro 4 - Relação de textos selecionados...................................................... 79
Quadro 5- Distribuição de estudantes na pesquisa de Viana ........................... 82
Quadro 6- Objetivos dos trabalhos revisados.................................................... 103
Quadro 7: Relação de textos complementares................................................. 107
Quadro 8: Descrição de atividades de acordo com o modelo SAI................... 127
Quadro 9: Leis que proíbem a utilização de smartphones em sala de aula.... 134
Quadro 10: Atividades desenvolvidas no curso de nivelamento....................... 143
Quadro 11: Generalização do modelo de SD.................................................... 152
Quadro 12: Fase x Conteúdo da SD................................................................. 153
Quadro 13: Cronograma de atividades da SD.................................................. 155
Quadro 14: Codificação da identificação dos estudantes................................. 158
Quadro 15: Atividades desenvolvidas no experimento..................................... 159
Quadro 16: Principais características geométricas do tempo de Kukulcán
segundo alunos................................................................................................. 161
Quadro 17: Divisão de grupos da atividade individual 2.................................. 164
Quadro 18: Respostas por grupo a respeito de faces laterais triangulares...... 165
Quadro 19: Resposta do grupo “G5” para sólidos de faces laterais
triangulares........................................................................................................ 166
Quadro 20: Respostas dos grupos -vértice fora da base.................................. 166
Quadro 21: Resposta dos grupos sobre as cartas que possuem Pirâmides.... 167
Quadro 22: Identificação de Pirâmides (Grupo G4).......................................... 168
Quadro 23: Respostas dos alunos sobre a definição de Pirâmides.................. 171
Quadro 24: Observações dos alunos sobre Pirâmides retas e oblíquas........... 174
Quadro 25: Resumo dos aplicativos criados na SD.......................................... 177
Quadro 26: Possível construção de aplicativo para o cálculo do apótema....... 181
Quadro 27: Sequência de ações para a construção do aplicativo calculadora
de elementos da Pirâmide................................................................................. 186
Quadro 28: Ações de construção da tela lado x apótema................................ 187
16 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 29: Resposta da aluna N13 à programação dos blocos...................... 188
Quadro 30: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto do móbile
(Aluna A1).......................................................................................................... 192
Quadro 31: Possível construção de aplicativo para o cálculo da base............. 200
Quadro 32: Construção do “aplicativo-área da base” (Aluno H8)..................... 204
Quadro 33: Ações de construção da tela área da base.................................... 205
Quadro 34: Possível construção de aplicativo para o cálculo da face lateral... 208
Quadro 35: Construção do “aplicativo-área lateral” (Aluno H8)........................ 211
Quadro 36: Possível construção de aplicativo para o cálculo da área total...... 213
Quadro 37: Construção do “aplicativo-área total” (Aluno H8)........................... 216
Quadro 38: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca
(Aluno F6)- Tela 1............................................................................................... 221
Quadro 39: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca
(Aluno F6) -Tela 2............................................................................................... 222
Quadro 40: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6) - Tela 3..............................................................................................
224
Quadro 41: Socialização de resultados do aplicativo para a questão barracas 228
Quadro 42: Possível construção de aplicativo para o cálculo do volume......... 231
Quadro 43: Construção do aplicativo- volume da Pirâmide (Aluna C3)............ 233
Quadro 44: Ações de construção do aplicativo volume da Pirâmide................ 235
Quadro 45: Aplicativo Volume do iceberg (Aluna O14)..................................... 241
Quadro 46: Avaliação do curso de nivelamento (Críticas)................................ 249
Quadro 47: Avaliação do curso de nivelamento (Elogios)................................ 249
Quadro 48: Oferta de minicursos em eventos ................................................. 256
17 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Abordagem inicial da aula pelo professor........................................... 114
Tabela 2: Prática do conteúdo proposta pelo professor..................................... 114
Tabela 3: Utilização do smartphone em sala de aula nas aulas de Matemática 117
Tabela 4: Tempo médio de utilização do smartphone fora de sala de aula....... 118
18 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
LISTA DE SIGLAS
CF Constituição Federal
CGI Comitê Gestor da Internet no Brasil
ENEM Exame Nacional do Ensino Médio
IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação
MSM Médio Sertão Maranhense
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
SAEB Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica
SD Sequência Didática
URE Unidade Regional de Educação
URESJP Unidade Regional de Educação de São João dos Patos
19 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ……………………………………………………………........... 21
1. 1. ESTUDOS PRELIMINARES ……………………………………………………. 32
1.1. Estudos sobre Pirâmides .……………..…………………………………… 33
1.1.1. Aspectos Históricos.………………………………………………….. 33
1.1.2. Aspectos Curriculares..……………………………………..………... 39
1.1.3. Aspectos Matemáticos ………………………………………............ 48
1.1.3.1 Elementos e definições……………………………………… 49
1.1.3.2 Classificação de Pirâmides…………………………………. 55
1.1.3.3 Seção transversal de uma Pirâmide……………………….. 56
1.1.3.4 Pirâmide Regular…………………………………………….. 56
1.1.3.5 Relações Notáveis entre os elementos da base de um
Pirâmide regular e elementos da circunferência inscrita ou
circunscrita……………………………………………………………..
56
1.1.3.6 Áreas da superfície de uma Pirâmide………………………. 65
1.1.3.7 Volume da Pirâmide………………………………………….. 68
1.1.3.8 Volume do tetraedro………………………………………….. 75
1.1.3.9 Volume de uma Pirâmide qualquer…………………………. 75
1.2. Revisão de estudos …………………………………………………………. 77
1.2.1 Dos objetivos dos trabalhos revisados……………………………… 102
1.3. Consulta a discentes………………………………………………………… 110
1.3.1 Perfil da amostra………………………………………………………. 111
1.3.2 Os discentes e as tecnologias……………………………………….. 115
1.3.3 Dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos
relacionados a Pirâmides…………………………………………………… 119
2. REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLOGIA…….…………………........... 123
2.1. A Teoria da Instrumentação ….…………………………………………… 123
2.2. Aspectos da Engenharia Didática …………………………..…………….. 129
2.3. As tecnologias digitais e o ensino de Matemática ………………………. 133
2.3.1. A ferramenta tecnológica utilizada………………..…………………. 138
2.3.2. Curso de Nivelamento…………………………………………........... 142
2.4. Sequência Didática ……………………………………..………………….. 151
20 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
3. EXPERIMENTO E ANÁLISE……………………………………………………. 157
CONSIDERAÇÕES FINAIS …………………………………………………….. 246
REFERÊNCIAS …………………………………………………………………... 257
APÊNDICES ………………………………………………………………........... 266
APÊNDICE A- Termo de consentimento do estudante............................. 266
APÊNDICE B- Termo de consentimento do professor.............................. 267
APÊNDICE C- Questionário do aluno....................................................... 268
APÊNDICE D- Questionário de afinidade com o conteúdo Pirâmides...... 270
APÊNDICE E- Relatório do curso de nivelamento.................................... 272
APÊNDICE F- Avaliação do curso de nivelamento................................... 274
APÊNDICE G- Tabulação de dados questionário aluno........................... 275
APÊNDICE H- Texto de atividade introdutória.......................................... 285
APÊNDICE I- Autorização de divulgação do nome da escola.................. 286
APÊNDICE J- Jogo Baralho Geométrico.................................................. 287
ANEXOS ....................................................................................................... 292
ANEXO A- Moldes Pirâmides................................................................... 292
21 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
INTRODUÇÃO
Em tempos de olhares voltados para resultados educacionais e para o
crescimento da implementação de sistemas de avaliações externas de larga escala
da educação básica no Brasil o docente precisa dedicar grandes esforços na busca
da ampliação do seu leque de habilidades para realizar de forma responsável as
múltiplas e complexas competências a ele atribuídas junto à modernização da escola.
Nesse contexto, um dilema bem conhecido é no que tange à utilização de tecnologias
no ensino; a qual, de um lado, o desafio é possibilitar ao estudante a utilização de
recursos tecnológicos e por outro lado, aliar tais recursos a um aprendizado
contextualizado e mais próximo da realidade do aluno.
A sociedade passa, atualmente, por uma revolução digital que permite a
utilização de tecnologias em atividades das mais variadas, e esta aplicação se
estende também à escola. O hábito de comunicação via carta perdeu espaço para o
uso de e-mails, para ambientes virtuais sociais e para aplicativos de envio de
mensagem; as tábuas de calcular cederam espaço para as modernas calculadoras e
softwares on e off-line. Dessa forma, não podemos negar a influência tecnológica no
ensino, e não podemos desconsiderar o fato de que as tecnologias desempenham um
papel fundamental no processo ensino-aprendizagem, principalmente, a partir do
desenvolvimento de softwares de visualização, cálculo e construção de figuras
geométricas, além do fato de reconhecer que os mesmos se tornaram ferramentas
potencialmente apropriadas para o ensino. De acordo com Borba et al,
a noção de experimentação com tecnologias pode inicialmente ser entendida como o uso de tecnologias informáticas no estudo de conceitos ou na exploração de problemas matemáticos. Contudo, existem especificidades com relação às formas de uso dessas tecnologias nessa perspectiva (BORBA et al, 2014, p.50-51).
Para os Parâmetros Curriculares Nacionais- PCN (BRASIL, 1999, p.42), “o
impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai exigir competências que vão além
do simples lidar com as máquinas”. Para a Base Nacional Comum Curricular- BNCC
(BRASIL, 2017a) a competência é definida como a mobilização de conhecimentos
(conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais),
atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, o mesmo
documento cita 23 (vinte e três) vezes o termo “tecnologia digital” como recurso para
22 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
atingir as habilidades prescritas para as áreas do ensino médio, a exemplo, a
Matemática.
Na sala de aula, nem sempre a Matemática é encarada com o perfil
requerido nos documentos balizadores sob os olhares de professores e alunos, que
citam diversos fatores que contribuem para obstrução parcial ou total do sucesso de
ambos nos resultados esperados a nível de índices educacionais avaliados em larga
escala, e, sobretudo num olhar de formação integral do aluno como cidadão. Um
discurso recorrente de vários docentes que tiveram sua formação pelas décadas de
80 e 90 é que “não estudaram adequadamente Geometria por se encontrar nas
páginas finais do livro didático”.
A esse respeito, Almeida (2015) aponta outros motivos para a pouca
importância dada à Geometria no período supracitado, as quais considera tal ensino
“desastroso”, causado inicialmente pelo abandono da área a partir do Movimento da
Matemática Moderna e agravado pela implantação da Lei nº 5692/71 que tratava das
Diretrizes e Bases da Educação Nacional que promoveu a fusão dos antigos cursos
primários e ginasial em um único curso de 1º grau de 8 anos e um ensino de 2º grau
voltado para a profissionalização, o que permitiu ao professor estruturar seu programa
de ensino de acordo com as condições dos alunos, dessa forma, inegavelmente os
conteúdos de Geometria ficaram à margem de temas trabalhados no currículo.
Docentes e discentes apontam que diversas são as dificuldades que
influenciam o bom desempenho escolar, ambos concordam que a Matemática é uma
matéria que requer atenção especial em todo o processo de ensino e de
aprendizagem. De todo modo, não podemos viver sob a ótica de pretérito, deve-se
buscar alternativas para modificar o presente, afinal vivemos em uma sociedade
dinâmica que requer da escola o mesmo dinamismo sob pena de descrédito da sua
função social. Portanto a escola, o currículo e o ensino necessitam reinventarem-se e
consequentemente acompanhar as tendências sociais mais atuais.
Nesse sentido, o ensino de Matemática deve ser instrumento educacional
que desempenha um papel crítico e social capaz de integralizar o aprendizado de
forma que construa assim uma base de conhecimentos que permita ao aluno um
pensar amplo na resolução dos diversos problemas encontrados no seu cotidiano.
Sob essa perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p.40),
apontam que “é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de
códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite
23 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
modelar a realidade e interpretá-la”, que abra e espaço para a busca de diversos
meios que podem ser utilizados para a exploração dos processos no ensino, donde a
informática se torna uma grande aliada, pois sujeito e objeto se aproximam ao serem
mediados pelo professor que faz uso do computador como instrumento (Penteado,
1999).
No âmbito geométrico, as Pirâmides se destacam por se tratarem de
sólidos poliédricos com contextualização e aplicabilidade em ramos de várias áreas,
como a arquitetura, além do contexto histórico guardião de mistérios milenares
principalmente no Egito, fato que exige o empenho do aluno para a compreensão de
suas propriedades e relações. Assim, pesquisadores como Kotzé (2007), Proença
(2008), Santos (2003) e Vasconcelos (2004, apud VIANA ,2015) mostram que alunos
do Ensino Fundamental, Médio e Superior apresentam dificuldades para resolver
questões relativas à formação de conceitos e ao desenvolvimento de habilidades
geométricas como um todo, assim, acredita-se que a mesma dificuldade ocorra com
o estudo de Pirâmides.
Salientamos que ao tratarmos aqui do termo “contextualização” nos
referimos a evitar o tratamento a questões matemáticas focadas em definições,
resoluções baseadas em algoritmos e objetivos específicos. Por conseguinte, embora
não pretendamos nos aprofundar teoricamente sobre o termo, corroboramos com Reis
e Nehring (2017) quando afirmam que a contextualização tem por finalidade maior
estabelecer sentidos e possibilitar a negociação de significados para a aprendizagem
dos conceitos, pois saber as definições não garante aprendizagem, porque tais
definições não fazem sentido em diferentes situações.
Atualmente, os softwares computacionais e aplicativos para smartphones
têm sido muito utilizados em diversos contextos da sociedade como ferramentas para
resolver situações do cotidiano e não diferente devem ser utilizados nas salas de aula,
como elemento de contextualização, facilitação da compreensão e do aprendizado.
Assim, o acesso e a utilização de computadores e smartphones ganham cada vez
mais importância nas escolas de educação básica no Brasil, uma vez que a assinatura
do Decreto Presidencial nº 6.300 de 12 de dezembro de 2007 dispõe sobre o
Programa Nacional de Tecnologia Educacional – Proinfo, torna possível a utilização
de computadores no ambiente escolar a partir da instalação de laboratórios de
informática, que oportuniza professores e alunos fazerem uso de recursos de
24 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Matemática na área de Geometria, a exemplo, a utilização dos softwares GeoGebra,
Cabri Geométrie, Poly e Calques 3D.
Sob essa ótica, compreendemos os esforços empreendidos em programas
como o e-proinfo, que infelizmente padecem a mercê da subutilização pelos seus
usuários, provocados por fatores como a falta de habilidade , sobrecarga de trabalho
e má formação docente para o uso de tecnologias, além da indisponibilidade de
internet de boa qualidade, o que dificulta o planejamento adequado para o uso destas
ferramentas em sala de aula. Tais fatos se justificam pela necessidade da existência
de uma proposta que contemple o uso destes recursos, que revitalize, potencialize e
motive docentes e discentes a explorar tecnologias, pois ainda são poucos os
professores que as utilizam em sua prática pedagógica.
Ao mesmo tempo em que o uso de tecnologias já é uma realidade bem
frequente em algumas escolas do país (Brasil, 2017b), por outro lado, há pouca
utilização de softwares e aplicativos nas escolas da Região do Médio Sertão
Maranhense, realidade que ocorre esporadicamente a partir de iniciativas individuais
de poucos docentes, situação que segundo Penteado (1999, p. 298), “tem sido um
dos fatores que dificultam a consolidação do seu uso nas escolas, uma vez que o
professor é tido como um elemento fundamental nesse processo”.
Dados atuais apontam para uma realidade que proporcione a incorporação
de atividades com viés tecnológicos, de acordo com números do Comitê Gestor de
Internet no Brasil -CGI in Brasil (2017b), no ano de 2015, 83% das escolas públicas
da zona urbana no Brasil possuíam laboratórios de informática, descresceu para 81%
em 2016, no entanto, apenas 61% fazem uso destes em 2015, com decaimento para
59% em 2016.
O estudo indica ainda que os professores que utilizam tecnologias indicam
muitas percepções sobre seu uso em atividades pedagógicas, no qual 55% afirmam
que passaram a ter menos trabalho no planejamento e elaboração de materiais
didáticos; 67% disseram que houve favorecimento quanto às possibilidades de
estabelecer contato com professores e com especialistas de outras escolas; 85%
passou a adotar novos métodos de ensino; e; 94% passou a ter acesso a materiais
mais diversificados ou de melhor qualidade.
Do ponto de vista dos alunos, a pesquisa mostra que 85% fazem uso da
internet com frequência, que 77% dos entrevistados utilizam smartphone. Outro fato
a ser considerado é que no ano de 2016, 49% dos docentes afirmaram utilizar a
25 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
internet do smartphone em atividades com os alunos; 52% dos alunos utilizam o
smartphone para desenvolver atividades para a escola e 39% disseram já terem
utilizado o smartphone para atividades na escola. A realidade descrita no estudo, abre
espaço para muitas discussões e reflexões, que servirão para o enriquecimento deste
trabalho.
Diante do exposto, justificamos a escolha do tema Estudo das Pirâmides
com a construção de aplicativos no App Inventor II1, por acreditarmos que o processo
de construção de aplicativos atende a nossas expectativas quanto a introduzir noções
de relações entre elementos, cálculo de áreas e volumes de Pirâmides por meio de
atividades contextualizadas que motivem os estudantes e justifique a importância do
uso de tecnologias no ensino. O tema apresenta também uma lacuna em termos de
pesquisas, além de um enorme emaranhado de fórmulas que dificultam a
compreensão e aplicabilidade em questões nos moldes das avaliações em larga
escala.
Uma experiência vivida por este pesquisador, foi quanto à aplicação de um
teste como um dos instrumentos de coleta de dados em pesquisa proposta na
disciplina de currículo e avaliação no nosso curso de mestrado, realizada numa escola
da região do Médio Sertão Maranhense-MSM, quando sugerido a utilização de
calculadora para a resolução de questões propostas, vários relatos de alunos
direcionaram-se para a proibição que qualquer tecnologia dentro da sala de aula, fato
que diverge da realidade apontada no relatório nacional da CGI (BRASIL, 2017b).
Contrapondo-se a uma visão totalitária de modelo de ensino que expõe de
forma clara a predominância de aulas expositivas, Demo afirma que:
A velha aula vive ainda da quimera do ''fazer a cabeça do aluno'', via relação discursiva, decaída na exportação e na influência autoritária, sem perceber que isto, no fundo, sequer se diferencia do fenômeno da fofoca. A educação encontra no ensinar e aprender apenas apoios instrumentais, pois realiza-se de direito e de fato no aprender a aprender. Dentro desse contexto, caduca a diferença clássica entre professor e aluno, como se um apenas ensinasse, outro apenas aprendesse. Ambos colocam-se o mesmo desafio, ainda que em estágios diversos. A pedagogia da sala de aula vai esvaindo-se
irremediavelmente, porque está equivocada na raiz (DEMO,1995, p.130)
1 Plataforma livre para criação de aplicativos em código aberto, desenvolvida pela Google atualmente mantida pelo Massachussets institute of Technology- MIT.
26 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nesse contexto, cabe uma reflexão sobre o que, e como fazer para propor
intervenções que possam contribuir para o aprendizado, consequentemente elevar o
nível de proficiência em avaliações externas dos alunos considerados no universo da
pesquisa em estudo. Além das razões já explicitadas, fizemos a escolha pela região
do MSM como universo desta pesquisa pelo fato de, segundo o Núcleo de Tecnologia
Educacional da URESJP, 100% das escolas de ensino médio da rede estadual de
ensino possuírem laboratórios de informática e professores com formação adequada
na área.
O estado do Maranhão organiza sua rede a partir de uma subdivisão em
19 (dezenove) Unidades Regionais de Educação (URE´s), a qual a URE de São João
dos Patos- URESJP é composta por dezesseis municípios (Fig.1), estrutura que
jurisdiciona vinte e três escolas localizadas nas sedes dos municípios e mais quinze
anexos localizados nas zonas rurais, somam 10.153 alunos matriculados nas séries
do ensino médio, dados do último censo.
Figura 01- Localização territorial do MSM
Fonte: URE/SILVA (2015)
A preocupação quanto aos resultados obtidos em avaliações externas dos
últimos cinco anos nas escolas da região supracitada nos preocupou frente ao objeto
de pesquisa. Na condição de Diretor Regional de Educação, entre os anos de 2012 a
2015, sempre tive o cuidado de buscar alternativas de trabalho que pudessem
contribuir com a prática dos docentes, consequentemente com a melhoria da
aprendizagem em cada sala de aula sob nossa responsabilidade. Porém após
tabulados os dados coletados a partir dos resultados do Exame Nacional do Ensino
Médio- ENEM do ano de 2014, verificou-se que os mesmos revelaram os menores
níveis de desempenho educacional do estado, segundo o Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP, como referências as
27 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
médias: 417, 71 (2011), 431,97 (2012), 427,80 (2013) e 447,48 (2014), além de
colocação no último lugar no ranking das unidades URE`s, que por conseguinte possui
um dos menores desempenhos entre os estados brasileiros.
Ao acentuar a discussão sobre os indicadores, ressalta-se a média ENEM
complementada pelos simulados desenvolvidos pelo Programa de Avaliação em larga
escala do estado do Maranhão (Avalia Maranhão) da escola que serviu de amostra
para esta pesquisa, destacou seus últimos resultados, por meio do programa de
acompanhamento pedagógico da URESJP a partir do Quadro 1:
Quadro 1- Resumo de médias das avaliações externas da amostra
Ano Média ENEM
2011 462,27
2012 463,12
2013 453,63
2014 467,48
2015 451,89
2016 455,72*
2017 457,32*
Fonte: INEP2/URE*
Embora o Exame não reúna quantificadores e qualificadores suficientes
para uma análise mais completa sobre o aprendizado, vale ressaltar que o último
Índice de Educação Básica do Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino do
Maranhão foi de 3,1 abaixo da meta para o estado que era de 3,3 e, da média do
país (3,5) (Gráfico 1) com reprovação de 18% no ano de 2015, o que indica a
necessidade de mudança na educação na região. Tal fato preocupou a Secretaria
Estadual de Ensino e a Supervisão de Avaliação do estado, e não diferente, nos
encheu de questionamentos, ao mesmo tempo em que abre-se espaço para dar
suporte ao ensino nos ambientes escolares.
Segundo a plataforma QEdu (2018), o IDEB de 3,4 obtido pelo ensino
médio da Rede Estadual de Ensino no Maranhão cresceu em 2017, mas não atingiu
a meta e não alcançou os 6,0 pontos, ao ter como desafio proporcionar aprendizado
adequado aos alunos da rede.
2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (2016).
28 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Gráfico 1- Evolução do IDEB – Maranhão
Fonte: qedu.org.br/Inep (2018)
Nesse sentido, torna-se necessária a busca pelo conhecimento de
métodos e atividades de ensino como um processo que toma forma no contexto
escolar e na rotina dos docentes pelo fato de não existir uma “fórmula mágica” que
garanta o sucesso do aprendizado. É consensual, porém desafiador, o
reconhecimento da necessidade de perspicácia de cada docente tentar encontrar
caminhos para melhorar sua prática, assim os próprios PCN (1997), sugerem a
utilização de recursos para se “fazer Matemática” na sala de aula, a citar: recurso
à resolução de problemas, recurso à história da Matemática, recurso aos jogos e
recurso às tecnologias da educação.
De acordo com nossa experiência docente, observações empíricas,
leituras e reflexões realizadas ao longo do curso de Mestrado Profissional em
Ensino de Matemática na Universidade do Estado do Pará, percebemos uma
lacuna a respeito de pesquisas referentes ao ensino de Pirâmides, situação essa
que nos estimulou a pesquisar sobre o assunto.
Pensamos que problemas que envolvem a relação de elementos, cálculo
de áreas, cálculo de volumes e resolução de problemas com Pirâmides, constituem
um obstáculo cognitivo ao aluno, e que os aplicativos construídos no App Inventor
II podem contribuir como opção para diminuir a “precariedade metodológica” do
ensino destes assuntos, além de dar um novo sentido à existência dos laboratórios
de informática nas escolas, ademais, acreditamos que o uso de um recurso
diferente do lápis, papel e borracha, pode permitir ao professor observar, por meio
da ação dos alunos, como e o que entendem de determinado conteúdo.
29 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nesse contexto, buscamos em nossa pesquisa responder as seguintes
questões:
• De que maneira os estudantes aprendem sobre Pirâmides a partir da
construção de aplicativos para tecnologias móveis no App Inventor II?
• Os alunos avançam nos conhecimentos a cerca de Pirâmides a partir de uma
sequência didática desenvolvida com o uso do App Inventor II?
Assim, empreendemos esse estudo, cujo objetivo foi observar como os
alunos do 3º ano do ensino médio desenvolvem potencialidades a partir de uma
sequência didática com o uso e construção de aplicativos para smartphones,
quando estudam Pirâmides.
Para o bom desenvolvimento da pesquisa e consignação de parâmetros
a partir do objetivo geral, estabelece-se especificamente:
• Elaborar um curso de nivelamento no App Inventor II para que os alunos
conheçam ferramentas e recursos da plataforma, necessários para realizar a
construção dos aplicativos.
• Identificar que ações os estudantes mobilizam na construção dos aplicativos e
por consequência aprendem sobre Pirâmides.
• Observar como esse ambiente de construção de aplicativos pode contribuir
para a aprendizagem de Pirâmides.
Escolhemos como metodologia de pesquisa os pressupostos da
Engenharia Didática de Artigue (1988) por meio das etapas (Diagrama 1): Análise
prévias; Concepção e Análise a priori; Experimentação e análise a posteriori; e;
Validação. Considera-se que essa última permite confirmar ou não as hipóteses a
partir do confronto entre as análises a priori e a posteriori.
Diagrama 1- Etapas da Engenharia Didática
Fonte: Autor (2018)
30 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Para responder à questão proposta, buscamos aporte teórico na
abordagem Instrumental de Rabardel (1995), por acreditarmos que uma análise
poderá ser feita à luz dessa teoria que observe as ações e noções matemáticas
mobilizadas pelos alunos na construção dos aplicativos e na resolução de
situações-problema.
Para a caracterização da amostra faremos uso de uma coleta de dados
a partir de questionário que aborda a relação do aluno com o objeto de pesquisa
quanto às suas dificuldades de ensino e relações de aprendizagem. Na etapa
experimental, oferecemos, inicialmente, um curso de 30 horas aos sujeitos da
pesquisa como forma de nivelamento para a criação dos aplicativos matemáticos,
utilizamos atividades, fichas de observação e gravação em áudio e vídeo.
Apesar da plataforma disponibilizar a construção de aplicativos em
dispositivos móveis como smartphones e tablets, para este estudo nos limitaremos
apenas à nomenclatura do primeiro, por razões que apontam que
aproximadamente 98% da população em estudo possui o smartphone e menos de
10% possui tablet, segundo o questionário aplicado nesta pesquisa.
A pesquisa está organizada em três capítulos, a qual o primeiro
apresenta análises preliminares, donde trataremos da produção de informações
essenciais ao estudo. Este mesmo aborda “aspectos históricos”, “aspectos
curriculares” e “aspectos matemáticos”. Em seguida, apresenta uma revisão
sistemática de estudos, desenvolvida a partir do tema nos últimos cinco anos de
trabalhos científicos realizados no país, seguida da caracterização da amostra a
partir de consulta a discentes e a relação do objeto de pesquisa com a utilização
de tecnologias.
No segundo capítulo, serão tratadas as concepções e análises a priori,
pois a partir das informações preliminares, obtivemos subsídios necessários para o
detalhamento desta etapa, a qual apresentaremos nossas escolhas a partir dos
objetivos e hipóteses para o desenvolvimento prático do estudo, à luz da teoria da
abordagem Instrumental de Rabardel (1995), detalhamento da ferramenta
computacional escolhida para propormos a Sequência Didática- SD, que nos deu
suporte para a elaboração das sessões de ensino, além da metodologia da
pesquisa com a Engenharia Didática.
31 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
No capítulo seguinte, denominada Experimentação e Análise,
detalharemos toda a proposta para as sessões de ensino desenvolvidas com
sujeitos e lócus da pesquisa. Discorreremos sobre os registros, anotações, áudios
e vídeos, produzidos durante os encontros com os alunos, tratadas a partir do
confronto das informações adquiridas nas análises a priori e a posteriori.
32 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
1. ESTUDOS PRELIMINARES
Este capítulo tem como objetivo, apresentar resultados de um estudo de
Pirâmides em seus aspectos históricos, curriculares e matemáticos, além de uma
revisão de estudos sobre trabalhos mais recentes que envolvam o tema. Segundo
Artigue et al (1995),
Em uma pesquisa de engenharia didática, a fase de concepção baseia-se não apenas em um arcabouço teórico didático geral e no conhecimento didático previamente adquirido no campo de estudo, mas também em um certo número de análises preliminares. Os mais frequentes são: A análise epistemológica dos conteúdos contemplados no ensino; A análise do ensino tradicional e seus efeitos; A análise das concepções dos alunos, das dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução; A análise do campo de restrições onde a efetiva realização didática será localizada;e ; é claro, tudo isso é feito levando em conta os objetivos específicos da investigação (ARTIGUE ET AL, 1995, p. 38).
Com isso, aprofundamos os fundamentos que balizaram os estudos e as
atividades utilizadas no nosso experimento, além de utilizar tais conteúdos para
elaborarmos nossas sessões de ensino.
Nos aspectos históricos, resgatamos fatos que serviram de base para
contextualizar questões propostas sobre o tema na SD. Os aspectos curriculares
trataram de identificar as habilidades e competências exigidas em avaliações externas
e também levadas em consideração nos objetivos das atividades propostas e os
aspectos matemáticos que deram suporte teórico e epistemológico ao objeto da
pesquisa. Buscamos também apontar a contribuição de vários autores, que têm se
dedicado nos últimos anos a estudos e pesquisas sobre o ensino de Pirâmides e
Tecnologias.
Por fim, apresentamos os resultados de uma pesquisa de campo no qual
fora realizado consulta a alunos do 3º ano do ensino médio de escolas do MSM. O
objetivo do estudo de campo foi de caracterizar a amostra e identificar elementos que
nos permita compreender de que maneira as Pirâmides são consideradas no contexto
educacional. Verificamos também a relação dos estudantes com o uso de tecnologias
móveis com destaque para os smartphones, como estratégia didática nas escolas
envolvidas no estudo.
33 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Assim, toda a fundamentação teórica apresentada neste tópico teve um
papel importante para o planejamento, desenvolvimento e análise do estudo proposto
para este trabalho.
1.1 Estudos sobre Pirâmides
Nesta subseção, apresentaremos o resultado de leituras referentes aos
aspectos históricos, curriculares e matemáticos por compreendermos que sejam de
grande relevância para a construção da Sequência Didática.
1.1.1 Aspectos Históricos
Os aspectos históricos contribuem para a compreensão do ensino de
Pirâmides como uma construção da humanidade que emerge no currículo de maneira
interdisciplinar, uma vez que os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)
destacam a importância da História da Matemática como um dos caminhos para “fazer
Matemática” na sala de aula.
Neste trabalho, a contextualização histórica é relevante no que tange à
compreensão de problemas ligados a fenômenos apresentados em questões
propostas por professores nas atividades em classe, bem como na resolução de
questões de avaliações externas, além do que consideramos a História da Matemática
como elemento de aproximação do conteúdo matemático ao “lado subjetivo” do ser
humano e da valorização pessoal de personagens e fatos que contribuíram para o
desenvolvimento do conhecimento disposto nas fontes de registro de conhecimento
ao longo dos séculos.
Acreditamos que vale a pena investir nesses aspectos históricos como
estratégia para contextualização de fatos que venham elucidar os motivos pelas quais
se apresentam problemas do passado da humanidade que persistem até hoje, ou que
sofreram algum tipo de mudança ao longo dos anos.
Para Chaquiam (2017),
[...] a história da matemática, combinada com outros recursos didáticos e metodológicos, pode contribuir para a melhoria do ensino e da aprendizagem da Matemática, emerge como uma possibilidade de buscar uma nova forma de ver e entender a Matemática, tornando-a mais contextualizada, mais
34 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
integrada com outras disciplinas, mais agradável, mais criativa e mais humanizada. (CHAQUIAM, 2017, p.14)
Historicamente, o surgimento do termo Pirâmide, bem como sua
importância e influência histórico-social reforça a compreensão mais ampla da
trajetória dos conceitos e métodos da Matemática sem necessariamente se tornar um
tema ou assunto específico, mas de forma a integrá-la com a pluralidade cultural, pois
apresenta, assim, as Pirâmides como elemento matemático proveniente de diferentes
origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (religião, arquitetura)
e por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por
problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática.
Segundo a Enciclopédia Barsa Planeta (2012), o termo Pirâmide tem
origem do grego pyramis, que significa túmulo, acervo ou montão de objetos que se
assentam sobre uma base larga e terminam em ponta. Da Geometria, significa
poliedro, cuja base é um polígono qualquer e suas faces laterais são triângulos com
um vértice comum. Na arquitetura, história e arqueologia, a Pirâmide é conhecida
como uma estrutura apontada que geralmente apresenta-se na base quadrangular,
com superfícies lisas ou em degraus feitas de pedras ou tijolos, com função funerária
(Egito) ou religiosa (Pré-colombianas).
Não apenas nos fatores citados acima, as Pirâmides se encontram nos
contextos mais variados do dia-a-dia, em que seu introito, segundo o historiador grego
Heródoto (484- 425 a.C.) tem início no Egito antigo, de maneira que a cultura popular
teve um importante papel, tanto nas construções, com as fantasiosas especulações
de que foram construídas por visitantes do espaço, a partir da utilização de raios
antigravidade (MACGILVRAY in FAZIO, 2011, p. 42 ). Nessa perspectiva, têm-se
utilizado do termo “Pirâmide” em diversos contextos: nas tumbas para os faraós, nos
conhecimentos interdisciplinares, como a Pirâmide alimentar e financeira, na
Geometria molecular com a Pirâmide trigonal, nas fundações de prédios, na
engenharia e na arquitetura com o museu do Louvre, dentre outras.
A arquitetura é uma das áreas que possui contextualização mais rica em
detalhes sobre Pirâmides. Segundo MacGilvray in Fazio et al (2011), os primeiros
registros da construção de uma Pirâmide e também a primeira construção
monumental em pedra do Egito atribui-se a Imhotep, arquiteto da Terceira Dinastia
Egípcia, que projetou para o faraó Djoser (2.630 - 2.611 a.C.) um complexo funerário
em Saqqara, no subúrbio de Mênfis. A planta baixa do complexo possui a forma de
35 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
um retângulo de 14 hectares, em que a Pirâmide escalonada de Djoser possui base
de 121x109 metros e seu exterior revestido em arenito, construído com estrutura para
durar a “eternidade”. A Figura 2 retrata um pouco a estrutura e construção da
edificação piramidal de Djoser:
Figura 2- Estrutura arquitetônica da Pirâmide de Djoser
Fonte: MACGILVRAY In FAZIO et al (2011, p. 43)
A estrutura disposta no complexo de Djoser, era o emblema do deus-sol
adorado em Heliópolis, com significados próprios, possui “inicialmente uma forma
escalonada e verticalizada como o zigurate3, cujo pico recebia os primeiros raios de
luz da manhã” (MACGILVRAY In FAZIO et al, 2011, p. 43). Acrescenta-se a tais
informações que a forma da Pirâmide de Djoser também faz referência ao ciclo do
renascimento anual da natureza, uma vez que quando as águas dos rios baixavam,
as primeiras vegetações apareciam em pequenos outeiros, capaz de lembrar a forma
do templo.
3 É uma forma de templo, criada pelos sumérios e comum para os babilônios e assírios, pertinente à época do antigo vale da Mesopotâmia e construído na forma de Pirâmides terraplanadas. (https://pt.wikipedia.org/wiki/Zigurate)
36 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Após o complexo de Saqqara, outras Pirâmides foram construídas e
modificadas por Sneferu (2.575 – 2.551 a.C.), um dos primeiros faraós da Quarta
Dinastia. Segundo MacGilvray In Fazio et al (2011), a Pirâmide de Huni (último faraó
da terceira dinastia), localizada em Meidum a cerca de 80 km de Mênfis, fora
modificada por Sneferu com acréscimo de camadas- uma técnica de arquitetura da
época- e tinha previsão de possuir 92m de altura caso tivesse sido concluída, pois,
teve algumas de suas partes superiores danificadas e sofreu rupturas, o que mais
tarde lhe rendeu o apelido de Pirâmide “cebola”.
O colapso de Meidum, afetou outra Pirâmide de Sneferu, localizada em
Dahshur, 45 km ao sul de Mênfis, o que ocasionou modificações que mais tarde lhe
renderia o apelido de Pirâmide “torta”. Nesse contexto, outro templo veio a ser
construído com 104,8 m acima do solo e base quadrada de 220m de lado que ficou
conhecida pelo nome de Pirâmide Norte ou “vermelha”, devido a oxidação do calcário
branco usado em seu núcleo.
Três dessas grandes construções marcaram a História, pelo seu valor
simbólico, importância arqueológica e Matemática. Os descendentes de Sneferu:
Khufu, Khafre e Menkauré (ou Quéops, Quéfren e Miquerino, tradução para o grego),
herdaram o conhecido termo “Pirâmides de Gizé” (2.550- 2.460 a.C.) e o título de
faraós da Quarta Dinastia. De acordo com muitos historiadores, nenhuma sociedade
no mundo deu tanta importância para garantir a vida após a morte como o povo
egípcio. Sob esta óptica, os estudos e debates tem sido em torno de teorias que vão
desde padrões do corpo humano e previsões apocalípticas do fim do mundo até as
mais convencionais como as tumbas para os faraós, figuras mais ilustres da época.
As dimensões da Pirâmide de Quéops (Fig. 3) são as que chamam mais
atenção e despertam a maioria dos estudos. Com base quadrada de lado igual a
230,1m ocupa 52.600m2, laterais que se elevam a um ângulo de 51º 50` 40``, atinge
a altura de 146,6 metros e é quase toda construída em calcário, responsável pela
maioria dos estudos ao longo dos 4.500 anos de sua existência (Ibid., 2011).
Muitas inscrições em notações hieroglíficas foram encontradas em tumbas
e monumentos egípcios, que, segundo Boyer (1996), podiam ser lidos, mas, como se
tratavam de documentos cerimoniais não representam as melhores fontes de
informação quanto às ideias Matemáticas, porém deixam claro que os egípcios além
de dominar as técnicas de arquitetura, sabiam contar e medir precisamente, pois as
Pirâmides exibem alto grau de precisão na construção e orientação, demonstra
37 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
também que a astronomia era o ponto forte no conhecimento egípcio, principalmente
pelos conhecimentos sobre a inundação anual do rio Nilo que muito contribuíram para
a sistematização de conhecimentos adquiridos e conhecidos até hoje.
Figura 3- Pirâmide de Quéops (Khufu)
Fonte: www.lmc.ep.usp.br
Do ponto de vista da arquitetura mundial, os anos que se seguiram após as
Pirâmides de Gizé tiveram muitos avanços e transformações positivas de maneira que
o templo mortuário de Mentuhotep II no Reino Médio (2.040-1.640 a.C.); o templo da
Rainha-Faraó Hatshepsut (1.473- 1.458 a.C) no Novo Reino; os portões de Pilones
do templo de Eduf (237-57 a.C.), Pirâmide do Mausoleum de Qui Shihuang (246-208
a.C.) na província de Shaanxi na China, Pirâmide do Céstio (18-12 a.C) localizada em
Roma, Pirâmide do Sol (II d.C) em Teotihuacan- México, Pirâmide de El Catillo (XII
d.C) em Yucatán-México, tiveram características que marcaram a arquitetura mundial
e influenciam até os dias atuais.
Muitos estudos se acentuaram acerca dos aspectos arquitetônicos,
artísticos e históricos, aqui direcionados para a arquitetura, sem ter como objetivo
principal esta área de conhecimento, mas em buscar uma contextualização e
aplicação em outras áreas afins à Matemática e nas questões aplicadas ao Ensino do
sólido. Como exemplo desta influência, obras mais recentes podem ser citadas:
Transamérica Pyramid em San Francisco (1972), a Pirâmide de Karlshure em
Karlshure na Alemanha (1825), o Museu do Louvre em Paris (1989), Figura 4, a
38 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Pyramid Arena em Memphis (Tennessee- EUA, 1991), o Luxor Hotel em Las Vegas
(1993), e Hotel Ryugyong, de 105 andares em Pyongyang- Coreia do Norte (2011).
Figura 4- Museu do Louvre (1989)
Fonte: www.veja.com.br
No recorte histórico apresentado, expõe-se o quão relacionado com o
cotidiano o objeto desta pesquisa é e foi ao longo dos séculos. Nesse contexto, as
Pirâmides oferecem a possibilidade de estudo dos fatores históricos, abre-se espaço
para o estudo da sua forma como um modelo matemático.
Conhecer um pouco da história das Pirâmides oportuniza aprender
caminhos lógicos para a construção do pensamento crítico e perceber as suas
influências para o mundo moderno. Uma abordagem que envolva a História da
Matemática contribui como suporte na elaboração de questões associadas ao tema,
contribui para a redução das possibilidades de uma aula tornar-se meramente
expositiva e unidirecional, no qual o momento de aprendizagem possua conexão mais
próxima com a realidade, o que permitiu o desenvolvimento de habilidades que
permitam análises mais abrangentes sobre o conteúdo estudado a partir de diálogos,
debates, pesquisas bibliográficas, além do que há importância no potencial
explicativo, que permite ao aluno conhecer e desenvolver sentidos estéticos e éticos
em relação a fatos e questões do mundo.
Segundo os PCN+,
A abordagem tradicional, que se restringe à métrica do cálculo de áreas e volumes de alguns sólidos, não é suficiente para explicar a estrutura de moléculas e cristais em forma de cubos e outros sólidos, nem tampouco justifica a predominância de paralelepípedos e retângulos nas construções arquitetônicas ou a predileção dos artistas pelas linhas paralelas e perpendiculares nas pinturas e esculturas. Ensinar Geometria no ensino médio deve possibilitar que essas questões aflorem e possam ser discutidas e analisadas pelos alunos. (PCN+, 2002, p.119)
39 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Aprender Geometria não implica especificamente efetuar cálculos sobre
medidas, áreas e volumes, mas envolve um discussão densa e reflexiva capaz de
envolver elementos de naturezas diversas como a história, a aplicação e a
contextualização com a natureza.
Optamos por dedicar uma seção deste trabalho à História das Pirâmides
por acreditar que na abordagem de um conteúdo matemático a partir de
contextualização histórica pode dar sentido mais amplo, social e cultural à
necessidade de se resolver problemas e aguçar os aspectos atitudinais e
motivacionais do estudante, além de tornar a aula mais dinâmica e interessante do
ponto de vista crítico, assim, várias questões da SD proposta por esse trabalho
seguirão a linha da contextualização via fatores históricos da Pirâmides em
consonância com as questões propostas no ENEM.
1.1.2 Aspectos Curriculares
Nos documentos oficiais, o ensino de Pirâmides na educação básica
escolar no Brasil, está inserida no eixo espaço e forma (Geometria), organização esta
que se consolidou após várias reformas curriculares. Ao partir do pressuposto de que
passagens históricas contribuíram essencialmente para a compreensão do papel da
escola sobre a nossa sociedade e que, com o fim da ditadura militar em 1985, vários
documentos oficiais foram discutidos, elaborados e implementados ao longo dos anos.
No bojo das literaturas prescritas, surge a necessidade de planejar e avaliar
o ensino e as políticas públicas voltadas para a educação. Mesmo que o interesse
pela avaliação sistêmica, na organização do setor nacional já se manifestasse nos
anos 30, foi a partir dos anos 90 que consolidou-se o Sistema Nacional de Avaliação
de Educação Básica- SAEB, o qual desencadeou muitas outras ações capazes de
instituir metas e acompanhamento de escolas e redes de ensino, destas podemos
citar abaixo:
• Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (SAEB) em
1990- Após a Conferência Mundial de Educação (1990) vários
estados e município brasileiros tiveram a iniciativa de implantar
avaliações próprias, no entanto, após o SAEP (Sistema de
Avaliação das Escolas Públicas), consolidou-se o SAEB que realiza
avaliações a cada 2 anos.
40 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
• O Exame Nacional do Ensino Médio -ENEM (1998) tornou-se
parte do sistema nacional de avaliação educacional composto
também pelo SAEB e ENADE, proporciona parâmetros de
qualidade para políticas públicas nacionais. Considera
competências e habilidades como parâmetros avaliativos.
• A Prova Brasil (2005) - Instituída a partir de competências e
habilidades para o ensino fundamental, ficou conhecida pelo termo
por sua abrangência universal em atendimento às 4ª e 8ª séries (5º
e 9º ano), e servir como parâmetro para o cálculo do IDEB (Com a
criação do PDE) por sala de aula, escola, municípios e estado. Tal
sistemática foi consolidada após as redefinições de competências
do INEP para atender ao artigo 9º, inciso V da LDB em 1997:
“coletar, analisar e disseminar informações sobre a educação”
(BRASIL, 1996).
Antes da reforma de Francisco Campos, a Geometria era concebida
especificamente como uma disciplina, ou seja, os conhecimentos geométricos fizeram
parte do currículo brasileiro desde as organizações curriculares iniciais, mais tarde
realocados na disciplina Matemática. Com a última LDB (1996), a Matemática tornou-
se disciplina obrigatória e o currículo foi tratado em linhas gerais, já nas orientações
curriculares para o ensino médio, a disciplina é subdividida em eixos a partir de
conteúdos básicos assim organizados: números e operações; funções; Geometria;
Análise de dados e probabilidade, observa-se, que embora estejam subdivididos em
blocos de conteúdo, orienta-se que não sejam trabalhados de forma estanque.
Segundo as DCNEM,
o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber
usar diferentes unidades de medida. (BRASIL, 1997, p. 77)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 1997),
apresentaram uma proposta no que se refere a competências indicadas para a Base
Nacional Curricular Comum prevista na LDB (1996), descreve inclusive habilidades
básicas para o ensino e aprendizagem de Matemática do ensino médio e das
41 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
tecnologias, a ela relacionada (BRASIL, 1997). Por outro lado, propõe uma leitura
generalista sobre Geometria, pauta-se na compreensão e ampliação da percepção de
espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras
áreas do conhecimento.
Atenta para as relações entre as representações planas nos desenhos,
mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, orienta o
desenvolvimento de novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir
dessas representações, essenciais para a leitura do mundo mediante os olhos das
outras ciências. O documento, enfatiza ainda a possibilidade de fazer-se uso de
programas de softwares de Geometria Dinâmica como facilitadores da aprendizagem
em construções, calculadoras, modelações e relações geométricas possibilita o
desenvolvimento de atividades interdisciplinares.
Sem pretensão normativa e com objetivo de facilitar a organização do
ensino no âmbito escolar, os PCN + (BRASIL, 2002) surgem como orientações
educacionais complementares aos PCN, apresenta a Matemática em conjunto com
as ciências na natureza, além das competências gerais, temas estruturadores,
organização do trabalho escolar e estratégias para a ação frente ao ensino de
Matemática. No documento, a articulação com as demais disciplinas é um ponto de
extrema relevância, apresenta, assim como competência frente à investigação e
compreensão como estratégias para o enfrentamento de situações problemas,
especificamente à Geometria:
Compreender a Matemática como ciência autônoma que investiga relações, formas e eventos e desenvolve maneiras próprias de descrever e interpretar o mundo. A forma lógica dedutiva que a Geometria utiliza para interpretar as formas geométricas e deduzir propriedades dessas formas é um exemplo de como a Matemática lê e interpreta o mundo à nossa volta. (PCN+, 2002, p.114)
Geometria e medidas são temas que possibilitam o desenvolvimento de
competências pretendidas com relevância científica, cultural e articulação lógica. O
fato de estar presente em formas naturais e construídas, faz da Geometria um tema
de extrema relevância e possibilidades de abordagens de ensino. No ensino médio,
abordar formas planas e tridimensionais, sua representação em desenhos,
planificações, modelos e objetos encontrados no mundo concreto, torna o cálculo de
áreas, volumes, propriedades estruturais e métricas apenas parte do trabalho a ser
42 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
desenvolvido no ensino. Os PCN +, afirmam que para desenvolver o raciocínio
geométrico de forma mais completa,
a escola deve contemplar o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos com diferentes características; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais; análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos de medida e construção. (BRASIL, 2002, p. 120)
A partir da afirmação acima, acredita-se que para o planejamento escolar
são tomados os devidos cuidados com o intuito de assegurar o ensino baseado em
tais características, considera o ato de “fazer contas” um mero executor do processo
de aprendizagem.
No Brasil, existem muitos olhares sobre o processo avaliativo no ensino de
Matemática, com propostas de mudanças de práticas avaliativas cada vez mais
reflexivas, que objetivam garantir a qualidade do ensino e da aprendizagem, contudo,
a prática dessas tendências precisam ser coesas e exequíveis de forma que possam
contribuir com processos avaliativos internos e externos à escola, o que não ocorre
segundo as estatísticas do ensino brasileiro, pois de acordo com dados do Sistema
de Avaliação da Educação Básica-SAEB disponíveis no site www.qedu.org , apontam
que em 2013, o índice dos alunos que aprenderam o básico em Matemática caiu para
11% no que tange a alunos do 9º ano, em seguida, recompondo-se para 14% em
2015 (LEEMAN, 2018).
O modelo de avaliação em larga escala do SAEB, as matrizes do ENEM, o
Projeto Político Pedagógico da escola, aliados à falta de qualificação docente em lidar
com as questões de ordem pedagógica, priorizam na maioria das vezes um ensino
meramente conteudista, sem considerar as particularidades discentes no tocante ao
domínio tecnológico, que faz parte da vida do aluno, o que gerou muitas divergências
e dúvidas na formação do jovem. Destaca-se ainda que desde o movimento da
Matemática Moderna, diversos estudos nacionais e internacionais apontam para a
resolução de problemas como foco principal para o desenvolvimento da
aprendizagem, uma vez que a problematização de situações aproxima o aluno de
situações reais do cotidiano.
Na prática, o que acorre com maior frequência é, segundo Pavanello e
Nogueira (2006), que a avaliação em Matemática na educação tem se centrado nos
43 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
conhecimentos específicos e na contagem de erros, torna-se uma avaliação
meramente somativa que não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e
atribui-os um agrupamento com parâmetro atribuído às notas por eles obtidos. Para
que exista um caráter mais subjetivo, entende-se que deverá existir uma avaliação
mais informativa, a qual a classificação por notas não seja o único parâmetro a ser
considerado, nem fator determinante a ser seguido como indicador da aprendizagem.
Segundo Dante (1999), a avaliação deve ser vista como um diagnóstico
contínuo e dinâmico e cita a observação e registro, provas, testes, trabalhos,
entrevistas e conversas informais, autoavaliação e fichas avaliativas como
instrumentos avaliativos, acrescenta que os mesmos não podem ser utilizados como
sanção, punição ou apenas para ajuizar valores.
Buriasco (2004, apud Pavanello e Nogueira 2006) lembra que mesmo que
a avaliação seja feita de forma tradicional, baseada na resolução de exercícios, é
possível ir para além da resposta final, considera características apresentadas pelo
aluno que as responde como: capacidade de comunicação, o modo como interpretou,
suas atitudes frente aos questionamentos, e o conhecimento matemático absolvido
na aula. Dessa forma, o professor potencializará a sua análise.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) recomendam que o
ensino de Matemática deve priorizar o ensino por competências e habilidades voltadas
para comunicação, investigação, formulação e resolução de problemas, tomadas de
decisões, interpretação da própria realidade, aperfeiçoamento de conhecimentos e
valores e a trabalhar cooperativamente, de forma contextualizada, na prática, tais
metodologias não são utilizadas.
De acordo com as devolutivas pedagógicas das avaliações de larga escala
do Ministério da Educação, que dispõe da fundamentação teórica e metodológica,
afirma que, segundo Perrenoud (2013, apud BRASIL, 2015),
o processo educativo esteve durante muito tempo conectado a modelos que preconizam o conhecimento como algo que os detentores doam aos não detentores, fazendo do professor um mero doador de informações pré-definidas a seus alunos. A abordagem da pedagogia por competências surgiu no final do século XX como alternativa para tentar resolver esse problema. O cerne dessa abordagem reside na mudança da relação da escola com o saber, rompendo a lógica extensiva, enciclopedista e inerte da relação com o saber em favor de uma lógica integradora, mobilizadora e atuante da relação
dos cidadãos com esse mesmo saber. (PERRENOUD 2013 apud BRASIL,
2015, p.5)
44 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Dessa forma, o estereótipo do “antigo” professor conteudista, detentor do
saber e protagonista do ensino passa a dar lugar ao professor orientador, mobilizador
do conhecimento e dá ao aluno o caráter de responsável pelo seu desenvolvimento.
A Organização para o Comércio e Desenvolvimento Econômico (OCDE) em 2003 por
Richen & Salganick (2003, apud BRASIL, 2015, p. 6), liderou estudos que definiu
competência como “a capacidade de colocar em ação um conjunto organizado de
saberes (conhecimentos), de saber fazer (habilidades) e de atitudes que permitam a
realização de certo número de tarefas complexas”.
No mesmo documento definiu habilidade como a ação de saber fazer algo
pontualmente de maneira mais específica, enquanto a competência é o saber fazer
algo complexo que demande do aluno o uso harmônico de várias habilidades. Assim,
o ENEM é organizado pelo INEP numa matriz que elenca descritores baseados em
habilidades e competências, e considera que cada competência é relevante para a
vida do estudante e associa-se a um grande número de tarefas que ele deve saber
realizar.
O documento cita alguns tipos de conhecimento, dos quais o geométrico
requer que o aluno identifique características das figuras geométricas planas e
espaciais; grandezas, reconheça unidades de medida e escalas; calcule
comprimentos, áreas e volumes; e utilize ângulos; posições de retas; simetrias de
figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de
Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo
agudo para resolver problemas.
Para a Matriz de elaboração das provas do ENEM, o ensino de Pirâmides
está ancorado na competência de área 2 que prevê a utilização do conhecimento
geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela,
destaca para tal competência as habilidades 6, 7, 8 e 9, assim descritas:
H6- interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço
tridimensional e sua representação no espaço bidimensional;
H7- Identificar características de figuras planas ou espaciais;
H8- Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de
espaço e forma; e;
H9- Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de
argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
45 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A resolução de problemas não deve ser entendida apenas como meio de
resolver questões voltada ao tradicional método repetitivo e algoritimizado, pois
segundo Polya (1995, p.15) para se resolver um problema, precisa-se compreendê-
lo, estabelecer um plano faz relação com as informações dadas e as que se pretende
descobrir, executar o plano e em seguida examinar a solução obtida, além de
considerar o nível de conhecimento geométrico do aluno.
Já o SAEB (BRASIL, 2008), aponta descritores que norteiam os itens das
provas aplicadas. Mais específico, o documento enquadra as Pirâmides nos tópicos:
D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um
problema que envolva figuras planas ou espaciais;
D3 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações
ou vistas;
D4 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de
poliedros expressa em um problema; e;
D13- Resolver problema que envolvam a área total e/ou o volume de um sólido
(prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera).
No ENEM, as provas de Matemática e suas Tecnologias são aplicadas no
segundo dia de exame, em quatro tipos de cadernos que se distinguem pelas cores:
amarela, azul, cinza e rosa. No entanto, as provas possuem as mesmas questões,
que se revezam apenas em aspectos de ordem numérica. O item abaixo, é a questão
170, que foi retirada do caderno 5 (prova amarela), página 27, do ano de 2009. Todos
os cadernos do exame encontram-se disponíveis no site do INEP, além de estudos,
pesquisas e avaliações periódicas sobre o sistema educacional brasileiro.
Figura 5: Questão ENEM (2009) - Pirâmide
Fonte: INEP (2009)
46 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A questão disposta na Figura 5 traz um item, presente nos moldes do
ENEM e expõe características de contextualização e dados implícitos que requerem
do estudante um olhar mais crítico sobre o problema. Ao aplica-la, pudemos identificar
a habilidade “H8” que espera que a resolução de uma situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de espaço e forma de uma maneira ampla e
contextualizada. Por outro lado, apresenta exatamente o que é pedido no descritor
“D13”, ao solicitar, de maneira implícita, que o estudante calcule o volume de uma
parte da “vela”.
Para a resolução do item, percebe-se que embora, o enunciado cite o termo
“tronco”, sua definição não é determinante para encontrar a resposta esperada, uma
vez que ao identificar os elementos dados (altura e arestas) e considerar as seções e
espaçamentos, basta calcular o volume da Pirâmide maior, o volume da Pirâmide
menor e subtrair os dois volumes, encontra, assim, o resultado esperado, que é de
189 cm3, portanto possui a letra “b” como resposta.
Aplicado o Item acima numa turma com 39 alunos de 3º do ensino médio
de uma escola pública da região do MSM, obteve-se os seguintes resultados:
Quadro 2: Resultados da aplicação de questão ENEM Percentual de respostas às alternativas
a b c d e
5,1% 20,5% 7,8% 23% 43,6%
Fonte: Autor (2018)
Os dados nos mostram que apenas 20,5% (8 alunos) responderam
corretamente o item (letra b). Com a alternativa “e” a mais marcada, motivo pelo qual,
acreditamos que os alunos a escolheram por calcularem a área da base e
multiplicaram pela altura, deveriam subtrair os centímetros dos espaços, ao deixar de
lado a subtração da Pirâmide menor.
Como vimos, o ensino de Matemática, especificamente da Geometria é
fruto de histórica discussão e mudanças curriculares, que perpassa por reformas até
chegarem a atual BNCC (2017), porém o ensino por competências com foco na
resolução de problemas é consenso na literatura atual e fruto de ampla dinâmica
histórica. Dessa forma, descritores, habilidades e competências devem ser levados
em consideração como base para o planejamento, execução e avaliação do ensino
de Matemática. Além dos desafios apontados desde o início desta pesquisa, o
47 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
docente deverá estar atento, ainda, a outras questões relativas ao ensino que citam o
letramento matemático, a evolução das práticas de ensino, a formação continuada de
professores, a colaboração dos diferentes atores no processo, a organização da
complementaridade entre educação formal e não formal, o desafio tecnológico, da
diversidade e da pesquisa, como implicadores que impactam sobre as questões da
aprendizagem, abrem espaço para o prosseguimento de pesquisas posteriores.
Para a BNCC, o ensino de Pirâmides não é tratado de forma específica, no
entanto, o ensino de Geometria é lembrado nas competências específicas de
Matemática e suas tecnologias para o ensino médio:
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística – para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente. (BRASIL, 2017a, p. 523)
A competência descrita acima é abrangente. No entanto, recortes mais
específicos são apresentados nas habilidades, o que garante alguns direitos de
aprendizagem dos alunos:
- (EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais, como ondas sonoras, ciclos menstruais, movimentos cíclicos, entre outros, e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e Geometria. - (EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos (cilindro e cone) em situações reais, como o cálculo do gasto de material para forrações ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados. - (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. (BRASIL, 2017, p.533)
A BNCC é o mais novo documento de referência curricular para a educação
básica no Brasil e encontra-se em fase de implementação, as quais as redes de ensino
terão dois anos para reorganizar seus currículos e literaturas. Dessa forma, livros
didáticos, Projetos Políticos Pedagógicos das Escolas e até grades curriculares
sofrerão mudanças, de forma a organizarem-se com as novas orientações.
A utilização de tecnologias digitais e a menção da utilização de softwares e
softwares dinâmicos são constantemente lembrados nos direitos de aprendizagem, o
48 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
no que sugere-se a utilização destes em experimentos e a possibilidades de
aprofundar a participação ativa dos estudantes no processo de resolução de
problemas. Dos PCN (BRASIL,1998) à BNCC (BRASIL, 2017b), torna-se um
consenso que o ensino de Pirâmides cabe ser trabalhado quando incluído o ensino
de Geometria, pois não verifica-se habilidade específica para o nosso objeto de
estudo. No entanto, o mesmo deve ser desenvolvido como parte do currículo, muito
embora haja a determinação de descritores por meio das prescrições curriculares
atuais, ressalta-se a aplicabilidade das Pirâmides em vários aspectos que não podem
ser avaliados por meio de questões objetivas, semelhantes aos das propostas nos
exames e avaliações externas, pois de acordo com Brasil,
as matrizes de Referência de Matemática, diferentemente do que se espera em um currículo, não trazem orientações ou sugestões de como trabalhar em sala de aula. Além disso, não mencionam certas habilidades e competências que, embora sejam importantes, não podem ser medidas por meio de uma prova escrita. Em outras palavras, as Matrizes de Referência de Matemática do SAEB e Prova Brasil não avaliam todos os conteúdos que devem ser trabalhados pela escola no decorrer dos períodos avaliados. Sob esse aspecto, parece também ser evidente que o desempenho dos alunos em uma prova com questões de múltipla escolha não fornece ao professor indicações de todas as habilidades e competências desenvolvidas nas aulas de matemática. (BRASIL, 2008, p. 77)
Nesse contexto, cabe a busca de alternativas que contribuam
metodologicamente para o ensino e para uma aprendizagem contínua capaz de
agregar conhecimento aos resultados de avaliações externas e ao mesmo tempo
aprendizagens necessárias para a formação de um cidadão crítico e participativo.
Compreendemos a importância dos aspectos históricos, matemáticos e
curriculares que envolvem o ensino de Pirâmides. No entanto, precisamos analisar os
estudos mais recentes acerca do tema, dessa forma, prosseguimos com as análises
preliminares, propondo a seguir, uma revisão de estudos sobre os aspectos
matemáticos.
1.1.3 Aspectos Matemáticos
O estudo de Pirâmides pouco tem sido objeto de pesquisas científicas e
não possui destaque no currículo brasileiro. No entanto, é abordado na maioria dos
livros didáticos de Matemática do ensino médio no eixo da Geometria, considerada a
49 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
algumas décadas no Brasil apenas como conteúdo racional, centrado em definições
e demonstrações, fato que dificulta a aprendizagem.
Sabe-se que a Geometria, segundo o dicionário Aurélio é
a ciência que investiga as formas e dimensões dos seres matemáticos ou ramo da matemática que estuda as formas plana e espacial com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras e dos sólidos (Ferreira, 1999, p. 983)
Atualmente, estudar Geometria vai além das definições, uma vez que
estudos norteiam a pesquisa sobre Geometria no Brasil (Sena e Dorneles, 2013),
valorizaram a contextualização (Reis e Nehring, 2017), a resolução de problemas
(Polya,1995), a experimentação por meio de materiais manipuláveis (Kallef, 2007), a
utilização de softwares (Salazar, 2009) e que tratam do estudo de Geometria Dinâmica
(Almeida, 2015), ao mesmo tempo em que a Geometria encontra-se presente nas
formas naturais e construídas, é essencial à descrição, à representação, à medida e
ao dimensionamento de uma infinidade de objetos e espaços na vida diária e nos
sistemas produtivos e de serviços, seja ela plana, espacial, métrica ou analítica
(PCN+, 2002).
A Geometria é parte fundamental da matemática para o âmbito teórico,
curricular e do cotidiano. Segundo PCN (2002) o ensino de Geometria não se trata de
focar prioritariamente demonstrações ou memorização de postulados, mas de
proporcionar a validação de relações matemática a partir de deduções lógicas, além
de permitir ao aluno fazer relações dentro e fora da matemática, de maneira que os
temas devem garantir articulações entre diferentes ideias e conceitos a fim de garantir
significação para sua aprendizagem.
Por outro lado, ao delimitar o tema para o Ensino de Pirâmides, requer-se
a consideração de características importantes que contribuam na comunicação
adequada de definições e termos próprios para posteriormente fazer uso adequado
de propriedades, relações matemáticas, cálculo de áreas e volumes.
1.1.3.1 Elementos e Definições.
Frequentemente utiliza-se o senso comum para exemplificar e conceituar
Pirâmides no dia-a-dia, ao atribuir sua forma majoritariamente à ideia das históricas
50 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Pirâmides do Egito (base quadrangular). No entanto, para efeito matemático, torna-se
importante defini-las com maior precisão. Segundo Euclides (2009), do livro XI de “Os
elementos”, considera-se que Pirâmide é um sólido que tem comprimento, largura e
profundidade que possui uma superfície em sua extremidade. Tal definição evidencia
a necessidade de considerarmos a figura como sólida/maciça contida por superfícies
planas, ou sólida construída a partir de um plano até um ponto, de forma que limite
capacidade e volume, e, consequentemente uma superfície, no exemplo abaixo,
segue uma Pirâmide de base triangular (Fig.6).
Figura 6- Pirâmide definida por planos
Fonte: Autor (2018)
A identificação dos elementos contidos na figura é de suma importância
para comunicação matemática a definição do objeto de pesquisa e na resolução de
problemas, assim podemos destacar os elementos matemáticos da Pirâmide disposta
na figura acima:
• Vértices (V): A, B, C, P.
• Arestas da base (Ab): AB, BC, CA.
• Arestas laterais (AL): AP, BP, CP.
• Base (B): ∆ABC.
• Faces laterais (FL): ∆APB, ∆BPC, ∆CPA.
• Planos (PL): α, β, λ e θ.
A não compreensão da definição de Pirâmides poderá gerar obstáculos
cognitivos ao aluno ao ocasionar déficit de habilidades de reconhecimento de
elementos fundamentais para possíveis aplicações no processo de resolução de
problemas, ou seja, questões relativas à formação de conceitos e ao desenvolvimento
de habilidades geométricas.
51 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nesse contexto, propomos algumas reflexões sobre um dos itens do ENEM
2012:
João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever
um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção
desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre
em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de
M a C. O desenho que Bruno deve fazer é:
52 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A habilidade que se pretende avaliar segundo as matrizes do ENEM é a
H6- interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço
tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. Para que o item acima
possua uma solução dentro das alternativas disponibilizadas precisa-se que a base
da Pirâmide em questão seja quadrada. Daí tem-se como resposta o trajeto descrito
na alternativa “c”, bastando para isso, que se observe a imagem planificada. Por outro
lado, vale ressaltar a importância do estudante saber que existem Pirâmides que
podem apresentar diversos tipos de bases. Dessa forma, quando considera-las como
um sólido cuja base é um polígono qualquer e suas faces laterais são triângulos com
um vértice comum, cabe lembrar ainda que as bases poligonais poderão apresentar-
se na forma côncava, e ainda assim continuam a representar uma Pirâmide:
Figura 7- Pirâmides de bases diversas
(a) Pirâmide de base côncava quadrangular
(b) Pirâmide de base côncava pentagonal
(c) Pirâmide de base côncava octogonal
(d) Pirâmide de base convexa quadrangular
(e) Pirâmide de base convexa pentagonal
(f) Pirâmide de base convexa octogonal
Fonte: Autor (2018)
As Pirâmides a, b e c da Figura 7 possuem bases côncavas, enquanto as
Pirâmides d, e e f possuem bases convexas.
53 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O tipo de base de cada sólido deverá ficar evidente como um elemento
determinante para a identificação de propriedades pertinentes a cada sólido, fato que
aponta para a necessidade de uma atividade que oportunize ao estudante identificar
cada uma das propriedades que envolva a sua representação e nomenclatura.
Dolce e Pompeo (1985, 2005) consideram que a Pirâmide poderá ser
limitada ou ilimitada. Esta última atribui a reunião das semirretas de origem em P e
passam pelos pontos da região poligonal (côncavo ou convexo) delimitado por A1 A2...
An, de n lados e um ponto P fora do seu plano.
Figura 8- Pirâmide ilimitada
Fonte: DOLCE; POMPEO, v. 10, p. 185 (2005)
Uma Pirâmide ilimitada convexa possui: n arestas, n diedros e n faces (que
são ângulos ou setores angulares planos). Podendo ainda ser seccionada.
• Secção:
É uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada
aresta, ou seja, polígono resultante de um corte.
• Superfície:
É a reunião das faces dessa Pirâmide. É uma superfície poliédrica convexa
ilimitada.
A Pirâmide limitada são aquelas que consideram um polígono convexo A1,
A2, A3,..., An, contido em um plano α e um ponto P, não pertencente a α, uma vez que
todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao polígono e o
outro extremo P. Conclui-se que a reunião de todos esses segmentos de reta é um
poliedro chamado Pirâmide convexa limitada ou, simplesmente, Pirâmide (Paiva,
2009). Nesse sentido, ocorre o entendimento de que para ser uma Pirâmide, não deve
54 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
necessariamente existir o preenchimento da mesma como sólida ou maciça, por outro
lado já há o cuidado com a superfície que a envolva, necessariamente, que questões
como essas sejam discutidas com os estudantes. Neste trabalho, optamos por
abordar apenas as Pirâmides limitadas como Sólido Geométrico.
Descrevemos abaixo uma Pirâmide limitada pela secção que definiu sua
base a partir dos pontos A1, A2, A3, An-1, An.
Figura 9- Pirâmide limitada
Fonte: Autor (2018)
A partir da imagem da Figura 9, ficam evidentes os seguintes elementos:
• O ponto P é chamado de vértice da Pirâmide;
• O polígono A1, A2, A3,..., An é chamado de base da Pirâmide, sendo A1,
A2, A3,... e An, os vértices da base;
• Os segmentos de reta 𝐴1𝐴2 , 𝐴2𝐴3
, ... , 𝐴𝑛−1𝐴𝑛 , da base são chamados
arestas da base.
• Os segmentos de reta 𝐴1𝑃 , 𝐴2𝑃 , 𝐴3𝑃 , 𝐴𝑛−1𝑃 , 𝐴𝑛𝑃 , são chamados
arestas laterais.
• Os triângulos ∆A1PA2, ∆A2PA3,...,∆An-1PAn, são chamadas faces
laterais;
• A distância entre o vértice P e o plano da base é chamado de altura da
Pirâmide.
• A reunião das faces laterais da Pirâmide é chamada de Superfície
Lateral. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por
Sl.
55 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
• A reunião da superfície lateral com a superfície da base da Pirâmide
chamamos Superfície Total. A área desta superfície é chamada área
total e é indicada por St.
Assim, uma Pirâmide possui 1 base, n faces laterais (triangulares), n+1
faces, n arestas laterais, 2n arestas, 2n diedros, n+1 vértices, n+1 ângulos poliédricos
e n triedros (Dolce e Pompeo, 2005).
1.1.3.2 Classificação das Pirâmides
Nomenclatura de acordo com a base
Uma Pirâmide será denominada triangular, quadrangular, pentagonal, etc.,
conforme a base for respectivamente um triângulo, quadrado, pentágono, e assim por
diante.
Quadro 3- Classificação nominal das Pirâmides de acordo com a base
Polígono da base Pirâmide
Triângulo Triangular
Quadrilátero Quadrangular
Pentágono Pentagonal
Hexágono Hexagonal Fonte: Autor (2018)
A Figura 10 ilustra essa classificação:
Figura 10- Classificação de uma Pirâmide de acordo com a base poligonal
Pirâmide triangular
(a base é um triângulo) Pirâmide quadrangular
(a base é um quadrilátero) Pirâmide pentagonal
(a base é um pentágono) Pirâmide hexagonal
(a base é um hexágono)
Fonte: Autor (2008)
56 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
1.1.3.3 Secção transversal de uma Pirâmide
Segundo Dolce e Pompeo (2005) é qualquer intersecção não vazia e não
unitária da Pirâmide com um plano paralelo à sua base (Fig.11).
Figura 11- Secção transversal da Pirâmide
Fonte: Autor (2018)
Toda secção transversal da Pirâmide é um polígono semelhante à sua
base.
1.1.3.4 Pirâmide Regular
Além de suas bases, uma Pirâmide poderá ser também classificada em
reta ou oblíqua (Fig. 12). Pirâmide reta é aquela cuja projeção ortogonal do vértice
sobre o plano da base é o centro da base. Caso a base seja um polígono inscritível,
isto é, admita uma circunferência circunscrita com centro, a partir do mesmo incentro4
do polígono, em geral é adotado como o centro da base. Na Pirâmide oblíqua isso não
ocorre.
Figura 12- Classificação das Pirâmides quanto a inclinação
Pirâmide reta Pirâmide oblíqua
Fonte: Autor (2018)
4 Ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo.
57 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
De acordo com Dante (2009, p.443) “uma Pirâmide é denominada regular
se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal de seu
vértice sobre o plano da base é o centro dessa base”. O centro de um polígono regular
é o centro da circunferência inscrita ou circunscrita nesse polígono, ou seja, é uma
Pirâmide reta que tem como base um polígono regular e ser necessariamente reta.
A Pirâmide regular da Figura 13 é denominada tetraedro. Uma Pirâmide
regular apresenta as seguintes características:
• As Arestas laterais 𝐴𝑉 , 𝐵𝑉 , 𝐶𝑉 são congruentes e as faces laterais são
triângulos isósceles congruentes (no caso do tetraedro, as faces são triângulos
equiláteros).
• A base é inscritível a uma circunferência e estabelecem relações notáveis com
esta.
• O apótema da Pirâmide regular, denotado por g (𝑀𝑉), é a altura da face lateral
relativa à aresta da base.
• O apótema da base, indicado por a (𝑀𝑂 ), é a distância do centro da base à
aresta da base.
O tetraedro é uma Pirâmide triangular. Possui as seis arestas congruentes
entre si, quando este for na forma regular.
Figura 13- Pirâmide triangular regular- tetraedro
Fonte: Autor (2018)
Uma abordagem pouco comum em questões de avaliações externas são
as que relacionam as bases das Pirâmides com outros elementos: raios, diâmetros,
apótemas e lados da base, no entanto, não são incomuns de encontrar no cotidiano
situações que exigem uma percepção acerca de tais relações.
58 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Destacamos um item da prova de 2015 do ENEM:
O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por
outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de
um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30
cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já
padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O
proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que
seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7
como aproximação para √3. O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em
centímetros, é igual a:
Embora a Pirâmide não seja o sólido citado, na questão, o ponto de partida
para se chegar à solução seria o mesmo, uma vez que o respondente precisa ter
noção das relações entre elementos, em que uma possível solução seria:
Considerando o raio do tampo como rt e o raio do
círculo r circunscrito ao triângulo equilátero de lado l =
30 cm. De acordo com o enunciado, rt > r.
Assim rt > 𝒍√𝟑
𝟐 → rt >
𝟑𝟎.𝟏,𝟕
𝟐 → rt > 17
Entre os cortes já padronizados, o tampo de menor
diâmetro tem raio 18 cm, assim disposta na alternativa
“a”.
Fonte: www.objetivo.com
No item acima, o objetivo seria encontrar a medida do raio, no entanto, a
habilidade esperada de acordo com as matrizes do ENEM é a H7- identificar
características de figuras planas ou espaciais. Torna-se necessário que o discente
saiba como identificar e relacionar elementos como raio, apótema e lado em busca de
59 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
caminhos possíveis para chegar ao resultado corretamente, além de serem possíveis
caminhos para o cálculo de áreas e volumes (quando considerada toda a Pirâmide).
1.1.3.5 Relações notáveis entre os elementos da base de uma Pirâmide regular
e elementos da circunferência inscrita ou circunscrita
Compreender as relações existentes entre lados da base, raio da
circunferência circunscrita, arestas laterais, alturas da base e da Pirâmide é um dos
principais obstáculos enfrentados por alunos e professores. Destacaremos a seguir
algumas relações notáveis entre a Pirâmide regular, sua base e uma circunferência
que circunscreva esta base. Aqui, daremos destaque às Pirâmides regulares de base
triangular, quadrada e hexagonal.
Relações entre elementos da Pirâmide de base triangular
Considere a base da Pirâmide, representada pelo triângulo equilátero ∆ABC;
a (𝑀𝑂 ) a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); h (𝑀𝐶) a medida da
altura da base; r (𝑂𝐴 ) o raio da circunferência circunscrita; S a superfície do triângulo
∆ABC; g (𝑀𝑉) o apótema da Pirâmide; e; H (𝑂𝑉 ) a medida da altura da Pirâmide.
Figura 14 – Relações notáveis na Pirâmide triangular regular
Fonte: Autor (2018)
Relação: a partir do triângulo ABC, da figura 14, obtemos a relação entre
o apótema a da base da Pirâmide em função do lado 𝑙.
60 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Demonstração: Seja a o apótema e 𝑙 o lado do triângulo equilátero ABC
definido como base. A medida de a e 𝑙
2 são congruentes às medidas dos dois catetos,
𝑂𝑀 e 𝑀𝐴 respectivamente, do triângulo AOM, retângulo em M e ângulos internos
iguais a 30º e 60º (Fig. 15). Se 𝑡𝑔𝐴 =𝑎
𝑙/2, e, 𝑡𝑔30° =
√3
3, então
2𝑎
𝑙=
√3
3. Logo, 𝑎 =
𝑙√3
6.
Figura 15- Triângulo retângulo que destaca a relação entre a e 𝑙
Fonte: Autor (2018)
Além da relação entre o apótema (a) e o lado (𝑙), pode-se analogamente,
obter outras relações, das quais dispõe-se abaixo:
ℎ =𝑙√3
2 𝑎 =
𝑟
2 𝑙 = 𝑟√3
𝑆 =𝑙2√3
4
𝑔2 = 𝐻2 + 𝑎2 𝑎 =
𝑙√3
6
Relações entre elementos da Pirâmide de base quadrada
Considere a base da Pirâmide, representada pelo quadrado ABCD; a (𝑀𝑂 )
a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); d (𝐷𝐵 ) a medida da diagonal
da base; r (𝐴𝑂 ) é o raio da circunferência; S é a superfície do quadrado; L a aresta
lateral da Pirâmide; g (𝑀𝑉) o apótema da Pirâmide e H (𝑂𝑉 )a medida da altura da
Pirâmide.
61 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 16: Relações notáveis na Pirâmide de base quadrada
Fonte: Autor (2018)
Relação: a partir do quadrado ABCD, da Figura 16, obtemos a relação
entre o raio r da circunferência circunscrita em função do lado 𝑙.
Demonstração: Seja r o raio e 𝑙 o lado do quadrado ABCD definido como
base. A medida de r e 𝑙 são congruentes às medidas do cateto e da hipotenusa, 𝐴𝑂 e
𝐴𝐷 respectivamente, do triângulo retângulo isósceles ∆AOD (Fig. 17) possui os
demais ângulos internos de soma igual 45°. Se cos𝐴 =𝑟
𝑙, e, cos45° =
√2
2, então
𝑟
𝑙=
√2
2. Logo, 𝑟 =
𝑙√2
2.
Figura 17- Triângulo retângulo que destaca a relação entre r e 𝑙
Fonte: Autor (2018)
Além da relação entre o raio (r) e o lado (𝑙), pode-se analogamente, obter
outras relações, das quais dispõe-se abaixo:
𝑙 = 𝑟√2 𝑎 =𝑙
2
𝑑 = 𝑙√2
62 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
𝑆 = 𝑙2 𝐿2 = 𝐻2 + 𝑟2 𝑎 =
𝑟√2
2
Relações entre elementos da Pirâmide de base hexagonal
Considere a base da Pirâmide, representada pelo hexágono regular
ABCDEF (Fig. 18); a (𝑀𝑂 ) a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); d
(𝐴𝐷 ) a medida da diagonal; r (𝐴𝑂 ) é a medida do raio da circunferência; S é a
superfície do hexágono; L a medida da aresta lateral da Pirâmide; g (𝑀𝑉) a medida
do apótema da Pirâmide e H (𝑂𝑉 )a medida da altura da Pirâmide.
Figura 18: Relações notáveis na Pirâmide de base hexagonal regular
Fonte: Autor (2018)
Relação: a partir do hexágono regular ABCDEF, da Figura 18, obtemos a
relação entre o raio r da circunferência circunscrita em função do apótema a.
Demonstração: Seja r o raio e a o apótema do hexágono ABCDEF definido
como base. A medida de r e a são congruentes às medidas da hipotenusa e do cateto,
𝐴𝑂 e 𝑂𝑀 respectivamente. Considere o triângulo retângulo ∆AOM (Fig. 19), uma vez
que 𝑂𝑀 também é altura (ℎ) do triângulo equilátero ∆AOB de lado r. Se a altura (ℎ) de
um triângulo equilátero qualquer é ℎ =𝑙√3
2, e, r= 𝑙, 𝑂𝑀 = ℎ =a, então a=
𝑟√3
2.
63 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 19- Triângulo equilátero que destaca a relação entre r e a
Fonte: Autor (2018)
Além da relação entre o raio (r) e o apótema (a), pode-se analogamente,
obter outras relações, das quais dispõe-se:
𝑙 = 𝑟 𝑎 =
𝑙√3
2
𝑑 = 2𝑟
𝑆 =3. 𝑙2√3
2 𝐿2 = 𝑔2 + (
𝑙
2)
2
𝑎 =𝑟√3
2
Relações como as apresentadas acima estão presentes em diversas
situações do cotidiano e também em questões de avaliações externas, como a seguir:
A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a
Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo
homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha,
cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops
seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais
sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.
64 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metros, é a) 97,0. b) 136,8. c) 173,7. d) 189,3. e) 240,0.
O item fora extraído do ENEM para Pessoas Privadas de Liberdade – PPL
no ano de 2016. Para resolvê-lo, precisa-se identificar os elementos piramidais e
relacioná-los a triângulos retângulos como componentes piramidais, de forma que
estarão atentos à habilidade H8- Resolver situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de espaço e forma, ao mesmo tempo em que se adequa
ao descritor do SAEB (D2) – Reconhecer aplicações das relações métricas do
triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.
Um caminho possível para resolver a pergunta seria baseado nas
observações quanto aos elementos da Pirâmide e na utilização do Teorema de
Pitágoras, como sugerido abaixo:
Inicialmente, considera-se o modelo matemático da Pirâmide em
questão:
Em seguida identifica-se os elementos da
Pirâmides em que estão, e inserimos os valores
correspondentes.
Dados os valores correspondentes às arestas
laterais e da base, devemos considerar os triângulos
retângulos BMV e MOV, sendo M o ponto médio de BC,
então (Med) BM=OM=107 e (Med) BV= 204, utilizando
o teorema de Pitágoras, sabemos que (Med)MV2=2042-
1072. Em seguida relacionamos o triângulo retângulo MOV a partir do Teorema de
Pitágoras, assim: MV2=OM2+OV2 →2042-1072=1072+h2, logo h≅ 136,8 metros.
Portanto a letra “b” é a alternativa correta.
65 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O item acima requer o estabelecimento de inter-relações de propriedades
tanto internas a figura, quanto entre figuras (planas ou espaciais), além de deduzir
propriedades e reconhecer classes. No nível de conhecimento Geométrico exigido, as
definições têm significado e os alunos formulam argumentos informais (Lindquist e
Shulte,1994), de maneira a apresentar nível da dedução informal de Van Hiele.
1.1.3.6 Áreas da superfície de uma Pirâmide
Para calcular a área da superfície de uma Pirâmide precisa-se considerar
a área da base e área lateral. Como a base deverá ser um polígono, deve-se
considerar suas propriedades, pois cada figura possui suas peculiaridades. Por outro
lado, as faces laterais são triângulos, portanto a área lateral de uma Pirâmide é
determinada pela reunião das suas faces laterais. A área dessa superfície é chamada
Área Lateral da Pirâmide aqui denotada por Sl, logo
Sl= soma das áreas das faces laterais
A superfície total de uma Pirâmide é determinada pela reunião da superfície
lateral com a superfície da base da Pirâmide. A área dessa superfície é chamada Área
Total da Pirâmide aqui denotada por St, em que a Sb é a área da base, assim:
St=Sb+Sl
Nesse contexto, o cálculo de áreas de superfícies são assuntos largamente
cobrados em sala de aula e nas avaliações externas. O item abaixo foi extraído do
Programme for International Student Assessment - PISA5. É uma das questões
liberadas para apreciação e análise aberta, ou seja, por professores, alunos e
instituições brasileiras. Nela, a contextualização é baseada no telhado da casa de uma
fazenda na forma de Pirâmide que objetiva saber se o estudante domina o cálculo da
área.
5 Coordenado pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE) uma
iniciativa de avaliação comparada, aplicada de forma amostral a estudantes matriculados a partir do 7º ano do ensino fundamental na faixa etária dos 15 anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países.
66 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
FAZENDAS
Você pode ver aqui a fotografia de uma casa de fazenda com o telhado
em forma de pirâmide. Abaixo está o modelo matemático do telhado da casa
preparado por um estudante e ao qual foram acrescentadas as medidas.
O chão do sótão, denominado ABCD no modelo, é um quadrado. As
vigas que suportam o teto são as laterais do bloco (prisma retangular) EFGHKLMN.
E está no meio de AT, F está no meio de BT, G está no meio de CT e H está no
meio de DT. Todas as laterais da pirâmide, no modelo, têm o comprimento de 12
m.
Questão 1- Calcule a área total do chão do sótão ABCD.
Para iniciar a resolução das questões 1, 2 e 3, necessitamos visualizar
matematicamente a seguinte figura:
Para encontrar a solução basta apenas considerar que ABCD = 12x12 =
144 m² (as unidades não são necessárias para a solução segundo a pergunta) para
a área do andar do sótão.
Questão 2- Calcule o comprimento de EF, uma das laterais horizontais do bloco.
Para responder à questão, observa-se a face lateral da Pirâmide:
67 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Outra possibilidade de resposta também seria: EF é paralelo a AB e
passa pelo ponto médio de AT e BT, no triângulo ABT, portanto EF = 6 m.
O objetivo da questão foi avaliar a compreensão do aluno quanto às
propriedades dos triângulos.
Questão 3- Determine a área da superfície de um painel triangular do teto. Explique
como você encontrou sua resposta.
Objetivando avaliar a habilidade do aluno para calcular áreas de
superfícies triangulares, a resposta à questão poderá percorrer vários caminhos:
(a) Utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura e depois a
relação da metade da base x altura;
(b) Fazer uso do método trigonométrico;
(c) Aplicar a fórmula de Heron, dentre outras.
Dessa forma, podemos encontrar a partir da utilização de relações entre
os triângulos:
Fonte: http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf
Muito embora o item tenha sido elaborado a partir de objetivos específicos
do PISA, o mesmo permite avaliar se o estudante desenvolveu a habilidade (ENEM)
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos
68 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
propostos como solução de problemas do cotidiano, também associado ao descritor
13 do SAEB, que trata de resolver problemas que envolvam a área total e/ou o volume
de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera). Pode-se ainda ser acrescidas
várias perguntas: (a) qual a área do telhado? Bastando para isso, apenas o produto
do valor encontrado (36√3) por quatro. Vale ressaltar que estudar as superfícies da
Pirâmide pressupõe o domínio de vários conteúdos matemáticos básicos como:
relações métricas, trigonométricas, geométricas, razão, proporção e área de figuras
planas.
Outro aspecto importante é que a prova do PISA diferencia-se das demais
avaliações em larga escala brasileiras por apresentar questões de múltipla escola e
questões abertas. Nas questões abertas valoriza-se o procedimento. No entanto, não
pretendemos aqui analisar a fundo a Avaliação Internacional, mas torna-se relevante
compreendermos como o objeto de estudo desse trabalho é abordado em diversos
contextos com vistas ao Ensino. Para maior aprofundamento no tema sugerimos o
acesso ao Portal do Instituto Anísio Teixeira- INEP.
1.1.3.7 Volume da Pirâmide
Partimos do pressuposto de que volume de um sólido é a quantidade de
espaço ocupada por ele. O conceito de sólido nos permite compreender que este é
maciço e possui volume, quando não é maciço, possui apenas capacidade. Uma
forma de verificar o volume de um sólido é a partir da secção paralela da base ao
ápice. Para isso, podemos recorrer ao Princípio de Cavalieri.
As Pirâmides e as secções possuem uma relação “vida ativa” no meio
geométrico. Arquimedes de Siracusa (cerca de 287 a.C.-212 a.C.) estudou poliedros
convexos, não regulares, que possuem todas as faces regulares e todos os ângulos
poliédricos congruentes. O ato de seccionar as regiões próximas ao vértice de cada
poliedro, subtrai-se uma Pirâmide regular de todos os vértices dos sólidos
denominados Sólidos arquimedianos dão origem a novas formas que ganham
destaque no século XX. A utilização da bola de futebol na copa de 70 construída com
a retirada de Pirâmides de bases pentagonais de um icosaedro é um exemplo, ao
mesmo tempo em que o mesmo poliedro deu origem a nova fórmula de carbono em
1985 (Paiva, 2009).
69 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Ao conceber o volume da Pirâmide na forma demonstrativa, o estudante
possui conhecimento considerado no penúltimo nível de Van Hiele, pois no nível da
dedução o aluno
compreende o significado da dedução como uma maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. São percebidos a inter-relação e o papel de termos não definidos, axiomas, postulados, definições, teoremas e demonstrações. Nesse nível a pessoa é capaz de construir demonstrações, e não apenas memoriza-las; [...]; compreende a interação das condições necessárias e suficientes; é capaz de fazer distinções entre uma afirmação e sua recíproca. (CROWLEY in LINDQUIST e SHULTE, 1994, p. 4)
Tal nível de resolução, no Brasil é mais comum em cursos de Ensino
Superior, por outro lado, espera-se que no ensino médio o aluno consiga resolver
situações-problema que envolvam conhecimentos geométricos de espaço e forma
(H8- ENEM, 2009), dessa forma, o item abaixo é exemplo de questão proposta de
acordo com a prova do ENEM do ano de 2011.
Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A
pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem forma de um cubo.
No esquema, estão indicados o sólido original e a pirâmide obtida a partir dele.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto
O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às
arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro
sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são
a) todos iguais.
b) todos diferentes.
c) três iguais e um diferente.
d) apenas dois iguais.
e) iguais dois a dois.
70 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Para encontrar a forma dos quatro sólidos, é preciso visão focada nas três
dimensões da figura, dessa forma, uma possível solução seria:
Inicialmente poderão ser observados os
prismas triangulares congruentes AEIDHJ e
BIFCJG que serão descartados a partir de dois
cortes determinados pelos planos ADIJ e BCJI.
Dessa forma, resulta o prisma de base triangular
ABICVJ.
Em seguida, destaca-se o ponto O
(Médio entre os vértices I e J). Ao seccionar o
prisma triangular (ao lado) com os cortes ABO
e CDO, descarta-se duas Pirâmides
congruentes ABIO e CDJO, e, resulta-se daí a
Pirâmide ABCDO. Temos então a alternativa
“e” como resposta.
A questão acima pode ser resolvida por outro processo e destaca-se por
possibilitar o desenvolvimento de mais de uma habilidade segundo as matrizes
avaliativas oficiais. O SAEB aponta os descritores D3 – Relacionar diferentes
poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas e D13- Resolver
problema que envolvam a área total e/ou o volume de um sólido (prisma, Pirâmide,
cilindro, cone, esfera). Por outro lado, a Matriz do ENEM qualifica o problema na
habilidade 8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos
de espaço e forma. Nesse contexto, o aluno não precisa necessariamente
desenvolver uma capacidade de demonstração baseada no sistema axiomático, seu
nível encontra-se pautado no 3º nível de Van Hiele (dedução informal) e busca uma
habilidade além do campo das demonstrações e dos cálculos, baseada na
observação.
Compreender como encontrar o volume de uma Pirâmide é uma das
principais dificuldades dos alunos segundo dados coletados em nossa pesquisa. Em
muitos casos, professores e alunos se prendem ao cálculo do volume quando já se
71 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
conhece e área da base, e até mesmo a altura, suficientes para substituir na fórmula
(Ab.h)/3 e encontrar o resultado esperado. No entanto, muitas outras relações e
propriedades que envolvem volumes não se reduz apenas ao cálculo do volume do
sólido hão de ser estudadas.
De acordo com Lima et al (2006), existem algumas considerações
importantes que servirão de auxílio para determinar o volume da Pirâmide:
Lema 1.1 Se o vértice de uma Pirâmide se move em um plano paralelo à
base, o volume dessa Pirâmide não se altera.
Lema 1.2 A secção e a base de uma Pirâmide são figuras semelhantes, e
a razão da semelhança é h/H.
Lema 1.3 A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da
razão de semelhança.
A Figura 20 mostra uma Pirâmide de vértice V, base ABC (triangular
apenas para simplificar o desenho) e altura H. Um plano paralelo a ABC, dista h do
vértice V, produz uma secção DEF nesta Pirâmide. Ao considerar S1 e S1 as áreas
das superfícies limitadas pelos triângulos ABC e DEF respectivamente.
Figura 20- Seção da Pirâmide e sua relação com a base
Fonte: Adaptado de Lima et al (2006)
Ao imaginar inúmeras secções entre os pontos V e O e paralelas à base,
podemos perceber que existirá uma relação determinada pelas bases formadas com
os cortes e que podem inclusive se relacionar com outras figuras de base com mesma
área.
Teorema 1.1 Duas Pirâmides de mesma base e mesma altura têm o
mesmo volume (LIMA ET AL, 2006, p. 317).
72 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Considere duas Pirâmides de mesma base ABC, vértices V1 e V2 e com a
mesma altura H. Um plano paralelo ao plano (ABC) e dista h dos vértices das
Pirâmides, produziu secções DEF e D1E1F1 nas duas Pirâmides (Fig. 21).
Figura 21- Pirâmides de volumes semelhantes
Fonte:Adaptado de Lima et al (2006)
Seja S a área da base ABC e sejam S1 e S2 as áreas das secções DEF e
D1E1F1, respectivamente. Pelos argumentos já apresentados, temos que:
𝑆1
𝑆= (
ℎ
𝐻)
2
=𝑆2
𝑆
De onde concluímos que S1 = S2, e, pelo Princípio de Cavalieri, as duas
Pirâmides possuem o mesmo volume, como queríamos demonstrar.
Como já mencionado, outra forma de determinar o volume de um sólido é
a partir da secção de um outro sólido de maior volume.
Teorema 1.2-O volume de uma Pirâmide triangular é igual a um terço do
produto da área da base pela altura (LIMA ET AL, 2006, p. 318).
Vamos considerar um tetraedro de vértices A, B, C e D, sua face ABC será
a base, e o ponto D como vértice dessa Pirâmide, vamos representa-lo por D-ABC.
Seu volume será representado por V(D-ABC)= V(B-ACD)=… etc, depende-se de qual
face consideramos como base.
Agora, consideremos um prisma triangular cujas bases são os triângulos
ABC e DEF (Fig. 22).
73 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 22- Prisma triangular
Fonte: Adaptado de Lima et al (2006)
Seja S a área de ABC e h a altura do prisma. Sabe-se que o volume é Sh.
Divide esse prisma em três tetraedros: A – DEF, E- ACF e E-ABC (Fig. 22).
Sejam V1, V2 e V3 os volumes respectivos dos três tetraedros citados e seja
V o volume do prisma. Pelo teorema anterior, temos que o volume de uma Pirâmide
não se modifica quando, mantém a base fixa, movemos o vértice em um plano paralelo
a esta base.
Concluímos que:
V1= V(A- DEF) = V(A- DBF) = V(A- DBC) = V(C- ABC)
V2= V(D- ACF) = V(B- ACF) = V(F- ABC)
V3= V(D-ABC)
Observemos, assim, a decomposição do prisma em tetraedros de mesmo
volume (Fig.23).
Figura 23- Decomposição do prisma em tetraedros
Fonte: Adaptado Lima et al (2006)
74 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Conclui-se então que o volume do prisma é igual a soma do volume dos
três tetraedros: D-ABC, E-ABC e F – ABC, de mesma base e mesma altura do prisma.
Logo, cada um deles tem volume igual a um terço do volume do prisma.
As Pirâmides triangulares regulares apresentam particularidades que
podem ser aplicadas em situações reais do dia a dia como a produção de embalagens
em seu formato, além de peças decorativas, arquitetura e muitos outros contextos.
Por outro lado, outra maneira de se chegar ao volume da Prisma pelo
método da composição é por meio da adição de volumes piramidais:
Teorema 1.3- Todo prisma triangular é a soma de três Pirâmides
triangulares (tetraedros) equivalentes entre si (DOLCE E POMPEO, 2005, p. 191).
Seja o prisma triangular ABCDEF.
Figura 24- Congruência do volume de tetraedros
Fonte: Adaptado de Dolce e Pompeo (2005)
Para Dolce e Pompeo (2005), ao seccionar o prisma pelo plano que contém
os pontos A, C e E, obtemos o tetraedro T1 = E(ABC) e a Pirâmide quadrangular
E(ACFD). Ao cortar a Pirâmide E(ACFD) pelo plano que contêm os pontos C, D e E,
obtemos o tetraedro T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), temos que o prisma
ABCDEF = T1 + T2 + T3 → Vprisma = V1 + V2 + V3.
As Pirâmides T1 = E(ABC) e T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF), têm o mesmo
volume, pois possuem as bases (ABC e DEF) congruentes e a mesma altura (a ado
prisma). Então, VT1= VT2. (I)
75 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
As Pirâmides T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), têm o mesmo
volume, pois têm as bases (CDF e ACD) congruentes (note que CD é diagonal do
paralelogramo ACFD) e a mesma altura (distância de E ao plano ACFD). Então, VT2=
VT3. (II).
De (I) e (II) vem: VT1= VT2= VT3.
1.1.3.8 Volume do tetraedro
Seja Sb a área da superfície da base e h a medida da altura do prisma da
Figura 24. Notemos que Sb é a área superfície da base e h é a medida da altura do
tetraedro T1. Do teorema anterior, VT1= VT2= VT3: VT1+ VT2+ VT3= Vprisma → 3. VT = Sb.h
→ VT=1/3. Sb.h
1.1.3.9 Volume de uma Pirâmide qualquer
Seja Sb a área da superfície da base e h a medida da altura de uma
Pirâmide qualquer. Esta Pirâmide é soma de (n - 2) tetraedros.
V = VT1+ VT2+ …+ VT (n-2) → V = 1/3. Sb(1)h + 1/3. Sb(2)h +…+ 1/3. Sb(n-2)h →
→ V= 1/3 (Sb(1)+ Sb(2)+ … + Sb(n-2)).h → V= 1/3.Sb.h
Dessa forma, Podemos concluir que o volume de uma Pirâmide qualquer,
é um terço do produto da área da superfície da base pela medida da altura.
Após a generalização, verifica-se a possibilidade de resolução de
problemas ligados ao tema. Para exemplificar, utilizamos uma questão do Vestibular
da FUVEST do ano de 2015, em que a partir de uma contextualização inicial, pede-se
para calcular o volume de uma Pirâmide ainda a ser identificada pelo aluno.
O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o
paralelepípedo reto ABCDEFGH.
76 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2cm,
AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento AS que faz com que o volume do
sólido seja igual a 4/3 do volume da pirâmide SEFGH é:
a) 2cm b) 4cm c) 6cm d) 8cm e) 10m
Para encontrar o comprimento AS na questão, torna-se necessário considerar
a Pirâmide em destaque e fixar o valor desconhecido da altura (h) correspondente à
medida AS. Em seguida estabelecer as relações entre a soma dos dois sólidos
SABCD e ABECDEFGH e igualar à 4/3 do volume do primeiro sólido, assim:
VSABCD + VABCDEFGH = 4/3 VSEFGH
1/3 . 5 . 4 . h + 5 . 4 . 2 = 4/3 . 1/3 . 5 . 4 . (h + 2) ⇔
⇔h/3 + 2 = 4/9 . (h + 2) ⇔ h = 10
Com a questão acima, pretende- se resolver questões ligadas ao descritor
13 da Avaliação Nacional de Rendimento Escolar – ANRESC. A mesma compõe o
Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica- SAEB: D13- Resolver problema
77 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
envolvendo a área total e/ou o volume de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone,
esfera).
A partir dos problemas propostos nesta seção, fica evidente que no estudo
de Pirâmides não basta apenas desenvolver cálculos exaustivos, mas que o sujeito
compreenda o problema de forma contextualizada e que habilidades precisam ser
desenvolvidas para solucionar questões próximas do seu convívio diário, sem
esquecer da formalização necessária do conteúdo estudado. O estudo teórico
desenvolvido nessa fase nos propiciou produzir informações para o desenvolvimento
de embasamento matemático da nossa pesquisa, complementado com o
entendimento sobre os aspectos de outros estudos que se seguem.
1.2 Revisão de Estudos
Nesta categoria apresentaremos tendências e perspectivas para o tema em
estudo. Nosso objetivo foi revisar propostas e metodologias para o ensino de Pirâmides
em busca de resultados de trabalhos produzidos a partir do ano de 2013. Dessa forma
pudemos perceber a importância da atualização quanto aos desdobramentos científicos
empreendidos ao nosso tema e a temas correlatos.
Neste trabalho, optamos por uma revisão sistemática de estudos, por acreditar
que as plataformas contribuem substancialmente para a otimização na busca de pesquisas
com qualidade acadêmica reconhecida. Segundo Gil (2008), para a adequada formulação
de um problema, requer-se uma revisão bibliográfica preliminar na qual o pesquisador
precisa tomar contato com certo número de livros ou artigos periódicos de maneira a
formular um problema viável.
Por outro lado, Sampaio e Mancini (2007), afirmam que as revisões
sistemáticas de estudo, são particularmente úteis para integrar as informações de um
conjunto de estudos realizados separadamente sobre determinada temática, que podem
apresentar resultados conflitantes e/ou coincidentes, além de identificar temas que
necessitam de evidência, auxilia na orientação para investigações futuras, e permite
incorporar um espectro maior de resultados relevantes, ao invés de limitar conclusões a
apenas alguns artigos.
Assim, este trabalho procurou, por meio dos contributos dos estudos individuais
fornecer uma visão da investigação existente na área da Educação Matemática, conforme
procedimentos a seguir:
78 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Utilizada a ferramenta de busca on-line Google Acadêmico encontramos
trabalhos publicados. Em seguida os submetemos ao protocolo de revisão com os
seguintes critérios:
Inclusão:
(a) Serão incluídos trabalhos publicados e disponíveis integralmente em
bases de dados científicas.
(b) Serão incluídos trabalhos recentes (publicados a partir de 2013).
(c) Serão incluídos trabalhos que já possuam aprovação pela comunidade
científica.
Exclusão:
(a) Serão excluídos trabalhos que não tratam do tema em nível do ensino
médio.
(b) Serão excluídos trabalhos que ainda não foram concluídos.
(c) Serão excluídos trabalhos que apresentam conclusões sem apresentar o
método utilizado.
Para delimitarmos o universo da pesquisa, utilizamos o termo Geometria
Espacial por encontrar dificuldades em localizar trabalhos que considerassem apenas a
palavra-chave “Pirâmide”, e, acrescentou-se Van Hiele, por considerarmos importante o
entendimento sobre o nível de conhecimento geométrico para amadurecimento das ideias
sobre o tema. Na primeira busca, realizada em 04/11/2017, a ferramenta Google
Acadêmico localizou 37 (trinta e sete trabalhos) apenas em língua portuguesa a partir das
palavras-chave: Geometria Espacial, Ensino, Pirâmides, Tecnologias e Van Hiele; 13
(treze) trabalhos foram selecionados para leitura e 24 (vinte e quatro) foram arquivados
para outras oportunidades de pesquisa.
Ao analisar os resultados dos trabalhos encontrados, algumas questões
essenciais foram evidenciadas, e, por sua importância para a seleção dos mesmos.
Apresentamos os artigos publicados em revista: Viana (2015); e; Santos e
Weber(2014), dissertações de Pereira (2017), Palles (2013) e Boiago (2015) em
educação Matemática. Em Ensino de Matemática tiveram incluídas as dissertações
de Borsoi (2016), além dos trabalhos de Schnornberger (2014) e Medeiros (2014), a
dissertação de Souza (2016) em Ensino de Ciências e Educação Matemática, as
dissertações de Cordeiro (2014), Bittencourt (2014), Zilkha (2014), e Moraes (2014)
do mestrado Profissional de Matemática em Rede.
79 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Após a seleção, os textos foram lidos na íntegra, resumidos, e destacados
os seguintes aspectos: referenciais teóricos utilizados, objetivos, procedimentos
metodológicos utilizados e principais resultados alcançados, em um processo de
maior aproximação com os textos considerados como nosso corpus de pesquisa.
O quadro a seguir organiza em ordem alfabética os autores, destaca título
e fonte, de forma que os mesmos possam ser melhor identificados ao longo da análise:
Quadro 4 - Relação de textos selecionados
Trabalho Título Instituição Autores
T1 Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos:
Pantógrafo.
Dissertação- IMPA RJ
BITTENCOURT, P. M.
T2 Área de figuras planas: uma
proposta de Ensino com modelagem matemática.
Dissertação- Universidade Federal de Uberlândia
BOIAGO, C. E. P.
T3
GeoGebra 3D: no ensino médio: uma possibilidade para a
aprendizagem da Geometria Espacial.
Dissertação- Universidade
Federal do Rio Grande do Sul
BORSOI, Caroline.
T4 Utilização do GeoGebra na
Construção de Instrumentos: Elipsógrafo
Dissertação- IMPA RJ
CORDEIRO, J. C. da S.
T5 Construção de sólidos
geométricos com a aplicação de softwares educativos.
TCC Esp. Universidade Estadual da
Paraíba
MEDEIROS, R. B de.
T6
A Geometria Espacial no ensino médio: um estudo sobre o uso do material concreto na resolução de
problemas
Dissertação: Universidade
Federal do Rio de Janeiro
MORAES, L.de S.
de.
T7 Um estudo do icosaedro a partir da visualização em Geometria
Dinâmica
Dissertação- Pontifícia
Universidade Católica de São
Paulo
PALLES, C. Molina
T8
Projetos de modelagem matemática no ensino para a aprendizagem de Geometria Espacial no 2º ano do ensino
médio
Dissertação- Universidade
Federal de Ouro Preto
PEREIRA, L. David.
T9 Realidade no Espaço Virtual:
Micromundo do Ensino de Geometria.
Artigo- Revista NUPEM
SANTOS, R. P. dos; WEBER, J. M.
T10 O uso da pletora de poliedro no ensino de Geometria Espacial
TCC grad.- Universidade
Federal do Rio Grande do Sul
SCHNORNBERGER, Thiago.
80 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
T11 A formulação e a resolução de
problemas geométricos com base nos sólidos geométricos.
Dissertação- Universidade Estadual da
Paraíba
SOUZA, S. A. de
T12 Avaliação dos desenhos de
planificação de figuras geométricas no Ensino Básico
Artigo -Revista Estudos de avaliação
educacional- SP
VIANA, O. Aparecida
T13 Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos:
Teodolito.
Dissertação- IMPA RJ
ZILKHA, P. M.
Fonte: Autor (2018)
Dos trabalhos analisados, não encontramos nenhum com o título que
tenha abordado especificamente pelo nosso objeto de estudo, no entanto, quatro
deles menciona Pirâmides como parte da produção científica.
O estudo desenvolvido por Pereira (2017) buscou identificar e analisar as
possíveis contribuições da realização do Projeto “As formas geométricas da nossa
cidade”. Utiliza a modelagem matemática à aprendizagem de conteúdos de Geometria
Espacial com alunos do 2º ano do ensino médio. No projeto, os alunos definiram
subtemas e em seguida desenvolveram atividades de modelagem Matemática
propostas pelo professor a partir da visitação de vários pontos da cidade de Viçosa-
MG, a partir do registro do diário de campo.
De caráter qualitativo, no trabalho, foram desenvolvidos revisão literária,
pesquisa de campo, elaboração de execução de projeto de intervenção pedagógica
baseado na modelagem Matemática a 38 alunos do 2º ano do ensino médio de uma
escola da rede estadual de Viçosa-MG.
Como fundamentação, o autor analisou quatro pesquisas sobre Geometria
espacial com modelagem matemática a partir dos trabalhos de Silva (2010), Heil
(2012), Oliveira (2012) e Paraízo (2012) que trataram de Geometria Espacial, além
dos trabalhos de Reinheimer (2011); Zakauskas (2012) e Sousa (2014) que tratavam
de modelagem. Apoiou-se nas ideias de Burak (1992) sobre modelagem, a partir de
cinco etapas para o desenvolvimento das atividades propostas, Biembengut e Hein
(2005), Barbosa (2001a) e Hernandez e Ventura (1998) no sentido de alinhar a teoria
de projetos com a teoria da modelagem. Utilizou uma SD como projeto, criou assim
um produto educacional.
Para o autor, com base nas obras revisadas,
81 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
- a partir do Movimento da Matemática Moderna, na década de 1970, muitos
professores não estavam preparados para trabalhar essa nova abordagem, impulsionada pela necessidade de atender à expansão tecnológica a partir da segunda metade do século XX; - os graduandos em formação ainda apresentam uma postura de desconfiança quanto à eficácia do uso de situações-problema como estratégia de ensino; já os estudantes do ensino médio desenvolveram a autonomia, o trabalho em equipe, a responsabilidade e a possibilidade de aprendizagem com os próprios erros; - Oliveira (2012) constata uma evolução significativa dos alunos quanto à (res) significação dos conceitos trabalhados e uma subida de nível na escala de Van Hiele, o que reforçou “a crença nas potencialidades da Teoria de Van Hiele como um caminho teórico e metodológico promissor capaz de sustentar um projeto consistente de ensino de Geometria, integrando todos os segmentos da Educação Básica, da Educação Infantil até o ensino médio” (PEREIRA, 2017, p. 17- 31).
Nessa perspectiva, o autor chegou a diversas observações necessárias
para balizamento de sua pesquisa além de algumas reflexões sobre as propostas
desenvolvidas, ao corroborar com as ideias de vários autores estudados:
encontramos concordância com essa ideia em Burak (2009, p.1123) ao defender que a Modelagem Matemática possibilita ao estudante a construção e o desenvolvimento de competências importantes e necessárias para os desafios do mundo atual, tais como: “saber observar, explorar e investigar; estabelecer relações, classificar e generalizar; ou ainda, instrumentalizá-lo de forma a argumentar, poder tomar decisões e criticar”. (PEREIRA, 2017, p. 106).
Além do citado, foram encontradas algumas dificuldades que permeiam o
ambiente de pesquisa: entender a forma pela qual poderíamos unir as características
da modelagem Matemática com a teoria dos projetos; estabelecimento do tema geral
do projeto. No entanto, reforça que tais intempéries serviram para verificar a
importância das palavras de Soistak e Burak (2005c, p.9 apud Pereira, 2017) que
afirmam que as dificuldades surgidas no desenvolvimento das atividades de
modelagem matemática, precisam ser vencidas e o desafio de enfrentar esses
obstáculos torna o processo de ensino para a aprendizagem da Matemática mais
prazeroso e significativo, uma vez que os problemas encontrados devem ser
resolvidos a partir do interesse dos alunos (PEREIRA, 2017, p. 106).
O autor conclui ao focar o desenvolvimento de Projetos de modelagem
matemática, e afirma que a metodologia empregada contribui para:
1- o contato direto e ativo do aluno com seu ambiente de estudo e para o trabalho
com situações problemas.
82 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
2- o surgimento de uma nova dinâmica da sala de aula a partir de experiências
interativas.
3- a formação integral do aluno e para o desenvolvimento da curiosidade e do
interesse pela investigação.
4- uma interação diferenciada dos alunos com os conteúdos de Matemática e para
sua aprendizagem.
5- a quebra de barreiras na sala de aula e para a superação de dificuldades na
aprendizagem.
6- uma mudança no processo de ensino que pode gerar mais segurança e
autonomia nos alunos.
7- o desenvolvimento da criticidade e de competências importantes para a vida
dos alunos.
Viana (2015) desenvolveu um trabalho voltado para a discussão da
planificação de superfícies como forma de contribuir para a avaliação de propriedades
das figuras geométricas espaciais. A pesquisa teve como objetivo analisar desenhos
de planificação elaborados por 842 estudantes de 9º ano do Ensino Fundamental e 3º
ano do ensino médio (Quadro 5), de modo a analisar e avaliar: a) A identificação de
propriedades das figuras geométricas espaciais mais comuns estudadas ao longo do
ensino básico; b) O estabelecimento de relações espaciais designadas como noções
projetivas referentes à construção do espaço representativo. Entendido por muitos
professores como tarefa simples; no entanto, encontra-se certo grau de dificuldade de
identificação de uma representação da imagem da figura planificada pelo estudante,
fator que desafia muitos docentes a buscar outras alternativas de recursos como
materiais manipuláveis ou softwares de geometria dinâmica.
Quadro 5- Distribuição de estudantes na pesquisa de Viana
Fonte: Viana (2015)
83 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A autora transversa um olhar sobre a planificação de superfícies de sólidos
(prismas, Pirâmides, cilindro, cone e esfera) a partir de descritores das avaliações em
larga escala em paralelo com a Teoria do desenvolvimento do pensamento
geométrico de Van Hiele (1986) e da teoria das representações semióticas de
Reymond Duval. Para ela, os resultados encontrados: “permitem questionar os
pressupostos adotados pelos sistemas de avaliação em larga escala, que incluem
questões de planificação em suas provas com base nos descritores de suas matrizes
de referência”, possibilitou analisar por outro lado que:
questões desse tipo não revelam as dificuldades que tem o estudante em coordenar os pontos de vista da figura e em estabelecer as relações concernentes a medidas e ângulos – conceitos imprescindíveis no estudo da geometria métrica e de posição. (VIANA, 2015, p.866).
As matrizes de referências para avaliações em larga escala destacam as
habilidades básicas e necessárias para cada bloco de conteúdo a partir de seu eixo,
que consideram a planificação de superfícies de figuras espaciais uma delas. No
ensino de Pirâmides, muitos alunos possuem dificuldades de visualização e desenho
das figuras espaciais na folha do caderno, ou seja, no plano. Ao desenvolver
atividades de sua pesquisa, analisou desenhos de planificação superfícies de
Prismas, Pirâmides, Cones, Cilindros e Esferas.
A pesquisa apoiou-se nos princípios piagetianos acerca da construção das
noções projetivas relativas à construção do espaço representativo, organizou análises
referentes a níveis de desenvolvimento dessas noções em categorias. Os PCN
(BRASIL, 1997, apud VIANA, 2015) sugerem que devem ser dadas oportunidades que
permitam a exploração de propriedades de figuras tridimensionais a fim de favorecer
a formação de conceitos e o desenvolvimento do pensamento geométrico.
Os níveis de análise foram organizados em categorias que variam de um a
cinco, em que o mais baixo caracteriza-se pelo estabelecimento de noções
topológicas e a não identificação de propriedades das figuras até o nível mais elevado,
o cinco, as quais os desenhos revelaram a identificação das principais propriedades
e o estabelecimento de relações projetivas e euclidianas. A partir desses critérios, foi
possível que a autora pudesse discutir a planificação de superfícies como forma de
contribuir para a avaliação das propriedades das figuras geométricas espaciais.
84 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Os desenhos de planificação de superfícies produzidas pelos alunos foram
interpretados à luz da teoria dos registros de representação semiótica de Duval
(2009), sob o entendimento que o mesmo afirma que embora a apreensão dos objetos
matemáticos seja conceitual, a atividade cognitiva sobre esses objetos só é possível
por meio das representações semióticas. Nessa perspectiva, “pedir ao estudante que
desenhe a planificação – ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma
planificação pronta – pode contribuir para a representação (e não apenas para a
percepção) das propriedades das figuras geométricas espaciais”. (VIANA, 2015,
p.866).
A pesquisa concluiu que os estudantes envolvidos (mesmo os de ensino
médio), demonstraram fraco desempenho, em média 35,5% dos participantes não
conseguiram responder às atividades propostas, não identifica as principais
propriedades das figuras espaciais e também tinham dificuldades de estabelecer as
relações projetivas e euclidianas e que oportuniza o estudante desenhar a planificação
de superfícies– ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma planificação pronta
– pode contribuir para a representação (e não apenas para a percepção) das
propriedades das figuras geométricas espaciais.
Exemplos de planificações executadas pelos alunos, apresentadas de
acordo com os 5 níveis de análise considerados. Codificações utilizadas: PA-
paralelepípedo, PI-Pirâmide, PH- Prisma hexagonal, PP- Prisma pentagonal, CI-
Cilindro e CO-Cone.
Figura 25: Resposta de atividade proposta por Viana
Fonte: VIANA (2015, p. 859)
85 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O trabalho de Boiago (2015) investigou as contribuições de uma proposta
de ensino baseada numa SD que envolveu o cálculo de área de figuras planas com
composição e decomposição de formas geométricas e um processo de modelagem
de logotipos figurais para o ensino de Geometria Plana, que utilizou o software de
Geometria Dinâmica GeoGebra6 e requereram procedimentos um tanto diferenciados
por envolver processos cognitivos que merecem ser mais bem entendidos do que as
proposições dos livros didáticos.
O autor destaca o caráter social e científico da Matemática:
[...] são evidenciados os aspectos utilitários da matemática na formação do cidadão verificáveis nas compras, no cálculo do aumento dos salários, nas estatísticas publicadas nos jornais, na utilização das grandezas e medidas em muitas situações do cotidiano, no segundo, coloca-se foco no desenvolvimento das formas de pensamento demonstráveis pelo sujeito que investiga, compreende, relaciona, argumenta, generaliza e representa aspectos estruturais da matemática. Essas justificativas podem ser vistas nos parâmetros curriculares nacionais do ensino fundamental (BRASIL, 1998) apud (BOIAGO, 2015, p.15)
No trabalho, os conteúdos são classificados em três categorias: conteúdos
conceituais (que envolvem fatos e princípios), conteúdos procedimentais -que indicam
um saber fazer- e atitudinais -que envolvem normas, valores e atitudes (BOIAGO,
2015, p. 16). Organiza ainda uma revisão de estudos com categorizações e autores
consultados em dificuldades dos alunos no ensino de Geometria, baseados nas
principais fontes Baldini (2004), Chiummu (1998), Facco (2003), Frade (2012) Perrota
e Perrota (2005) e Pirola (2000); com relação aos conceitos, baseia-se nos estudos
de Sternberg (2000) e define a perspectiva cognitiva clássica da aprendizagem
significativa de David Ausubel (Ibid, p.16); nas pesquisas referentes à aprendizagem
de área de figuras planas, verificou-se uma discussão muito ampla no que se refere à
dimensão conceitual desse conteúdo (ALMOULOUD et al., 2004; BALDRINI, 2004;
FACCO, 2003; MACHADO, 2011; NUNES, 2011; PAULA, 2011; SANTOS, 2011), no
entanto, chama atenção para a ausência de trabalhos que discutam a dimensão
procedimental dos conteúdos em Geometria.
Ao parafrasear Valente (1999), o autor faz referência à utilização do
computador no ensino de Geometria ao afirmar que
6 Software de Geometria Dinâmica, gratuito, que permite a visualização e a construção de figuras geométricas planas e espaciais dentre outras funções como calculadoras e criação de simuladores matemáticos.
86 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
a aprendizagem deixa de ser a simples memorização da informação transmitida pelo professor e passa a ser a construção do conhecimento realizada pelo aluno de maneira significativa, em que o professor será o mediador do processo de formação de conceitos e de procedimentos. (BOIAGO, 2015, P. 17).
Apoia-se na revisão sobre modelagem, nos autores Bassanezi (2006),
Bienbengut e Hein (2007), Silveira (2007), Barbosa (2001) e Burak (2010), no entanto,
observa que poucos exploram essa metodologia para o ensino de conceitos e
procedimentos de Geometria. As análises foram fundamentadas na teoria da
aprendizagem significativa de procedimentos, feitas a partir dos registros de
representação semiótica com vistas a interpretar os desenhos e símbolos utilizados
pelos alunos como registros, na perspectiva de Raymond Duval (2003, 2011 e 2012).
Outros estudos de revisão consideraram Luna (1997), Alves (1992) e
autores que tratam da engenharia didática como Régine Douady (1986, 1987) além
de já ter mencionado a teoria dos registros de representação semiótica de Raymond
Duval (1993, 1994, 1995), todos citados por Facco (2003). Sobre modelagem e
Geometria, Reinheimer (2011) respaldado em Ausubel (2003) com a aprendizagem
significativa em Geometria.
O estudo apontou, ainda, alguns obstáculos apontados por Bisognin e
Bisognin (2012) que analisaram as percepções de professores que concluíram um
curso de Mestrado em Ensino de Matemática e que utilizaram a modelagem
matemática em suas dissertações para a implementação de atividades, numa
perspectiva de repercussões no ensino e na aprendizagem docente e discente:
- Ao que se refere ao eixo de possibilidade de mudança na prática docente, foram encontrados relatos de professores indicando que a modelagem favorece o desvencilhar de aulas livrescas e a utilização de metodologias que promovem mudanças de concepções sobre o Ensino de Matemática; - Para o eixo das dificuldades no exercício da docência com modelagem Matemática, os professores queixaram-se do tempo, da quantidade de leitura e interpretações de situações para que atividade de modelagem seja bem sucedida, o trabalho com a leitura e a escrita e a insegurança dos alunos em ter que construir algo novo, já que estes estão acostumados ao fato de ser o professor a figura responsável pela condução das tarefas; - E, por fim, o eixo das repercussões em que, para os docentes, o desenvolvimento desse tipo de atividade promove uma transformação no modo de pensar e agir no âmbito da sala de aula, uma mudança de concepção sobre o que é ensinar Matemática; para os discentes, a modelagem promove um maior contato com o conteúdo matemático e o desenvolvimento da capacidade de trabalhar em grupo. (BOIAGO, 2015, 25-26).
87 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O pesquisador tratou de elencar obstáculos e resistências de acordo com
quadro de categorias propostas por Silveira e Caldeira (2012), que subdividem os
obstáculos e resistências em aplicações com modelagem matemática:
(a) Professor e suas relações com o trabalho;
(b) Professores e suas relações com a escola;
(c) Professor e suas relações com o currículo;
(d) Alunos e suas relações com a modelagem;
(e) Professores e suas relações com as famílias dos alunos.
Buscou ainda analisar a utilização de tecnologias como outra tendência da
Educação Matemática a partir dos estudos de Pereira (2012) e constatou que os
alunos demonstraram segurança quanto aos conceitos explorados com o auxílio do
GeoGebra, apresentou capacidades de interação, conjectura e reflexão sobre os
conceitos em questão.
Outra abordagem feita no trabalho, encontra-se em torno do ensino de
Geometria de acordo com os documentos oficiais, demonstrou a importância de dar
atenção ao que está prescrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)
no que tange aos indicadores que organizam parte do currículo de Matemática, em
que é previsto o ensino por competências e habilidades e distribui o currículo de
Matemática em blocos, o que deu origem ao termo “espaço e forma”.
Para o ensino médio, os documentos PCN (1998), PCN+(2002) PCNEM (2002) e OCNEM(2006), apresentam quatro unidades temáticas: geometrias plana, espacial, métrica e analítica e indicam o estudo de definições e propriedades, posições relativas de objetos métricos, relações entre figuras espaciais e planas, sólidos geométricos, propriedades de congruência e semelhança de figuras bidimensionais e tridimensionais, análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos.(BOIAGO, 2015, p. 31).
A aprendizagem significativa é amplamente apresentada em seguida, na
qual discorre sobre os processos de solução de problemas, estudados e citados por
vários pesquisadores da área da psicologia, como, por exemplo, Echeverría e Pozo
(1998), Mayer (1992), Polya (1978) e Sternberg (2000). Trata especificamente do
estudo de semiótica de Duval e da utilização de softwares no Ensino de Matemática
com Valente (1999).
Participaram da pesquisa 37 alunos do terceiro ano do ensino médio do
Instituto Federal do Triângulo Mineiro Campus Ituiutaba-MG. Sua aplicação foi
88 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
realizada em sala de aula em horários de aulas normais. O trabalho desenvolvido tem
características que o classificam como pesquisa do professor, conforme definições de
André (2006), Fazenda (2005), Ludke (2001a, 2001b) e Zeichner (1998).
A proposta foi composta pelas fases descritas a seguir:
• 1ª fase: Levantamento dos conhecimentos prévios acerca da composição e
decomposição e do cálculo de área de figuras geométricas planas;
• 2ª fase: Elaboração e aplicação da SD para o tema;
• 3ª fase: Aplicação do trabalho com a modelagem matemática.
O trabalho evidenciou alguns aspectos importantes como a organização do
professor (tempo e modo de tratar os conteúdos relativos ao conteúdo de Geometria);
disponibilização de computadores para os alunos; persistência por parte dos alunos;
e necessidade de o professor ter uma experiência prévia com a modelagem, e possui
uma proposta caracterizada como de campo ou naturalística. A SD foi elaborada com
base nas condições para a aprendizagem significativa de Ausubel (2003) e realizado
levantamento de desempenho dos participantes numa prova (pontuação dos acertos
e erros) como forma de diagnosticar os conhecimentos prévios sobre o tema.
Figura 26: Respostas apresentadas para atividade apresentada por Boiago
Fonte: BOIAGO (2015, P. 73)
Boiago (2015) analisou figuras, palavras e expressões empregadas pelos
participantes nas respostas das questões com base nos processos de formação, de
tratamento e de conversão dos registros de representações semióticas, formou
categorias relativas à apreensão operatória das figuras geométricas, conforme
definições de Duval (2010, 2011, 2012). As fases da modelagem foram descritas e
relacionadas com as fases propostas por Barbosa (2001); Bassanezi (2006);
Biembengut e Hein (2007); e; Burak (2010). A fase de obtenção do modelo foi descrita
com base nas etapas de solução de problemas, conforme elencadas por Brito (2006).
Os processos cognitivos desencadeados pela representação do modelo na tela do
89 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
GeoGebra (Fig.27) foram descritos com base nas categorias relativas à apreensão
operatória da Geometria de Duval (2011) e no papel da informática no ensino e na
aprendizagem, conforme Valente (1999).
O autor conclui a pesquisa com destaque ao trabalho com a modelagem
matemática de logotipos figurais, pois segundo ele, permite que o professor modifique
a dinâmica da sala de aula, assume um papel de orientador ao invés de mero
transmissor do conhecimento, o que pode favorecer a formação de atitudes mais
favoráveis à Matemática. Nesta perspectiva, a figura do professor orientador é aquela
voltada para acompanhar de perto o raciocínio dos alunos, mostra/aponta caminhos
para que eles alcancem seus objetivos, descreve todo o desenvolvimento da
modelagem matemática de logotipos figurais, que evidenciou alguns processos
cognitivos empregados pelos alunos e que podem contribuir para a compreensão de
vários conceitos e procedimentos referentes à Geometria Plana básica como na
Figura 27.
Figura 27: Janelas do GeoGebra com um modelo matemático
Fonte: BOIAGO (2015, p. 161)
O trabalho de Borsoi (2016) fez um estudo sobre possibilidades de
aprendizagem de Geometria Espacial com o GeoGebra 3D a partir de uma SD que
objetiva provocar o desenvolvimento espacial, enfatiza a interação dinâmica entre o
objeto tridimensional e diferentes planos de corte a partir de tecnologias. A pesquisa
apoiou-se nas ideias de Van Hiele apud (Crowley,1994), Duval (2003, 2012) e
Gutiérrez (1992, 1998) e possui estruturação na Engenharia Didática como
metodologia de pesquisa.
Segundo a autora, a importância da utilização de tecnologias é evidente na
atualidade, que é
90 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
praticamente impossível negar ou omitir a forma como as novas tecnologias da informação e da comunicação (TIC´s) vêm transformando a sociedade, as relações e a própria forma de pensar e agir do ser humano. Principalmente nas últimas décadas, percebe-se um avanço no uso destas novas tecnologias no panorama educacional, não apenas por este novo perfil de sociedade, altamente tecnológica, mas principalmente pelo seu valioso potencial na construção do conhecimento. A tecnologia, quando utilizada de forma correta, traz uma nova configuração para a sala de aula, transformando-a em um espaço de construção de conceitos e de exploração de argumentos e hipóteses. (BORSOI, 2016, p. 13).
A partir da questão de pesquisa: de que forma o software de Geometria
Dinâmica GeoGebra pode contribuir no desenvolvimento da habilidade de
visualização espacial e na melhor compreensão de conceitos relativos à Geometria
Espacial? - A pesquisadora aplica uma sequência e realiza a análise a priori e a
posteriori como forma de validar o desenvolvimento dos alunos no tema, e organiza
um GeoGebrabook como produto do trabalho, para uso de professores e alunos da
educação básica.
Em sua discussão teórica, subdivide a capítulo em duas seções: a primeira
traz um breve apanhado do panorama do ensino da Geometria Espacial na Educação
Básica, na qual Pais (2006) sinaliza a valorização do enfoque experimental e o uso de
situações de problemas cotidianos como características significativamente presentes
nos livros analisados da última década quanto ao ensino de Geometria, identifica
fortes mudanças ao longo da história, dada à importância desta unidade curricular ao
longo dos anos, além de grandes discussões sobre o tema em eventos nacionais e
internacionais.
Traz em seguida, diversos estudos sob a perspectiva de Van Hiele. Por
outro lado, Kaleff (2003, apud Borsoi 2016), afirma que “a habilidade da visualização
é tão ou mais importante do que a de calcular numericamente e a de simbolizar
algebricamente e que os educadores tomam consciência sobre a importância para a
formação global do aluno”, dessa forma, o ambiente de Geometria Dinâmica
GeoGebra 5.0 3D ganha destaque em seguida.
Na segunda seção, trata das possibilidades do GeoGebra 3D segundo os
trabalhos de Gravina (2015), que afirma que “pode-se rotacionar a construção
realizada e assim obter visualizações sob todos pontos de vista do objeto, geram
sequenciais “sólidos em movimento” que enriquecem a imagem mental e,
91 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
mesmo que os softwares não ofereçam novos tipos de registro em comparação com aqueles produzidos com lápis e papel, eles estabelecem outro modo de produção. Por exemplo, com softwares de geometria dinâmica, as representações figurais podem ser manipuladas como se fossem objetos reais e isto ajuda na exploração heurística de situações matemáticas. (DUVAL, 2011 apud BORSOI, 2015, p. 22)
Segundo Fischbein (1993, apud GRAVINA, 2015), os objetos geométricos,
sejam eles tecnológicos ou manipulativos se constituem de duas componentes
essenciais: a conceitual e a figural e a correlação entre estas duas é indispensável. A
componente conceitual representa as propriedades que caracterizam um tipo de
objeto por intermédio de linguagem natural escrita, simbólica ou falada, com maior ou
menor grau de formalismo, permita descobrir características formais e informais sobre
o objeto estudado, afirma Borsoi (2016).
A proposta foi implementada em uma turma de 3º ano do ensino médio de
uma escola da rede pública estadual de Farroupilha/RS, no ano de 2015 e cada
atividade da sequência analisada segundo as teorias estudadas, sobre a visualização
e sobre o GeoGebra (Fig. 28), consideram ainda o modelo de Van Hiele descrita por
Crowley (1994).
Por fim, a autora conclui que
-A abordagem tradicional da Geometria Espacial, que em alguns casos, vêm se restringindo ao estudo de área e volumes, está distante de convencer o aluno de que a Geometria se relaciona com o mundo que o cerca e de promover o desenvolvimento de habilidades e do pensamento geométrico. Entendemos que o trabalho com a Geometria deve ser mais investigativo, instigando o aluno a explorar e analisar situações geométricas;
- o uso da tecnologia e em especial, nos softwares de Geometria Dinâmica,
torna-se uma possibilidade de potencializar o estudo da Geometria Espacial, mais significativamente e interessante aos olhos do aluno; - O uso do GeoGebra 3D permitiu a exploração de representações muito próximas dos objetos reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto. Assim, a partir de seu uso, verificou-se a possibilidade de superar dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, essencial para a formalização dos conceitos em Geometria. (BORSOI, 2016, p. 108-109).
Mesmo com o uso do software, torna-se imprescindível o uso do registro
no caderno.
92 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 28: Resolução de atividade proposta por Borsoi
Fonte: BORSOI (2016, p. 94)
A atividade descrita na Figura 28 é amostra de uma proposição com o uso
da figura construída no GeoGebra, sua visualização e tentativa de resolução com
papel, lápis e borracha (mesmo sem sucesso), ao mesmo tempo em que a autora
lembra que ficou evidente que ao longo de toda proposta, e conforme já apontado no
decorrer das atividades, a atuação dos alunos em atividades que mobilizaram todas
as apreensões descritas por Duval (2003) no conjunto de atividades aplicadas.
Figura 29: Conversões de registro de atividades
Fonte: BORSOI (2016, p. 102)
Na Figura 29, a autora solicita que o aluno converta o registro de uma
atividade: objeto 3D → lei da função e o software produz, de forma imediata, a
conversão lei da função → gráfico. Segundo seu trabalho, “os alunos classificaram
93 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
esta atividade como a mais complexa e disseram que ‘tinha um pensamento
diferente...’ e ‘tínhamos que pensar mais...’ (BORSOI, 2016, p. 102). Conclui ainda
que ao interagir com o software de Geometria Dinâmica, os tratamentos e as
conversões do registro figural se processaram de forma diferenciada, uma vez que as
possibilidades de interação e manipulação permitiram a construção de relações mais
significativas entre representações de um objeto e as imagens mentais dos alunos
(IBID, 2016, p. 108).
Em Bittencourt (2014), Cordeiro (2014) e Zilkha (2014) encontramos um
estudo com o objetivo de estudar os efeitos da visualização do ensino de conteúdos
matemáticos com o GeoGebra na construção pantógrafo (Fig. 30), elipsógrafo e
teodolito respectivamente. Os três trabalhos apresentam as mesmas características e
partes. Neles estão dispostos aspectos históricos e organizam passos para a
construção do elipsógrafo, do pantógrafo e do teodolito com o GeoGebra além de
apontar justificativas pedagógicas e Matemáticas para as atividades desenvolvidas.
O trabalho baseia-se no uso do instrumento sem preocupar-se em definir o
que classifica ou pode ser considerado um instrumento e de que forma este contribui
como tecnologia. Tal observação deixa uma lacuna sobre o esforço a mais que o
docente terá para a orientação do estudante quanto ao uso do instrumento
adequadamente à tarefa proposta.
Figura 30: Resolução de atividade proposta por Bittencourt
Fonte: BITTENCOURT (2014, p. 61)
Os autores observam que a retirada da disciplina de desenho geométrico
representa uma grande perda para o desenvolvimento do aluno e das habilidades
necessárias ao apontar que a manipulação de instrumentos mediante simulação por
meios virtuais, contribui até mesmo para a motivação. Bittencourt (2014) destaca que
a atividade mostrou tornar suas aulas mais atrativas e facilitar o aprendizado de seus
alunos. Segundo Zilkha (2014) a visualização pode ser feita de vários ângulos.
94 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Aparentemente, a figura funcionou bem, mas quando girada encontrou-se alguns
erros, que não seriam percebidos no plano. Para Cordeiro (2014), “a construção do
elipsógrafo estimula a construção do conhecimento matemático devido à utilização de
um software que transforma a linguagem algébrica em linguagem geométrica e, vice-
versa, oferece ao aluno a possibilidade de relacionar os temas aprendidos de forma
rápida e eficaz”.
Numa análise qualitativa, no estudo de Medeiros (2014), o ensino de
Geometria Plana e Espacial foi desenvolvido com o auxílio dos softwares
educacionais sketchUp e Visual Class de forma atrativa, interativa e dinâmica para
alunos do 2º ano do ensino médio.
As atividades foram estruturadas em duas etapas, de maneira que a
primeira trata da criação de sólidos geométricos com canudos e barbantes para o
desenvolvimento de uma visão tridimensional e a segunda etapa, a criação de objetos
geométricos relaciona jogos e questões de Geometria em oficinas.
As novas tecnologias nos dão diversas possibilidades para o
desenvolvimento de material que apresente uma maior interatividade entre os
estudantes e professores. A partir dos softwares [...] os alunos podem usar
ferramentas que possibilitam aprender de forma mais prazerosa, afirma Medeiros
(2014). O autor finalizou o trabalho ao enfatizar os aspectos que positivaram o
processo, que sinalizou para o maior interesse, despertar da criatividade e um
crescimento qualitativo na aprendizagem de Geometria, e que a busca por
metodologias alternativas, nesse caso o uso de tecnologias, supera as dificuldades
de ensino e consequentemente reflete na aprendizagem.
O trabalho de dissertação de mestrado de Moraes (2014) apresentou uma
proposta de utilização de materiais didáticos no ensino de Geometria Espacial com
foco na resolução de problemas, baseadas nas teorias de Van Hiele, Gutirrez e uma
abordagem das contribuições da Neurociência no ensino e na aprendizagem de
Matemática, possui como finalidade desenvolver habilidades de visualização e de
resolução de problemas. A autora realizou uma revisão bibliográfica para fundamentar
a elaboração da proposta. Elaborou a atividade, orientou para a resolução dos
problemas propostos e apontou que sua proposição é apenas um complemento para
a rotina escolar, além de sugerir a adequação de materiais e atividades, mas ressalta
que é indispensável que atividades não rotineiras são necessárias para tornar o
ensino mais agradável de ser ensinado e de ser aprendido.
95 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O objetivo da pesquisa de Palles (2013) foi estudar a visualização
geométrica dos “registros figurais dinâmicos”, definido pela autora como registro
figural utilizado e ambientes de geometria dinâmica, por meio da Teoria dos Registros
de Representações Semióticas. A pesquisadora utiliza o aporte teórico de Duval
(2003, 2004 e 2012) associada ao software Cabri 3D7, utilizou a teoria citada na
análise dos resultados de uma SD proposta por Possani (2012), para a construção de
uma fórmula para o cálculo da medida do volume de um icosaedro e buscar meios
para saber se a mesma permite o desenvolvimento da visualização de acordo com
Duval (2004). Para a autora,
a tecnologia pode ser usada na educação matemática como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação à medida que facilitam as construções geométricas e suas modificações para que os alunos possam se dedicar à análise dos resultados. (PALLES, 2013, p. 13)
Ao corroborar com Duval (2004 apud PALLES 2013, p. 13), a autora afirma
que “a visualização é a atividade cognitiva, intrinsecamente semiótica, ao considerar
esta atividade de representação e não apenas de percepção” e Garcia (2006 apud
PALLES, 2013, p.13) afirma que “a visualização torna-se uma forma mais efetiva para
uma melhor compreensão da Matemática apesar das linguagens verbais e escritas
serem as mais utilizadas em sala de aula”, a autora desenvolve uma revisão
bibliográfica as quais acrescentou os autores Garcia (2007) na educação Matemática,
Alves (2004), na área de informática Cavalca (1997) e Becker (2009).
A pesquisa apoia-se na psicologia da Gestalt, pelo caráter de estudos da
percepção, aprendizagem e solução de problemas. Na sua revisão de estudos pôde
identificar diversos elementos de outros teóricos como Piaget, Vigostky e Van Hiele
que contribuísse com o tema, dedica-se a responder sua questão de pesquisa: Quais
os elementos essenciais para o desenvolvimento da visualização estão presentes em
uma SD para a construção da fórmula para o cálculo de medida do volume do
icosaedro por meio do software dinâmico Cabri 3D? (PALLES, 2013, p. 8). Afirma
ainda ter identificado que o desenvolvimento das habilidades visuais é um fator
importante e comum a outras áreas, a exemplo informática, cultura e atividade e
desenho.
7 Software de Geometria Dinâmica, pago, que permite visualização e a construção de figuras planas e espaciais.
96 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Os procedimentos metodológicos adotados nesse trabalho perpassam
inicialmente pelo estudo de caso, ao assumir um caráter analítico, busca a semiótica
como aporte teórico e que após a análise documental, analisou as situações
apresentadas na sequência de Possani (2012) a fim de identificar elementos
essenciais das configurações envolvidas, pois para Palles:
A conversão de uma representação “é a transformação dessa função, em uma interpretação em outro registro, conservando a totalidade ou parte somente do conteúdo da representação inicial” (Duval, 2012, pag. 272). São exemplos de conversões: a ilustração que converte uma representação linguística em representação figural8, a ilustração que converte uma representação linguística numa determinada língua em outra representação linguística de outra língua, dentre outros. (PALLES, 2013, p.37).
Após a análise de cada atividade proposta na sequência, a autora faz as
considerações baseadas no aporte teórico, em que descreveu toda a atividade e
chama a atenção para a existência de muitas lacunas a respeito da visualização
espacial, e conclui que percebeu –se o papel heurístico da figura em grande parte das
atividades, no entanto, as atividades deveriam ser melhor exploradas, pelo fato de que
as mesmas prenderam –se muito a um “passo a passo”. Outra observação foi quanto
aos tratamentos figurais e consequentemente as apreensões sequencial, perceptiva
e operatória, assim, o conjunto de atividades que compõe a sequência não permite o
desenvolvimento da visualização (PALLES, 2013, p. 69).
De caráter experimental, o trabalho de Santos e Weber (2014) fazem um
estudo sobre “Realidade no espaço virtual: micromundos no ensino de Geometria”,
com o objetivo de investigar o potencial de ambientes virtuais em 3D para o ensino de
Geometria Espacial. Utiliza o ambiente Second Life9 para a o auxílio na criação de
conceitos sobre poliedros.
Os autores apoiaram-se no conceito de polifonia de Bakhtin para a
diferenciação entre o discurso utilizado no laboratório de informática e no discurso
encontrado em sala de aula, consideram ainda que no mesmo ambiente é possível
considerar várias “vozes” que possuem o mesmo valor, nesse caso, considera-se o
diálogo entre o aluno, o objeto e o professor, no experimento.
8 é uma representação gráfica de uma marca comercial ou da sigla de uma instituição, apresentada
na forma de figura. 9 Second Life- Ambiente virtual tridimensional que simula aspectos da vida real e do cotidiano das pessoas inclusive com a utilização de avatares.
97 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A partir da nova realidade que considera a inclusão digital ocorrida
atualmente, é impossível não considerar a relação que os alunos possuem com as
tecnologias digitais, nesse contexto, os autores buscam fundamentação no
construcionismo de Papert, em que o mesmo defende que:
podem existir obstáculos nesse processo relacionados à possibilidade de haver conflito entre o novo conhecimento e o que se observa na experiência cotidiana. Segundo ele, os micromundos são como “um ambiente de aprendizagem interativa baseado no computador onde os pré-requisitos estão embutidos no sistema e onde os aprendizes podem tornar-se ativos, arquitetos construtores de sua própria aprendizagem” (PAPERT, 1985, p.151) apud (SANTOS E WEBER, 2014, p. 156)
Sob o ponto de vista exposto acima, os autores trazem uma reflexão acerca
da importância do micromundo como proposta pedagógica capaz de sanar problemas
pedagógicos existentes na estrutura do conhecimento, à medida em que proporciona
ao aluno a construção de situações de erro a partir do ambiente, valoriza este erro
como ponto de partida para o estudo.
Outro aspecto importante do trabalho é a análise do objeto, tratada no
modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, pois os autores
citam o modelo como uma possibilidade para identificar se houve aprendizado do
objeto proposto, pois Santos e Weber (2014) afirmam que segundo Van Hiele (1985),
é imprescindível que o professor conheça o nível do pensamento geométrico em que
o aprendiz se encontra para que tenha condições de aproximar-se deste em seu
planejamento. Desta forma, pode-se utilizar os níveis propostos pelo modelo para
avaliar a aquisição do conhecimento geométrico proposto na pesquisa.
As atividades da pesquisa foram desenvolvidas a partir da criação de um
laboratório no Second Life com seis salas que contém vinte e oito objetos dispostos
estrategicamente para a construção do conceito de poliedros a partir das fases do
desenvolvimento de Van Hiele. Participaram do experimento, 107 alunos do ensino
médio de duas escolas do Rio Grande do Sul. Os alunos dividiram-se em grupos de
até quatro integrantes, criaram um avatar para cada grupo e desenvolveram
atividades dentro e fora da sala de aula, com e sem a presença do professor. Os
sólidos foram distribuídos por salas com níveis diferentes e com perguntas abertas e
de identificação de elementos, de acordo com os níveis considerados pelo modelo de
Van Hiele, direcionadas a cada um quando clicados com duração estipulada a cada
pergunta.
98 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
No desenvolvimento das atividades no ambiente virtual, o professor,
independente de estar a distância, comunicava-se com os alunos via chat. Sobre
algumas posturas dos discentes envolvidos, cabe destacar duas fases do aprendizado
de Van Hiele: a interrogação e a orientação dirigida. Elas estavam presentes nas
intervenções do professor quando questionou sobre escolhas dos alunos frente às
perguntas propostas. Segundo os autores,
a partir da análise dos textos apresentada, podemos considerar que as interações entre objetos e avatares, por conversação ou de forma visual, foram fundamentais para que houvesse reflexões acerca de conceitos envolvidos na construção de um poliedro e avanços no pensamento geométrico. Notamos também que a disposição dos objetos, aliada a postura do professor, preconizou o domínio do dialogismo nas interações textuais, o que foi determinante para a presença de uma aprendizagem mais centralizada nas ações dos aprendizes. Portanto, consideramos que a imersão no laboratório virtual construído no Second Life propiciou simulações importantes para a evolução do pensamento geométrico do sujeito, o que nos faz crer que o micromundo em questão pode ser um diferencial para o desenvolvimento do pensamento geométrico. (SANTOS e WEBER, 2014, p. 167).
Fica clara a necessidade de abrirmos espaço para atividades e
metodologias aplicadas a partir de tecnologias digitais, uma vez que tais recursos
fazem parte do cotidiano, hoje, da maioria dos lares brasileiros, e a escola não pode
ficar à margem da realidade social vivenciada pelos nossos alunos. Dessa forma, a
interpretação dada à atividade desenvolvida no trabalho corrobora com tal importância
dada, e demonstra-se o modelo de Van Hiele como importante teoria para
compreender o nível de ensino e aprendizado em Geometria a ser trabalhado pelo
professor.
Schnornberger (2014) aplicou uma SD que explora atividades de
visualização bidimensional e tridimensional com o objeto digital de aprendizagem
Pletora de Poliedros10 (Fig. 31), a partir do estudo de caso numa escola de ensino
médio da rede estadual da cidade de Canoas-RS.
O pesquisador coletou dados a partir dos resultados de exercícios e
atividades propostas como diagnósticas com questões propostas no Exame Nacional
do ensino médio e vestibulares de diversas instituições. Os aspectos socioeconômicos
também foram verificados a partir de um questionário e os aspectos pedagógicos, em
10 Objeto digital de aprendizagem. Disponível para download em http://www.uff.br/cdme/ ou
http://www.cdme.im-uff.mat.br/. (SCHNORNBERGER, 2014, p.7)
99 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
um diário de campo, no qual registrou suas percepções sobre as atividades com base
na sua fundamentação teórica.
Figura 31: Resolução de atividade proposta por Schonornberger
Fonte: SCHNORNBERGER (2014, p. 51)
Para o estudo, utilizou-se como principais bases a teoria do
desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele (1957 apud Kallef 1994), e
sobre tecnologias Garcia (2012), Gravina et al.(1996, 2012) e Azevedo (2010).
“Entendo que na escola não há, atualmente, como todos os professores
utilizarem o laboratório de informática ou projetos ao mesmo tempo, mas uma
atividade prática como a proposta, contribui para sair da rotina da sala de aula”, afirma
Schnornberger (2014, p. 62).
O trabalho de Souza (2016), desenvolveu um estudo de caso, que objetiva
analisar o processo de formulação e resolução de problemas geométricos por alunos
do 3º ano do ensino médio, com base em atividades que se utilizam de materiais
manipulativos e atividades fundamentadas nos estudos de Stoyanova e Ellerton
(1996). Tal pesquisa foi desenvolvida no âmbito de um projeto submetido ao Programa
Observatório da Educação, da CAPES, e descreve-se como natureza qualitativa. Os
dados criados, foram coletados por meio de entrevista com base em Marconi e
Lakatos (2003), escrita dos alunos, áudios e vídeos.
Sobre o objeto de pesquisa, delimitou-se os sólidos de Platão, no entanto,
foram utilizados diversos sólidos em acrílico nas formas de cubo, cones, esferas,
Pirâmides e prismas além de moldes em cartolina guache.
100 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Os resultados apresentaram que os discentes possuem grande dificuldade
em conteúdos geométricos, fortes implicadores de dificuldades na resolução de
problemas. Dessa forma, na formulação, muitos equívocos foram apresentados pelas
tentativas de participação de elaboração de problemas geométricos, uma vez que o
produto de tais atividades, embaraçaram-se entre situações não geométricos, e,
geométricos com ou sem dados numéricos, demonstra haverem apenas uma mesma
estratégia tanto ao elaborar, quanto ao responder aos problemas.
Medeiros e Santos (2007) citados no trabalho, partem do princípio de que
na Matemática, a atividade de reformulação é tão importante quanto a resolução,
constituindo um rico potencial didático, associada à criatividade a ao pensamento
contextualizado dos alunos enquanto Silver (1997) destaca que é fundamental para a
disciplina de Matemática a para a natureza do pensamento matemático, com a
promoção de abordagens mais criativas aos alunos (SOUZA, 2016).
Em suas referências bibliográficas, o autor aponta que a Geometria é um
dos assuntos presentes no ensino fundamental e médio tão importantes como
quaisquer outros e que, de acordo com os PCN (Brasil, 1998, 2002) tal conteúdo
deverá ser abordado na forma de espiral em todos os anos de estudo dos níveis
citados, aprofundou a abordagem de acordo com a série. No entanto, muitos
professores ainda resistem em trabalhar Geometria no currículo escolar nas mais
variadas séries. Por outro lado, autores como Pavanello (1993), Lorenzato (1995,
2002), que fazem parte do referencial teórico do trabalho em questão, apresentam
causas e consequências que justificam a importância do tema na educação básica,
donde Pavanello e Andrade (2002) acrescentam que a Geometria é uma das áreas
da Matemática que mais propiciam o desenvolvimento de capacidades intelectuais
como a criatividade e a percepção espacial.
A metodologia de resolução de problemas, embora não sejam tão efetivas
nas aulas de Matemática, é conhecida por muitos professores, e na Geometria
Espacial permite, dentre muitas possibilidades,
usar as formas geométricas para apresentar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para a resolução de questões de matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas. (BRASIL, 2002, p. 120 apud SOUZA, 2016, p.19).
101 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Além de um histórico sobre o ensino de Geometria no Brasil, o trabalho
apresenta abordagem no âmbito das tecnologias e cita possibilidade do
desenvolvimento de atividades nos softwares poly e GeoGebra. O autor aborda Kaleff
(2003) para fundamentar-se em materiais manipulativos, critica a abordagem de
Geometria no quadro, apenas com desenhos na lousa e com o pincel não associou-
os com objetos do cotidiano. Neste trabalho, defende-se uma abordagem com
materiais didáticos concretos, de baixo custo e de grande valor sócio cultural, para o
ensino e aprendizagem de Geometria, pois ajuda o aluno a desenvolver a habilidade
da visualização, a construir, a explorar, comparar, fazer descobertas e analisar
propriedades, afirma Souza (2016).
O trabalho destaca diversos pontos de vista sobre a resolução de
problemas por meio das pesquisas de Branca (1997), Zuffi e Onuchic (2007), Onuchic
(1999), Van de Walle (2009), Calejjo e Vila (2004), e, Polya (1997), em que o último
sugere quatro etapas para a resolução de problemas: compreensão, elaboração de
um plano, execução do plano, e, retrospecto ou verificação. Destaca que por meio da
resolução de problemas devemos deixar de lado a sequência: “definição, exercício,
problemas” e passar a usar a tríade sequencial “problema, definição, exercícios e mais
problemas”. Acentua a contribuição de Rego e Paiva (2009) e D`Ambrósio (2008).
Smole e Diniz (2001) contribui com as definições sobre resolução de problemas e os
classifica em problemas convencionais e não-convencionais, esta última categoria
subdividida em: problemas sem solução, com mais de uma solução, com excesso de
dados e de lógica.
Na análise de resultados, Souza (2016) se reportou a Bogdan e Biklen
(1994) no processo de busca e de organização sistemática de transcrição de
entrevistas, notas e de campo e outros materiais acumulados ao longo da pesquisa,
destacam os problemas geométricos e não geométricos.
O autor detalha minunciosamente todas as situações problema
desenvolvidas apoiados nas ideias de Kaleff (2003), e não economiza nos registros e
diálogos entre os envolvidos, e, por fim, conclui que apesar das atividades baseadas
em material manipulativo serem mais atrativas, contrastam-se com as dificuldades na
resolução e formulação de problemas geométricos, principalmente por não terem base
em relação a conceitos e propriedades dos sólidos. Para o autor, “um bom ensino de
Matemática deve propiciar aos alunos a exploração do seu raciocínio, o
102 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas e o potencial criativo
dos alunos.” (SOUZA, 2016, p. 116).
Conclui que a aprendizagem dos alunos deve ser efetivada a partir de
tarefas além das rotineiras e que a resolução de problemas está diretamente ligada à
criatividade. Com a apresentação da proposta de resolução de problemas
geométricos, os sujeitos da pesquisa sentiram-se menos intimidados pela Matemática.
Observa-se nas pesquisas supracitadas que o ensino de geometria embora
ainda se apresente numa abordagem clássica ou tradicional, muitas intervenções
pedagógicas com a utilização de tecnologias e material concreto empregadas com
êxito. Por outro lado, percebemos que não há um cuidado em relaciona-las com as
competências e habilidades necessárias para o êxito do estudante em avaliações
externas de larga escala, ainda distante da prática docente, embora já haja o cuidado
com questões mais contextualizadas que permitem observar atitudes e procedimentos
dos estudantes sobre o objeto de estudo, desta forma, acreditamos que a
contextualização das questões empregadas neste trabalho irão contribuir no tocante
à integralização do tema com o alinhamento às matrizes avaliativas externas.
1.2.1 Dos objetivos dos trabalhos revisados
O quadro abaixo, apresenta o objetivo principal de cada trabalho lido na
revisão de estudos, como forma de sintetizar as principais ideias por eles
apresentados. Procuramos categorizá-los em três grupos por níveis de pesquisa de
acordo com Selltiz (1967, apud GIL, 2008, p. 27): estudos descritivos, estudos
explicativos e estudos exploratórios. As pesquisas descritivas “têm como objetivo
primordial a descrição das características de determinada população ou fenômeno ou
o estabelecimento de relações entre variáveis”; “as pesquisas explicativas têm como
preocupação principal a identificação de fatores que determinam ou que contribuem
para a ocorrência dos fenômenos”; e; os estudos exploratórios “têm como principal
finalidade desenvolver, esclarecer e modificar conceitos e ideias, tendo em vista a
formulação de problemas mais precisos ou hipóteses pesquisáveis para estudos
posteriores” (GIL, 2008, p. 27).
103 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 6- Objetivos dos trabalhos revisados
Código Categoria Título Objetivo
T8
Estudos Descritivos
PEREIRA, L. David. Projetos de modelagem matemática no ensino para a aprendizagem de Geometria Espacial no 2º ano do ensino médio.
Identificar e analisar as possíveis contribuições da realização de Projetos de modelagem matemática à aprendizagem de conteúdos de Geometria Espacial, por alunos do 2º ano do ensino médio.
T12
VIANA, O. Aparecida. Avaliação dos desenhos de planificação de figuras geométricas no Ensino Básico.
Analisar desenhos de planificação de superfícies elaborados por estudantes de ensino básico, de modo a avaliar: (a) A identificação de
propriedades das figuras geométricas espaciais mais comuns estudadas ao longo do ensino básico.
(b) O estabelecimento de relações espaciais designadas como noções projetivas referentes à construção do espaço representativo.
T2
Estudos Explicativos
BOIAGO, C. E. P. Área de figuras planas: uma proposta de ensino com modelagem matemática.
Verificar quais são as contribuições de uma proposta de ensino de Geometria Plana.
T3
BORSOI, Caroline. Geogebra 3D: no ensino médio: uma possibilidade para a aprendizagem da Geometria Espacial.
Provocar o desenvolvimento do pensamento geométrico espacial, nisso tira-se proveito dos recursos de representação que se tem no software, especialmente aquele que diz respeito a interação dinâmica entre as representações do objeto tridimensional e diferentes planos de corte.
T1
BITTENCOURT, P. M. Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos: Pantógrafo. Facilitar a visualização do
ensino de determinados conteúdos matemáticos.
T4
CORDEIRO, J. C. da S. Utilização do GeoGebra na Construção de Instrumentos: Elipsógrafo.
T13 ZILKHA, P. M.
104 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Estudos Exploratórios
Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos: Teodolito.
T5
MEDEIROS, R. B de. Construção de sólidos
geométricos com a aplicação de softwares
educativos.
Auxiliar alunos do ensino médio com o estudo de Geometria a partir de softwares educacionais.
T6
MORAES, L.de S. de. A Geometria Espacial no ensino médio: um estudo sobre o uso do material concreto na resolução de problemas.
Utilizar os diversos tipos de materiais concretos existentes para resolver problemas.
T7
PALLES, C. Molina Um estudo do icosaedro a partir da visualização em Geometria Dinâmica.
Analisar por meio da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval uma SD para a construção de uma formula para cálculo de volume do icosaedro.
T9
SANTOS, R. P. dos; WEBER, J. M.
Realidade no Espaço Virtual: Micromundo do ensino de Geometria.
Investigar o potencial de ambientes virtuais em 3D para o ensino de Geometria Espacial
T10
SCHNORNBERGER, Thiago.
O uso da pletora de poliedro no ensino de Geometria Espacial
Testar e analisar as contribuições do uso de objetos digitais de aprendizagem em sala de aula, com softwares, no ensino e na aprendizagem de Geometria Espacial.
T11
SOUZA, S. A. de A formulação e a
resolução de problemas geométricos com base
nos sólidos geométricos.
Analisar o processo de formulação e resolução de problemas geométricos por alunos do 3º ano do ensino médio, com base em atividades que se utilizam de materiais manipulativos
Fonte: Autor (2018)
Seguem alguns comentários sobre os trabalhos analisados e suas
contribuições para nossa pesquisa.
Dentre as treze pesquisas analisadas, nove delas (T1, T2, T3, T4, T5, T7,
T9, T10, T13) utilizam softwares matemáticos para o ensino de Geometria Espacial e
utilizam na maioria das vezes o software GeoGebra, no entanto, apenas “T3”, “T7” e
“T10” propõem atividades específicas sobre o ensino de Pirâmides, contudo, os
105 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
trabalhos “T6”, “T8”, “T11” e “T12” utilizam material manipulativo ao invés de softwares
e apresentam atividades consideráveis sobre o objeto de pesquisa.
Os estudos aqui analisados apresentam atividades que tratam de
planificação de superfícies, elementos, classificação, relação de Euler, área total,
volume, tronco, resolução de problemas, história, construção com material concreto
reciclável, construção de Pirâmides com software de Geometria Dinâmica, resolução
de problemas com Pirâmides e construção de outros sólidos a partir da Pirâmide
(icosaedro). A sequência de conteúdos comumente apresentada nos livros didáticos
são consideradas mais importantes por parte dos professores, que se por um lado
desconhecem teorias que tratam sobre o conhecimento geométrico, por outro, não
apresentam nenhuma abordagem instrumental dos softwares utilizados,
consequentemente priorizadas no desenvolvimento do conteúdo de sala de aula numa
abordagem clássica de ensino que se utilizam de tecnologias como um diferencial da
explanação do conteúdo.
Outra característica observada foi o fato da utilização da modelagem
Matemática em quase um terço dos trabalhos analisados: “T2”, “T5”. “T6”, “T8”. Tais
indicadores apontam que o ensino tradicional está a cada dia mais deixado distante
do primeiro plano para o desenvolvimento de propostas de ensino de Matemática, ao
permitir que o docente aplique diferentes procedimentos e metodologias em sua
prática, com o favorecimento de um ensino amplo e diversificado em contribuição à
formação de um aluno mais crítico e autônomo.
Os estudos de “T8” e “T12”, revelam características dos estudantes na
construção e desenvolvimento de competências importantes e necessárias para
enfrentar os desafios do mundo atual como saber observar, explorar e investigar;
estabelecer relações, classificar e generalizar; ou ainda, instrumentalizá-lo de forma a
argumentar, poder tomar decisões e criticar, ao mesmo tempo em que pode-se
perceber que o ensino de planificações não deve prescindir da construção das noções
constitutivas do espaço representativo, e que planificar figuras espaciais não é tão
simples como muitos pensam, no entanto, ferramentas tecnológicas como softwares
tem papel importante para o desenvolvimento da capacidade de abstração do aluno e
um caminho possível nos dias atuais, mas que também podem ser potencializadas
por recursos que envolvam material concreto.
Na categoria de estudos explicativos, as pesquisas “T2” e T3”, apresentam
observações de semiótica e acompanham formas de apreensões figurais com a
106 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
utilização de atividades baseadas na manipulação de softwares ou não, ambas
contribuem para a exploração heurística de situações Matemáticas. Abre
possibilidades de estudos de outras características dos sólidos, ao mesmo tempo em
que fogem da mera abordagem clássica do cálculo de áreas e volumes como
prioridade para o ensino de Geometria Espacial, aplica-se também às Pirâmides. O
uso das ferramentas utilizadas explicitou representações muito próximas dos objetos
reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto, assim, superar
dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, essencial
para a formalização dos conceitos em Geometria que também foi um indicador
importante nestes trabalhos.
As pesquisas “T1”, “T4”, “T5”, “T6”, “T7”, “T9”, “T11” e “T13” revelaram a
valorização do enfoque experimental e o uso de situações do cotidiano como um
procedimento possível em detrimento das aulas baseadas na tríade: “definição,
exemplo seguida de resolução de exercícios”. “T1” destaca que manipulação de
instrumentos por meio de simulações virtuais, contribui para a motivação dos alunos,
“T4” afirma que mediante construção do elipsógrafo descortina aulas mais atrativas
que facilitam o aprendizado. “T5” ressalta em seu trabalho que a utilização do
Scatchup sinalizou para o maior interesse, o despertar da criatividade e o crescimento
qualitativo na aprendizagem de seus alunos. De outro ponto de vista, “T6”, alerta que
a utilização de material concreto é de suma importância desde que tenham uma
conexão com o exercício proposto, e que, por si só não adianta o material sem
atividade nem tampouco a atividade sem o material, porém, este serve apenas como
apoio para que o aluno desenvolva seu processo de raciocínio até que não seja mais
necessário o seu uso.
Verificamos uma lacuna quanto ao uso de questões nos moldes dos itens
cobrados em avaliações externas de larga escala, fator que julgamos de grande
relevância para o ensino, dessa forma optamos por abordar neste trabalho pelo fato
de ao mesmo tempo em que contribui para o aprendizado, oportuniza-se o
alinhamento entre currículo e objetivos de aprendizagem.
Acrescentamos ainda, a descrição dos trabalhos de Almeida (2015) e
Salazar (2009), por considerar que a leitura de ambos, contribuíram substancialmente
para o entendimento das questões ligadas aos aspectos conceituais deste trabalho.
Passamos agora a descrever algumas características das leituras e posteriormente
suas contribuições.
107 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 07 - Relação de textos complementares Código Título Instituição Autores
TC1
A base do conhecimento para o
ensino de sólidos arquimedianos.
Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo- PUCSP.
ALMEIDA, Talita C. S. de.
TC2
Gênese Instrumental na interação com o
Cabri 3D. Um estudo de transformações
geométricas no espaço
Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo-PUCSP.
SALAZAR, J. V. Flores.
Fonte: Autor (2018)
O trabalho de Almeida (2015) teve como objetivo identificar os saberes
docentes mobilizados para que os sólidos arquimedianos sejam ensinados. Sem a
intenção de seguir o viés dos saberes docentes sobre o ensino de Geometria, torna-
se imprescindível termos uma visão geral para análise de aspectos importantes na
proposição de intervenção do experimento. Propõe uma reflexão sobre o ensino de
Geometria no Brasil e algumas concepções de base de conhecimento para o ensino
a partir de materiais manipulativos e softwares de geometria dinâmica.
Nos estudos de revisão, a autora se baseia nos sólidos arquimedianos, nos
trabalhos de Fernandes (2008), Silva (2008), Almeida (2010), Tramm (2002, 2011),
Silva e Almouloud (2013), Bicalho (2013); e; Rodrigues, Varbanek e Estevam (2013).
Nas considerações sobre os estudos realizados, a pesquisadora descreve que nas
pesquisas observadas os termos “sólido” e “poliedro” são tratados como sinônimos,
no entanto possuem definições diferentes. Apontamentos como a possibilidade de
promoção do diálogo da matemática com outras disciplinas quando o objeto
matemático é ensinado, atentou-se ainda para a importância da contextualização e
interdisciplinaridade nos Documentos Oficiais de Educação em Matemática também
são diferencias observados em seu trabalho.
Sobre o ensino, propõe uma análise dos trabalhos de Tardif (2002),
Gauthier (1998) e Shulman (1986, 1987) de maneira que aponta que os três autores
comungam com a ideia de que existe uma base de conhecimento para o ensino,
embora difícil de defini-la, por estar em constante mudança. Apresenta, por fim, uma
forma de abordagem do pedagógico alinhado ao matemático para a construção da
problemática do seu estudo, representada a partir da seguinte questão: qual a base
do conhecimento para o ensino dos sólidos arquimedianos na escola básica?
108 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A metodologia empregada na pesquisa possui caráter exploratório, com
coleta e análise de dados mediante pesquisa bibliográfica sobre o conhecimento
matemático e tecnológico para o ensino, Teoria Antropológica do Didático,
organização praxeológica, saberes docentes e sólidos arquimedianos, truncamento
como modelo epistemológico de referência a partir dos tipos de truncamento e tarefas
posteriormente analisadas.
A autora apresenta algumas reflexões sobre Organizações Didáticas (OD)
compostas por tarefas, técnicas, tecnologias e teorias mobilizadas para o objeto da
pesquisa, a qual indica as técnicas como pontos centrais para o estudo didático.
Quanto às tecnologias, na sua maioria softwares que requerem conhecimento de
utilização, são fortes aliados no processo de ensino, mas que apresentaram limitações
quanto ao truncamento, e, que o conhecimento matemático arquimediano por si só
não é suficiente para apontar a base de conhecimento que o ensino exige.
Almeida (2015) conclui após reconhecer a importância das tecnologias
digitais como uma boa alternativa para o ensino de geometria e na superação de
práticas antigas do ensino. Reconhece a terceira categoria de Shulman (1986, 1987)
e colaboradores sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo como conhecimento
didático específico que o professor deve possuir para ensinar um conteúdo a seus
alunos. Sobre o objeto da pesquisa, identifica a pouca literatura existente e
consequentemente a abordagem pouco efetivada nas salas de aula da educação
básica e encontra na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1999) que
orienta o professor na escolha das situações que favorecem o ensino.
A pesquisa de Salazar (2009) teve como objetivo observar como os
estudantes do segundo ano do ensino médio apropriam-se das transformações
geométricas no espaço, quando interagem com o ambiente de Geometria Dinâmica
Cabri 3D, bem como qual raciocínio mobilizam quando desenvolvem atividades que
abrangem esse conteúdo. Nesse estudo, a autora utiliza os registros da semiótica de
Duval para analisar as relações ocorridas entre o instrumento, o sujeito e o objeto
propostos na Teoria da Gênese Instrumental de Rabardel. A metodologia de pesquisa
utilizada foi a Engenharia Didática, e para validar seu experimento, fez uso de
questionários, observações e gravações (em vídeo e nas telas dos computadores).
As atividades desenvolvidas permitem o desenvolvimento de uma
abordagem clara sobre os esquemas de utilização, capaz de destacar
109 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
sistematicamente os conceitos em ato e as regras de ação, como invariantes
operatórias de Vergnaud (1996) em cada atividade proposta.
O objetivo e a metodologia deste trabalho nos permitiu refletir sobre o tipo
de atividades a serem desenvolvidas capazes de validar a sequência nossa
sequência, uma vez que, inicialmente estávamos nos propondo a desenvolver o
ensino por atividades de redescoberta, mas para isso, pensamos num modelo de
permitia o aluno explorar aplicativos matemáticos, mas, uma das limitações
observadas nessa procura consistia no fato de que a grande maioria de aplicativos
e/ou objetos de aprendizagem disponíveis nos repositórios para o Ensino de
Matemática sobre o objeto da pesquisa, engessava a proposta do ponto de vista de
adequação à variedade de dados do problema e a grande maioria dos recursos
disponíveis, não nos permitiu construir o aplicativo aos moldes do problema, mas
apenas manuseá-lo, sem considerar o perfil do público selecionado para o
desenvolvimento de nosso estudo.
A autora conclui, mediante descrição dos aspectos mais importantes do
trabalho: quadro teórico e metodológico, a parte experimental, principais resultados e
as novas perspectivas de investigação. Da teoria da instrumentação, considerou de
grande relevância por permitir o detalhamento das ações da Gênese Instrumental. Da
semiótica, julgou positivo atentar para os olhares dos estudantes quanto à
visualização das figuras. Sobre a Engenharia Didática, apontou os ganhos da
organização metodológica indicadas pelos autores que a norteiam.
Os principais resultados alcançados foram:
- O Cabri 3D era um artefato para os estudantes, que após a experimentação
transformou-se em instrumento;
- A falta de experiência dos estudantes não se constituiu em obstáculo para os alunos,
resultado contrário do que pensava a autora;
- A autonomia de manuseio do software dos alunos foi crescente em cada atividade
proposta;
- As perspectivas futuras são de estudos com isomerias na interação com o Cabri 3D
ou com outros softwares que articulem ainda mais os ambientes informáticos com o
lápis e papel.
O trabalho desenvolvido por Salazar (2009) nos forneceu contribuições no
âmbito de olhar com mais profundidade no que tange à Teoria da Gênese Instrumental
110 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
de Rabardel (1995) bem como em como propor e analisar algumas atividades do
nosso experimento.
As pesquisas acima, apresentam atividades didáticas em sua maioria
voltados para os registros e representações semiótica, principalmente para a
visualização de figuras e registros escritos. Embora o trabalho de Almeida (2015) seja
direcionado especificamente para a formação docente, o mesmo nos oferece
embasamento
Para Zabala (1998),
a exposição de um tema, a observação, o debate, as provas, os exercícios, aplicações, etc., podem ter um caráter ou outro segundo o papel que se atribui, em cada caso, aos professores e alunos, à dinâmica grupal, aos materiais utilizados, etc. Mas o primeiro elemento que identifica um método é o tipo de ordem em que se propõe as atividades (ZABALA, 1998, p. 53)
No tocante à utilização de softwares, percebemos que poucos trabalhos
apresentaram cuidados com as etapas ordenadas de manuseio desses recursos no
tocante a suas etapas de apropriação de conhecimento agregado ao estudo do objeto.
Com essa afirmação, não pretendemos fazer juízo de valor de nenhuma metodologia
utilizada, pois cada uma delas possui aspectos suficientemente positivos. De qualquer
forma, queremos justificar a necessidade de utilização de um aporte teórico que nos
permita compreender como os alunos se apropriam do domínio dos softwares ao
mesmo tempo em que aprendem matemática, daí a importância do trabalho de
Salazar (2009).
Por tudo isso, esses estudos nos auxiliaram nas tomadas de decisão em
relação a vários pontos de nossa pesquisa, entre eles, a necessidade de conhecer o
nosso público no sentido de propormos uma SD na perspectiva ora apresentada,
portanto, realizar uma consulta com estudantes com o intuído de produzir informações
a respeito do processo de ensino e aprendizagem de Pirâmides, apresentadas a
seguir.
1.3 Consulta a discentes
Nesta subseção apresentamos de forma sucinta os principais resultados
de uma consulta realizada a 195 (cento e noventa e cinco) alunos do 3º ano do ensino
médio de escolas públicas estaduais jurisdicionadas à URE de São João dos Patos-
111 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
MA, durante os meses de junho de 2017 e maio de 2018. As informações foram
produzidas por meio da aplicação de um questionário (Apêndices C e D) composto
por perguntas com questões dicotômicas (sim ou não) e questões de múltipla escolha
referentes ao perfil discente (idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, hábitos de
estudos e afinidade com a Matemática e com tecnologias digitais); à prática
pedagógica no ensino de Pirâmides percebidas pelos alunos; e, ao grau de dificuldade
quanto ao aprendizado deste conteúdo.
O objetivo desta consulta foi identificar o uso de tecnologias digitais e a
relação com o objeto de pesquisa, ao considerar características capazes de apontar
indícios que contribuam para a elaboração de uma SD que considere suas
características estudantis e de aprendizagem. Aplicado presencialmente pelo
pesquisador, foi tabulado em seguida com o auxílio da planilha eletrônica Microsoft
Excel.
A lista de perguntas foi subdividida em três etapas: (i) perfil sócio
econômico e estudantil; (ii) conhecimento e utilização de tecnologias; (iii) percepção
dos alunos quanto ao grau de dificuldade em estudar tópicos relacionados aos
conteúdos de Pirâmides. A primeira seção foi constituída de 22 perguntas que tinha
por objetivo identificar o perfil dos alunos consultados. As perguntas de 23 a 30 foram
destinadas ao conhecimento dos recursos tecnológicos e sua utilização em aulas de
Matemática e tinha por objetivo perceber como os alunos se apropriavam destes
recursos como instrumentos de auxílio ao processo de aprendizagem da Matemática
dentro e fora da escola. A terceira e última etapa, trazia 53 (cinquenta e três) tópicos
referentes ao estudo de Pirâmides. Os alunos foram questionados no tocante a suas
percepções quanto ao grau de dificuldade de aprendizagem sobre Pirâmides. As
opções utilizadas para identificar os níveis de dificuldade eram “muito fácil”, “fácil”,
“regula”, “difícil” e “muito difícil”, além da opção de não ter estudado cada um dos
tópicos. Os resultados estão dispostos no Apêndice G e seguem apenas um resumo
para contextualização.
1.3.1 Perfil da amostra – Quem foram os discentes consultados
A sistematização dos resultados indica que dentre os 195 alunos
consultados; 59,5% eram do gênero feminino e 40,5% do gênero masculino. Quanto
à faixa etária dos estudantes, percebeu-se um intervalo com amplitude expressiva,
112 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
com variação entre 15 a 22 anos. A distribuição apresenta desvio padrão de 4,132 e
coeficiente de variação igual a 24,2% o que aponta para uma amostra bastante
heterogênea, e que ao menos 22% dos estudantes consultados estão acima da média
das idades que é de 17 anos, considerada a mais adequada para a série, por outro
lado, a distorção é significativa com 22%.
Dos entrevistados; 35,4% já foram reprovados em alguma matéria. Destes,
71% ficaram reprovados em Matemática. Apesar do alto índice de reprovação, a
maioria dos entrevistados (52,9%) afirmaram gostar da disciplina. Os dados revelam
ainda que; 72,6% vive com o pai e 90,5% com a mãe. Observamos também a
formação escolar da família, que julgamos também possuir papel importante na vida
escolar e consequentemente no desempenho dos estudantes. Dessa forma nossos
estudos apontam que apenas 7,7% dos responsáveis masculinos dos entrevistados
possuem o ensino superior já para as responsáveis femininas, o número sobre para
23,6%. Por outro lado, 60% dos pais e 35,9% das mães, ainda possuem formação
abaixo do nível médio.
Outra questão relevante e que pode estar diretamente ligada ao rendimento
escolar está relacionada ao tempo dedicado ao estudo da Matemática. Quando
questionados sobre a frequência com que estudam matemática fora da escola; 51,3%
dizem que só estudam em horário extracurricular no período de prova, e apenas 7,7%
afirmam se ocupam frequentemente com o estudo da matéria. Considera-se para
nossa interpretação que a escolha pela opção “somente no período da prova”
corresponde a um intervalo de até cinco dias antes da aplicação do instrumento
avaliativo, e a opção “somente nas vésperas” corresponde ao intervalo restrito a
apenas um dia antes da aplicação da atividade avaliativa.
Segundo Piaget (1977, apud MOREIRA, 2017, p. 100), o crescimento
cognitivo do indivíduo se dá por acomodação e assimilação. Nesse sentido,
corroboramos com Piaget quando afirma que não há acomodação sem assimilação,
em que a segunda “designa o fato de que a iniciativa na interação do sujeito com o
objeto é do organismo” e que o indivíduo constrói esquemas de assimilação mental
para abordar a realidade, e a primeira, ocorre quando na tentativa assimilar o
organismo (mente) se modifica sem desistir, é quando ocorre a acomodação. E por
último, ocorre o equilíbrio entre acomodação e assimilação, a qual ocorre a adaptação
à situação, caso onde ocorra o aprendizado.
113 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nesses termos, a equilibração só ocorrerá com a modificação da mente do
aluno, com esforços próprios para assimilar o conteúdo estudado, o que se torna
distante da realidade. Assim acreditamos que os estudos complementares extraclasse
podem contribuir significativamente com a aprendizagem, fator que se apresenta de
maneira precária frente aso dados coletados e representam um desafio à proposta da
nossa pesquisa.
Também era de interesse desse estudo saber se os conteúdos são
compreendidos nas explicações dadas pelos professores em sala de aula, em que
10,8% dos entrevistados afirmam compreender as explicações do seu professor de
Matemática e apenas 18,9% demonstraram nunca ou poucas vezes haver assimilação
dos conteúdos ensinados. Por outro lado; 95,9% dos alunos consideram que o
docente possui domínio do conteúdo tratado, e apenas 4,1% dos professores não
demonstram domínio nas aulas. A esse respeito, reportamo-nos aos estudos de
Almeida (2015) em que afirma que o domínio do conteúdo matemático pelo professor
é importante, porém, insuficiente para lhe dar com as exigências matemáticas que o
ensino o envolve. Segundo a autora “os saberes envolvidos partem da interação de
três componentes particulares de conhecimento: matemático, didático e tecnológico.
Sobre a relação dos conteúdos de Matemática com o seu contexto diário,
26,7% afirmaram conseguir relacionar a atividades práticas; 56,9% disseram que as
vezes e 16,4% afirmaram que não conseguem relacionar. Porém; 32,3% dos alunos
afirmam que as aulas de Matemática conseguem despertar sua atenção; 57,4%
disseram que isso ocorre as vezes e 10,3% disseram que não despertam nem um
pouco.
Em razão dos dados considerados acima, acreditamos na interação com o
meio para que haja a compreensão do que é ensinado, nesse sentido Vygosky (1987,
apud MOREIRA, 2017, p.108), esclarece que “os processos mentais superiores
(pensamento, linguagem, comportamento volitivo) têm origem em processos sociais”.
Para ele, o desenvolvimento cognitivo só ocorre com a conversão de relações sociais
em funções mentais, e este desenvolvimento se dá por mediação, que para Vygotsky
é típica da cognição humana, portanto, o professor, as ferramentas e seus métodos
são elementos importantes no processo, na motivação, no despertar da atenção do
aprendiz.
Perguntamos aos alunos se já estudaram o conteúdo de Pirâmides e em
que ano/série isso ocorreu, como resposta, obtivemos um percentual de 88,2% de
114 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
sinalizaram positivamente, em que 47,7% afirmaram ter estudado o conteúdo no 2º
ano, outros 19,5% no 3º ano e 8,2% ainda no 1º ano. Em consideração à grande
maioria que já tenha estudado o tema, acreditamos que este será um facilitador do
nas atividades propostas nesse estudo.
A introdução a um novo conteúdo é um momento crucial para a motivação
e para o desenvolvimento de atitudes positivas pelo estudante, dessa forma,
resolvemos perguntar “como o seu professor de Matemática costuma iniciar um novo
conteúdo, ao incluir o estudo de Pirâmides?”. Os resultados coletados demonstram
que a tríade “definição, exemplificação e exercícios” ainda permanece nas
abordagens feitas pelos professores aparece com 72,8% na opinião dos estudantes,
seguida da história do conteúdo com 14,3% e a apresentação de situações problema
como ponto de partida para a introdução do conteúdo com 10,3% como mostra a
Tabela 1.
Tabela 01: Abordagem inicial da aula pelo professor
Abordagem Quant. %
Pela definição seguida de exemplos e exercícios. 142 72,8 Pela história do assunto para depois explorar os conceitos. 20 10,3 Por uma situação problema para depois introduzir o assunto. 28 14,3 Por um modelo para situação seguida de sua análise. 5 2,6 Por meio de jogos para depois sistematizar os conceitos. 0 0,0 Por meio de um experimento para chegar ao conceito. 0 0,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
A tabela 2 apresenta os principais meios utilizados para exercitar os
conhecimentos assimilados nos conteúdos estudados. Assim para 42,1% dos alunos,
a prática de conteúdo é feita por listas de exercícios propostas pelo professor e para
48,7% o livro didático é a maior fonte de consulta para a resolução de questões.
Tabela 02: Prática do conteúdo proposta pelo professor
Abordagem Quant. %
Resolver a lista de exercícios propostos 82 42,1 Resolver atividades propostas nos livros didáticos 95 48,6 Participar de atividades com jogos 5 2,6 Pesquisar e responder questões de outras fontes 0 0,0 Outras formas 13 6,7 Não são propostas atividades de fixação 0 0,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
115 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A resolução de questões, propostas em atividades escritas são fortemente
utilizadas para a acomodação e equilibração dos conteúdos assimilados (MOREIRA,
2017), no entanto não são os únicos recursos, nem tampouco garantem ser mais
eficazes para a aprendizagem. Nesse contexto abre-se espaço para experimentar-se
outros meios que possam, além de dinamizar, proporcionar oportunidades de
aprendizagem. Dessa forma, cabe analisar o potencial das tecnologias, apontados por
Almeida (2015) como uma das competências para o ensino. Propomos então a
consulta no próximo tópico.
1.3.2 Os discentes a as tecnologias
A utilização de Tecnologias Digitais pressupõe o domínio de ferramentas
que auxiliem no ensino e consequentemente para a aprendizagem, no entanto, a
tecnologia por si só não garante o sucesso nas ações educativas. No entanto, a
escrita, a leitura, visão, audição, comunicação, criação e aprendizagem são
constantemente influenciadas pelos recursos tecnológicos (BRASIL, 1997), assim,
tanto a escola como o professor assumem novos desafios, em que um deles traz o
que está disposto no cotidiano tecnológico dos estudantes para dentro da rotina
escolar.
Segundo Moreira (2017), quanto mais instrumentos o indivíduo aprende
usar, tanto mais se amplia, de modo quase ilimitado, a gama de atividades nas quais
pode aplicar suas novas funções psicológicas. Sobre esse aspecto, pretende-se
compreender o perfil tecnológico dos estudantes entrevistados. Assim, para 94,7%
dos estudantes não utilizam tecnologias nas aulas de Matemática.
Outro ponto crucial para o ensino de Matemática são as discussões sobre
avaliação na forma contínua ou processual, temática que revela a calculadora e
analogamente aplicativos de smartphones utilizados para o cálculo, como
instrumentos tecnológicos que auxiliam no processo avaliativo, permite que o aluno
considere o erro como parte do processo e permita identificar tropeços e acertos na
aprendizagem. Sobre isso, considera-se na perspectiva de Luckesi (2006), que
os erros da aprendizagem que emergem a partir de um padrão de conduta cognitivo ou prático já estabelecido pela ciência ou pela tecnologia servem positivamente do ponto de partida para o avanço, na medida em que são identificados ou compreendidos e sua compreensão é passo fundamental para sua superação. (LUCKESI, 2006, p. 57)
116 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Chamamos a atenção para o fato de que o erro não poderá ser visto como
castigo, mas sim como virtude e possibilidade de superação, ao tempo em que
colocamos a instrumentalização como estratégia essencial na construção de
aplicativos e calculadoras para smartphones ao mesmo tempo em que permite ao
estudante compreender uma situação dada, buscar soluções, construir uma proposta
(tecnológica), testa-la, errar, corrigi-la e resolver o problema.
A respeito da utilização da calculadora, para os PCN,
constata-se que ela é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto avaliação. A calculadora favorece a busca e percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema pois ela estimula a descoberta de estratégias e a investigação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. Assim elas podem ser utilizadas como eficiente recurso para promover a aprendizagem de processos cognitivos. (BRASIL, 1997, p. 45)
De acordo com os PCN (1997), utilizar os aplicativos matemáticos permite
atuarem como ferramentas no processo de aprendizagem e fomentar a avaliação
como um processo, auto avaliação e o erro como possibilidade de aprendizagem.
Nesse sentido, apenas 15,9% dos alunos já se auto avaliaram; 44,1% não tiveram a
oportunidade e 40% não souberam responder. Acreditamos que além de utilizar a
ferramenta como um instrumento de aprendizagem e auto avaliação, esta tenha papel
decisivo na aprendizagem ao relativizar o cálculo mecânico ao proporcionar mais
eficiência no desenvolvimento de cálculos e atitudes positivas frente ao seu estudo.
Sobre o uso dos principais recursos tecnológicos disponíveis, perguntamos
quais deles não utilizados com maior frequência. Os dados mostram que “dispositivos
móveis” foi a opção mais frequente com 71,8%, seguido do computador com 37,9% e
calculadora com 16,9% enquanto apenas 4,1% afirmaram não fazer uso de nenhum
desses recursos. Por outro lado; 91,8% afirmaram que possuem dispositivos móveis
e 47,7% afirmaram que possuem computador ou notebook.
Nesse quesito, o relatório do Centro Regional de Estudos para o
Desenvolvimento da Sociedade da Informação- CETIC em 2016, mostrou uma
pesquisa sobre o uso das tecnologias da informação e comunicação das escolas
brasileiras- TIC Educação 2016 (BRASIL, 2017b), os dados revelaram que a
disponibilidade de internet nas escolas públicas brasileiras é de 95%; e que os
117 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
principais locais de acesso são sala de coordenação ou direção com 99% e os
laboratórios de informática são os que possuem menor acesso com 45%.
Os dados são compatíveis com a realidade regional, pois o Núcleo de
Tecnologias Educacionais da URE garantiu que 100% das escolas da região possuem
laboratórios, além dos dados que demonstram a forte influência tecnológica no
cotidiano dos alunos. Temos ainda que 63,6% dos alunos possuem internet em casa.
Um fator negativo para nosso contexto está em uma realidade que 93,3%
dos alunos afirmaram não ter acesso algum à internet no ambiente escolar, a não ser
por dados móveis de plano próprio. A esse respeito, percebemos que a prática escolar
regional em torno das tecnologias está muito distante de ser equiparada à nacional, o
que compromete o desenvolvimento de várias habilidades que poderiam ser
desenvolvidas com a utilização de tecnologias aplicadas ao ensino de maneira geral.
Motivados a compreender as relações aluno-tecnologia-professor,
resolvemos perguntar aos discentes se era frequente algum tipo atividade de
Matemática com a utilização de smartphones em sala de aula. A proibição foi o cenário
mais comum com 55,4%, seguida 20% que disseram existir algum tipo de um acordo
entre professor e aluno para a não utilização do aparelho e 19% disseram não haver
nenhum debate sobre o uso de smartphone em sala de aula, como aponta a tabela.
Tabela 03: Utilização do smartphone em sala de aula nas aulas de Matemática
Abordagem Quant. %
Há proibição da escola/professor quanto sua utilização na resolução de atividades
108 55,4
Há consenso entre aluno e professore para a não utilização.
39 20,0
O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de smartphone.
11 5,6
Já propus atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não smartphone.
0 0,0
A utilização de tecnologias digitais (computadores, smartphones, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula.
37 19,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)
Ao considerar-se o aluno como o centro do processo educacional, e a
constante evolução das tecnologias no meio em que ele vive, acreditamos que a
proibição não seja a maneira mais adequada para estancar supostos problemas
“causados pela utilização de tecnologias” nas salas de aula. A substituição da razão
118 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
pela autoridade talvez se torne mais aceitável num ambiente de formação do
indivíduo. Uma das saídas seria o planejamento de atividades que envolvam a
ferramenta de forma que fique claro o momento mais adequado de utilização, dessa
forma, essa questão seja um dos pontos centrais e diferenciais da nossa proposta
metodológica. Por outro lado, existe ainda, acordos explícitos entre professor e aluno
podem trazer efeitos bastante positivos para o processo.
Segundo Brousseau (1980) apud D`Amore:
Em uma situação de ensino, preparada e realizada por um professor, o aluno normalmente tem como tarefa resolver o problema (matemático) que lhe é apresentado, mas o acesso a essa tarefa é feito por meio de interpretação das questões colocadas, das informações fornecidas, das obrigações impostas, que são constantes no modo de ensinar do professor. Esses hábitos (específicos) do professor esperados pelos alunos e os comportamentos do aluno esperados pelo docente constituem o contrato didático. (BROUSSEAU, 1980 apud D`AMORE, 2007, p.101)
De acordo com Brousseau (1980), podemos dizer que a autonomia do
aluno sob a utilização dos smartphones poderá se desenvolver à medida em que for
estabelecido o contrato e didático e propostas atividades com a utilização das
tecnologias. Dessa forma, será um bom começo para o uso nas aulas de Matemática.
A preocupação com as ferramentas tecnológicas são justificadas pelos dados da
Tabela 4, no qual o total de alunos que afirmaram ter smartphone (179) e fazer uso
da internet com frequência, 86 deles, o que representa 48% do total afirmaram que
não tem noção do tempo que passam a utilizar a internet por meio do smartphone,
pois utilizam a ferramenta a todo instante. Outros 18,4% afirmaram usar a internet por
meio do telefone móvel fora de sala de aula por mais de 6 horas.
Tabela 04: Tempo médio de utilização do smartphone fora de sala de aula
Intervalo Quant. %
Não utilizo 0 0,0 0 a 2 horas 24 13,4 2 a 4 horas 23 12,9 4 a 6 horas 13 7,3 Mais de 6 horas 33 18,4 Não tenho noção 86 48,0
Total 179 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)
Como a ferramenta que utilizaremos trata da programação de aplicativos,
mesmo que de maneira introdutória na forma de blocos, perguntamos aos alunos se
119 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
os mesmos têm noções de programação e se conhecem o App Inventor II. Destes,
apenas 7,7% afirmaram ter conhecimento básico de programação, apontam as
linguagens “C”, “R”, “Java” e “Phyton”. Dessa forma 92,3% não entendem o básico de
qualquer linguagem de programação, e 95,9% afirmaram não conhecer a plataforma
App Inventor II, representam um desafio para o desenvolvimento da pesquisa.
Há ainda, um fator que facilita nossa proposta: são os dados que apontam
que 63,1% dos entrevistados responderam que já fizeram uso de algum aplicativo no
smartphone, e que 75,9% dariam uma nota de 8 a 10 pela iniciativa do professor que
fizesse uso do smartphone em suas aulas. O segundo fator aponta na perspectiva
positiva que os alunos geram em torno da proposta de estudo de Matemática com o
uso de aplicativos, vejamos detalhes no Gráfico 2:
Gráfico 2: Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Corroboramos com o ponto de vista de Bittencourt (2014), pois acreditamos
que a motivação pode ser fator relevante no processo de ensino e aprendizagem, e
ao ter a perspectiva de notas entre 8 e 10, o aluno revela atitudes positivas para uma
aula com a utilização de instrumentos tecnológicos. Dessa forma, por fim, cabe
verificar quais as dificuldades que os alunos apresentam sobre assuntos relacionados
com o objeto da pesquisa.
1.3.3 Dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos relacionados a
Pirâmides
120 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Neste tópico analisaremos as respostas dadas pelos discentes a respeito
das suas percepções sobre o nível de dificuldades apresentadas no estudo de
Pirâmides.
Os resultados obtidos, apontam o grau de dificuldade dos discentes
entrevistados acerca do ensino de Pirâmides. Para isso, foram disponibilizados
conceitos em cinco níveis: “MF: Muito Fácil; F: Fácil; R: Regular; D: Difícil; MD: Muito
difícil”, em que cada entrevistado optou por uma alternativa.
Pudemos verificar que, por meio das informações levantadas que o
percentual de reprovação e metodologias utilizadas pelo professor associadas ao
pouco tempo de estudo da matéria em horários extra – classe, cultura familiar sobre
o estudo e a pouca importância do currículo para as atividades práticas do cotidiano,
apontam para a necessidades de uma mudança de postura de aluno, família,
professor e escola em rediscutir seu público e buscar novas diretrizes para o ensino
da disciplina, considera que, pelos dados, as tecnologias embora presentes no
cotidiano dos estudantes, pouco são protagonizadas como recurso no Ensino de
Matemática.
Os dados revelam que escola e discentes possuem um perfil potencial para
a proposição de atividades baseadas em Tecnologias Digitais, uma vez que os
sujeitos citados possuem imersão natural numa sociedade tecnológica. Sobre o
Ensino de Pirâmides, apesar de apresentar-se implicitamente no currículo em todos
os documentos oficiais que balizam o ensino médio, inclui-se as matrizes de avaliação
em larga escala e os livros didáticos, ainda existem tópicos pouco ou não explorados
ou apresentam-se como grande obstáculo aos alunos do ensino médio.
Os principais resultados mostraram que em média 36,1% dos alunos não
estudaram os conceitos básicos sobre Pirâmides; 24,6% consideram o tema com
dificuldade regular, 17,1% julgam difícil e 7,2% acham o tem muito difícil.
Dos tópicos específicos, os que aparecem com maior nível de dificuldade
(acham difícil ou muito difícil), segundo os alunos entrevistados, são:
- Ideia de superfície total de uma pirâmide qualquer- 32,5%;
- Cálculo do apótema da base de uma Pirâmide regular – 29,6%;
- Cálculo do volume da Pirâmide - 29,2%;
- Resolução de problemas que envolvam Pirâmides com dimensões em
que aparecem raízes- 31,8%; e;
121 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
- Resolução de problemas que envolvam Pirâmides que requeiram leitura
e interpretação de texto- 28,6%.
Um dado que chama atenção é que justamente os tópicos em destaque
encontram-se com margens entre 40% e 50% de percentuais de alunos que afirmam
não terem visto ou não lembram de terrem estudado em séries anteriores, o que indica
que em média, apenas 20% dos estudantes não possuem dificuldades em
compreender abordagens a cerca destes tópicos.
Sobre os processos avaliativos, são priorizados os instrumentos, como:
provas, atividades dos livros didáticos em detrimento de aspectos avaliativos
subjetivos e contínuos como a valorização do erro como aprendizagem e a auto
avaliação, esta última, apontada pelos PCN (1997) como uma potencialidade com a
utilização de calculadoras, o que abre espaço para o tema deste trabalho.
As Análises Preliminares foram compostas por aspectos históricos,
aspectos curriculares, aspectos matemáticos, revisão de estudos e consulta a
discentes sobre Pirâmides, a primeira seção permitiu sintetizar informações que nos
deram direcionamento para elaborar contextos baseados em fatos históricos para as
questões propostas. Dessa forma, os estudantes puderam compreender as situações
problemas num contexto de construção humana (Chaquiam, 2017).
É adequado afirmar que os aspectos curriculares permitiram refletir sobre
a importância das prescrições curriculares no tocante ao planejamento e possível
analise avaliativa dos saberes norteados pelas competências e habilidades.
A formalização das definições e demonstrações que o tema requer, foram
tratadas sob o olhar de Euclides (2009), Dolce e Pompeo (1985, 2005), Lima et al
(2006), Dante (2005) e Paiva (2009) na terceira seção, estudo que permitiu uma
análise de vários pontos de vista dos autores até chegarmos à adoção de Pirâmide
como sólido nas nossas abordagens.
A revisão de estudos sobre Pirâmides nos auxiliou a perceber dificuldades
que os alunos poderiam vir a apresentar durante o nosso experimento. Nesse sentido,
enfatizamos a importância de identificar e analisar as possíveis contribuições de
trabalhos que utilizam tecnologias. Representados nos estudos descritivos, os
trabalhos analisados nos propiciaram perceber antecipadamente algumas das
dificuldades de visualização, representação e construção do pensamento geométrico,
além da dificuldade de contextualização de questões.
122 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Na categoria dos trabalhos explicativos, pode-se identificar que os
softwares permitem explorações de representações geométricas muito próximas dos
objetos reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto, além
de que os tratamentos e as conversões de registros se processaram de forma
diferenciada, amplia as possibilidades de interação e manipulação de figuras e
permitem a construção de relações mais significativas entre representações de um
objeto.
Os trabalhos explicativos apontam ainda no sentido de que o ensino de
Geometria deve ser mais investigativo e que instigue o aluno a explorar e analisar
situações mais profundamente relacionadas com o cotidiano. Dessa forma, apontam
para a importância de dar atenção ao que está prescrito nas orientações oficiais,
muitas vezes entendidas como ultrapassadas. Por fim, os trabalhos exploratórios nos
mostraram que as atividades de desenvolvidas com o uso de tecnologias necessitam
de aporte teórico que norteie a utilização das ferramentas e que o nível de
desenvolvimento do pensamento geométrico também colabora para a compreensão
no nível de atividades que se quer propor para os estudantes.
A consulta aos estudantes revelou que embora a escola não proponha
muitas atividades baseadas nas tecnologias, os alunos possuem forte relação com o
meio tecnológico, muito propensos a proposição de aulas com o uso das mesmas,
uma vez que ferramentas como os smartphones já são muito comuns entre os
estudantes. Alguns obstáculos como falta de internet livre para os alunos, pouca
habilidade de docentes para propor atividades com tais recursos e ausência de
laboratório com computadores suficientes para uma proposta com esses recursos
põem em risco uma metodologia que exija atividades diárias a todo o quadro escolar,
no entanto a possibilidade de oferta de oficinas ou cursos de curta duração seriam
opções plausíveis.
A seguir apresentamos o quadro teórico, a metodologia da pesquisa
utilizada, bem como os procedimentos metodológicos escolhidos, em busca de uma
análise concisa dos resultados.
123 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
2. REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO
Neste Capítulo, discorreremos sobre os resultados da segunda etapa da
pesquisa, com a apresentação dos principais fundamentos teóricos que basearam
nosso estudo; a relação do objeto de pesquisa com as Tecnologias Digitais e a
estruturação da SD que visa a experimentação. Neste sentido, apresentaremos as
concepções de Pierre de Rabardel (1995, 2002) sobre a Teoria Gênese Instrumental,
baseada nos estudos de Lev Vygotsky, a descrição dos pressupostos metodológicos
aplicados na pesquisa por meio da Engenharia Didática como metodologia da
pesquisa, seus instrumentos e recursos utilizados com base nos estudos de Artigue
et al (1995) e, por fim, as contribuições de Zabala (1998) que nos auxilia no processo
de elaboração da SD.
2.1 A teoria da Instrumentação
Frente aos diversos recursos tecnológicos como softwares, aplicativos,
sites e plataformas online voltados para o ensino de Matemática, reconhecemos que
estes podem auxiliar o professor no planejamento e execução de suas aulas, dos
quais alguns já são bastante conhecidas: o GeoGebra, o Sketch Up, o Calques 3D,
Cabri Geometrìe. Vale ressaltar que não basta apenas levar computador e data-show
para a sala de aula e executar as mesmas práticas repetitivas, baseadas no ensino
clássico, meramente reprodutivista; é necessário que o professor torne o computador
uma ferramenta pedagógica instrumentalizada (RABARDEL, 1995), propondo
atividades que complementem o ensino.
Nesse contexto, Dullius e Quartieri afirmam que
a utilização da tecnologia em sala de aula difere bastante da utilização que dela fazemos no dia a dia. Dessa forma, o planejamento, a colocação de objetivos, a escolha de materiais, a seleção de tarefas, a antecipação de questões, ganham uma dimensão central na prática do professor com recursos tecnológicos. (DULLIUS E QUARTIERI, 2015, p. 13)
A partir do Ensino Fundamental, as tecnologias são apontadas como
tendências metodológicas com grande potencial para a melhoria da qualidade do
ensino. Segundo os PCN (BRASIL, 1997, p. 6) os alunos deverão ser capazes de
“saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e
124 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
construir conhecimentos”. Sob esse aspecto o próprio documento aponta a
calculadora como um valioso recurso para a verificação de resultados, correção de
erros e auto avaliação:
Como exemplo de uma situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que obtém quando divide um número sucessivamente por dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). Usando a calculadora, terá muito mais condições de prestar atenção no que está acontecendo com os resultados e de construir o significado desses números. (BRASIL, 1997, p. 34)
Assim, a utilização de ferramentas que permitam ao aluno desenvolver as
habilidades necessárias, de acordo com os PCNEM (BRASIL, 2000), fazer uso de
tecnologias permite que a Matemática seja utilizada como ferramenta para entender
a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática,
apresentam fortes contributos no processo de ensino e aprendizagem Matemática,
destaca-se assim, o App inventor II.
Considerar a interrelação entre homem e máquina para a aprendizagem de
um objeto matemático, cabe um estudo mais detalhado e teórico de forma que nos
permita compreender os processos de aquisição do conhecimento propiciados por
esta relação. Para isso, consideremos os estudos de Rabardel (1995), que desenvolve
a Teoria da Instrumentação e fornece elementos teóricos apropriados ao estudo da
ação do sujeito, mediado por um instrumento que possibilita utilizar a tecnologia em
situações de ensino e aprendizagem (sejam elas fora ou dentro da escola,
propriamente dita, como por exemplo, a educação à distância).
Um dos primeiros elementos teóricos da Gênese Instrumental de Rabardel
são as noções de esquema, artefato e instrumento.
A noção de esquema é fundamentada nos estudos de Vergnaud (1990), e
concentra-se basicamente em quatro elementos: antecipações do objetivo que se
quer atingir, regras de ação (que vão gerar a ação do sujeito), inferências (que
permitem que o sujeito avalie suas ações) e invariantes operatórios (são do tipo
proposição, função proposicional ou argumentos e que tornam operacional a ação do
sujeito).
Rabardel (1995) descreve as relações existentes entre o sujeito, a
ferramenta (artefato) e os esquemas de utilização cuja definição são:
125 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
- Sujeito: Indivíduo ou grupo de indivíduos (alunos) que desenvolvem as atividades
propostas ou são partícipes do estudo;
- Artefato: dispositivo material (Computador, smartphone ou lápis e borracha) ou
imaterial (software, aplicativo, figura ou gráfico) que se pretende transformar em
instrumento; Segundo Tsuji Jr (2016), “o termo artefato é utilizado para se referir a
objetos aos quais o sujeito não agregou esquemas de utilização”.
- Esquemas de utilização: Segundo Vergnaud apud Moreira (2017, p. 212), é “uma
organização invariante, de comportamentos para classes de situações” que permitem
que a ação do sujeito seja operatória.
- Objeto: Refere-se ao que se pretende aprender com a utilização da ferramenta
(conteúdo escolar, de trabalho).
Nesse sentido, a ideia principal da Gênese instrumental é a transformação
do artefato em Instrumento (Modelo SAI - Situações de Atividades Instrumentais)
que apresenta a relação entre o sujeito e o objeto mediadas pelo instrumento (Figura
32).
Figura 32: Modelo das Situações de Atividades Instrumentais
Fonte: Rabardel e Verillon (1985 apud RABARDEL, 2002, p. 43)
Para Rabardel (1995, apud ALENCAR, 2012), o modelo disposto acima,
destaca três polos investigativos: o sujeito, o objeto e o instrumento; além de
evidenciar as interações que intervêm da Atividade Instrumental: sujeito-objeto [S-O],
sujeito-instrumento [S-I], instrumento-objeto [I-O] e sujeito-objeto mediada pelo
instrumento [S(i)-O] que se desenvolvem num ambiente formado pelo conjunto de
condições que o sujeito considera para realizar sua atividade. Nesse contexto, o
instrumento é composto de dois componentes: artefato, produzido para o sujeito; e
126 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
os esquemas de utilização agregados, estes por sua vez são resultados da
construção do próprio sujeito ou da apropriação de esquemas já existentes.
Para Bittar (2015),
Em Antropologia, artefato é todo objeto (material ou simbólico) que sofreu algum tipo de ação humana. É importante observar que o processo de transformação de um artefato em instrumento é dinâmico. [...] À medida que o sujeito interage com o instrumento, novos esquemas são agregados a ele o que transforma o instrumento em um novo instrumento para o sujeito [...] Assim, um mesmo artefato se transforma em diferentes instrumentos para um mesmo sujeito. Analogamente, cada sujeito ao interagir com um artefato desenvolve esquemas que estão relacionados às suas experiências e conhecimentos, logo, o “seu” instrumento vai diferir do instrumento do outro. (BITTAR, 2016, p. 8-9)
Em nosso contexto de pesquisa, o aluno é o sujeito, o App Inventor II é o
artefato (considera-se que já possuem domínio de utilização do computador), no
entanto cada aplicativo criado é um produto da instrumentalização do artefato
instrumentalizado, e o objeto são os assuntos relacionados a Pirâmides, sendo os
esquemas, as ações desenvolvidas para a construção do objeto. Considera-se os
dados nas Análises Preliminares que indicam a quase unanimidade entre os
estudantes envolvidos nessa pesquisa: não conhecerem o App Inventor II, este será
o artefato, que mais tarde ao participarem de um curso de introdução à plataforma de
criação, os sujeitos passem a utilizar os comandos básicos e construir alguns
aplicativos matemáticos de maneira autônoma.
De acordo com a continuidade de construção de novos aplicativos, novos
esquemas serão desenvolvidos, o que gera novas possibilidades e o transforma em
um novo instrumento, além da conversão em incontáveis instrumentos para o mesmo
sujeito, de maneira a tornar o App Inventor II um instrumento diferente para diversos
alunos participantes, situação em que ocorre a instrumentalização.
De acordo com Rabardel (1995), a Gênese Instrumental possui duas
dimensões: Instrumentação e instrumentalização. A instrumentação, orientada
para o sujeito, condiciona o processo aos esquemas para resolver um determinado
problema de acordo com as potencialidades do artefato, enquanto na
instrumentalização, orientada para o artefato, configura-se num processo em que o
sujeito modifica, adapta e cria novas propriedades, muda o artefato de acordo com
suas necessidades. No caso de nossa investigação, quando o indivíduo cria o
aplicativo de acordo com sua necessidade (Tamanho de letras, cores, conteúdo,
127 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
funções e objetivos), este já demonstra utilizar o artefato, considera-o instrumento e
em seguida o modifica de acordo com o conteúdo, situação didática ou adidática.
Em outras palavras, a Gênese Instrumental resume-se no processo de
transformação de um artefato em um instrumento pelo sujeito, de tal forma que a
instrumentalização ocorre com a evolução dos componentes do artefato: seleção,
reagrupamento, produção, instituição de funções, que prolongam a concepção inicial
do artefato (BITAR, 2015). Expressamos um exemplo simples de análise, com
destaque de algumas tarefas possíveis, desenvolvidas em atividades sob a
perspectiva de Rabardel (1995) como parte das atividades que se relacionam com
instrumentos, como segue abaixo no Quadro 8.
Quadro 8: Descrição de atividades de acordo com o modelo SAI
Atividade Dimensões
Computador Plataforma App
Inventor II Aplicativo Pirâmides
Aluno liga o computador
Artefato - - objeto
Usa os comandos da máquina para
localizar e acessar a plataforma
Instrumento Artefato - -
Acessa a plataforma
- Artefato - -
Usa os comandos da plataforma para criar o ambiente do
aplicativo
- Instrumento Artefato Em estudo
Utiliza os blocos para a
programação dos comandos do
aplicativo
- Instrumento Artefato Em estudo
Testa o aplicativo criado
- Instrumento Artefato Prática
Aplicativo criado e testado.
- Instrumentalizada Instrumento Acomodação
dos esquemas Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)
O exemplo apresentado no quadro acima é um modelo adaptado para
descrever a transformação do artefato em instrumento a partir do nosso estudo. Desse
modo, concordamos com Rabardel quando afirma que
o modelo, mesmo neste exemplo simples, não cobre todas as características das situações em que as atividades são mediadas por instrumentos: a gama
128 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
de instrumentos usados por um único sujeito em uma ação complexa; a natureza muito variável e às vezes coletiva dos contextos da ação; as finalizações específicas dos sujeitos, etc. No entanto, o instrumento está presente, e essa presença constitui a tríade resultante e as múltiplas interações que formam um núcleo comum, característico da classe de situações de atividade mediadas por instrumentos (RABADEL, 2002, p.44, tradução nossa).
Nesse sentido, a ação de ligar e manusear um computador quando já
possui habilidade, não torna a máquina um artefato e sim um instrumento, por outro
lado, quando essa mesma ação é feita pela primeira vez, para esse mesmo sujeito, é
considerada um artefato. O quadro descreve um conjuto de ações, com ordem
crescente de complexidade que compreende desde o primeiro contato do sujeito com
o artefato. Nesse momento, a construção de aplicativos passa por vários estágios de
agregação de esquemas até que o produto das ações (aplicativos) deixem o status
artefato e passe a instrumento, nesse conjunto de ações existe um fator implícito: para
que o aplicativo seja construído existe um conjunto de objetivos que delimitam um
conteúdo (objeto), fator que complementa a tríade: sujeito, instrumento e objeto.
Segundo Bittar (2015, p. 11), “a abordagem proposta por Rabardel coloca
o homem no centro do processo, porém sem deixar de considerar a máquina”, ou seja,
o que ele chama de abordagem antropotécnica, referente às abordagens
tecnocêntricas e antropocêntricas.
Ao considerarmos a necessidade e a importância de um aporte teórico que
norteie a utilização das ferramentas tecnológicas no ensino, o modelo SAI surge como
uma proposta adequada a nossas pretensões, pois nos permite explorar caminhos
que vão da ação à conceituação e formalização, coloca os aprendentes em um
movimento geral do desenvolvimento cognitivo. Dessa forma, ao corroborarmos com
as ideias de Rabardel (2002, p. 161), de que “os instrumentos não são
conceitualmente neutros, mas que contêm uma ‘visão de mundo’ que se impõe em
menor ou maior grau aos usuários, influencia, assim, o desenvolvimento de suas
competências”, dessa forma, acreditamos que os recursos tecnológicos podem
influenciar na aprendizagem do sujeito de acordo com a maneira com que o artefato
torna-se um instrumento. Sob essa perspectiva, acreditamos que as ideias propostas
pela Teoria da Gênese Instrumental podem contribuir com o nosso trabalho.
129 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
2.2 Aspectos da Engenharia Didática
Nesta seção, apresentaremos conceitos e etapas da Engenharia Didática
segundo Artigue et al (1995) e Artigue (1996) a fim de subsidiar a resolução da
questão de pesquisa, bem como determinados procedimentos metodológicos da
etapa experimental.
Segundo Almouloud e Silva (2012), o termo Engenharia Didática (Clássica
ou primeira geração) surgiu da didática da Matemática na década de 80 com Yves
Chevallard e Guy Brousseau, seguido de Michèle Artigue em 1989. Para Artigue et al
(1995), a engenharia didática como pesquisa é caracterizada por um esquema
experimental baseado em “realizações didáticas” em aula, ou seja, na concepção,
realização, observação e análises de sequências didáticas, confronto entre os
registros e posterior validação das sequências.
Para Carneiro (2005, p. 90), “a Engenharia Didática foi criada para atender
a duas questões: a) das relações entre pesquisa e ação no sistema de ensino; b) do
lugar reservado para as realizações didáticas entre as metodologias de pesquisa”.
Assim não seria demais afirmar que a metodologia é plenamente adequada para o
estudo aqui desenvolvido. Contudo, a pesquisa desenvolvida a partir da Engenharia
Didática não depende da observação de um grupo de controle, pois suas análises
ocorrem internas à pesquisa. Para Artigue et al,
as investigações que recorrem à experimentação em sala de aula estão geralmente dentro de uma abordagem comparativa com validação externa, baseada na comparação estatística do desempenho de grupos experimentais e grupos de controle. Este não é o caso da engenharia didática que se localiza, pelo contrário, no registro dos estudos de caso e cuja validação é essencialmente interna, baseada no confronto entre a análise a priori e a posteriori. (ARTIGUE ET AL, 1995, p. 37)
A Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, dispõe de fases que
apresentam de uma distinção temporal de seu processo experimental: 1) Análises
Preliminares; 2) Concepção e Análise A Priori; 3) Aplicação de uma SD
(Experimentação) e 4) Análise A Posteriori e Validação.
130 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Análises Preliminares de acordo com a Engenharia Didática
Com vistas a tomar um ponto de partida como proposta de aplicação de um
experimento, torna-se necessário conhecer os sujeitos que estarão envolvidos. No
âmbito da pesquisa, as análises prévias servem a esse propósito. Segundo Carneiro
(2005), a análise preliminar (ou prévia)
é “estruturada com objetivo de analisar o funcionamento do ensino habitual do conteúdo, para propor uma intervenção que modifique para melhor a sala de aula usual. A análise é feita para esclarecer os efeitos do ensino tradicional, as concepções dos alunos e as dificuldades e obstáculos que marcam a evolução das concepções”. (CARNEIRO, 2005, p. 96)
Com as análises prévias, o pesquisador deverá buscar um ponto de
equilíbrio entre o que é estudado tradicionalmente e o que ele pretende propor.
Segundo Artigue (1996 apud CARNEIRO, 2005, p.) a fase de concepção
baseia-se em um certo número de análises preliminares e não apenas no arcabouço
teórico e didático, cita a distinção entre três dimensões: 1) dimensão epistemológica,
associada às características do saber em jogo; 2) dimensão didática, relativa às
características do funcionamento do sistema de ensino; 3) dimensão cognitiva,
baseada nas características do público ao qual se dirige o ensino.
Na dimensão epistemológica, descrevemos parcialmente um histórico
sobre as Pirâmides e arquitetura do ponto de vista de MacGilvray in Fazio (2011) e
Boyer (1996), de maneira a salientar as contribuições do caráter arquitetônico ao
longo dos séculos até suas influências atuais: intuição, estrutura, elementos, forma e
cálculos, as Pirâmides são corpos de conhecimentos milenar, parte do acervo cultural
da humanidade. Sobre os aspectos matemáticos, priorizamos os contributos de Dolce
e Pompeo (1985, 2005), Lima et al (2006), Euclides (2009) e Paiva (2009).
Ainda numa revisão de estudos, buscamos características de trabalhos
associados ao ensino de Pirâmides por meio de tecnologias, no entanto, com
considerações dos trabalhos de Van Hiele (1957) o que nos permitiu uma visão mais
ampla do que é estudado nos últimos 5 (cinco) anos, a partir dos trabalhos de
Bittencourt (2014), Boiago (2015), Borsoi (2016), Cordeiro (2014), Palles (2013),
Pereira (2017), Santos e Weber(2014), Schnornberger (2014), Medeiros (2014) ,
Moraes (2014), Souza (2016), Viana (2015) e Zilkha (2014). Na dimensão didática
analisamos diversos documentos que baseiam o ensino no país: Constituição Federal,
131 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Lei de Diretrizes e Bases, Parâmetros Curriculares Nacionais, Matrizes de elaboração
da Prova Brasil e ENEM, e, Base Nacional Comum Curricular e seus descritores.
Por fim da dimensão cognitiva, associada às características do público ao
qual se dirige o ensino: aplicamos questionários de pesquisa para identificar aspectos
da amostra de professores e alunos sobre o lócus e sua relação com o objeto,
tecnologias e obstáculos de aprendizagem.
Concepção e Análise A Priori
A concepção e análise “a priori” orienta o pesquisador a delimitar o tipo de
variáveis de interesse do estudo aos quais o ensino pode atuar, chamadas de
variáveis de comando que atendem a duas vertentes: macro e micro didáticas
Almouloud e Silva (2012). As variáveis macro didáticas são aquelas que preocupam-
se com a organização geral da engenharia; e as variáveis micro didáticas são relativas
a organização local, ou seja, a organização de uma sequência, uma fase (Artigue et
al, 1995).
De acordo com Carneiro (2012) a fase da análise A priori comporta uma
parte descritiva e uma parte preditiva. Nossas escolhas de variáveis efetuadas no
âmbito global e no âmbito local, descreve cada atividade proposta.
Nossas primeiras escolhas dizem respeito às variáveis macro:
• Observar e reconhecer as etapas de mudança do artefato para o instrumento
na perspectiva de Rabardel (1995) e suas contribuições para a aprendizagem
de Pirâmides;
• Analisar o processo de resolução de questões sobre Pirâmides sem a utilização
dos aplicativos a partir de habilidades desenvolvidas no processo de
exploração das ferramentas da plataforma App Inventor II;
• Identificar contribuições do processo de construção para questões nos moldes
das habilidades cobradas em avaliações de larga escala.
As escolhas relacionadas aos aspectos micro didáticos são articuladas com
previsões a respeito do comportamento dos alunos, assim, outra definição importante
prevista por essa fase é o controle das relações entre o comportamento dos alunos e
as atividades propostas. Para isso, apresentaremos algumas variáveis formuladas e
por fim, possam ser comparadas com os resultados finais de maneira a contribuir para
a validação da pesquisa:
132 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
• Seleção das ferramentas utilizadas para a construção dos aplicativos;
• Identificação das relações matemáticas utilizadas para encontrar solução às
questões propostas sobre Pirâmides;
• Execução dos comandos programados no aplicativo, pelo sujeito, em busca da
solução desejada.
Definidas nossas macro e micro variáveis, damos prosseguimento à
descrição das demais fases da Engenharia Didática em acordo com o corpus da nossa
pesquisa.
Experimentação
Esta é a etapa prática da pesquisa que está diretamente ligada às
atividades propostas pela SD. Para Almouloud e Silva (2012), esta fase “consiste na
aplicação da sequência didática, tendo como pressupostos apresentar os objetivos e
condições da realização da pesquisa, estabelecer o contrato didático e registrar as
observações feitas durante a experimentação”. Segundo Artigue et al (1995) os dados
coletados nessa fase são frequentemente preenchidos com outros obtidos a partir do
uso de metodologias externas, como questionários, entrevistas individuais ou em
pequenos grupos, aplicados em diferentes momentos de ensino ou durante o curso,
e em seguida comparadas nas análises “a priori” e “a posteriori”, e a validação das
hipóteses formuladas na pesquisa.
A SD será organizada na perspectiva de Zabala (1998), que classifica como
uma “série ordenada e articulada de atividades que formam as unidades didáticas”. O
detalhamento da sequência será feito na seção 2.4 neste trabalho, ao especificar os
elementos que servirão de aporte do estudo.
Nesse sentido, faremos um apanhado geral sobre os conceitos da
validação e análise como metodologia de confirmação da eficacia ou não da proposta
experimental.
Validação e Análise
Esta etapa consiste em retomar os registros ocorridos nas fases anteriores
e propor uma comparação de dados ao formular os resultados. Para Almouloud e Silva
(2012),
133 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A análise a posteriori consiste em uma análise de um conjunto de dados colhidos ao longo da experimentação, como por exemplo, produção dos alunos, registros de observadores e registro em vídeo. Nessa análise, se faz necessário sua confrontação com a análise a priori para que seja feita a validação ou não das hipóteses formuladas na investigação. (ALMOULOUD E SILVA, 2012, p. 27)
A validação ocorre quando o confronto das informações coletadas na
primeira fase, podem resultar em subsídios que indiquem a confirmação das
hipóteses, podendo claro, ocorrer o contrário, a refutação. Se por um lado
o objetivo da análise a priori é determinar em que as seleções feitas permitem controlar os comportamentos dos alunos e seu significado. [...] baseada em um conjunto de hipóteses. A validação dessas hipóteses está, em princípio, indiretamente em jogo no confronto que ocorre na quarta fase entre uma análise a priori e uma análise a posteriori (ARTIGUE ET AL, 1995, p.45 -tradução nossa).
Esta é a fase que a coleta traduz-se em contribuições interpretativas ao
trabalho, pois o confronto de dados poderá revelar novas informações, ocorridas
experimentalmente, essenciais para validar ou não as atividades desenvolvidas.
Nesta fase, analisamos as informações produzidas por fichas de registro,
áudios e vídeos coletados ao longo de 12 (doze) encontros. Mas antes, iremos
discorrer sobre o contexto ao qual a tecnologia é identificada neste trabalho.
2.3 As Tecnologias Digitais e o Ensino de Matemática
Nas últimas décadas, muito se tem discutido sobre o uso de tecnologias no
ensino no Brasil e no mundo. Se de um lado há iniciativas e incentivos por parte dos
sistemas de ensino e das políticas públicas de governo, por outro, há obstáculos e
proibições. Em matéria publicada na Agência Legislativa (AL), órgão de notícias ligado
à Assembleia Legislativa do estado de Santa Catarina em 17 de abril de 2017, a
comissão da referida câmara analisou o projeto de lei nº 198/2016 que tratava da
permissão do uso de smartphones em sala de aula para fins pedagógicos, altera a Lei
nº 14.363 de 2008, que proibia a utilização do aparelho em escolas públicas e
privadas. Aprovado na Comissão de Comissão e Justiça, o projeto ainda aguarda ser
votado por outras comissões para finalmente ir à plenária. O Estado do Paraná vai
mais além pois já possui e Lei 18.118 de 24 de junho de 2004, que dispõe sobre a
134 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
proibição do uso de aparelhos/equipamentos eletrônicos em salas de aula. O
enunciado do caput do artigo acrescenta que a ferramenta pode ser utilizada desde
que para fins pedagógicos, sob orientação e supervisão do profissional de ensino.
Apesar de muitas citações em documentos que balizam o ensino por meio
da utilização de tecnologias, no Brasil, já tramitaram, sem sucesso até o momento,
vários projetos de lei na tentativa da proibição do uso de aparelhos eletrônicos, nisso
inclui-se os smartphones na sala de aula em todos os estabelecimentos de ensino
do país, por exemplo os PL nº 2.246a/2007 e 2.806/11, até então não
concretizados, no entanto percebemos que alguns estados brasileiros e até
alguns municípios conseguiram aprovar projetos, nesse sentido, fizemos uma
busca sobre regulamentações já existentes em estados e municípios no Brasil,
dispostas no Quadro 9:
Quadro 9: Leis que proíbem a utilização de smartphones em sala de aula Estado/Cidade* Lei Situação
Santa Catarina 14.363/08 Proíbe totalmente.
Paraná 18.118/04 Permite apenas o uso pedagógico.
Rio de Janeiro 5.222/08 Depende de autorização do estabelecimento: para
fins pedagógicos.
Rio de Janeiro* 4.734/08 Proíbe totalmente.
São Paulo 12.730/07 Proíbe totalmente.
Ceará 14.146/08 Proíbe totalmente.
Minas Gerais 14.486/02 Proíbe totalmente.
Rio Grande do Sul 12.884/08 Proíbe totalmente.
Distrito Federal 4.131/08 Proíbe totalmente.
Amazonas 3.198/07 Proíbe totalmente.
Recife* 17.837/12 Permite apenas o uso pedagógico. Fonte: Rodrigues et al (2018)
De acordo com dados da Anatel, o país já possui mais de 271 milhões de
aparelhos de telefones celulares, dessa forma, embora represente um desafio para os
professores e redes de ensino, questiona-se a proibição como o meio mais adequado
para contornar os efeitos negativos do mau uso das tecnologias cada vez mais
emergentes no contexto social do país. Segundo a coleta de dados que fizemos, para
este trabalho, 91,8% dos estudantes possuem smartphone, ao mesmo tempo em que
reafirma a inserção de tal recurso tecnológico no meio social dos sujeitos da pesquisa,
enquanto 55,4% dos discentes entrevistados afirmam que a proibição ocorre nas salas
de aula das escolas da região do MSM mesmo sem legislação especifica que proíba,
135 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
no entanto, o fato corrobora com a tendência de estados e municípios citados no
Quadro 9.
Ao retomar a matéria da Agência Legislativa do estado de Santa Catarina,
ressaltamos a opinião de vários consultados:
- A proposta promove a adequação a um novo contexto de necessidades de acesso de aprendizagem produzidas pelas relações criadas a partir do desenvolvimento tecnológico- Secretaria de Educação do Estado; - [...] desde que seja feito com planejamento , que a escola e o professor tenham um objetivo claro de aprendizagem com o uso do celular, que esteja incluído no Projeto Político Pedagógico, o aparelho tende a ser uma ferramenta com potencial enorme de interação, comunicação, e , inclusive de produção de conteúdo por parte dos estudantes- Mônica Rennemberg da Silva (Gerente de Tecnologias e Inovação da SEDSC). - Não podemos ir contra a tecnologia no ambiente da sala de aula, mas precisamos de uma estratégia, um projeto político pedagógico que estabeleça que o celular vai melhorar o processo de ensino e aprendizagem- Maurício Fernandes Moreira (Conselho Estadual de Educação-SC) . - A lei atual (2008) está em descompasso com a realidade. Proibir não é educar. Temos que orientar os alunos para que faça o uso produtivo da tecnologia para o estudo, de maneira a garantir o desenvolvimento deles. É nossa função de professor Luis Machado (Professor de filosofia do Instituto Estadual de Educação de Florianópolis – IEE). (AGÊNCIA LEGISLATIVA, 2017, p.3-5)
O contexto acima demonstra que o tema ainda não possui um consenso
metodológico, didático ou pedagógico, ainda com pouca literatura existente sobre as
tecnologias como ferramenta para o ensino, muito embora já exista uma política de
inclusão tecnológica escolar desde 2007, com o Decreto Presidencial nº 6.300 que
dispõe sobre o Programa Nacional de Tecnologia Educacional – Proinfo, estabelecido
a pouco mais de dez anos e já se encontre muitos trabalhos com a aplicação de
softwares no ensino. O Proinfo disponibiliza Núcleos de Tecnologia Educacional em
Unidades Regionais de Educação com computadores, internet e técnicos
responsáveis pela formação continuada de professores, o que ainda é insuficiente
para tornar o ambiente escolar informatizado.
Acreditamos que um dos grandes motivos para as divergências de pontos
de vista sobre a utilização do smartphone na sala de aula se deva pela ausência de
uma proposta definida em dimensões macro que apresentem resultados consistentes
para a formalização de uma política pública voltada para o ensino por meio de
tecnologias.
Borba e Penteado (2017) chamam atenção para preocupações existentes
em comunidades acadêmicas, principalmente da educação Matemática sobre os
136 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
“perigos” que a utilização da informática pode trazer para a aprendizagem dos alunos,
principalmente àqueles que concebem a matéria como matriz do pensamento lógico,
ao mesmo instante em que acreditam que a capacidade de raciocínio seja transferida
para o computador, no mesmo sentido inclui-se a utilização da calculadora.
Por outro lado, é consenso que os quadros de giz ou de pincel perderam
espaço inicialmente para retroprojetores e em seguida para data-shows. No entanto,
se a prática continuar a mesma, não garantirá que esse tipo de tecnologia irá
influenciar na aprendizagem, apesar de promover uma melhor ilustração dos
conteúdos, muito menos da forma com que habitualmente fazemos uso destas no dia-
a-dia, como no caso do smartphone.
Moran et al (2013) afirmam que uma escola de boa qualidade depende
também de um projeto político e pedagógico inovador, na qual a internet e outros
recursos sejam inseridos como componente pedagógico. Nesse contexto,
apresentamos o App Inventor II e a possibilidade da criação de aplicativos
matemáticos para aprender Matemática.
Utilizar a linguagem de programação em blocos do App inventor II aproxima
o professor e o aluno a partir do processo de construção conjunta de ideias, favorece
a organização do raciocínio e introduz a ideia de programação, além de que os
processos de resolução de questões propostas deverão se tornar mais ágeis e
capazes de serem calculadas e conferidas num processo auto avaliativo, pois
segundo os PCNEM,
o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano [...] reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida [...] de apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e
argumentações dedutivas. [...]para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (BRASIL, 2002, p. 76).
Nesse sentido, corroboramos com as ideias de Walle (2009) que aponta
alguns benefícios do uso de calculadoras, dessa forma, acrescentamos ao contexto,
alguns aplicativos que podem ser construídos pelos estudantes que se enquadram no
perfil de calculadoras, aos quais são objetos de interesse neste tópico:
• Podem ser utilizados para desenvolver conceitos;
• Podem ser usados para exercitar;
• Fortalecem a resolução de problemas;
137 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
• Contribuem para economizar tempo na resolução de questões propostas;
• São comumente utilizadas na sociedade.
Para Borba e Penteado (2017, p. 37), “as calculadoras gráficas e softwares
além de naturalmente trazerem a visualização para o centro da aprendizagem
Matemática, enfatizam um aspecto fundamental da proposta pedagógica da disciplina:
a experimentação.” Nesse contexto, Walle (2009) afirma que a oposição prolongada
ao uso de calculadoras, sem propor atividades planejadas e avaliar seus resultados
está em grande parte baseada na desinformação, e cita alguns mitos e medos sobre
estudantes não aprenderam por causa das calculadoras, mesmo quando confrontam-
se com evidências contrárias:
Se as crianças usarem calculadoras, elas não aprenderão os “fundamentos”; as calculadoras tornam os estudantes preguiçosos; os estudantes devem aprender o “modo real” antes de usar as calculadoras; os estudantes se tornarão dependentes de mais das calculadoras. (WALLE, 2009, p. 131-132)
Voltamos tais exemplos para a utilização de calculadoras pelo fato de as
mesmas serem as preferidas quanto da escolha dos aplicativos para smartphones na
nossa proposta, no entanto, os comentários se estendem por analogia em grande
maioria a outros aplicativos que podem ser criados no App Inventor II. Dessa forma,
acreditamos que a utilização de calculadoras, assim como aplicativos não causam
nenhum dano à aprendizagem do estudante, os ambientes de resolução poderão ser
ampliados com a utilização das ferramentas e quando retirados dos estudantes elas
tendem a ser um recurso para a resolução de exercícios, pois os cálculos podem ser
verificados de maneira tradicional: com lápis e papel, dessa forma, os estudantes
poderão potencializar suas tomadas de decisões e utilizar o cálculo mental quando
necessário, corrobora assim com as ideias de Walle (2009).
Devido aos aspectos citados anteriormente, a mediação da aprendizagem
(Proposta por Vygotsky) por instrumentos tecnológicos (Proposta por Rabardel),
contextualiza o nosso tema ao explicitar elementos de estudo bastante robustos como
as relações entre objeto, sujeito e instrumento, seus esquemas de utilização e
propostas de atividades que venham contribuir com a realidade em que se encontra
as escolas brasileiras no tocante à realidade tecnológica atual. Face ao exposto, cabe
apresentar o App Inventor II como o instrumento de construção de aplicativos para o
ensino de Pirâmides, assim, apresentaremos alguns aspectos do recurso.
138 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
2.3.1 A ferramenta tecnológica utilizada
O App Inventor II é uma plataforma on line, de aplicação open source
(código aberto), ou seja, um modelo de desenvolvimento que promove
um licenciamento livre para a criação de design ou esquematização de um produto, o
que permite a redistribuição universal e o torna de simples acesso, manuseio ou
modificação, por qualquer indivíduo. O recurso permite a criação de aplicativos das
mais diversas características na extensão apk, executável em smartphones e tablets
com sistema operacional Android.
Inicialmente criada pela Google no ano de 2009 e mantida atualmente pelo
Massachusetts Institute of Thecnology-MIT, disponibiliza acesso a iniciantes de
programação, em diversos idiomas inclusive o português do Brasil.
A ferramenta apresenta potencial para inspirar o fortalecimento intelectual
e criativo do estudante. Dessa forma, professores e alunos podem construir ou criar
aplicativos diversos para um mesmo conteúdo ou para conteúdos diferentes, permite
considerar os processos didáticos para sua construção, complementados pela
validação de resultados de problemas propostos em exercícios e atividades. Segundo
o site oficial da plataforma MIT App Inventor, o projeto busca democratizar o
desenvolvimento de software, capacita especialmente os jovens, ao passar do
consumo para a criação de tecnologia.
Segundo Duda e Silva (2015), a construção dos comandos dos aplicativos
é efetuada por meio da chamada “programação visual”, na qual as ações são
estruturadas pela justaposição de blocos lógicos, semelhantes a peças de quebra-
cabeça, que facilitam a compreensão da programação, evita o desânimo quando um
“erro” de programação ocorre, possibilita fácil identificação e correção dos blocos e de
comandos. Nesse contexto, torna-se essencial para o ensino de Pirâmides, uma vez
que o conteúdo requer a utilização de estruturas em blocos que se assemelham a
álgebra. Por outro lado, para a construção dos aplicativos, essas estruturas devem
ser compreendidas como relações entre variáveis e elementos matemáticos
convertidas para blocos de programação.
Para o acesso à plataforma, o usuário deverá realizar um cadastro com
conta de e-mail da Google que proporciona livre acesso ao ambiente ao permitir a
construção dos aplicativos em dois ambientes diferentes: (a) designer - exibe a
aparência do aplicativo que se instalará na tela do smartphone ao ser aberto, além
139 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
das colunas: paleta, visualizador, componentes e propriedades, conforme ilustrado na
Figura 33.
Figura 33: Ambiente Designer do App Inventor II
Fonte: Autor (2018)
e; (b) Blocks (Blocos), a qual deve ocorrer a estruturação da programação das
ferramentas de comando organizadas no layout, como dispostos na Figura 34.
Figura 34: Ambiente Blocks do App Inventor II
Fonte: Autor (2018)
O ambiente de blocos dispõe de comandos de controle, lógica, Matemática,
texto, listas, cores, variáveis e procedimentos que permitem personalizar a aplicação
criada com a instrumentalização da plataforma para servir na construção de produto
ao processo educativo.
140 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Na figura 35, apresentamos o exemplo da tela de um aplicativo construída
no App Inventor II, para o cálculo da área da base e do volume da Pirâmide de base
hexagonal, bem como sua programação.
Figura 35: Tela do aplicativo VOLPIR (Volume da Pirâmide)
Fonte: Autor (2018)
Na Figura 35, o layout da tela “Pirâmide Hexagonal Regular” possui
estruturas de blocos programadas para o calculo da área da base do hexágono a partir
da medida do lado e do volume da Pirâmide hexagonal a partir da área da base e da
altura, possui como elemento da paleta uma legenda ( ) na parte superior da tela,
que indica o tema trabalhado; dispõe de duas imagens ( ), uma da base e outra da
Pirâmide que expõe os elementos do objeto; uma caixa de entrada ( ) para que o
usuário digite a medida do lado do haxágono (base), que quando tocada com o dedo
sobre a tela ocasiona a exposição automática do teclado, seguida do botão ( ) que
calcula a área da base quando inserida a medida do lado; analogamente, uma caixa
de entrada de valores para digitar a medida da altura da Pirâmide que admite o mesmo
tratamento que a caixa de texto anterior, no entanto, possui como pré-requisito o
cálculo da área da base para calcular o volume.
A tela se completa com três botões: Limpar – utilizada quando se quer
calcular o valor da área da base e do volume ao atribuir novos valores após os já
calculados, o botão Voltar- direciona o aplicativo para a tela de apresentação, e por
141 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
fim, o botão Sair que fecha o aplicativo. Segue abaixo a programação em blocos da
tela do aplicativo.
Figura 36: Programação em blocos da tela do volume da Pirâmide hexagonal
Fonte: Autor (2018)
Os blocos de programação da Figura 36, estão estruturados de acordo com
a necessidade e a criatividade do usuário, o que permite alteração em qualquer etapa
do aprendizado. Por outro lado, a criatividade não basta por si só para garantir o
funcionamento correto do aplicativo, pois para isso, precisa-se da estrutura
matemática. A estrutura (A) refere-se à programação do botão calcular área da base
- quando tocado, “ajusta” a legenda “área” para o resultado dos valores digitados na
entrada (caixa de texto) - submetida à expressão 𝑆𝑏 =3.𝑙2√3
2. A estrutura (B) refere-se
à programação do botão calcular o volume da Pirâmide - quando tocado, “ajusta” a
legenda “volume” para o resultado dos valores digitados na entrada (caixa de texto) -
submetida à expressão 𝑆𝑏 =𝑆𝑏.ℎ
3. Já a estrutura (C) garante que quando o botão limpar
for tocado, os valores das caixas de texto medida do lado e medida da altura da
Pirâmide, e, das legendas área e volume limpem os valores dos elementos citados. A
estrutura (D) faz com que, ao ser pressionado o botão voltar, a tela se feche,
emergindo a tela inicial do aplicativo. Por fim, a estrutura (E) fecha todo o aplicativo
quando o botão sair for pressionado.
Nessa perspectiva, considera-se a potencialidade oferecida pelo processo
de construção dos aplicativos para o meio educacional, que ainda é bastante “tímida”
no ensino de matemática, mas por outro lado, ganha espaço no meio tecnológico ao
potencializar o processo de ensino e aprendizagem. Assim, nossa decisão de
construir aplicativos matemáticos não foi aleatória, partiu da dificuldade em encontrar
142 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
uma ferramenta que auxiliasse no cálculo e na compreensão de fórmula e relação dos
elementos da Pirâmide no desenvolvimento de questões que exigem cálculo sem
perder de vista o caráter contextualizado dos problemas propostos, parte de uma
construção do próprio aluno, ao invés de utilizarmos aplicativos já prontos.
Um dos fatores que nos motivou para a utilização do App Inventor II na
estruturação dos aplicativos foi a possibilidade de serem executados em um sistema
operacional popular, o Android, presente em 93% dos smartphones no Brasil (IDC,
2016). Outro fator relevante é a dispensabilidade de conhecimento técnico de
linguagens de programação para a estruturação dos aplicativos. Fato que se
constatou com a coleta de dados e em seguida, com a oferta de um curso para o
nivelamento dos alunos sobre o uso da plataforma.
Tais contribuições foram experimentadas e analisadas no curso de
nivelamento que se segue.
2.3.2 Curso de Nivelamento
Mediante a afirmativa dos alunos de desconhecerem a plataforma utilizada,
objetivamos oferecer subsídios para o primeiro contato e manuseio do App Inventor II
sem o direcionamento para o objeto da pesquisa, de maneira a identificar
prioritariamente os fatores que possibilitam ou dificultam o manuseio do artefato, além
de observar como ocorre o processo de Gênese Instrumental.
As atividades de nivelamento foram ofertadas com o título principal:
“Instrumentação do App Inventor II para a criação de aplicativos matemáticos”. À
frente das atividades esteve o Grupo de Pesquisa em Ensino da Matemática e
Tecnologia- GPEMT representado e ministrado pelo pesquisador deste estudo para
21 alunos do 3º ano do Ensino Médio do Centro de Ensino Integral Josélia Almeida
Ramos. As atividades de instrumentação ocorreram em 10 (dez) encontros de 3 horas
cada, durante o período compreendido entre 20 de junho de 2018 e 10 de agosto de
2018, no Núcleo de Tecnologia Educacional , biblioteca e auditório da escola definida
como lócus da pesquisa, no período de contraturno dos estudantes, das 15 a 18 horas.
Foram utilizados conteúdos básicos da Matemática para ensinar a
manusear as ferramentas da plataforma, de forma que a mesma deixe de ser artefato
e seja instrumentalizada pelos alunos com a construção de aplicativos. Segue abaixo
o resumo e descrição das principais atividades desenvolvidas que ocorreram em dias
143 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
alternados por conta dos jogos da Copa do Mundo da Rússia com os jogos da seleção
brasileira, consequentemente a adequação do calendário escolar de acordo com a
Portaria nº 174, de 22 de junho de 2018 do Ministério do Planejamento,
Desenvolvimento de Gestão.
Quadro 10: Atividades desenvolvidas no curso de nivelamento
Mês Dia Atividades
Junho
20 (quarta-feira)
- Sensibilização, justificativa, apresentação da metodologia e demais particularidades do curso. - Acesso e apresentação principais ferramentas do App Inventor II (Laboratório de informática-NTE)
21 (quinta-feira) - Orientação e construção de uma calculadora de operações básicas como primeiro aplicativo. (NTE)
26 (terça-feira) - Orientação e construção de aplicativo 2 - cálculo de juros simples - em telas múltiplas, relaciona algoritmos matemáticos e blocos de programação. (NTE)
Julho
03(terça-feira) - Conclusão das telas do aplicativo 2 e instalação no smartphone (NTE).
04 (quarta-feira) - Atividade de teste do aplicativo 2, realização de atividade proposta que relacionam o conteúdo (Biblioteca e NTE).
05 (quinta-feira) - Socialização grupal dos resultados obtidos (NTE).
09 (segunda-feira) - Atividade de planejamento de aplicativo 3 para um conteúdo à escolha do aluno, esboço, construção, programação e teste do aplicativo (NTE).
11(quarta-feira) - Atividade de aprimoramento do aplicativo de juros simples em apenas uma tela; utilização de lógica Matemática para a programação (NTE).
13 (sexta-feira) - Desenvolvendo um aplicativo de juros compostos em uma única tela (NTE).
Agosto 17 (sexta-feira) - Socialização de todas as atividades desenvolvidas no curso, em um mini seminário (Auditório).
Fonte: Autor (2018)
Os registros das atividades foram feitos por meio de roteiro de atividade,
fotos, áudio e vídeo. Para avaliação dos cursistas foram atribuídas três notas: (1)
Frequência- cada aluno inscrito iniciou o curso com nota 10, subtraindo-se 1 (um)
ponto a cada falta nos encontros; (2) Construção, instalação e testagem do aplicativo
2 com registro em atividade escrita; (3) Planejamento, criação, testagem do aplicativo
3 e socialização no mini seminário do encontro realizado no dia 17/08. Destes, os que
obtiverem média igual ou superior a 7 (sete), estarão aptos a participar das atividades
propostas no experimento.
Dos resultados, as principais ações registradas foram: conversas de
estudantes na busca de compreensão dos algoritmos matemáticos para a construção
144 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
da programação do aplicativo, dúvidas sobre a relação entre o algoritmo e a
programação em blocos, facilidade em resolver as questões propostas, com e sem a
utilização do aplicativo, além da capacidade de planejamento de telas para a
construção de aplicativos que resolvam problemas do dia-a-dia. Evidenciaremos
alguns registros escritos de uma atividade realizada em grupos de três alunos,
conforme ilustrado na Figura 37.
Figura 37: Impressões iniciais de juros simples
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
Como pudemos observar na imagem acima, o grupo de estudantes, que
para efeito dessa análise chamaremos de “G1”, demonstrou suas impressões iniciais
no sentido de que os juros são utilizados apenas para atrasos de transações
financeiras. No entanto, com a realização das atividades posteriores: como o
preenchimento de um quadro com valores e utilização do aplicativo para isso,
posterior socialização, discussão e construção, obteve-se uma interpretação de juros
mais ampla por parte dos componentes do “G1” e das demais equipes. Observou-se
também a importância dada a cada elemento para o cálculo de juros, bem como suas
relações para resolver os problemas propostos.
O aplicativo criado para o cálculo de juros simples possui quatro telas (Fig.
38), em que cada tela permite a entrada de três variáveis e o cálculo de uma quarta.
Uma delas calcula juros simples (j) em função do capital (c), taxa (i) e tempo (t); as
demais telas calculam o valor do capital, taxa e tempo em função das demais variáveis
independentes.
Conforme pudemos observar na pergunta inicial (Questão 1) e na pergunta
13, os estudantes já demonstram domínio sobre as ferramentas do artefato
(plataforma) utilizado, evolui para o status de instrumento, uma vez que verifica-se
145 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
nitidamente a reorganização e modificação dos esquemas de utilização do recurso
pelos alunos, de acordo com Rabardel (1995), no entanto, ao testar o aplicativo, o
mesmo grupo verificou um “erro”, ao “dividir por 3” no algoritmo, corrigido em seguida.
Figura 38: Estruturação da programação do bloco de juros simples
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
Na mesma atividade, foram propostas questões para testar o aplicativo
construído, bem como a possibilidade de manipulação do algoritmo para encontrar os
outros elementos que o envolvem: capital, taxa e tempo e em seguida, verificar os
dados com a utilização de caneta e papel. De posse do aplicativo já construído, os
alunos puderam verificar a os valores encontrados e compará-los com os cálculos
feitos à mão.
Nessa perspectiva, foram propostas as questões de 2 à 10, quando
selecionamos a atividade da equipe “G4”. No aplicativo, observa-se que o layout
permite a “entrada” dos valores dos juros simples, taxa e capital, de maneira que gere
a “saída” do valor do tempo, que nesse caso foi dado em anos. Nessa questão,
pudemos perceber que a mesma apresenta um ciclo que, partiu de uma situação
problema utilizada para testar o aplicativo, resolvida comumente pelo algoritmo
t=100.j/i.c, no entanto, entendido por uma outra linguagem: programação simples a
partir de estruturas em blocos que permite a conversão de linguagens, o entendimento
das relações entre seus elementos, mediada por tecnologia para a confirmação de
resultados e adequação da ferramenta de código aberto para outras ferramentas, o
que permite, daí fazer o processo inverso: ter uma situação da realidade, criar um
aplicativo e resolver problemas.
A partir da resolução de várias questões propostas sobre a utilização de
juros em diversos contextos, os estudantes perceberam aos poucos que a utilização
de juros simples não ocorre apenas quando ocorre o atraso em contas. Essa
146 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
percepção pode ser estendida a várias aplicações. Ao ter a possibilidade de modificar
os elementos da estrutura de blocos o aluno percebe erros e corrigi-los em seguida.
Figura 39: Aplicativo, estrutura e validação da questão 9
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
As tarefas proporcionaram ao aluno a possibilidade de visualizar as
relações existentes entre os elementos da tela do aplicativo, das fórmulas para o
cálculo de juros, dos blocos de programação e testá-los mediante cálculos
desenvolvidos à mão. Observe a Figura 39.
Na sequência, apresentamos a análise de dados produzidos na interação
dos sujeitos (alunos cursistas), orientados pelo professor mediador, com o objeto do
conhecimento (conteúdo matemático) de maneira a considerar o aplicativo como
produto do instrumento. No decorrer do diálogo que se estabeleceu entre os sujeitos,
elaborou-se um texto coletivo com a turma, de maneira que destacaram-se os alunos
“A1”, “A2”, “A3”, “A4” e “A5”. Apresentamos a transcrição deste diálogo a seguir:
Professor: Se ao invés de construir o aplicativo, para o cálculo de juros simples, em
quatro telas e configurar em apenas uma, como eu deveria proceder, alguém sabe?
Alunos: primeiro criaria a tela (em coro).
Professor: Isso mesmo. A1, o que mudaria no layout? Tiraria ou acrescentaria algum
elemento?
A1: professor, tiraria só os botões que levariam pra tela do capital, tempo e taxa.
Professor: nada mais?
Alunos: Não...
A1: peraí...
147 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Professor: bem, se só temos uma tela, temos que ter campo de entrada de todas as
quatro variáveis, né?
A2: então tira a legenda do juro e coloca uma caixa de texto.
Professor: exatamente! Então que elementos eu teria para a tela do aplicativo?
Alunos: 1 legenda indicando a tela, quatro caixas de entrada pra inserir os valores...
Professor: O que mais?
A3: os botões: sair, limpar e calcular...e...
A4: as legendas que mostram que elemento colocar, e os organizadores também.
Professor: E nos blocos? O que mudaria? O algoritmo matemático? A programação?
Alunos: (silêncio)...
Professor: “peraí”, vamos comparar o que muda na prática na tela do aplicativo: se
os valores da variável serão digitados em três caixas de texto, sobra uma em branco,
então é lá que deverá aparecer o valor. Perceberam a utilização dos operadores
lógicos “se” e “então”?
A2: professor, as estruturas do aplicativo anterior não muda, certo?
Professor: certo.
A1: Então acrescenta o bloco lógico com se e então, só não sei como será para as
quatro caixas de texto.
Professor: você está vendo uma engrenagem azul no bloco? Clique pra ver o que
acontece... Tente compreender o que encaixar no se e então.
A5: Professor, e o que colocar no “se”?
Professor: Bom, onde sairá o resultado?
A5: na caixa de texto vazia...
A2: então, seleciona, vazio e indica a caixa de texto.
O diálogo ocorreu em torno de um questionamento do aluno A2 sobre uma
dúvida: professor, não poderíamos otimizar o tempo e o aplicativo para construí-
lo em apenas uma tela? Para isso, houve a necessidade de incremento de noções
de lógica formal com o uso do bloco “se, então”, por parte do mediador.
O aplicativo foi concluído, instalado e testado pelos alunos em grupos de
três componentes, no entanto alguns obstáculos foram inevitáveis, como alguns
grupos não conseguiram de imediato estruturar os blocos com os operadores lógicos,
em outros casos, houveram trocas de variáveis na estrutura, o que ocasionaram
alguns erros de programação, mas corrigidos em seguida. O aspecto que mais se
148 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
destacou na atividade foi a ajuda mútua entre os alunos. A Figura 40 resume a
estrutura.
Figura 40: Aplicativo de juros simples personalizado pelo aluno
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
O aluno A1, mencionado no diálogo, personalizou seu aplicativo de forma
que ao digitar os valores nas caixas de entrada com fonte na cor preta, em seguida
ao clicar no botão calcular, a resposta destaca-se em cor vermelha, fato que apresenta
indícios de instrumentalização do artefato, identificada pela autonomia na
personalização do aplicativo.
Figura 41: Imagem do aluno construindo o aplicativo de juros simples
Autor (2018)
Nesta proposta, tiramos o foco do conteúdo de juros, para observar a
percepção dos estudantes acerca da utilização do instrumento em outros conteúdos
matemáticos. Neste caso, o estudante A4 construiu o esboço para a construção de
um aplicativo que auxiliasse no cálculo da área de trapézios.
149 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 42: Esboço do aplicativo para o cálculo de área do trapézio
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
O objetivo dessa atividade era verificar se os alunos conseguiriam
personalizar o artefato de acordo com suas necessidades. A representação do layout
e dos blocos de programação pela equipe que aqui chamaremos de “G3”, retrata que
os seus membros já possuem a competência de comunicar os esquemas de utilização
das ferramentas para a resolução de um conteúdo matemático diferente da linha de
construção dos aplicativos propostos no curso. Todas as equipes responderam
corretamente à questão 14, fato que indica uma possível instrumentalização da
plataforma na construção dos aplicativos, pois
os processos de instrumentalização referem-se ao surgimento e evolução da componente artefato para o instrumento: selecionando, agrupando, produzindo, e definindo funções, transformando o artefato (estrutura, funções, etc.) enriquecendo as propriedades do artefato, cujos limites são difíceis de determinar. (RABARDEL, 1995, p. 111)
Como última tarefa, sugerimos que os estudantes voltassem ao laboratório,
pesquisassem sobre um tema de Matemática, e procedessem com a criação de um
novo aplicativo, ocasionou o incentivo, a criatividade e a autonomia para outros
conteúdos matemáticos, de forma a compreender se houve a instrumentalização da
plataforma.
Segundo Rabardel (1995),
os processos de instrumentação são relativos ao surgimento e evolução dos esquemas de utilização e da ação instrumental: sua constituição, seu
150 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
funcionamento, sua evolução por acomodação, coordenação e combinação, inclusão e assimilação recíproca, a assimilação de novos artefatos a esquemas preexistentes (RABARDEL, 1995, p.11)
Selecionamos o aplicativo criado pela equipe “G5”, conforme atividade
proposta na questão 15, permitiu uma autonomia maior do aluno, no sentido de que
quando o mesmo decide construir um aplicativo para conteúdo não determinado pelo
docente permite abrir um leque na escolha de elementos, ferramentas e temas
diversos, de acordo com sua necessidade, criatividade e possibilidade. Na questão,
demos liberdade de escolha de um conteúdo qualquer e construir um aplicativo que
resolvesse uma situação problema com o assunto escolhido.
Figura 43: Aplicativo criado por aluno para cálculo da área do triângulo
Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)
Todas as atividades propostas foram desenvolvidas pela maioria dos
alunos participantes. Dos 21 participantes, 17 concluíram as etapas com êxito,
lograram notas suficientes para a aprovação no curso.
As atividades desenvolvidas no primeiro contato com a App Inventor II nos
permitiram constatar as seguintes percepções:
- A construção permitiu que os estudantes se sentissem motivados por fazerem parte
da construção de um aplicativo, ao invés de apenas manuseá-los;
- O processo de desenvolvimento contribuiu para a identificação de aspectos que
indicam a instrumentação e instrumentalização e muito favorável à aprendizagem de
151 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Pirâmides, com a capacidade de manuseio de tecnologias do grupo, sobretudo da
personalização dos aplicativos.
- Dar tratamento diferenciado ao erro, uma vez que ao serem testados, os aplicativos
permitem a correção de blocos de programação;
- Mesmo com a utilização de tecnologias, os alunos não deixaram de lado os cálculos
com lápis e papel;
- A plataforma possui limitações quanto ao ambiente gráfico;
- As atividades não dispensam a utilização de recurso complementares como
materiais manipulativos, sólidos Geométricos;
- Ao aplicativos facilitam, dinamizam e potencializam as resoluções de problemas por
reduzir os erros de cálculo;
- Cabe destacar, também, a relevância do trabalho realizado em grupo. As atividades
contribuíram significativamente com a interação entre os alunos a carca de sugestões
e opiniões a respeito dos aplicativos, sobretudo o da calculadora;
- O tipo de aplicativo mais adequados para nosso objeto de pesquisa é a construção
de calculadoras específicas para cada tópico estudado de Pirâmides.
Consideramos que os efeitos produzidos, pela primeira experiência com os
aplicativos foi muito proveitosa e potencializadora, dessa forma, torna-se bastante
adequada sua utilização nas tarefas propostas em nossa SD, a qual passaremos a
apresentar na próxima seção como foi organizada.
2.4 Sequência Didática (SD)
Ao considerar a realidade social em que se insere a maioria dos estudantes
evidenciadas pelos percentuais apresentados e as descritas nas subseções iniciais,
sob o ponto de vista tecnológico, elaboramos uma SD sobre os tipos e maneiras de
articular as atividades, que segundo Zabala (1998), são um dos traços diferenciais
que determinam a especificidade das propostas didáticas. Nesse contexto,
apresentamos a adequação de uma estrutura de SD que consideramos possuir
características procedimentais, que se encaixam no tema em estudo, conforme
destacado no Quadro 11.
152 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 11: Generalização do modelo de SD Fase Descrição Encaminhamento
1 Apresentação por parte do docente de uma situação problemática.
O professor expõe aos alunos uma situação conflitante que pode ser solucionada por meios matemáticos.
2 Proposições de problemas ou questões e Busca de soluções.
Os alunos individualmente ou coletivamente orientados pelo professor expõem as respostas intuitivas ou suposições sobre o problema ou situação proposta.
3 Conceituação e algoritmo.
O professor apresenta uma atividade que conduza o aluno à descoberta de novos conceitos com ou sem o uso do aplicativo a partir de roteiros de atividades, o aluno a responde.
4 Elaboração de conclusões.
Os alunos, coletiva ou individualmente, mediados pelo professor, elaboram as conclusões que se referem às questões propostas nas atividades da etapa anterior.
5 Generalização das conclusões e síntese.
O professor demonstra a função do modelo conceitual e o algoritmo em todas as situações que cumprem determinadas condições.
6 Instrumentação e construção do aplicativo.
O professor solicita que o aluno individualmente ou coletivamente construa o aplicativo utilizado e se possível adeque à uma nova necessidade.
7 Aplicação. Os alunos aplicam o modelo em diversas situações.
8 Exercitação. Os alunos realizam exercícios com o uso do algoritmo.
9 Avaliação. Os alunos expõem os resultados obtidos nos exercícios escrito ou verbalmente.
Fonte: Adaptado de Zabala (1998)
Para compreender melhor a estruturação que pretendemos adotar para
abordar os conteúdos a partir do quadro acima, consideramos três categorias de
conteúdo: os conceituais, os procedimentais e os atitudinais. Segundo Zabala
(1998) os conteúdos conceituais dizem respeito ao desenvolvimento das capacidades
cognitivas, que permitem a operação com dados referentes a operação e ideias
associadas o objeto.
As atividades que podem garantir um conhecimento melhor do que cada aluno compreende implicam a observação do uso de cada um dos conceitos em diversas situações e nos casos em que o menino ou a menina os utilizam em explicações espontâneas. (ZABALA, 1998, p. 205).
Por outro lado, os conteúdos procedimentais estão associados ao saber
fazer, passíveis de verificação na aplicação dos conteúdos, com a utilização adequada
de instrumentos, algoritmos, além de fazer uma pesquisa, converter linguagens, e
outros aspectos associados a habilidades de execução e reflexão sobre tarefas
desenvolvidas.
153 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
No que tange aos conteúdos atitudinais, a subjetividade comportamental é
o grande desafio para a percepção de características e avaliação dos elementos
observados pelo docente, pois estão associados à atitudes e valores formados frente
a um conhecimento adquirido ou informação recebida. A iniciativa de tentar responder
às questões propostas nas aulas de Matemática, podem estar ligadas a muitos fatores
que influenciam no comportamento proativo, ao mesmo tempo em que a falta de
interesse pela mesma questão, por outro, pode estar ligado a questões sociais,
cognitivas. Nesse contexto, a reflexão, a inciativa, os conflitos e a relação interpessoal
podem ser levadas em consideração em vários momentos e atividades do processo.
Diferentemente da SD baseada na abordagem clássica vinculada à “tríade”
definição, exemplificação e exercitação - confirmada ser a abordagem mais usada nas
aulas de Matemática por 68,2% dos alunos entrevistados nas análises preliminares
desse estudo- além de flexível, o modelo adotado permite desenvolver conteúdos
fundamentalmente procedimentais no que se refere o uso de fórmulas e no
desenvolvimento de habilidades e competências associadas ao tema, além da
instrumentalização das tecnologias em favor do ensino, que permite analisar a
mediação entre o sujeito e o objeto mediada por tecnologia de acordo com a Gênese
Instrumental (Rabardel,1995).
Quanto aos conteúdos conceituais, estes destacam-se na compreensão
dos conceitos associados, no nosso caso no ensino de Pirâmides. Os conteúdos
atitudinais só aparecerão nas etapas que envolverem as trocas de ideias em diálogos
entre aluno-aluno e professor-aluno.
Nesse sentido, a organização a seguir (Quadro 12) procura explicitar os
tipos de conteúdos observados em cada fase da SD prevista no Quadro 11, em que
podemos observar que as praticamente todas as atividades propostas aparecem
conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.
Quadro 12: Fase x Conteúdo da SD
Fase Conteúdo
Conceitual Procedimental Atitudinal
1. Apresentação por parte do docente de uma situação problemática.
X
2. Proposições de problemas ou questões e Busca de soluções.
X X X
3. Conceituação e algoritmo. X X
4. Elaboração de conclusões. X X X
5.Generalização das conclusões e síntese. X
154 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
6.Instrumentação e construção do aplicativo. X X X
7. Aplicação. X X
8. Exercitação. X X
9. Avaliação. X X X Fonte: Adaptado de Zabala (1998)
De acordo com o Quadro 11, planejamos a oferta nos encontros do
experimento, o maior número de fases possíveis, ao buscar aproximação da formação
integral do aluno, uma vez que tais atividades permitem compreender e orientar as
diferentes capacidades dos indivíduos. Segundo Zabala (1998), a proposta permite
que os alunos controlem o ritmo da sequência, atuando constantemente e utilizando uma série de técnicas e habilidades [...]. Ao mesmo tempo, encontram-se diante de uma série de conflitos pessoais e grupais de sociabilidade que é preciso resolver, o que implica que devam ir aprendendo a “ser’ de uma determinada maneira: tolerantes, cooperativos, respeitosos e rigorosos. (ZABALA, 1998, p. 61)
Nesse contexto, além dos aspectos propostos, deverão ser levadas em
consideração as habilidades, competências e direitos de aprendizagem dispostos em
documentos oficiais da educação brasileira, mesmo que não seja possível analisar
toda a gama de informações produzidas nesse estudo.
Na utilização do App Inventor II as atividades propostas na SD, causou o
sentimento da necessidade de instrumentalização das ferramentas disponíveis na
plataforma, ao oferecer uma noção básica das propostas de atividade com aplicativos.
Tal necessidade justifica o desenvolvimento do curso de nivelamento ora relatado pois
o que pode ser artefato para um, poderá ser instrumento para outro. Ressalta-se que
segundo coleta de dados apresentada nas análises preliminares em que 95,9% dos
estudantes entrevistados afirmaram não conhecer o App Inventor II e 92,3% disseram
não ter noção de programação, por isso, os resultados obtidos com o nivelamento,
nos serviu de parâmetro para a organização das atividades.
A SD proposta, foi organizada em doze seções de três aulas cada. As duas
primeiras sessões foram destinadas a atividades iniciais que objetivavam conceituar
e classificar Pirâmides. Foram aplicadas 2 (duas) atividades que totalizaram 6 (seis)
aulas em 2 (dois) encontros somente para o desenvolvimento das atividades que
envolvam aplicativos. Os tópicos conceituais propostos estão de acordo com as
dificuldades apontadas na coleta de dados com os alunos nos Apêndices C, D e G ,
além de considerações curriculares apresentadas no nosso estudo, que seguem a
155 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
seguinte ordem: “noções gerais sobre pirâmides” que englobam elementos,
classificação, ideias gerais e princípios básicos das pirâmides; “relações entre
elementos” que contemplem os cálculos que envolvem as relações entre a base
piramidal inscrita na circunferência (apótema, lado, altura, diagonal, raio); “cálculo de
áreas”; e “o cálculo de volumes”. O último encontro foi a socialização de todas as
atividades desenvolvidas.
No quadro abaixo, segue cronograma de distribuição das seções de ensino,
prevista para 36 horas/aula, distribuídas em 10 encontros com duração de duas horas
cada.
Quadro 13: Cronograma de atividades da SD Encontros Atividades Data Horários
1º Atividades Introdutórias 1 e 2 - atividade introdutória com o uso do baralho geométrico “noções gerais sobre pirâmides”
22/10 7h10 às 9h40
2º Atividades introdutórias 3 e 4 - atividade introdutória com o uso do baralho geométrico “noções gerais sobre pirâmides”
24/10 8h00 às 10h50
(intervalo 20min)
3º
Atividade móbile carnavalesco - atividade com o uso e construção de aplicativo para descobrir relação existente entre elementos da base: (a) lado e apótema de pirâmides de base triangular regular.
29/10 7h10 às 9h40
4º Socialização e avaliação de resultados. 31/10 8h00 às 10h50
5º Atividade móbile carnavalesco - Atividade relação “lado x apótema” de pirâmides de base triangular. (Momento A)
05/11 7h10 às 9h40
6º Atividade móbile carnavalesco - Atividade relação “lado x apótema” de pirâmides de base triangular. (momento B)
07/11 8h00 às 10h50
7º Socialização e avaliação de resultados. 12/12 7h10 às 9h40
8º Atividade barracas- Atividade áreas da pirâmide regular. (Momento B)
14/11 8h00 às 10h50
9º Atividade barracas- Atividade áreas da pirâmide regular. (momento B)
19/11 7h10 às 9h40
10ª Atividade Iceberg- Atividade volume das pirâmides de base regular (momento A)
21/11 8h00 às 10h50
11º Atividade Iceberg- Atividade volume das pirâmides de base regular (momento B)
26/11 7h10 às 9h40
12º Socialização e avaliação de resultados. 19/12 8h00 às 10h50 Fonte: Autor (2018)
Assim, nossas atividades foram compostas por 12 seções com três horas
aula cada, as quais as duas primeiras foram reservadas à introdução do conteúdo
com o objetivo de evidenciar elementos e propriedades das Pirâmides. Na turma
156 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
foram aplicadas quatro atividades introdutórias e três que envolvem a construção de
aplicativos, que totalizaram doze encontros. Os tópicos de Pirâmides que foram
contemplados nessa SD, estão de acordo com as dificuldades apontadas no
questionário (disponível no Apêndice G) além de considerações curriculares, didáticas
e pedagógicas apresentadas no nosso estudo, que seguem a seguinte ordem:
“noções gerais sobre Pirâmides” que englobam elementos, classificação, ideias gerais
e princípios básicos; “relações entre elementos” e os cálculos que envolvem as
relações entre a base piramidal inscrita na circunferência (apótema, lado, altura,
diagonal, raio); “cálculo de áreas”; e “o cálculo de volumes”.
As atividades foram propostas em ordem e grau de dificuldade a partir das
atividades que propõem de maneira intuitiva a definição de Pirâmides, a qual foi
formalizada ao final do primeiro momento de cada atividade proposta. É importante
ressaltar que as ferramentas do App Inventor II eram novas pra eles até a oferta do
curso de nivelamento, no entanto, o conteúdo de Pirâmides foi estudado por todos
ainda no 2º ano, mas sem o auxílio de tecnologias.
Os participantes de nossa pesquisa foram submetidos a três avaliações
que variavam de 0 a 10: (a) frequência e participação, (b) construção de aplicativo
proposto e (c) criação, instalação e apresentação de um aplicativo para um conteúdo
ainda desconhecido por eles.
A escolha da referida escola como lócus da pesquisa deu-se pelo pela
necessidade de incorporação de novas práticas que contribuam com a integralidade
na formação do aluno oferecida na perspectiva do Ensino Integral ainda em
implantação, além de que a mesma caracterizar uma amostra que representa a
realidade dos índices avaliativos externos da região do MSM.
Para registros, utilizamos gravações em vídeo, fichas de atividades e
software próprio para captação de imagens da tela do computador.
Passamos a descrever os sujeitos e seu envolvimento com o experimento
no capítulo que segue.
157 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
3. EXPERIMENTO E ANÁLISE
No presente capítulo, caracterizamos o lócus, os sujeitos e o
desenvolvimento do experimento, seguidos da análise das atividades segundo o
quadro teórico e a metodologia da pesquisa.
3.1 Caracterização da escola e dos sujeitos
3.1.1 A escola
As atividades experimentais foram realizadas no Núcleo de Tecnologia
Educacional da Unidade Regional de Educação, localizado no interior do Centro de
Ensino Integral Josélia Almeida Ramos da cidade de São João dos Patos, estado do
Maranhão. Ressaltamos contar com a respectiva autorização para publicar o nome da
escola, inclusive, todos os dados nela coletados.
O Centro de Ensino Integral Josélia Almeida Ramos- CEINJAR, antigo C.
E. Edson Lobão foi fundado no ano de 1981 com posteriores mudanças estruturais e
de nomenclatura. Na década de 90, ofertava Ensino Fundamental e em seguida
implementou gradativamente o Ensino Médio, no entanto, passou a se chamar Centro
de Ensino Integral Josélia Almeida Ramos a partir de 02 de janeiro de 2015. Com a
mudança limitou-se o atendimento a apenas o público de Ensino Médio, e em 2017 a
adesão à proposta de Ensino Integral através dos programas “Educa Mais” e “Escola
Digna” do Governo do Estado do Maranhão.
A escola possui como missão a formação de cidadãos críticos,
participativos e atuantes na sociedade em que vivem, no que diz respeito às ações
espontâneas que visam melhorar a sua comunidade ultrapassa os limites escolares,
valora o seu entendimento, sua participação e o exercício da cidadania.
No ano letivo de 2018, o CEINJAR funcionou no período matutino com
cinco turmas, vespertino com quatro turmas de 2º ao 3º ano do Ensino Médio regular,
e, 3 turmas de 1º ano são de tempo Integral as quais permanecem na escola das 7:
10 às 17:00, com dois intervalos de 15 minutos para lanche (matutino e vespertino) e
1 hora para almoço. Esses alunos têm diariamente nove horários de 50 minutos.
Quanto ao Ensino Regular (2º e 3º), seguem as normas que variam das normas do
integral, intervalo 15 minutos, duração de hora-aula 50 minutos, entretanto
158 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
permanecem na escola apenas um período (matutino ou vespertino) e seis horários
por dia (Matutino das 7:10h às 12:20h e vespertino das 13:00h às 18:00h. O turno
noturno é diferenciado, haja vista que nele funcionam duas modalidades de ensino, o
EJA (4 turmas) e o Regular (3 turmas) e, por ser noturno, tem intervalo 10 minutos e
duração de hora-aula é de 45 minutos.
No Ensino Integral, a escola oferece disciplinas básicas e eletivas, das
quais ofertamos o curso de nivelamento para a instrumentalização do App Inventor II
em acordo com os discentes envolvidos, desenvolvido em dez encontros de três horas
cada um. A etapa do experimento fora desenvolvida durante 6 (seis) semanas a partir
da data de 22 de outubro de 2018 nos horários regulares em que os envolvidos
participaram das atividades no Núcleo de Tecnologia Educacional-NTE, bem como as
atividades experimentais de construção de aplicativos para o ensino de Pirâmides.
3.1.2 Os sujeitos da pesquisa
No curso de nivelamento participaram inicialmente vinte estudantes do 3º
ano do Ensino Médio, dos quais houveram duas desistências iniciais e quinze
obtiveram média suficiente para a etapa experimental sobre Pirâmides. Para
preservarmos a identidade destes alunos, descrevemo-nos em códigos (Quadro 14)
e selecionamos aleatoriamente por meio de sorteio os nomes reais dos alunos
associados a cada código (mantidos em sigilo).
Quadro 14: Codificação da identificação dos estudantes
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Aluno A B C D E F G H I J L M N O P Fonte: Autor (2018)
Além dos estudantes, participaram três alunos do curso de Licenciatura em
Matemática do Instituto Federal de Educação do Maranhão como observadores, que
também contribuíram com a gravação de vídeos, áudios e entrevistas.
No experimento, as atividades introdutórias tiveram momentos que foram
realizados em grupos de três alunos e as demais em caráter individual ao considerar
que a partir do 3º encontro (Quadro 13), foram realizadas no laboratório (NTE) com o
uso de computador. Priorizou-se uma máquina por aluno.
159 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Para a construção dos aplicativos, fizemos um recorte do produto
educacional elaborado nesta pesquisa, de forma a priorizar três atividades que
abordam cálculo de relações entre os elementos, cálculo de áreas e volumes com a
construção de aplicativos. Para melhor compreensão da estrutura dos encontros
(Quadro 15), o número de atividades fora organizado conforme os objetivos
elaborados, o nível de dificuldade e a complexidade das construções.
Quadro 15: Atividades desenvolvidas no experimento
Atividade Duração Encontro
1 Atividade introdutória (AI-1) 50 min. 1º
2 Atividade introdutória (AI-2) 100 min.
3 Atividade introdutória (AI-3) 75 min. 2º
4 Atividade introdutória (AI-4) 75 min.
5 Atividade móbile carnavalesco 900 min. 3º ao 7º
6 Atividade barraca 360 min. 8º e 9º
7 Atividade iceberg 540 min. 10º a 12º
Fonte: Autor (2018)
Descrevemos cada atividade realizada nos doze encontros.
3.2 Atividades diagnósticas
Com o objetivo de coletar dados sobre como os participantes
compreendem Pirâmides, elaboramos quatro atividades introdutórias.
Atividade introdutória 1 (AI-1): Com duração de 50 min, a atividade foi
baseada em arguições após a leitura do fragmento de texto intitulado “os templos
maias”. A atividade visava identificar os primeiros conceitos de Pirâmides segundo os
estudantes.
Atividade introdutória 2 (AI-2): Intitulada Baralho Geométrico, tinha como
objetivo principal identificar visualmente características das Pirâmides, diferenciá-las
e classifica-las, além de permitir assim uma revisão geral sobre Sólidos Geométricos.
A referida tarefa dispôs de 32 cartas, de contorno azul, numeradas aleatoriamente que
continham um sólido geométrico por carta, além de 10 (dez) cartas de contorno
vermelho, com características gerais. Para esta tarefa, os alunos tiveram 100 min.
Com o objetivo de definirmos o objeto de estudo, elaboramos mais duas
atividades introdutórias.
160 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Atividade introdutória 3 (AI-3): Chamada de caça Pirâmides, essa
atividade permitiu que os alunos fizessem a conceituação de Pirâmides ao utilizar as
figuras do baralho selecionadas pela atividade. Para esta, utilizamos 75min, realizada
na segunda seção de estudos. Os alunos foram divididos em equipes de três alunos
apenas para concorrerem entre si na forma de competição na realização da tarefa, no
entanto, os registros e as percepções foram feitos de forma individualizada.
Atividade introdutória 4 (AI-4): Com o título “Pirâmides Regulares” o
objetivo principal foi conceituar Pirâmides Regulares com o uso do Baralho
Geométrico e da ficha de atividades. Para esta, utilizamos 75min, realizada como
continuidade da segunda seção de estudos. Dessa forma seguimos as etapas de
realização na AI-3.
Em seguida, detalhamos cada atividade introdutória.
Atividade introdutória 1 (AI-1)
Inicialmente, os estudantes realizaram a leitura compartilhada do texto “os
templos maias” (Apêndice H), que apresentou uma imagem do templo piramidal de
Kukulcán (Figura 44).
Figura 44: Pirâmide de Kukulcán
Fonte: FTD (2015)
Na imagem, as formas geométricas que compõem o monumento podem
ser facilmente identificadas: um paralelepípedo retangular e um tronco de
Pirâmide. Após a leitura, o professor conduziu um diálogo baseado nas seguintes
perguntas previamente formuladas, em que todos os quinze estudantes participantes
responderam primeiramente na forma escrita e depois socializada verbalmente: (1) A
161 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Pirâmide de Kukulcán e seu templo podem ser representados por dois sólidos
geométricos sobrepostos, você sabe quais são? Dos participantes, o aluno D4
escreveu: “cubo e Pirâmide de base quadrada”. A aluna M12 registrou: “um cubo e
um triângulo”.
Os outros treze alunos disseram que tratava-se de um “cubo e uma
Pirâmide”, com destaque para I9 que lembrou que a Pirâmide não tinha “ponta”. O
aluno I9 referia-se ao vértice, em que a imagem representa um tronco piramidal
sobreposto por um paralelepípedo retângulo.
Nas respostas coletadas, os estudantes identificam facilmente a forma
piramidal, por outro lado, descuidam quanto ao “cubo” no tocante às propriedades e
das medidas das arestas serem iguais, quando trata-se do paralelepípedo retângulo.
As respostas foram socializadas verbalmente em sala de aula e registradas em fichas,
com a consolidação quanto às figuras, construída pelos alunos, orientada pelo
docente.
A segunda pergunta foi quanto às características observadas nos sólidos:
(2) Quais as principais características apresentadas pelos dois sólidos da
figura? Segue abaixo respostas de cinco alunos selecionados aleatoriamente:
Quadro 16: Principais características geométricas do templo de Kukulcán segundo alunos
D4 A base de cada uma e a quantidade de lados
F6 Porque a Pirâmide é triangular, só muda o formato e a outra tem formas retangulares
A1 Uma tem lado retangular e a outra lados triangulares
M12 Uma é quadrada e a outra tem a forma triangular
I9 Uma é quadrada, a outra tem uma forma de triângulo sem a parte da ponta Fonte: Autor (2018)
As respostas dos demais não diferem muito das destacadas no Quadro 16,
altera-se apenas algumas palavras que não influenciam na semântica das frases,
porém, as características apontadas não se apresentam com densidade de critérios,
a ponto de citar arestas, vértices, faces e nem suas quantidades. Os estudantes não
demonstram atenção às características espaciais específicas das figuras em questão.
Ao serem questionados se conhecem outros sólidos além dos dispostos no
texto “os templos maia”, surgiram as seguintes respostas: esfera, cilindro, retângulo,
paralelepípedo, tetraedros, octaedros, cone, cilindro, prisma, de forma que não
houve uma distinção entre figuras planas e espaciais, ambas tratadas como sólidos.
162 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quando indagados pela pergunta 4: Você conhece projetos
arquitetônicos recentes na forma de Pirâmides, quais? Descreva. Dos
participantes, treze citaram as cúpulas de igrejas como resposta, e oito alunos citaram
o telhado da Faculdade de Floriano – FAESF como exemplo (Figura 45). A referência
ao prédio deu-se por motivo dos mesmos terem realizado uma visita técnica para
conhecer as dependências da Faculdade, promovida pela própria escola. Por outro
lado, as igrejas configuram-se numa fonte arquitetônica de Pirâmides utilizadas no dia
a dia.
Figura 45: Imagem da fachada frontal e superior da FAESF
Fonte: Google.com
A partir dos exemplos apresentados, pudemos perceber que os estudantes
não demonstraram dificuldades em identificar Pirâmides pela sua forma em ambientes
diversos do seu cotidiano. Por outro lado, percebemos a partir dos questionamentos
anteriores que muitos elementos essenciais para estudos mais aprofundados são
desconhecidos parcialmente: o tratamento das faces laterais como lados, ou a
Pirâmide como triângulo, citados pelos alunos M12 e I9 (Quadro 16).
Outra pergunta foi: (5) Supondo que existam grandes estruturas
arquitetônicas atuais na forma de Pirâmide, em vidro. Como calcular os gastos
da construção por meio do cálculo da área? Sete alunos afirmaram não saber ou
não lembrar como fazer para responder, enquanto os outros oito disseram que
“bastava calcular a metade do produto da base multiplicada pela altura”. Ocorreu
ainda o registro da aluna N13 (Figura 46), que considerou que calcular o custo
resume-se a calcular a área do triângulo (face lateral da Pirâmide), deixa de fora de
suas considerações o custo do material.
163 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 46: Ideia preliminar da área de uma Pirâmide (Aluna N13)
Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
Por fim, ao perguntarmos: (6) Suponha que existam grandes depósitos
no formato piramidal, você sabe como calcular a capacidade volumétrica desses
depósitos? Dos participantes, onze afirmaram não saber, enquanto quatro disseram
que encontrariam a partir da “metade da área da Pirâmide ao cubo”. Dos estudantes
que responderam saber calcular o volume, a resposta apresentada foram idênticas ao
do estudante H8 (Figura 47). Ao considerar que o volume da Pirâmide é encontrado
quando multiplicamos um terço da área da base pela altura, acreditamos que H8
associou o volume ao “expoente 3” e a área da base dividida por 2 por tratar-se de
Pirâmide com faces laterais triangulares. Vejamos a resposta do aluno.
Figura 47: Ideia preliminar do volume de uma Pirâmide (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
A partir da atividade proposta, percebe-se que os envolvidos não
conseguem conceituar Pirâmides com clareza, pouco identificam as principais
características de figuras geométricas espaciais com precisão, não conseguem
prioritariamente distinguir figuras planas de espaciais, e não demonstram saber como
calcular a área e o volume da Pirâmide, mesmo já estudado o conteúdo no 2º ano do
Ensino Médio. Segundo Crowley in Lindquist e Shulte (1994), o nível de aprendizagem
dos estudantes analisados são o da “visualização e análise” ainda em
desenvolvimento, fato que os colocam muito abaixo do esperado, tendo em vista que
se encontram no 3º ano do Ensino Médio.
Sobre o cálculo de áreas e volumes, os resultados coletados representam
as dificuldades apontadas do questionário, ou seja, o grupo pesquisado apresenta
muita dificuldade em estabelecer relações entre elementos, o que dificulta no conceito
e compreensão de questões relacionadas ao tema.
164 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
As habilidades esperadas para às primeiras questões da atividade se
alinham à habilidade “H7” da matriz de itens do ENEM e ao descritor “D3” da matriz
de itens do SAEB, ambas compõem as questões de menor complexidade nos
Exames. As questões que tratam da área e volume objetivam especificamente a
diagnosticar as noções sobre os temas.
Acreditamos que, por serem de 3º ano do Ensino Médio, os envolvidos na
atividade possuem pouco conhecimento preliminar sobre o tema, fato que poderia
implicar negativamente no desempenho das próximas atividades. Como a
formalização da resolução das questões foram tratadas na aula, espera-se que tal
obstáculo seja superado.
Atividade introdutória 2 (AI-2)
Nesta atividade, objetivamos saber quais características dos sólidos
geométricos eram mais frequentes na visão dos alunos; se os estudantes
classificavam corretamente as Pirâmides em meio a outras formas conhecidas a partir
do baralho geométrico apresentado. Para essa atividade, dividiu-se a turma em
grupos de três componentes, que após decidirem quem começava a rodada,
revezaram-se em sorteio de cartas de bordas vermelhas, embaralhadas de forma a
selecionarem as respectivas cartas de bordas azuis de acordo com a característica
demandada. Os estudantes promoveram uma espécie de disputa em cada grupo de
forma que cada um identificasse as figuras (cartas azuis) correspondentes às
características apresentadas nas cartas vermelhas, por fim, cada equipe apresentaria
suas conclusões para o restante da turma.
Participaram dessa atividade todos os quinze alunos divididos em cinco
grupos que compostos a partir de sorteio distribuídos da seguinte maneira:
Quadro 17: Divisão de grupos da atividade individual 2
GRUPO 1 GRUPO 2 GRUPO 3 GRUPO 4 GRUPO 5
B2 D4 C3 E5 A1 F6 I9 G7 H8 J10 L11 N13 014 M12 P15 Fonte: Autor (2018)
Como cada grupo recebeu um conjunto de cartas (azuis e vermelhas) as
respostas foram registradas (individualmente em sua ficha) de acordo com o sorteio e
depois socializadas em consenso por grupo.
165 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Na carta selecionada (Quadro 18), objetivamos identificar se os estudantes
possuem a noção de base (quando existir) e lateral do sólido. Segue abaixo o resumo
das respostas dos cinco grupos, associadas a ideia de Pirâmide:
Quadro 18: Respostas por grupo a respeito de faces laterais triangulares
Selecione as cartas que possuem os sólidos que apresentam todas as faces laterais triangulares.
Grupo Número das cartas selecionadas Observação do grupo
G1 30-01-18-09-12-10-29 e 13 As que tem lados triangulares.
G2 29-10-12-01-13-18-30-14 e 16 Deixaram em branco
G3 16-30-18-13-10-29-12-01-14 Deixaram em branco
G4 01-10-12-13-14-16-18-29-30-31-32 Porque tem laterais parecidas com um triângulo.
G5 22-25-01-18-10-32-30-14-12-13-29-09-17-31-20-16
Por serem vários triângulos
Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
O “G1” deixou de selecionar as cartas “14” e “16” que referiam-se a um
octaedro e icosaedro respectivamente. Os sólidos possuem faces laterais
triangulares, no entanto acreditamos que houve uma dificuldade de identificar a base
e posteriormente as faces laterais. A observação do grupo para as cartas
selecionadas como respostas foi “as que tem lados triangulares” dessa forma,
acreditamos que os triângulos constantes nos sólidos “14” e “16” não caracterizam
laterais para os estudantes.
As cartas “31” e “32” tratavam de Pirâmides poligonais de bases octaédrica
e quadrilátera côncavas respectivamente, não identificadas com a característica
sugerida na carta sorteada, pelos grupos “G1”, “G2” e “G3”.
Todas as Pirâmides de bases convexas foram identificadas pelos cinco
grupos como possuidoras de faces laterais triangulares. Por outro lado, o grupo “G5”
selecionou as cartas “9”, “17”, “20”, “22” e “25” (Quadro 19). Pelas anotações e
socializações, tal escolha se deu sem a preocupação de identificar se os “triângulos”
localizavam-se na base ou na lateral.
Segue abaixo o recorte e as cartas selecionadas pelo grupo “G5” a qual
demos ênfase pela escolha equivocada.
166 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 19: Resposta do grupo “G5” para sólidos de faces laterais triangulares
Cartas destacadas para análise.
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
A carta “9” traz a figura de um prisma de base triangular; a carta “17”
apresenta a figura de um cubo sobreposto de uma Pirâmide; a carta “20” representa
outro prisma de base triangular; a carta “22” indica um tronco de Pirâmide (sem
triângulos aparentes) e carta “25” representa um cone. Pelos motivos expostos,
acreditamos que a equipe possui dificuldades em identificar bases e faces laterais dos
sólidos, mesmo ao identificar as Pirâmides corretamente.
Questionados sobre os sólidos que possuem apenas um vértice que não
pertence à base, como mostra o Quadro 20, diversas foram as respostas.
Quadro 20: Respostas dos grupos -vértice fora da base
Selecione as cartas que possuem sólidos que apresentam apenas um vértice que não pertence à base.
Grupo Número das cartas selecionadas Observação do grupo
G1 06 -
G2 06-07-16 Por não possuir bases
G3 01-10-18-12-29-25-13-30-31-32 Todas as Pirâmides.
G4 13-18-10-29-32-31-01-25 A 12 não possui um vértice fora da base, porque a base é a ponta.
G5 23-30-12-10-20 - Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
167 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A solicitação de que se identificasse as cartas correspondentes, além de
revelar mais uma característica das Pirâmides, mostrou mais uma vez que as bases
dos sólidos não são identificadas corretamente, fato revelado pela observação
descrita pelo grupo “G2” que as características apontadas na pergunta só ocorrem
quando o sólido “não possuir bases”. Esperávamos como respostas as seguintes
cartas: “01”, “10”, “12”, “13”, “18”, “25”, “29”, “30”, “31” e “32”. Os dados coletados nos
levaram a observar que os alunos associam a base à parte da figura que está voltada
para a parte debaixo da carta, daí o motivo da observação do grupo “G4” quando trata
da carta nº “12”, disposta na Figura 48.
Figura 48: Pirâmide pentagonal regular
Fonte: Autor (2018)
A Figura em questão trata-se de uma Pirâmide de base pentagonal com
um “giro” de 180º em relação ao eixo horizontal. Já o grupo “G3” ao acrescentar que
“Todas as Pirâmides” possuíam a característica em evidência, não atentou para o
único sólido que não pertence a tal afirmação: “O Cone” (Carta 25). Nos grupos “G4”
e “G5”, houveram algumas cartas que não foram selecionadas e deveriam.
Finalmente, perguntamos “quais dos sólidos dispostos nas cartas azuis
tratavam-se de Pirâmides?”. As respostas estão dispostas no Quadro 21:
Quadro 21: Resposta dos grupos sobre as cartas que possuem Pirâmides
Selecione as cartas que contém Pirâmides
Grupo Número das cartas selecionadas Observação do grupo
G1 13-08-10-14 Tem bases retangulares e triangulares, e lateral formando uma Pirâmide.
G2 10-12-30-25-18-01-26 Por causa da forma triangular.
G3 01-10-18-12-29-13-30 São todas as de faces triangulares
168 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
G4 01-10-12-13-18-22-29-30-31-32 e 08 Na imagem 14 tem duas Pirâmides uma na outra e na 17 uma Pirâmide em cima do quadrado.
G5 30-29-10-18-12-01 Por terem uma forma triangular Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
De acordo com o quadro acima, pudemos observar que nos grupos, os
alunos utilizam a “forma triangular” como principal característica das Pirâmides, sem
utilizarem a nomenclatura adequada quanto à base, um exemplo está no Quadro 22.
Quadro 22: Identificação de Pirâmides (Grupo G4)
Cartas destacadas para análise
Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
Destacamos as observações do grupo “G4” que identificaram a existência
de sólidos que apesar de não serem Pirâmides, segundo eles são constituídos de
Pirâmides. Os mesmos se referem às cartas “14” (octaedro) e “17” (cubo sobreposto
por Pirâmide de base quadrada), de acordo com o Quadro 22. Por outro lado,
consideraram os troncos de Pirâmides contidos nas cartas “8” e “22” como Pirâmides.
Salientamos ainda que o grupo “G2” selecionou as cartas “25” e “26”, no entanto as
mesmas referem-se a um cone e tronco de cone respectivamente. Tais considerações
são indícios de que a noção de Pirâmides ainda precisa ser construída na turma, uma
vez que a Pirâmide é identificada pela sua forma, mas não pelos seus elementos
(base, faces, vértices, arestas).
169 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Atividade introdutória 3 (AI-3)
A cada aluno foi distribuída uma ficha de atividades, com o objetivo de
conceituar Pirâmides. Solicitamos que os estudantes observassem os sólidos do
baralho geométrico distribuídos aleatoriamente (Figura 49). Tal atividade foi realizada
em grupos de três alunos de maneira a competir um com o outro na qual seus registros
fossem feitos individualmente. Segue abaixo a distribuição dos sólidos:
Figura 49: Figuras selecionadas para a AI-3
Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)
Após observar os sólidos (Figura 49), os alunos responderam às perguntas
seleciona as cartas que continham os sólidos correspondentes em suas fichas de
registro. Como o acerto foi quase unânime, representamos o número de cartas
170 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
selecionadas corretamente por estudante (Gráficos 03, 04, 05 e 06.) de acordo com
cada pergunta:
(a) Que sólidos são exemplos de poliedros que possuem faces laterais quadriláteras?
Gráfico 03: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta a)
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
(b) Que sólidos são exemplos de poliedros que possuem faces laterais triangulares?
Gráfico 04: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta b)
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
(c) Que sólidos possuem duas bases iguais e paralelas?
Gráfico 05: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta c)
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
171 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(d) Que sólidos possuem apenas uma base?
Gráfico 06: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta d)
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Ao final dos questionamentos a, b, c e d, abrimos espaço para uma possível
definição de Pirâmides. Em todas as perguntas feitas na AI-3, percebemos que houve
por parte dos alunos, um olhar mais apurado sobre as características dos sólidos
dispostos nas cartas. Ressaltamos que a maioria relacionou tais questionamentos a
um conceito mais generalizado. Os dados do Quadro 23 mostram que todos os quinze
estudantes conseguiram identificar a base, as faces laterais triangulares, e o vértice
não pertencente a esta base.
Segue abaixo a transcrição das respostas dos alunos:
Quadro 23: Respostas dos alunos sobre a definição de Pirâmides Estudantes Defina Pirâmide
A1 Possui uma base, um vértice e faces laterais triangulares.
B2 Pirâmide é um sólido de uma base, os lados triangulares e com um vértice.
C3 Sólidos que possuem uma base, um vértice e as laterais triangulares.
D4 Possui um vértice, uma base poligonal e as faces laterais triangulares.
E5 Um sólido que possui um vértice fora da base e tem todos os lados iguais.
F6 Pirâmides podem ter bases diferentes, possuir faces triangulares e um vértice fora da primeira base.
G7 São sólidos que possuem faces laterais triangulares, apenas um vértice (fora da base) e uma só base poligonal.
H8 São faces laterais triangulares, tem um vértice fora da Pirâmide (base), um sólido que tem uma base e um vértice fora da base e tem todos os lados iguais.
I9 Possui um vértice, uma base e as faces laterais triangulares.
J10 Possui uma base, um vértice e as faces laterais triangulares.
L11 Sólido que possui uma base, um vértice fora dela e faces laterais triangulares.
M12 São sólidos que possuem faces laterais triangulares, apenas um vértice e uma só base.
N13 É um sólido que possui as seguintes características: possui apenas uma base poligonal, um vértice fora dessa base e faces laterais triangulares.
O14 Possui um vértice, uma base e as faces laterais triangulares.
172 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
P15 Pirâmides pode ter base poligonal, porém faces triangulares e um vértice fora da base.
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Nos registros, os estudantes mostraram que identificam características
fundamentais. Por outro lado, confundem termos básicos como lado e face, e não
identificam que a mesma questão possui “apenas um vértice” que não pertence à essa
base. Mostramos na Figura 50 a resposta do aluno G7.
Figura 50: Definição de Pirâmides para o aluno G7
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Ressaltamos que no tocante às bases, não fizeram distinção entre
polígonos côncavos e convexos, quanto a faces laterais não mencionaram se estas
poderiam ser diferentes ou semelhantes e não demonstraram observações sobre a
Pirâmides retas ou obliquas. Ao final da atividade, foram apresentaram termos
característicos ao invés da formulação de estrutura mais formal sobre o que de fato
define Pirâmides. Dessa forma, o professor teve uma importante participação
interventiva, voltada para as falas e escritas, na qual propôs em conjunto, o seguinte
conceito para o entendimento: “Pirâmide pode ser compreendida como um sólido
geométrico delimitado por uma base poligonal e faces laterais triangulares a
partir do lado dessa base, e, fora dela possuem um único vértice em comum”.
Destacamos que a socialização das respostas dos alunos, associadas à
intervenção do professor cumpriu papel determinante para a compreensão do nosso
objeto de pesquisa. Na próxima e última atividade da etapa introdutória pretendemos
aprofundar ainda mais a classificação sobre Pirâmides.
173 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Atividade introdutória 4 (AI-4)
O objetivo dessa tarefa foi de conceituar Pirâmide regular. A cada aluno foi
distribuída uma ficha de atividades retiradas no baralho geométrico. Segue abaixo a
distribuição dos sólidos, seguido das perguntas:
Procedimentos:
Observe os sólidos a seguir, faça o que se pede:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1) Escreva quais as características comuns às figuras 1,2,3,4 e 7 em
relação à base e altura, e socialize em seguida com os demais colegas, orientados
pelo seu professor.
(2) Descreva as características mais relevantes dos sólidos 5, 6, 8 e 9,
quando à base e altura, socialize com as demais colegas e formulem uma conclusão
em conjunto, orientados pelo seu professor.
174 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Solicitamos que os estudantes escrevessem suas impressões sobre os
dois questionamentos para posterior socialização, ao qual, destacamos as
respostas obtidas pela fala e registro escrito pela aluna N13 (Figura 51).
Figura 51: Registro das respostas da AI-4 pela aluna N13
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Para N13, embora a base e a inclinação das Pirâmides mudem, as faces
laterais ainda conservam a característica triangular. Por outro lado, destaca que as
Pirâmides do segundo grupo representado pelos sólidos 5, 6, 8 e 9 são “caídas”, ao
referir-se à inclinação destas em relação à base e altura. Dessa forma, passamos a
apresentar as respostas dos demais participantes da atividade (Quadro 24).
Quadro 24: Observações dos alunos sobre Pirâmides retas e oblíquas Estudantes Conclusões
A1 Na primeira questão, todas elas são retas, na segunda, nenhuma delas é completamente reta (oblíqua).
B2 No primeiro conjunto, todas elas são retas. No segundo nenhuma delas é completamente reta (oblíqua).
C3 (1) As bases são diferentes, menos a 3 e 4, a altura é diferente também, menos a 3 e 4 porque são iguais, possuem um vértice fora da base. A segundo do grupo possui Pirâmides oblíquas exceto a 8.
D4 Aos sólidos 1,2, e 7 tem formas triangulares, bases diferentes exceto 3 e 4. A Pirâmide 8 e 9 possui bases iguais e formas iguais ao demais, e são polígonos.
E5 O primeiro grupo trata-se de Pirâmides retas, com bases diferentes, mas formando Pirâmides. O segundo grupo são Pirâmides não retas.
F6 As bases 1,2,3,4 e 7 são diferentes, mas todas elas são poligonais e sua altura é comum, e as laterais são triangulares.
G7 O primeiro conjunto refere-se a Pirâmides retas e o segundo a Pirâmides oblíquas.
H8 As figuras 3 e 4 são tem bases iguais, mas o primeiro grupo é sobre Pirâmides retas, no segundo figuras não retas.
I9 (1) As bases são diferentes, exceto a 3 e 4, no caso da altura as arestas são todas diferentes, exceto a 3 e 4. (2) Elas são oblíquas.
J10 (1) são Pirâmides retas (2) São Pirâmides oblíquas.
L11 (1) Ela é composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada ou retangular. (2) Primeiro grupo são retas do segundo são oblíquas.
175 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
M12 (1) Aparentemente retas. (2) Aparentemente oblíquas.
N13 [...] é como elas são caídas para os lados, mas todas tem os lados triangulares novamente.
O14 As Pirâmides com suas bases e alturas são todas diferentes, exceto a 3 e 4, pois suas bases são iguais e alturas também.
P15 [...]As figuras 5 e 6 são Pirâmides oblíquas. As figuras 8 e 9 são figuras quadriláteras.
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Dos participantes, nove estudantes identificaram de imediato que a
atividade trata-se de Pirâmides retas e oblíquas, mas sobre as bases, apenas
compararam as Pirâmides, mas não os lados da base de cada Pirâmide, fato que
necessitou de intervenção do professor para auxiliar na conclusão do conceito de
Pirâmides regulares, mediante a socialização das respostas.
Dessa forma, solicitamos que os alunos registrassem uma conclusão
construída em conjunto de toda a turma sobre o conceito de Pirâmide regular.
Mostramos a reposta, aqui representada pelo estudante P15 na Figura 52.
Figura 52: Construção coletiva do conceito de Pirâmide regular
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
De acordo com o registro disposto na figura, os estudantes conceituaram
Pirâmides regulares de maneira satisfatória, no entanto, vale ressaltar que uma
consequência desse conceito é que a Pirâmide seja reta.
Com as atividades introdutórias, pudemos registrar algumas percepções a
cerca do objeto de pesquisa. Na AI-1 fica evidente que os estudantes identificam
Pirâmide pela forma, reconhecem alguns elementos (lateral, triângulo, retângulo) de
maneira generalizada, o que não ocorreu com de outros elementos (faces, bases,
vértices, arestas).
Na AI-2, observa-se um maior cuidado em identificar faces laterais e base,
mas ainda não são determinantes para a construção de uma ideia clara que conceitue
Pirâmides a partir dos seus elementos, necessitou para isso uma terceira proposta.
176 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Sequencialmente, a AI-3 objetivava definir Pirâmides a partir de uma
construção coletiva. Os estudantes identificaram muitas características importantes
do sólido, mas foi necessária a intervenção do professor para a formalização de um
conceito que mais se aproxime da definição.
Finalmente, a AI-4 propôs a conceituação de Pirâmides regulares tendo
como foco a delimitação do objeto para estudos posteriores. Identificamos que os
elementos e características da Pirâmide foram utilizados com maior propriedade, não
implicou em maiores obstáculos para os estudantes, prova disso, foi a construção do
conceito de Pirâmide regular construído coletivamente pelos próprios estudantes que,
identificaram inicialmente as Pirâmides oblíquas ou retas, e que a última condição
apresentada é determinante para a regularidade.
O diagnóstico proposto pelas atividades introdutórias nos permitiu ter ideia
dos conhecimentos matemáticos básicos do objeto de pesquisa, identificar possíveis
obstáculos epistemológicos (apesar de não ser o foco desta etapa do trabalho) além
de nos auxiliarem na elaboração das atividades que passamos a tratar.
3.3 Descrição do experimento
Cada atividade proposta nesta subseção está estruturada em fichas de
registro de atividades, que por conseguinte, constitui-se em dois Momentos: (A)
disponibiliza orientações para preenchimento de um quadro de valores propostos para
elementos das Pirâmides que partem de quantidades específicas à generalização da
relação existente entre tais elementos, de acordo com o objetivo específico proposto.
Cada objetivo fora elaborado de acordo com competências e habilidades previstas em
prescrições literárias previstas nas avaliações externas nacionais.
Outro aspecto considerado na etapa, é a utilização de um aplicativo
previamente construído pelo professor, disponibilizado para o preenchimento do
quadro, além da observância das análises preliminares deste estudo e nas atividades
introdutórias. A primeira etapa encerra-se com registros sobre as percepções dos
estudantes e posterior socialização.
A segunda etapa de cada atividade trata-se do Momento B, com foco na
proposição de uma questão contextualizada, o estudante deverá construir ou adaptar
um aplicativo que a resolva. Propomos ainda outras questões similares para
177 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
aprofundamento. Ressaltamos a importância da socialização das atividades
desenvolvidas.
Na construção de cada aplicativo foi observado o desenvolvimento de
esquemas mentais na perspectiva de Brousseau que permitiram a instrumentalização
da ferramenta App Inventor II à luz da Teoria da Instrumentalização de Rabardel
(1995) e como os estudantes aprendem sobre Pirâmides.
Os tópicos de conteúdos abordados foram selecionados de acordo com as
observações coletadas no questionário de entrevista e nas percepções constatadas
nas atividades introdutórias, priorizou-se a relação entre elementos da Pirâmide
regular, áreas e volumes (Quadro 25).
Quadro 25: Resumo dos aplicativos criados na SD
Aplicativo Conteúdo Atividade do Produto
Educacional
Calculadora de elementos das bases de Pirâmides
Calcula da medida de apótema, lado, raio e
diagonal da circunferência que circunscreve a base.
Atividade móbile carnavalesco
Calculadora de áreas da Pirâmide
Calcula as áreas da Pirâmide
Atividade barracas
Calculadora de volume da Pirâmide
Calcula o Volume da Pirâmide
Atividade iceberg
Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)
Para o desenvolvimento da SD foram necessárias duas etapas prévias: o
curso de nivelamento para manuseio da plataforma App Inventor II e as atividades
introdutórias seguida das atividades de Construção de aplicativos (Quadro 25). As
atividades experimentais com o uso e construção dos aplicativos foram sequenciadas
em observância às questões contextualizadas e à sequência dos conteúdos
geralmente dispostas nos livros didáticos, considera-se o nível de dificuldade.
No experimento destacamos a importância das disciplinas Ensino de
Matemática I, ministrada pelo professor Dr. Pedro Franco de Sá; Tecnologias de
Informática no Ensino de Matemática, ministrada pelos professores Dr. Fábio José
Alves da Costa e Dra. Cinthia Maradei Cunha Pereira, e das obras Ensino por
Atividade de Sá e Jucá (2014) e Aplicativos para o ensino de Matemática em app
inventor de Alves e Pereira (2016) que influenciaram na elaboração das atividades.
178 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Neste terceiro capítulo, corroboramos com o modelo utilizado por Salazar
(2009) para descrever e analisar o experimento, desta forma, adaptamos o mesmo
para a construção da etapa.
3.4 Análise das atividades
Nesta subseção apresentamos as atividades experimentais de construção
de aplicativos com foco no Ensino de Pirâmides. Para a validação, destacamos as
análises a priori e a posteriori de acordo com a Engenharia Didática.
Em cada atividade atentaremos para os esquemas de utilização como
forma de observação quanto à apropriação desses esquemas no processo de
interação dos alunos com o artefato, a partir da utilização das ferramentas do App
Inventor II na construção dos aplicativos. Nesse contexto, a Gênese Instrumental nos
oferece subsídios teóricos para a análise das atividades móbile carnavalesco,
barracas e iceberg no sentido de “transformação” do artefato em instrumento.
Organizamos as atividades propostas, de acordo com a Ficha de
atividades, disposta a seguir:
Atividade 1 - Móbile carnavalesco
Momento A
Aplicativo: calculadora de elementos (Pirâmide de bases triangulares)
Procedimentos:
i) Considere a imagem da Pirâmide dada abaixo.
ii) Preencha a segunda coluna do quadro, substituindo as medidas dos dados,
dados na primeira coluna.
iii) Digite os valores da coluna 1 (um a um) na caixa de entrada do aplicativo,
teclando em seguida no botão “calcular apótema”.
iv) Preencha o quadro com os valores de saída obtidos no visor. Considere √𝟑 =
𝟏, 𝟕.
179 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Lado (𝒍) 𝒍.√𝟑 Apótema (a)
60
51
48
36
24
18
12
6
1
𝒍
A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv,
responda o que se pede:
a) Em relação a coluna 2 e 3, você percebe alguma regularidade? Qual?
b) Descubra uma forma de calcular o valor do apótema (a) sem o aplicativo.
c) Calcule à mão, alguns valores encontrados e compare com os resultados
encontrados com o aplicativo.
d) Esboce um aplicativo com funções semelhantes ao aplicativo utilizado que
consiga chegar aos mesmos resultados encontrados no quadro, utilizando para √3
= 1,73. Construa esse aplicativo no App Inventor II.
Análise a priori
A etapa acima, é parte da atividade móbile carnavalesco e tem como
objetivo descobrir a relação matemática existente entre o lado e o apótema de uma
Pirâmide de base triangular regular, em seguida construir um aplicativo para o cálculo
das medidas do apótema em função do lado da referida Pirâmide. Tivemos o cuidado
de iniciar o estudo pela relação da base regular inscrita numa circunferência por
julgarmos de grande importância a relação entre as duas figuras para o estudo de
Pirâmides.
180 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Com o preenchimento do quadro e posterior comparação das colunas,
espera-se que os alunos percebam que o apótema é a sexta parte de 𝑙√3. A relação
procurada poderá ser expressa pela fórmula a= 𝑙. √3/6 e ser manipulada em função
do que se quer encontrar. A descoberta da relação é imprescindível para a
estruturação dos blocos de programação.
Nas questões posteriores, os estudantes poderão registrar os resultados
do quadro associados à utilização da relação expressa pela fórmula encontrada. A
participação do docente é imprescindível como mediador na socialização.
Em seguida, para a construção do aplicativo, sugerimos um planejamento
prévio, representada através de desenho da tela a ser construída e posterior
estruturação do design e blocos de programação. Para a construção do design da
tela, selecionamos os organizadores para a “legendas”, “figuras”, “caixas de texto” e
“botões” na ferramenta “paleta” (todos devem ser arrastados para o visualizador de
tela). As ferramentas de execução deverão ser renomeadas para ser identificadas na
programação (botões e legendas).
Para a organização dos blocos de programação, o menu “blocos” deve ser
selecionado com o botão esquerdo do mouse e na coluna blocos, selecionar a
ferramenta de controle para o “botão” de cálculo do apótema, com ajuste para a
legenda de resultados, ao construir a fórmula com estruturas disponíveis em “blocos
matemáticos”. Conclui-se com a programação do botão limpar (legendas e caixa de
texto) e por fim, o botão “sair” que fechará a tela. Essas etapas básicas deverão ser
repetidas para a construção de outras telas desta atividade, e das atividades
posteriores.
O quadro abaixo apresenta uma possível solução para a construção do
aplicativo. As letras em vermelho destacam os principais elementos da tela indicados
na coluna “Elementos” ao lado. Em seguida a estruturação de programação em blocos
é destacada por números de acordo com a sua função.
181 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 26: Possível construção de aplicativo para o cálculo do apótema
Design Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela: Bases triangulares; (b) Imagem da base triangular inscrita numa circunferência (opcional); (c) Legenda: dicas de preenchimento; (d) Legenda: orientação de preenchimento; (e) Caixa de entrada: ao tocar, abre o teclado para digitação de valores; (f) Botão: Calcula a medida do apótema; (g) Legenda: resultado do calculo do apótema em função do lado; (h) Botão: Limpar (inicia os campos); (i) Botão 5: Sair.
Estrutura de programação em blocos
(1) Botão apótema da base- ajusta a medida do apótema (a) para a=( 𝑙.√3)/6. (2) Botão limpar- ajusta os resultados e a caixa de entrada para “ ” . (3) Botão sair- fecha a aplicação.
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
O aplicativo deverá ser previamente construído pelo professor e
disponibilizado no início da atividade para os alunos. A disposição do instalador
poderá ser via blutooth, e-mail, whattsapp, cabo USB ou via QrCode. Para a última
opção o smartphone que irá instalar deverá possuir um leitor de QrCode instalado
(gratuito no playstory).
Acreditamos que os alunos possam desenvolver uma proposta próxima do
exemplo detalhado (Quadro 26) já que o curso de nivelamento tinha como objetivo
tais orientações.
Análise a posteriori
A análise será desenvolvida por cada tópico da atividade, e ao final de todos
os Momentos A e B, analisaremos os esquemas mobilizados pelo conjunto de
participantes da tarefa.
Preenchimento do quadro: Como todos os alunos receberam o instalador
via bluetooth e instalaram o aplicativo em seus smartphones, todos os quinze
preencheram corretamente o quadro de valores. Nesta etapa dispensamos as
unidades de medida, mas justificamos em sala que podem ser previamente definidas.
182 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Escolhemos ao acaso a ficha de atividades da aluna N13 (Figura 53) para descrever
e analisar em toda a atividade.
Nesta tarefa, os alunos não tiveram dificuldades para o preenchimento do
quadro, tendo em vista que todos instalaram corretamente o aplicativo previamente
construído e o utilizaram adequadamente.
Destacamos a utilização do “ponto” ao invés de vírgulas para os números
decimais, tal evento se dá pela própria plataforma utilizar o ponto para números
decimais, para o entendimento dos estudantes não houve maiores complicações.
Figura 53: Quadro valor do apótema- aluna N13
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na pergunta: Em relação a coluna 2 e 3, você percebe alguma
regularidade? Qual? -Os estudantes perceberam sem muitas dificuldades a relação
existente entre as colunas ao verificar que os valores da segunda coluna divididos por
6 resultaram nos valores da terceira coluna, encontrados com o auxílio do aplicativo.
Destacamos os alunos G7 e H8 que identificaram tal regularidade por tentativa e erro,
os mesmos começaram a dividir cada valor encontrado na coluna 2 pelos números 2,
3, 4, 5 e 6 com a calculadora do smartphone. Os alunos B2, M12 e O14 fizeram
algumas tentativas aleatórias como subtrações pra depois utilizarem divisões, mas
todos conseguiram encontrar a regularidade.
A aluna (N13) relata que “antes desse quadro, a relação de lado e
apótema, para mim, não passava de uma fórmula, agora percebo que com o
aumento ou redução de um dos valores o outro também muda, e ainda tem outra
versão com tecnologia, com o aplicativo”. Com as palavras da aluna, percebemos
que além de identificar que a relação matemática existente entre os elementos,
183 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
percebeu superficialmente que podem ocorrer uma representação tecnológica pelo
uso do aplicativo. Segue abaixo o registro da referida aluna (Figura 54) sobre as
conclusões matemáticas.
Figura 54: Resposta da aluna N13 à questão a (valor apótema)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
No item (b) pedimos que descubram uma forma de calcular o valor do
apótema (a) sem o aplicativo. Oito alunos citaram diretamente a fórmula da relação
entre o lado e o apótema da base da Pirâmide triangular regular. Os demais
descreveram por escrito o que ocorreu. A resposta da estudante analisada tentou
descrever com palavras e com a fórmula: “pegando os números da coluna 2 e
dividindo por 6”, resume ao lado que a= 𝑙. √3/6. Nesta etapa percebemos uma
compreensão nítida sobre as relações citadas, que se tornam importantes para a
resolução de problemas mais complexos. O exemplo destacado encontra-se
representado na Figura 55.
Figura 55: Resposta da aluna N13 à questão b (valor apótema)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Frente às críticas à utilização de calculadoras ou dos “perigos” causado
pelo uso das tecnologias em algumas comunidades acadêmicas (Borba e Penteado,
2017), resolvemos focar na necessidade de validar o entendimento do conteúdo, ao
abrir espaço pro cálculo na forma escrita. O item c) requer o cálculo manual de alguns
dos valores disponíveis no quadro, que mesmo explícitos reforçam o entendimento. O
registro da Figura 56, aponta que a estudante apenas reproduziu o constante na
segunda coluna e igualou à célula correspondente na terceira coluna, assim como
quatro de seus colegas. Por outro lado, dez dos seus colegas explicitaram a
substituição do valor do lado, a partir da fórmula.
184 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Segue a resposta de N13:
Figura 56: Resposta da aluna N13 à questão c (valor apótema)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Para finalizar essa fase da atividade, pedimos que os estudantes
esboçassem um aplicativo com funções semelhantes ao aplicativo utilizado que
consiga chegar aos mesmos resultados encontrados no quadro, utilizando para
√𝟑 = 1,73. Construa esse aplicativo no App Inventor II.
No primeiro momento, os alunos fizeram um rascunho com lápis (ou
caneta) que simulou a tela do aplicativo a ser construído. Nesta etapa muitas dúvidas
surgiram, a mais frequente foi quanto a diferença de utilização da caixa de texto e a
legenda usada para dar a resposta encontrada. O professor orientou-os a utilizar um
retângulo para caixa de texto (digitável) e uma “reta” para a legenda (em branco) que
irá emitir o resultado. Tal informação deu o pontapé inicial aos rascunhos. A proposta
de N13 para a Tela (aplicativo a ser construído está representado na Figura 57.
Figura 57: Esboço da tela do aplicativo apótema da base da Pirâmide (aluna N13)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
185 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A figura acima mostra que a estudante utilizou os recursos mínimos para
a criação da tela: identificação (legenda), identificação da função lado (legenda), o
campo de entrada da medida do lado (legenda), identificação do resultado encontrado
para a medida do apótema (legenda), campo de resposta do resultado (legenda em
branco) e três botões (limpar, calcular e sair). Três propostas apresentaram o botão
calcular e substituir a legenda resultado. Cinco propostas trouxeram ideias de outras
relações da base da Pirâmide, como: cálculo da altura do triângulo e do raio da
circunferência que a circunscreve. Seis alunos apresentaram um modelo fora da
orientação do professor quanto a legenda e caixa de texto, necessitou de ajuste após
a socialização. Todos fizeram a correção.
Por outro lado, a proposta não apresenta uma previsão da estrutura dos
blocos, no entanto, outros cinco estudantes o fizeram, mas um apresentou a estrutura
com erros.
A atividade teve continuidade no laboratório de informática (NTE), em que
cada estudante ocupou um computador de mesa, acessou a plataforma App Inventor
II e colocou em prática as habilidades adquiridas no curso de nivelamento, acrescidas
nas novas informações sobre Pirâmides.
Descrevemos a seguir, o aplicativo desenvolvido pelos alunos.
Ressaltamos que acompanhamos as etapas de construção da aluna supracitada.
Embora haja algumas diferenças na organização dos instrumentos, a atividade só foi
considerada correta após a conferência com os valores propostos para “𝑙” no quadro
com respostas obtidas para “a” no mesmo quadro, observou-se a utilização de duas
casas decimais para a raiz de 3.
O Quadro 27 destaca a tela (do aplicativo), a paleta (ferramenta da
plataforma) e os instrumentos utilizados para a programação em blocos, para o cálculo
do apótema do aplicativo construído pelo aluno analisado. Salientamos que ao término
de seus aplicativos, cada estudante efetuou a instalação ao utilizar a geração do Qr
Code para leitura em seus aparelhos com sistema Operacional Android.
186 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 27: Sequência de ações para a construção do aplicativo calculadora de elementos da Pirâmide
Tela Ferramentas Construção
Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Botão calcular e legenda resultado; (d) Botão limpar; (e) Botão Sair.
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Durante a construção do aplicativo surgiram algumas dúvidas por parte dos
sujeitos envolvidos. Transcrevemos um trecho das dúvidas da aluna N13, em diálogo
com o professor:
N13: Professor, e onde vai sair o resultado, é caixa de texto ou legenda?
Professor: Veja bem N13, quando você estiver utilizando o aplicativo, você pretende
modificar o valor encontrado com um toque na tela? Da mesma forma que faz quando
quer digitar o valor do lado?
N13: Não! Então devo selecionar a legenda. Mas tenho que apagar o nome, né?
Professor: Sim. Mas estabeleça propriedades que estipulem uma largura para a
legenda. Assim os resultados irão aparecer com espaço fixo.
O diálogo acima, destaca uma das principais dúvidas ocorridas entre os
estudantes: onde irá aparecer o valor do apótema? Esclarecida a dúvida e socializada,
os acertos passaram a ser frequentes.
187 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O Quadro 28, detalha sistematicamente cada ação da aluna em destaque
para a construção da tela do aplicativo até sua programação. Cada linha representa a
relação do instrumento com as ações do sujeito para a construção do aplicativo.
Quadro 28: Ações de construção da tela lado x apótema
Atividade: calculadora de elementos
Ação (sujeito) Instrumento
Ferramenta da plataforma
Aplicativo
1 Iniciar novo projeto
Seleciona/clica Botão esquerdo do mouse
Barra de tarefas
- 2 Seleciona/clica
Idioma/botão esquerdo do mouse
Lista suspensa (Português do
Brasil)
3 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.hori-
zontal Paleta
Título (a) 4
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/legenda
5 Digita/edita Texto/fonte Propriedades
6 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.tabela
Paleta Caixa de
entrada (b) Medida do
lado (l)
7 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/caixa
de texto
8 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda
9 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
10 Seleciona/clica-
arrasta Organização/Horizontal
Paleta
Botão e resultado (c)
Calcular apótema (a) Resultado
11 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/botão
12 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
13 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda Paleta
14 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
15 Seleciona/clica-
arrasta Organização/horizontal
Paleta Botões limpar e sair (d) e (e). 16
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/ botões
17 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
18 Seleciona/clica-
arrasta Organização/ horizontal
Paleta
Imagem 19 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/imagem
20 Clica/enviar arquivo Imagem Propriedades
21 Redimensiona Imagem
22 Edita e renomeia os
componentes Legendas, botões e caixas
de texto Componentes
Pré-programação
23 Seleciona Ambiente da plataforma blocos Programação Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)
188 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A estudante N13 apresentou uma dificuldade com relação aos
organizadores, muitas vezes tentou a organização de legendas e caixas de texto sem
antes selecionar o organizador, mas observamos a troca de ideias entre estudantes
em computadores diferentes. Acreditamos que tal atitude promova o crescimento de
solidariedade. Com o objetivo de organizar esteticamente a aparência da tela, N13 fez
uso das propriedades de largura e altura para limitar a caixa de texto.
Após o estabelecimento das relações prévias para a etapa final,
apresentamos a programação dos blocos a partir da relação a= 𝑙. √3/6. Nesta etapa
da construção, destaque para a dúvida do aluno F6 que questionou se “a ordem dos
blocos e , provocam alguma alteração no resultado? O
professor usou o quadro para explicar a comutatividade nos dois casos. Assim,
esclareceu que a ordem dos dois blocos pode sim provocar resultado incorreto, e
quais as possibilidades de ocorrência. Para a programação em blocos, cada peça
deve ser selecionada, arrastada e encaixada de acordo com a estrutura requerida
matematicamente, o que implica o respeito às ferramentas da plataforma.
Cada grupo de blocos de mesma característica estão organizados por
cores: Controle (amarelo), lógica (verde), matemática (azul escuro), texto (rosa), listas
(azul claro), Cores (cinza), variáveis (laranja) e procedimentos (lilás). Assim, obtiveram
a seguinte estruturação básica:
Quadro 29: Resposta da aluna N13 à programação dos blocos
Estrutura de programação em blocos
(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair.
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Na programação do botão limpar, houveram alunos que utilizaram o bloco
ao invés de , obtendo-se para os dois casos, o mesmo efeito
prático. Outra mudança foi quanto ao botão sair que apresentaram as opções
189 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
e , também sem mudanças que interfiram no aplicativo. Para
as duas situações, consideramos adequadas e que atendem perfeitamente ao
propósito do aplicativo.
A programação resumiu-se em variáveis, operações e constantes
matemáticas expressas das fórmulas matemáticas associadas aos blocos de
programação.
Figura 58: Interpretação dos blocos pela aluna N13 no cálculo do apótema
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Como pudemos observar na figura acima, para a conclusão do aplicativo,
foi necessária a estruturação dos blocos de acordo com a relação entre o lado e o
apótema. Após tal estruturação, cada aluno gerou o instalador do aplicativo, no
formato apk e de um Qr Code, utilizou-o para instalar e testar no cálculo dos valores
desejados.
Nesta atividade, a maioria dos estudantes seguiram a mesma sequência
de ações da análise a priori, realizaram satisfatoriamente a tarefa. Os alunos H8 e
P15 foram mais além e programaram uma relação as relações lado x raio. A atividade
apresentou-se com forte potencial para o desenvolvimento da questão proposta a
seguir.
Passamos a apresentar o Momento B da atividade. Nessa etapa, o aluno
parte da questão proposta, para a construção ou adaptação de uma aplicativo capaz
de simular os custos de construção do móbile a partir de diversos valores.
Momento B
Procedimentos:
i) Leia a questão proposta.
190 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Móbile carnavalesco
Na tentativa de criar um móbile para um carro alegórico da escola de samba
“Unidos da Pirâmide”, a partir de uma estrutura de metal na forma de um tetraedro
(como na figura abaixo), o carnavalesco responsável percebeu que a base do
tetraedro deveria possuir um orifício para pendurar a estrutura, necessitando de três
hastes de suporte (AO,BO,CO) com 1,2m que vão do ponto médio de cada lado da
base até o baricentro (O).
Pretende-se ornamentar toda a estrutura metálica com um cordão de luzes led
especial, que custa R$ 180,00 por metro linear e que a medida desse cordão será
igual à soma de todo o metal gasto na estrutura. Sabendo que o metro linear do
metal empregado custa R$ 21,00. Qual será o gasto feito para a construção de tal
estrutura?
Situações como essa podem ocorrer no dia a dia, principalmente com alguém
que trabalhe numa metalúrgica. Você poderia desenvolver um aplicativo para
resolver esse tipo de questão?
ii) Analise o aplicativo construído na atividade final do Momento A e verifique se é
suficiente para responder o problema do móbile. Caso não seja, efetue modificações
na estrutura do mesmo, de forma que responda as questões a seguir:
Questões de verificação do aplicativo construído
1- Preencha o quadro em que são dados diversos valores diferentes do apótema de
tetraedros (coluna 1), com o aplicativo construído, calcule os valores
correspondentes aos lados (coluna 2). Com os valores do metal (R$ 21,00) e do led
(R$180,00), preencha a coluna do Gasto Total (R$).
191 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Apótema (a)
Lado (𝒍)
Gasto (R$)
1
2
3
4
5
10
20
𝒍
2- Desenvolva o cálculo manual (com papel e caneta) de pelo menos uma situação
descrita numa linha do quadro:
3- Considerando a questão de construção carnavalesca, responda:
a) Qual a medida do metal a ser gasto na Pirâmide sem o suporte do baricentro?
b) Qual a medida encontrada apenas no suporte do baricentro?
c) Quanto deverá ser pago pelo metal utilizado?
d) Quanto deverá ser pago pelas lâmpadas de led utilizadas?
e) Custo total do projeto?
4- Numa Pirâmide de base triangular regular, tem-se o lado igual a 2cm, qual a
medida do apótema?
5- A base triangular de uma Pirâmide possui apótema igual a 5cm, quanto mede
seu lado?
6 – Socialize as soluções com o restante da turma, orientado pelo seu professor.
Análise a priori
Os alunos deverão criar um aplicativo que resolva a situação proposta e
calcule valores diversos dados no quadro de valores disponível da questão. A relação
procurada poderá ser expressa pela fórmula 𝑙 =2.a.√3. A descoberta da relação é
imprescindível para a estruturação dos blocos de programação e consequentemente,
192 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
encontrar os valores procurados para a resolução da questão, representados na
primeira (apótema) e segunda coluna (lado). Em seguida, os valores encontrados e a
quantidade de cada elemento deverão ser atribuídos ao material gasto e levados em
consideração para o preenchimento da terceira coluna.
Para a tarefa, o estudante poderá criar outro aplicativo, ou outra tela, ao
ainda adaptar o aplicativo construído no Momento A.
Análise a posteriori
No desenvolvimento desta tarefa, não houveram muitas dificuldades com
relação à construção do aplicativo para o cálculo do lado em função do apótema, para
isso, foram usados praticamente os primeiros passos da primeira tela, com o
acréscimo dos valores.
Todos os quinze alunos conseguiram construir o aplicativo com a função
calcular o lado conhecendo o apótema, para isso, escreveram a função inversa de
a= 𝑙.√3/6 (𝑙 =2.a.√3) , por fim conseguiram finalizar a construção de forma que o gasto
pudesse ser calculado corretamente.
A aluna A1 foi além do solicitado. A mesma utilizou princípios da lógica
básica para a programação em blocos: programou o apótema em função do lado e
o lado em função do apótema. Orientações repassadas no curso de nivelamento.
Para isso, utilizou duas caixas de texto ao invés de uma legenda e uma caixa de texto,
dessa forma, ao digitar qualquer dos valores (lado ou apótema) o segundo valor será
encontrado. Tal escolha, foi iniciativa da estudante.
Vejamos a estrutura criada pela aprendiz no Quadro 30.
Quadro 30: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto do móbile (Aluna A1)
Tela Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Imagem escolhida pela aluna (representa Pirâmide); (c) Caixa de texto: entrada da medida do lado; (d) Caixa de texto: entrada da medida do apótema; (e) Legendas: resultado do total de material gasto e custo do móbile em R$; (f) Botão sair; (g) Botão limpar; (h) Botão calcular: calcula o material e o custo a partir do lado e do apótema; (i) legendas dos valores de entrada (lado e apótema) e resultados (Material gasto e custo em R$).
Programação
193 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão sair; (3) Programação do botão limpar.
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Em seguida, apresentamos parte do diálogo entre o professor a aluna
protagonista da atividade:
A1: Professor, posso ficar sem usar a legenda para o resultado?
Professor: pode sim, mas, você ainda consegue, depois do nivelamento?
A1: Acho que sim. Devo utilizar o se, então; não é?
Professor: Se, então; senão, se então. Mas tente!
A1: Mas a relação eu sei, não lembro o se...
Professor: reflita... onde quer que o resultado apareça? Na legenda? Não, né?
A1: Não! Na caixa de texto vazia.
Professor: Beleza! E depois?
A1: Sei que as relações para calcular lado e apótema, mas as outras do material e do
gasto?
Professor: Se você selecionar o botão calcular novamente dará erro. Mas se você
quiser criar um novo botão...
A1: Mas se eu encaixar o material e o gasto embaixo das já existentes?
Professor: Tenta!
Pela produção da aluna A1, se o usuário digita o valor do lado na caixa de
texto, o valor do apótema será calculado. Por outro lado, se o valor do apótema for
digitado na caixa de texto correspondente, o valor do lado será encontrado após tocar
o botão calcular (para isso utilizou-se o bloco se, então/senão, se então). Dentre os
envolvidos da pesquisa, onze conseguiram concluir o aplicativo, sendo que cinco
194 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
deles apenas adaptaram o já construído e três precisaram de orientação
individualizada. Vale destacar que o aluno M12 fez o seguinte comentário: “professor,
no próximo projeto vou colocar uma caixa de texto para podermos modificar o
valor dos materiais, vai que precisamos fazer uma pesquisa de preços...”. A
afirmação do estudante implica na compreensão das ferramentas da plataforma, além
de representar a percepção do aluno M12 frente à limitação do aplicativo construído,
o que demonstra a ocorrência da Gênese Instrumental.
Sobre os elementos matemáticos acrescidos, houve o entendimento para
que apenas fossem multiplicados os preços da questão aos valores do apótema e do
lado encontrado.
O amadurecimento das ideias ocorreu à medida em que os estudantes
compreendem o processo e personalizam o aplicativo de acordo com as suas
necessidades. Após a criação do aplicativo, passamos a analisar as questões de
verificação.
Figura 59: Preenchimento do quadro de valores com o aplicativo construído (Aluna A1)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
A estudante repetiu equivocadamente a relação lado x apótema na coluna
de gastos, mas respondeu corretamente todos os valores procurados, depois replicou
à mão seu entendimento sobre a primeira linha do quadro de valores, ao encontrar o
valor correspondente de maneira correta (Figura 60).
Figura 60: Cálculo manual – do quadro atividade móbile(Aluna A1)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
195 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nos registros escritos da aluna A1 (Figura 60), percebemos que a mesma
multiplicou o número de arestas (seis) à medida encontrada para a aresta e adicionou
ao produto do número de apótemas (três) pela medida do apótema, em seguida, o
resultado encontrado, foi multiplicado com o valor do metro de metal e do cordão de
led informado na questão, o que permitiu chegar em seguida ao preço a ser gasto na
estrutura. Todos os demais alunos participantes também responderam a mesma
questão corretamente.
Já na questão “chave” da atividade, A1 só respondeu corretamente as
letras “b”, “c” e “d” (exceto pela unidade de medida da letra “c”), pois na letra “a”
acreditamos que a mesma tenha se confundido e utilizado o mesmo valor do quadro
da questão. Já na letra “e” houve um erro de cálculo.
Figura 61: Cálculo manual – valor do móbile (Aluna A1)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Após ter efetuado os cálculos manualmente, o aplicativo criado foi utilizado
para a conferência dos valores encontrados, e a questão fora coletivamente discutida
e corrigida. No grupo de alunos, trazemos o percentual de acerto de cada letra da
“questão 3” antes da correção: a) 53,3%; b) 100%; c) 80,0%; d) 100%; e; e) 40%.
A próxima questão fora resolvida com a ajuda do aplicativo, no entanto, os
estudantes foram orientados a desenvolver as etapas de cálculo manualmente.
196 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 62: Cálculo manual do apótema da Pirâmide de base triangular regular (Aluna A1)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
A correção visualizada na Figura 62 foi iniciativa da aluna. No contexto da
utilização do aplicativo, percebe-se uma atenção diferenciada ao erro frente à
resposta encontrada pela aluna para o cálculo da aresta da Pirâmide.
Figura 63: Cálculo manual do lado da base da Pirâmide triangular regular (Aluna A1)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na socialização, percebemos que apenas um aluno não respondeu à
questão destacada acima. Na oportunidade foram tratados de caminhos para
encontrar outras relações entre Pirâmides regulares de bases diversas (quadrada,
pentagonal, hexagonal), além de aspectos gerais sobre o assunto.
Consideramos que A1 utilizou corretamente as ferramentas necessárias
para construir o aplicativo e resolver a questão proposta, pois conseguiu relacionar os
elementos da Pirâmide.
Algumas considerações sobre a atividade móbile carnavalesco
Ao analisar os resultados das tarefas desenvolvidas, tecemos as seguintes
considerações:
- Com a sequência das atividades, a intervenção do professor e a socialização dos
resultados encontrados, percebemos que os estudantes aos poucos adquiriram
familiaridade com os termos adequados para a comunicação sobre os elementos das
Pirâmides, antes identificado pelo diagnóstico como obstáculo para a compreensão
nas atividades propostas.
- O preenchimento do quadro de valores com a utilização do aplicativo permitiu a
identificação de regularidades entre colunas e posterior generalização nas
197 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
conclusões, fato que contribuiu a compreensão e o estabelecimento de relações de
elementos das Pirâmides permitiu obervar o resultado final expresso no aplicativo.
- O curso de nivelamento contribuiu significativamente para o desempenho na
construção dos aplicativos.
- Os alunos conseguiram elaborar hipóteses e planejar a construção das telas antes
da etapa virtual.
- As sistematizações em blocos permitiram estabelecer relações entre as grandezas
numéricas envolvidas, principalmente pelas tentativas de chegar ao resultado
empiricamente.
- O aplicativo permitiu comparar valores, identificar possíveis erros, agilizar o processo
de resolução de várias situações em média de tempo reduzido.
- A estudante A1 mobilizou noções matemáticas capazes de criar um novo esquema
de utilização, além de reutilizar esquemas preexistentes na construção do aplicativo e
resolução das questões, a partir do uso de diferentes ferramentas e recursos do App
Inventor II. Tal fato indica que o processo de Gênese Instrumental aconteceu.
- Um obstáculo encontrado, deu-se ao fato da heterogeneidade no tempo gasto para
a construção do aplicativo no App Inventor II. Os desafios encontrados foram:
qualidade da internet, habilidade do estudante com ferramentas computacionais, o
tempo de construção de cada aplicativo, dessa forma, sugerimos que a proposta de
ensino desenvolvida a partir da construção de aplicativos, pelo menos inicialmente,
não deve ser incorporada à rotina comum de ensino, dessa forma, acreditamos que
um curso extracurricular seja ofertado nas séries finais do ensino fundamental ou na
1ª série do Ensino Médio pela demanda de tempo empregada.
As respostas encontradas pelos estudantes retomam as palavras de
Pereira (2017) no que tange à Modelagem Matemática quando afirma que “saber
observar, explorar e investigar, estabelecer relações, classificar e generalizar, ou
ainda, instrumentalizá-lo de forma a argumentar, poder tomar decisões e criticar são
importantes para o desenvolvimento do aluno. Nosso trabalho não utiliza a
Modelagem Matemática, mas percebemos o potencial da utilização dos quadros de
valores para a generalização e tomadas de decisão.
Os resultados da atividade permitiram considerarmos que os alunos estão
instrumentados nas ferramentas utilizadas dentro do previsto na perspectiva da
Gênese Instrumental de Rabardel (1995), tendo em vista que não apresentaram
dificuldades no desenvolvimento do aplicativo e na resolução das questões propostas.
198 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A relação entre o objeto estudado e o sujeito mediada pelo instrumento foi
complementar e possibilitou a assimilação do conteúdo, uma vez que a questão
proposta na atividade foi interpretada e resolvida satisfatoriamente.
A análise qualitativa permitiu verificar que a atividade proposta foi capaz de
cumprir seu papel na formação do aluno a uma tomada de consciência crítica sobre
situações de sua realidade no que se refere a situações de vida envolvendo Pirâmides,
concluímos que a atividade ajudou os alunos a identificarem etapas que permitam
realizar a leitura e interpretação da realidade, relacionar com a matemática escolar a
problemas vivenciados por estes.
Atividade 2 – Barracas
A segunda atividade exigiu um grau de dificuldade maior do que a atividade
1 por requerer a construção de um aplicativo com mais de uma tela. No Momento A,
a Tela 1- tratou da área da base da Pirâmide regular; Tela 2 – objetivou calcular a
área lateral; e; a Tela 3- teve a função de calcular a área total. No Momento B, foi
proposta a questão barracas para resolução e construção de aplicativo que permitiu
calcular várias situações com dimensões de barracas diferentes. Seguida de questões
complementares para uso do aplicativo.
A atividade atende aos requisitos previstos na matriz de elaboração do
ENEM que prevê a habilidade H9- “Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e
forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano”
e com o descritor D13- “Resolver problema envolvendo a área total e/ou o volume de
um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera)”.
Momento A
Procedimentos (Tela 1):
i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores, bem
como os dados da segunda e terceira coluna.
ii) Digite os valores da segunda e terceira colunas nos campos de entrada
correspondentes do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.
iii) Preencha a quarta coluna de acordo com os dados das três primeiras colunas.
iv) Preencha a coluna “Área da base” (ou superfície da base) com valores obtidos
no aplicativo.
199 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Base da Pirâmide (Regular)
Medida do lado (𝒍)
Medida do apótema* (a)
n. 𝒍.a Área da base
(Sb)
Triangular 10 3
Quadrada 7 5,5
Hexagonal 7 6
Octogonal 2 2,4
Polígono (n-lados)
𝒍 a
* A medida do apótema é um valor aproximado
A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv responda
o que se pede:
a) Em relação à quarta e quinta coluna, você percebe alguma regularidade? Qual?
b) Em relação à quarta e quinta coluna, você percebe alguma relação matemática?
Explique.
c) Faça uma pesquisa sobre a área da base da Pirâmide e descubra uma forma de
calcular sua área sem o aplicativo (utilize outras relações entre elementos para
encontrar a área aproximada.
d) Calcule manualmente, alguns valores encontrados no quadro de valores e
compare com os resultados do aplicativo.
e) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área da base de
qualquer Pirâmide regular.
Análise a priori
A tarefa de construção da Tela 1, é parte da atividade barracas e tem como
objetivo descobrir uma maneira de calcular a área da base de uma Pirâmide regular
de base qualquer, em seguida construir um aplicativo que auxilie na resolução de uma
situação proposta.
A construção ocorre por meio da mobilização de noções de relações entre
elementos da base relacionados com uma circunferência circunscrita (aresta, lado,
raio, altura, diagonal).
A área da base poderá ser obtida a partir de algumas relações entre seus
elementos, descritos pelas fórmulas: 𝑆 =𝑙2√3
4 (Área da superfície da base triangular),
𝑆 = 𝑙2 (Área da superfície da base quadrada), 𝑆 =3.𝑙2√3
2 (Área da superfície da base
hexagonal), ou, 𝑆 =𝑛.𝑙2
4.𝑡𝑔(180º
4) (Área da superfície da base poligonal qualquer em que
200 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
n é o número de lados e 𝑙 é a medida do lado), ou ainda 𝑆 =𝑝.𝑎
2 (Área da superfície da
base poligonal qualquer onde p é o perímetro e o apótema).
A proposta inicial em todas as etapas de construção de telas dar-se-ão com
o preenchimento do quadro de valores e posterior comparação das colunas, espera-
se que os alunos percebam relações existentes sem que o professor apresente de
forma direta tais fórmulas. A relação ainda 𝑆 =𝑛.𝑙.𝑎
2 foi a escolhida para a atividade,
portanto. Sua descoberta é imprescindível para a estruturação dos blocos de
programação.
Nas questões posteriores, deverão ser registrados os resultados do quadro
associados à utilização da relação expressa pela fórmula encontrada. A participação
do docente é imprescindível como mediador na socialização e em possíveis
intervenções.
Uma fase já consolidada na atividade 1 é o planejamento prévio,
representada através de rascunho da tela a ser construída e posterior estruturação do
design e blocos de programação, que continuou nesta atividade. Para a construção
do design da tela, seguiremos as mesmas etapas dos aplicativos já construídos a
partir das ferramentas do App Inventor II.
Apresentamos a seguir (Quadro 31) uma possível proposta de construção
para a Tela 1 do aplicativo.
Quadro 31: Possível construção de aplicativo para o cálculo da base
Design Elementos
(a) Tela 1: Área de uma região poligonal; (b) Imagem do exemplo de uma base; (c) Caixa de entrada (medida do lado); (d) Caixa de entrada (medida do apótema); (e) Caixa de entrada (número de lados); (f) Legenda de resultados: Calcula a área do polígono (base da Pirâmide). (g) Botão 1: Calcula a área da base; (h) Botão 2: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda) (i) Botão 3: Fechar o aplicativo; (j) Botão 4: Área Lateral (direciona para tela 2);
Estrutura de programação em blocos
201 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a Sb= 𝑙.a.n/2 (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”. (3) Botão Área Lateral- direciona para tela de cálculo da área lateral. (4) Botão fechar- fecha a tela.
Fonte: Autor (2018)
Na situação proposta, os estudantes devem pesquisar formas para se
chegar a área do quadrado (base da Pirâmide) a partir das relações existentes com a
circunferência circunscrita. Para o cálculo da área da base, as noções de apótema e
lados deverão ser mobilizadas, e por fim, representar suas relações na forma de
blocos de programação para se chegar ao resultado esperado, de acordo com as
dimensões e tipos de base das Pirâmides regulares.
Análise a posteriori
Nesta atividade, todos os quinze estudantes identificaram corretamente a
relação entre a área da base (última coluna do quadro) e o número de lados, sua
medida e a medida do apótema do quadrado inscrito na circunferência.
Abaixo será analisado o trabalho do aluno H8, selecionado
aleatoriamente via sorteio. Analogamente a atividade anterior, trataremos cada
questão.
O estudante preencheu as duas últimas colunas com o auxílio do aplicativo
disponibilizado pelo professor (Quadro 31), em seguida deduziu que a relação
existente entre a quarta e quinta coluna, para o cálculo da área da base da Pirâmide
de base quadrada, “AB= 𝑙.a.n/2”, como mostra a Figura 64.
202 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 64: Quadro de valores área da base (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Depois, justificou que a relação existente entre as colunas supracitadas é
que a última apresenta metade dos valores da penúltima coluna, além de concluir que
a “área da base é n.l.a dividido por 2” (Figura 65). No preenchimento do quadro,
percebemos que os esquemas utilizados são preexistentes, e tornaram a tarefa mais
fácil, ou seja, consolidou-se a generalização.
Figura 65: Questão a tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na questão seguinte, esperávamos que fosse explicitado a fórmula do
cálculo da área da base, no entanto, o aluno repetiu a resposta da questão anterior.
Figura 66: Questão b tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na tentativa de dar autonomia na busca de outras maneiras de se chegar
ao resultado esperado, solicitamos na questão “c” solicitou que o estudante buscasse
outra forma de calcular a área procurada, no entanto, a resposta obtida pelo mesmo,
203 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
foi insistentemente na mesma relação encontrada na questão anterior, mas oito
estudantes do grupo apresentaram outras formas, sendo a mais comum 𝑆𝑏 =𝑝.𝑎
2.
Figura 67: Questão c tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Em relação ao item “d”, executar o cálculo à mão de valores já expostos no
quadro de valores não foi tarefa difícil. Dessa forma, o aluno identificou os valores
associados a cada variável, substituiu-os da relação algébrica e encontrou os
resultados corretamente (Figura 68).
Figura 68: Questão d tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
A questão “e” requer a construção de um aplicativo que execute as mesmas
funções que o aplicativo utilizado para o preenchimento do quadro de valores. Nesta
tarefa houveram algumas divergências nas construções da tela 1. Os estudantes A1,
P15, O14 e J10 utilizaram um organizador horizontal para cada uma das etapas: a, b,
c, d, e, e, f. Tais mudanças não implicaram na formatação final e nos resultados. A
aluna C3 selecionou e arrastou alguns elementos para a tela sem o organizador,
consequentemente, ao instalar, percebeu que a estética da tela fora comprometida,
corrigida em seguida.
Segue no Quadro 32 a construção feita pelo aluno H8. A tela só veio a ser
concluída após duas intervenções do docente. A primeira a respeito do espaçamento
adequado para comportar os quatro botões (desconfigurados após a instalação), e
quanto à abrir a tela 2 com o clique no botão área lateral.
204 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 32: Construção do “aplicativo-área da base” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes
Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do apótema (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de número que incida a quantidade de lados (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (e) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado quando o botão calcular é tocado; (f) Botão calcular; (g) Botão limpar; (h) Botão Sair; (i) Botão Área lateral: abre a tela dois – calcula a área lateral da Pirâmide.
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Em sua primeira tentativa, na construção da atividade o aluno H8 utilizou
os blocos corretos para a mudança de tela, no entanto, não observara que o comando
“nome de tela” (nos blocos) deveria possuir os mesmos caracteres do nome da tela
para que ao ser tocado, o botão “direcione para a nova tela criada”.
As relações matemáticas foram desenvolvidas corretamente, tendo em
vista que trata-se de uma fórmula matemática bastante simples e muito próxima à da
atividade anterior.
A tela construída por H8 seguiu ações muito próximas do aplicativo
construído na atividade móbile, no entanto, o número de ferramentas (caixa de texto,
205 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
legenda e botões) exigiu tomadas de decisão mais independentes. Segue abaixo, o
quadro de ações com base na construção de H8.
Quadro 33: Ações de construção da tela área da base Atividade: calculadora de elementos (lado x apótema)
Ação (sujeito) Instrumento
Ferramenta da plataforma
Aplicativo
1 Seleciona/clica Iniciar novo projeto/botão Barra de
comandos
- 2 Seleciona/clica
Idioma/botão esquerdo do mouse
Lista suspensa (Português do
Brasil)
3 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.hori-
zontal Paleta
Título (a) 4
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/legenda
5 Digita/edita Texto/fonte Propriedades
6 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.tabela
Paleta Caixa de texto (b)
Medida do lado (l)
7 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda
8 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
9 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/caixa
de texto Paleta
10 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda Caixa de texto
(c) Medida do
apótema (a)
11 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
12 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/caixa
de texto Paleta
13 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legendas Legendas
indicativas (d, e) 14 Define/digita/edita Legendas/Texto/fonte Propriedades
15 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/caixas de texto
Paleta
Caixas de texto (d, e) Número de lados (n),
Área da base (Sb)
16 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.tabela Botões
calcular (f, g, h,i) limpar,
sair e A.Lateral.
17 Seleciona/clica-
arrasta
Interface do usuário/ botões (calcular, sair, limpar e A. Lateral)
18 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
19 Edita e renomeia os
componentes Legendas, botões e caixas
de texto Componentes
Pré-programação
20 Seleciona Ambiente da plataforma blocos Programação Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)
206 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Para a programação da tela, os botões de sair e limpar não tiveram
mudanças, pois necessitam das mesmas ações das etapas já realizadas. Sobre a
construção dos blocos, embora as relações entre as variáveis (lado, apótema e
número de lados) fossem “novas”, o conjunto de ações para a estruturação foi
semelhante.
Embora os alunos já definam Pirâmides, muitas dúvidas surgiram quanto à
forma da mesma, fato que necessitou do professor uma intervenção de maneira que
desenhe ou apresente uma Pirâmide de madeira mais concreta.
Figura 69: Blocos de programação (Aluno H8)
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
A tela construída, assim como as duas próximas servirão de base para a
construção dos aplicativo para o cálculo da barraca.
Segue abaixo, a ficha de atividades que orientará a construção da tela 2,
que objetiva o cálculo da área lateral de Pirâmides regulares.
Momento A
Procedimentos (Tela 2):
i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores bem
como os dados da segunda e terceira.
ii) Digite os valores das colunas “𝑙.g” e “área da face lateral nos campos de entrada
correspondentes do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.
iii) Preencha a coluna “Área da face lateral” (ou superfície da face lateral) com
valores obtidos no aplicativo.
Base da Pirâmide (Regular)
Medida do lado (𝒍)
Apótema da Pirâmide (g)
𝒍.g Área da
face Área
lateral (Sl)
207 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
lateral (Sb)
Triangular 10 15
Quadrada 7 10
Hexagonal 7 7
Octogonal 2 5
Polígono (n-lados) 𝑙 g
* A medida do apótema é um valor aproximado
A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, e iii, responda
o que se pede:
a) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma regularidade? Qual?
b) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma relação matemática?
Explique.
c) Qual a relação da coluna 1 com a área lateral de cada Pirâmide?
d) Faça uma pesquisa sobre como encontrar a área da face lateral da Pirâmide e
descubra uma forma de efetuar tal cálculo sem o aplicativo (utilize outras relações
entre elementos para encontrar a área aproximada).
e) Calcule manualmente, alguns valores encontrados e compare com os resultados
do aplicativo.
f) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área da face lateral da Pirâmide.
Análise a priori
Para a tarefa, deveria ser identificado a regularidade existente entre as
linhas e colunas do quadro de valores, em seguida, estruturar uma tela com funções
semelhantes e que execute o mesmo cálculo.
Uma possibilidade de relação a ser estruturada é Sb= 𝑙.g./2, em que “Sb”
representa a área da superfície da base, “𝑙” representa a medida do lado da base da
Pirâmide e “g” o apótema da Pirâmide. Nessa tela, será necessário multiplicar a área
da face encontrada com a quantidade de faces laterais da Pirâmide.
Segue abaixo uma possível construção da tela:
208 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 34: Possível construção de aplicativo para o cálculo da face lateral Design Elementos
(a) Tela 2: Área da face lateral da Pirâmide; (b) Imagem do exemplo de uma face lateral; (c) Caixa de entrada (medida do lado da base); (d) Caixa de entrada (medida do apótema g da Pirâmide); (e) Legenda de resultados: Calcula a área da face lateral da Pirâmide (base da Pirâmide); (f) Botão 1: Calcula a área de uma das faces laterais; (g) Botão 2: Área Total (direciona para tela 3); (h) Botão 3: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda) (i) Botão 4: Fechar o aplicativo;
Estrutura de programação em blocos
(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a Sb=l.g./2; (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”; (3) Botão fechar- fecha a tela; (4) Botão Área total- ao ser tocado abre a tela 3 para cálculo da área total.
Fonte: Autor (2018)
Ao final da programação em blocos, observamos uma representação
estrutural com a relação matemática utilizada para efetuar os cálculos exigidos nas
questões.
Análise a posteriori
O preenchimento do quadro não apresentou dificuldades para os
estudantes. De acordo com cada base, os mesmos identificaram a quantidade de seus
lados, para posterior multiplicação com a área da face lateral encontrada. Segue
abaixo o quadro de valores preenchido pelo aluno H8 com o auxílio do aplicativo
disponibilizado pelo professor. Todos os quinze alunos realizaram a tarefa.
209 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 70: Quadro área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
O estudante desenvolveu nesta tarefa a mesma atitude que na anterior ao
praticamente repetir a mesma resposta nas questões a e b sobre o quadro (Figuras
72 e 73).
Figura 71: Questão a sobre a área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Figura 72: Questão b sobre a área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Questionado se para ele (H8) as perguntas a e b tratavam da mesma coisa,
o estudante respondeu que “sim”. Um detalhe a ser apontado é que esperávamos que
na questão a identificasse metade de maneira subjetiva, ou seja, o que representava
usualmente para o aluno, e na questão b a generalização, com as variáveis
matemáticas.
Já na questão c apenas um estudante não respondeu corretamente,
acreditamos que o mesmo não interpretou como esperávamos tal questão e deixou
em branco.
Figura 73: Questão c sobre a área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
210 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Na questão, o aluno apenas repetiu a mesma relação matemática
encontrada no quadro. Esperávamos que apontasse a necessidade de encontrar a
medida de uma aresta par enfim chegar ao esperado. Nesse sentido, observamos que
a autonomia do estudante, em buscar novas alternativas não ficou explícita.
Figura 74: Questão d sobre a área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Por outro lado, o estudante M12 socializou verbalmente o seguinte
exemplo: “Professor, eu só calculo a área lateral da Pirâmide, se tivermos o lado
da base e do apótema da mesma, agora se eu tiver o lado da base e a aresta
lateral da Pirâmide, essa forma não serve. Daí podemos usar o teorema de
Pitágoras pra encontrar a altura e só depois usar o aplicativo”. O professor
complementou: “ou utilizar a fórmula de Heron”. A resposta do aluno foi
considerável, exemplificada e demonstrada frente à toda a turma pelo mesmo.
Figura 75: Questão e sobre a área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Assim como o aluno H8 (Figura 75), os demais alunos também
desenvolveram facilmente a tarefa, não havendo nenhuma dificuldade.
Na tela desenvolvida (Quadro 35), o estudante resolveu incluir toda a
estrutura para o cálculo da área lateral na tela do aplicativo. Para isso, acrescentou
mais uma caixa de texto e uma legenda, dessa maneira, ao tocar no botão calcular, o
aplicativo calcula a área lateral da Pirâmide, desde que o número de lados seja
informado na caixa de texto. A atitude do estudante representa que o mesmo
personalizou seu aplicativo, ao fazer uso adequado das ferramentas, demonstrou que
o processo da Gênese Instrumental ocorreu. Além deste, os estudantes J10, L11, O14
e B2 também realizaram a mesma ação (Figura 76).
211 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 76: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
O Quadro 35 descreve os principais comandos para a construção da tela
de cálculo da área lateral, desenvolvida pelo aluno H8:
Quadro 35: Construção do “aplicativo-área lateral” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes
Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do apótema da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o resultado da área da face lateral da Pirâmide;
212 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(e) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada do número de lados da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (f) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado da área lateral quando o botão calcular é tocado; (g) Botão calcular; (h) Botão limpar; (i) Botão Sair; (j) Botão Área total: abre a tela três – calcula a área total da Pirâmide.
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Para o desenvolvimento da atividade, foi possível o registro de um trecho
de da participação do aluno e professor:
H8: ... mas se eu quiser incluir logo o cálculo da área lateral, eu posso logo?
Professor: Antes de tentar, só me explica como pretende fazer...
H8: Assim, se a Pirâmide tiver base triangular, multiplico a área da face por três, se
tiver quatro, por quatro, e assim vai...
Professor: E como irá conseguir isso no aplicativo?
H8: Basta incluir uma caixa de texto para inserir o número de faces laterais. Se
forem iguais, claro!
Professor: Nesse caso, sim, porque trata-se de Pirâmides regulares.
O diálogo demonstra uma segurança quanto incluir o elemento número de
lados da base. Para o objeto da pesquisa, demonstra a identificação dos elementos
(faces) e suas implicações para a resolução da questão.
Por fim, segue a terceira etapa do Momento A da atividade barracas.
Procedimentos (Tela 3):
i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores, bem
como os dois quadros anteriores referentes às telas 1 e 2.
ii) Preencha as colunas 2 e 3 com os dados dos quadros anteriores.
iii) Digite os valores das colunas 1, 2 e 3 nos campos de entrada correspondentes
do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.
iv) Preencha a coluna “Área total” (ou superfície total) com valores obtidos no
aplicativo.
Base da Pirâmide (Regular)
Área da base (Sb)
Área da face lateral (Sfl)
Área lateral (Sl) Área Total
(St)
Triangular
Quadrada
Hexagonal
Octogonal
Polígono (n-lados)
213 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv responda
o que se pede:
a) Em relação às colunas 1, 2 e 3, você percebe alguma regularidade? Qual?
b) Em relação às colunas 2, 3 e 4, você percebe alguma relação matemática?
Explique.
c) Faça uma pesquisa sobre como encontrar a área total da Pirâmide e descubra
uma forma de efetuar tal cálculo sem o aplicativo.
d) Calcule manualmente alguns valores encontrados e compare com os resultados
do aplicativo.
e) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área total da Pirâmide.
Análise a priori
O objetivo desta etapa é calcular a área total de uma Pirâmide regular, em
seguida, construir um aplicativo que possa contribuir no cálculo de questões de área
da Pirâmide. Para a construção da tela, há necessidade da mobilização de noções de
área total como a soma da área da base e das faces laterais da Pirâmide. A tela do
aplicativo terá estrutura semelhante à demais já construídas. Devemos estruturar a
tela com as ferramentas do App Inventor II, renomear os componentes essenciais para
a programação, em seguida, estruturar os blocos de forma que atenda a relação
matemática St=Sb +Sf.n, a qual St é a área da superfície total da Pirâmide, Sb é a área
da superfície da base, Sf corresponde à área da superfície da face lateral e n é o
número de faces laterais.
Uma possível construção está disposta no Quadro 36.
Quadro 36: Possível construção de aplicativo para o cálculo da área total Design Elementos
Tela 3 (a)Legenda: Área da área total da Pirâmide; (b) Imagem do exemplo de uma Pirâmide Planificada; (c) Caixa de entrada (Área da base); (d) Caixa de entrada (Área da face da base); (e) Caixa de entrada (Número de lados da base); (f) Legenda de resultados: Calcula a área total da Pirâmide; (g) Botão 1: Calcula a área total; (h) Botão 2: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda)
214 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(i) Botão 3: Fechar o aplicativo; Estrutura de programação em blocos
(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a St=Sb +Sf.n (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”. (3) Botão fechar- fecha a tela.
Análise a posteriori
Segue a produção do estudante H8:
Figura 77: Quadro área total (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Todos os estudantes preencheram corretamente o quadro de valores, não
havendo a necessidade de intervenção docente.
O estudante (H8) identificou uma possível influência do número de lados
da base para o cálculo da área lateral. Apenas dois não responderam à questão a
contento. A aluna C3 expressou-se quanto à questão: “professor, o número de lados
da base será o número de faces laterais (triangulares) da Pirâmide, não?”. O
professor instigou: “Sim! Dessa forma, como fazemos para calcular a área
lateral?”. A réplica foi imediata: “Multiplica a área da face com o número de lados
da base”. Vejamos o registro do aluno:
Figura 78: Resposta para a questão a – área total da Pirâmide (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
215 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A resposta discutida na Figura 78 foi perfeitamente relatada na questão b,
pelo aluno ao demonstrar o efeito provocado pela regularidade entre as colunas. Tal
percepção aponta para a construção de esquemas. Dessa maneira, acreditamos que
houve a compreensão do quadro de valores e das relações existentes, pois o aluno
H8 tratou a área total como a soma área da face lateral multiplicada pela quantidade
de lados (da base), somada à área da base. Abaixo o registro da resposta para a
questão b:
Figura 79: Resposta para a questão b – área total da Pirâmide (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
A Figura 80 traz a representação algébrica para o cálculo da área total,
conhecidos a área da base e faces laterais da Pirâmide.
Figura 80: Resposta para a questão c – área total da Pirâmide (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
O cálculo a mão representa uma simulação desenvolvida pelo próprio
estudante para o cálculo da Área total. Verifica-se que a representação algébrica foi
determinante para a generalização da área total.
Figura 81: Resposta para a questão d – área total da Pirâmide (Aluno H8)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Diante das etapas realizadas no Momento A, consideramos que os alunos
compreenderam as ideias básicas pra o calcula da área total da Pirâmide, assim,
216 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
acompanhamos o desenvolvimento da tela 3 do aplicativo da área da superfície total
da Pirâmide.
Segue no Quadro 37 a construção desenvolvida pelo aluno H8. Para a
construção da tela não houveram dificuldades, pois todos os quinze alunos
construíram sem atropelos. O modelo é básico e muito próximo das telas
desenvolvidas anteriormente.
Quadro 37: Construção do “aplicativo-área total” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes
Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da Área da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida da área da face lateral (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada do número de faces laterais (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (e) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado da área total quando o botão calcular é tocado; (f) Botão calcular; (g) Botão limpar; (h) Botão Sair;
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Segue parte do diálogo entre o professor e o aluno H8 para a construção
do mesmo:
217 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Professor: Vamos lá! Quais as ferramentas que iremos utilizar na construção da tela
do aplicativo para o cálculo da área total?
H8: Primeiro o organizador, depois o título, seguida de organizador em tabela para
arrastar as legendas e caixas de texto.
Professor: Quantas? Para quais funções?
H8: Três caixas de texto para St, Sfl e Sl. Certo?
Professor: Muito bem, o que mais?
H8: Botões?
Professor: Antes dos botões?
H8: Ah! O resultado. Numa legenda...
Professor: E quanto aos blocos?
H8: Limpar e sair é do mesmo jeito, certo?
H8: A estrutura do botão é só seguir a fórmula...
Professor: Pode ser, desde que você compreenda o que significa cada variável da
fórmula.
Segue a construção da estrutura de blocos para a programação do botão
calcular, e sua relação com a estrutura algébrica identificada no quadro de valores.
Figura 82: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
A atividade trouxe a ideia de se utilizar três fases para o cálculo da área da
superfície da Pirâmide: área da base, área lateral e área total. Tal atitude permite
facilitar a compreensão do processo.
218 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Apresentamos o Momento B da atividade barracas. A etapa trata da
construção de um aplicativo que ajude a resolver o problema do planejamento para a
construção de barracas públicas com base hexagonal e teto piramidal.
Momento B
Procedimento:
i) Leia a questão proposta.
Barracas
(Cpcar- 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores
ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa
especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do
custo para finalização das barracas.
Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular
da barraca.
Considere: 7 2,6= e 2 1,4.=
No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja,
no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.
Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o
metro linear.
Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de
todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca
padrão, em reais, é um número compreendido entre
a) 390 e 400
b) 401 e 410
c) 411 e 420
219 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
d) 421 e 430
A partir da questão dada, vamos desenvolver um aplicativo que resolva-a:
ii) Desenvolva o esboço, no seu caderno, de uma estrutura de construção do
aplicativo contendo o design da tela e estrutura lógica de blocos.
iii) Construa o aplicativo “Preço da barraca” usando a plataforma App inventor II,
responda as seguintes questões:
Análise a priori
Esta etapa da atividade tem como objetivo utilizar as ferramentas da
plataforma App Inventor II para construir um aplicativo que resolva a questão proposta
sobre as barracas.
A questão requer a utilização do Teorema de Pitágoras para encontrar a
aresta lateral do teto da barraca e do apótema da Pirâmide (teto), além dos conceitos
de área da Pirâmide e medidas dos elementos (arestas e lados).
Análise a posteriori
No desenvolvimento desta tarefa, houveram muitas dúvidas em relação à
organização das ideias e para a estruturação do aplicativo. A questão exigiu uma
participação maior do professor. Nenhum estudante conseguiu resolver a atividade na
primeira tentativa, consequentemente o docente convidou vários alunos ao quadro
para exporem suas ideias de resolução e permitiu que a questão seja analisada como
atividade para casa. Outro destaque para a construção da barraca com canudos e
conectores do material conhecido como “Geolig” (Figura 83), construída pelos alunos
a partir do material disponibilizado pelo professor.
Figura 83: Extensão da atividade (para casa)
Fonte: Registro pessoal dos alunos
220 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O “entrave matemático” ocorreu exatamente no instante em que houve a
necessidade de identificar a relação entre o lado da base da barraca e o apótema da
Pirâmide e sua aresta lateral. Apenas dois alunos conseguiram identificar tal relação
na segunda tentativa.
Para a compreensão dos estudantes, o docente apresentou a seguinte
proposta para encontrar a medida do apótema da Pirâmide, em seguida, a área da
face lateral.
Figura 84: Proposta do docente para encontrar o apótema da Pirâmide
Fonte: Autor (2018)
.
A proposta acima foi construída coletivamente pelo professor e alunos, com
vistas a superar o obstáculo conceitual. Em seguida, os estudantes conseguiram
identificar o perfil do aplicativo que resolva o problema, haja vista o esboço do aluno
F6 para as telas para a resolução da questão.
Figura 85: Esboço das telas do aplicativo para a questão barracas (Aluno F6)
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
221 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O aluno F6 efetuou o esboço coletivamente com P15 e H8. Em seguida
construíram as telas disponíveis nos Quadros 38, 39 e 40. Observamos que a
estrutura utilizada é muito próxima do aplicativo anterior, no entanto com uma
complexidade um pouco maior no que tange os blocos para encontrar os valores
procurados, pois a preexistência de habilidades de utilização de ferramentas do App
Inventor II somadas ao já visto no conteúdo matemático foram primordiais para a
conclusão do aplicativo.
Vejamos as estruturas criadas pelos alunos nos Quadros 38 a 40.
Quadro 38: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6)
Tela 1 Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada da medida do lado da base; (c) Legenda: resultado da medida da aresta do teto; (d) Legenda: resultado da medida das cinturas hexagonais laterais; (e) Legenda: resultado da quantidade de metal gasto; (f) Legenda: resultado do gasto no metal (R$); (g) Botão calcular: calcula o custo do material (R$); (h) Botão limpar; (i) Botão sair; (j) Botão Tecido: abre nova tela para o cálculo do custo do tecido.
Programação
(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair; (4) Programação do botão abrir nova tela (tecido).
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
De acordo com a construção, a tela foi programada para calcular o gasto
com o metal empregado na construção. No intento, organizou a tela de forma que a
caixa de entrada “lado da base” seja a única ferramenta digitável, ou seja, as demais
ferramentas resumem-se em legendas de saída de resultados.
222 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O botão calcular foi programado para ajustar as legendas: aresta do teto
(a), cintura hexagonal, quantidade total de metal (em metros), gasto com metal (R$).
A configuração do botão calcular apresenta:
- Raiz quadrada do lado ao quadrado somado a quatro para encontrara a aresta lateral
do teto da barraca (Pirâmide).
- O produto entre 3 (número de cinturas) por 6 (número de lados) pela medida de cada
lado, para calcular o total do metal empregado nas cinturas hexagonais.
- Para a quantidade total de metal (em metros lineares), somou-se 12 (soma das
medidas das colunas) ao total encontrado para as cinturas adicionado ao produto da
medida de cada aresta da Pirâmide do teto por 6 (número de arestas).
- Finaliza com o produto de 4 (preço do metro linear do metal) pela quantidade de
metal).
A estrutura descrita, representa a relação dos blocos de programação com
o conteúdo estudado. De maneira análoga, a estrutura de blocos (1) do Quadro 39
descreve a programação de blocos da tela 2 e da tela 3 (Quadro 40).
Quadro 39: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6)
Tela 2 Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada da medida do lado da base; (c) Legenda: resultado da medida da do apótema do teto; (d) Legenda: resultado da área da superfície de uma face lateral do teto; (e) Legenda: resultado da área da superfície lateral do teto; (f) Legenda: resultado da área da superfície de baixo da lateral da barraca; (g) Legenda: resultado da área da superfície total do tecido usado para a barraca; (h) Legenda: resultado do valor gasto na barraca; (i) Botão calcular: calcula os resultados das legendas “c, d,e,f,g,h”. (j) Botão limpar; (l) Botão sair; (m) Botão Gasto total: abre nova tela para o cálculo do custo total da barraca.
Programação
223 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair; (4) Programação do botão abrir nova tela (Gasto total).
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
A tela 3 foi a que menos apresentou dificuldades de construção, no entanto,
os estudantes tiveram dúvidas quanto à acrescentar os 30%. Segue parte do diálogo
entre professor e F6:
F6: Professor, para inserir os 30% da mão de obra, eu multiplico todo o gasto por 30%
é?
Professor: Vejamos... como represento 30% na forma de fração?
F6: trinta sobre cem.
Professor: Correto! Então, se multiplicarmos 30/100 pelo favor gasto, o que vamos
encontrar?
F6: O valor da mão de obra.
Professor: E o total do gasto, como fica?
F6: Basta somar o gasto a 30% dele mesmo, certo?
Professor: Correto! E como ficaria os blocos?
F6: VG + 30/100.VG que é igual a VG.(1+30/100), ou seja :
Professor: Muito bem! Ou ainda VG.1,3.
Segue a estruturação da terceira tela do aplicativo:
224 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 40: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6)
Tela 3 Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada do valor gasto com o metal da barraca; (c) Caixa de texto: entrada do valor gasto com o tecido da barraca; (d) Caixa de texto: entrada do valor a pagar na mão de obra; (e) Legenda: resultado do total gasto com a construção da barraca; (f) Botão calcular: calcula o gasto total de construção da barraca; (g) Botão limpar; (h) Botão fechar;
Programação
(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair;
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Os três estudantes completaram a tarefa da construção em seguida
contribuíram com o professor no sentido de orientar individualmente os demais
colegas, que também conseguiram concluir seus aplicativos e seguir para a resolução
das questões de verificação do aplicativo.
Segue abaixo uma imagem que representa o compartilhamento de ideias
na construção dos aplicativos entre os alunos. Na imagem (Figura 86), o aluno P15 (a
esquerda) troca ideias com o aluno F6.
225 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 86:Construção coletiva de aplicativos
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
A seguir, as questões de verificação do aplicativo construído:
Questões de verificação do aplicativo construído
1- Utilizando o aplicativo “Preço da barraca”, preencha o quadro em que são dadas
medidas das dimensões de cinco tipos diferentes de barracas do mesmo modelo,
dessa forma, poderíamos calcular diversos orçamentos.
a) Vamos calcular o preço a pagar nas barras de alumínio, considerando que as
medidas da altura descritas na figura serão mantidas.
Tipo de barraca
Medida do lado da base
Barras do telhado
Barras na lateral
Total de barras
Preço a pagar nas barras
1 1,5m
2 3,0m
3 4,0 m
4 5,0m
5 10,0m
6 l
b) Calcule o preço a pagar no tecido, considerando que as alturas da barraca
descritas na figura serão mantidas.
Tipo de barraca
Medida do lado da base
Área do telhado
Área lateral da barraca
Área total de tecido
Preço a pagar no
tecido
1 1,5m
226 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
2 3,0m
3 4,0 m
4 5,0m
5 10,0m
6 l
c) Agora vamos calcular o preço total da barraca, considerando que as alturas da
barraca descritas na figura serão mantidas.
Tipo de barraca
Medida do lado da
base
Preço do tecido
Preço das barras
Mão de obra (30%)
Preço total a pagar
1 1,5m
2 3,0m
3 4,0 m
4 5,0m
5 10,0m
6 l
2- Agora responda a questão sobre o preço da barraca padrão.
A etapa de resolução da questão se deu após todos os alunos construírem
seus aplicativos. Como já vimos, os valores só estarão corretos se as estruturações
dos blocos estiverem de acordo com a questão matemática, dessa forma, destacamos
o preenchimento dos quadros de valores da atividade barracas, preenchido pela aluna
O14 (Figuras 88, 89,90).
Figura 87: Preenchimento do quadro teste do aplicativo barraca – quadro a (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
227 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 88: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barraca – quadro b (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Figura 89: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barracas – quadro c (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Após o preenchimento dos quadros de valores, a estudante respondeu à
segunda questão, que requer o valor da barraca proposto na questão inicial.
Inicialmente, o valor da medida do lado da base da barraca foi inserido na
caixa de texto no aplicativo, obtendo-se assim os seguintes resultados no smartphone:
Figura 90: Resolução da questão barracas utilizando o aplicativo
Fonte: Print das telas do aplicativo barracas (2018)
228 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Ao considerar as alternativas dispostas na questão, nota-se que a resposta
encontrada no aplicativo torna a “letra c” a correta, no entanto, o gabarito apresenta a
“letra b” como correta. A diferença entre valores proporcionou uma discussão sobre
os resultados encontrados, o professor atuou como mediador.
Questionados sobre os motivos de o resultado do aplicativo e do gabarito
terem divergido, diversas foram as hipóteses iniciais:
Quadro 41: Socialização de resultados do aplicativo para a questão barracas Aluno Hipótese
C3 A estrutura de blocos contém um pequeno erro.
G7 Professor, é por causa das raízes que na questão estão aproximadas.
J10 Por causa da aproximação das raízes.
L11 Algum bloco trocado. Fonte: Registros de vídeo- experimento (2018)
Na oportunidade, foram discutidas outras possibilidades de se chegar à
solução de acordo com o gabarito, o que ocasionou a utilização do quadro pelos
alunos, para enfim, chegar ao resultado R$ 408, 72, de acordo com a questão (Figura
92).
Figura 91: Resolução da questão barracas com o uso do quadro de pincel
Fonte: Experimento (2018)
Algumas considerações sobre a atividade barracas
Diante das tarefas realizadas na atividade, nos cabe tecer algumas
considerações:
- A atividade permitiu o desenvolvimento de habilidades que vão além de calcular a
área parcial ou total de uma Pirâmide.
229 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
- A construção do aplicativo depende da relação matemática para a programação com
os blocos, para isso, o aluno deve ter domínio do conteúdo a ser estudado na
construção.
- As resoluções das questões não dependem exclusivamente do aplicativo, no entanto
o “software” permite a agilidade dos cálculos em várias situações de análise de um
contexto e tomada de decisões.
- A atividade atende a habilidade e descritor previsto na análise a priori.
- Os aplicativos foram desenvolvidos de acordo com o que prevê a análise a priori.
- Os alunos conseguiram elaborar hipóteses e planejar a construção das telas antes
e durante a etapa virtual.
- O aplicativo permitiu comparar valores, identificar possíveis erros, agilizar o processo
de resolução de várias situações em média de tempo reduzido.
A mobilização de esquemas preexistentes, adquiridos com a participação
nas etapas do minicurso e atividades anteriores permite considerarmos que os alunos
estão instrumentados nas ferramentas utilizadas dentro do previsto na perspectiva da
Gênese Instrumental de Rabardel (1995).
Apresentamos a última atividade que fez parte do experimento deste
estudo.
Atividade 3 – Iceberg
Esta atividade apresenta um texto adaptado de um livro didático de Paiva
(2009) e atende, assim como a atividade anterior, aos requisitos previstos na matriz
de elaboração do ENEM atenta à habilidade H9- “Utilizar conhecimentos geométricos
de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas
do cotidiano” e com o descritor D13- “Resolver problema envolvendo a área total e/ou
o volume de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera)”.
Momento A
Procedimentos:
i) Considere as Pirâmides representadas pelas figuras abaixo.
ii) Complete o quadro preenchendo os valores dados.
230 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
iii) Digite os valores da segunda e terceira coluna nos campos de entrada
correspondentes do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.
iii) Preencha a coluna “Volume” com valores obtidos no aplicativo.
Pirâmide Área da
base (Sb) Altura
(h) Sb.h Volume (V)
Triangular
Quadrada
Pentagonal
Hexagonal
n lados
A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii e iii, responda o
que se pede:
a) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma regularidade? Qual?
b) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma relação? Explique.
c) Calcule à mão, alguns valores encontrados e compare com os resultados do
aplicativo.
d) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular o volume de qualquer
Pirâmide regular.
Análise a priori
O objetivo da atividade foi descobrir uma forma de calcular o volume da
Pirâmide, em seguida construir um aplicativo para resolver a questão iceberg.
Para calcular o volume, deverá ser preenchido o quadro de valores com
algumas medidas expressas nas imagens piramidais dadas na ficha de atividades
com o auxílio de um aplicativo disponibilizado.
231 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Após o preenchimento do quadro de valores, alguns questionamentos
deverão ser respondidos para a descrição e análise dos mesmos.
Em seguida, a relação Vp=Sb.h/3 deverá ser convertida em uma estrutura
de programação por blocos. Os conhecimentos de área da base (Sb), altura (h)
deverão ser mobilizados para a conclusão da tarefa.
Para a construção do aplicativo, deverá ser estruturada uma tela com
caixas de entrada, legendas e botões suficientes para a programação em blocos. O
Quadro 42 apresenta uma possível solução para a construção do aplicativo.
Quadro 42: Possível construção de aplicativo para o cálculo do volume Design Elementos
(a) Título da Tela (legenda); (b) Imagens exemplos de Pirâmide he. (c) Caixa de entrada “Área da base”; (d) Caixa de entrada “medida da altura”; (e) Resultado do Volume (legenda); (f) Botão 1: calcular (ao preencher as duas caixas de texto e teclar “calcular” o resultado será mostrado em “e”); (g) Botão 2: Limpa os valores digitados em c e d; (h) Botão Sair: Fecha o aplicativo;
Estrutura de programação em blocos
(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta o resultado (e) para V=1/3.Sb.h. (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e o resultado para “ ” . (3) Botão fechar- fecha a tela.
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Análise a posteriori
Nesta atividade, a maioria dos estudantes seguiu uma sequência de ações
próxima da análise a priori, realizou a construção e respondeu aos questionamentos
de maneira satisfatória, o que demonstrou que os esquemas utilizados foram similares
aos da análise a priori.
232 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Vejamos o quadro de valores preenchido pela estudante C3, com o auxílio
do aplicativo volume da Pirâmide (Figura 92).
Figura 92: Quadro de valores volume da Pirâmide (Aluna C3)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
No preenchimento do quadro, a estudante identificou a possibilidades de
existirem outras variações para encontrara o volume que dependem da base.
Questionada sobre quais as outras possibilidades, ela interage: “se a base for
triangular, podemos utilizar várias maneiras como base vezes altura dividido por
dois, se for quadrada, eleva o lado ao quadrado... depois multiplica pelo terço
da altura”. É importante observar que outros alunos também perceberam o fato.
A seguir, as Figuras 94 e 95 corroboram com a percepção da aluna,
demonstrada da sua fala anteriormente, pois a mesma identifica a regularidade e a
relação matemática existente na questão.
Figura 93: Resposta para a questão a – volume da Pirâmide (Aluna C3)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Figura 94: Resposta para a questão b – volume da Pirâmide (Aluna C3)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Após considerar a relação como verdadeira, os exemplos são anotados na
ficha de atividades pela aluna, de acordo com o quadro de valores.
233 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 95: Resposta para a questão c – volume da Pirâmide (Aluna C3)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
As questões anteriores reforçam a descoberta da relação volume da
Pirâmide, com a utilização do aplicativo para o preenchimento do quadro de valores.
A aluna complementa que: “essa atividade é muito parecida com as anteriores, só
modifica o conteúdo”. De fato, nesse contexto, cabe reconhecermos a semelhança
entre as etapas de desenvolvimento das atividades, não obstante, destacamos o
papel do professor para planejar as atividades, orientar os estudantes e intervir no
processo.
A seguir, a construção do aplicativo volume da Pirâmide, desenvolvido pela
estudante C3.
Quadro 43: Construção do aplicativo- volume da Pirâmide (Aluna C3) Tela Paleta Componentes
234 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Componentes (elementos)
(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da Área da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida da altura da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o volume conhecidos a área da base e altura; (e) Botões calcular, limpar e sair respectivamente: ajusta o resultado do volume em função da área da base e altura; ajusta os valores das caixas de texto e legenda de resultado para “ ”;e ; fecha o aplicativo. (f) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para o número de lados (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (g) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida do lado da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (h) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida do apótema (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (i) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida da altura da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (j) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o volume da Pirâmide em função do número de lados, da medida do lado da base, do apótema e a altura da Pirâmide; (l) Botão Volume: ajusta o resultado do volume em função do número de lados, da medida do lado da base, do apótema e da altura da Pirâmide;
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Na organização da tela (Quadro 43), existem duas possibilidades de
calcular o volume. A primeira requer a área da base e a altura da Pirâmide, na
segunda, com o conhecimento do número da lados da base, a medida do lado da
base, do apótema e da altura da Pirâmide. A aluna C3 foi a responsável pela
construção da tela. Da sua atividade extrai-se a seguinte declaração: “Professor, e
235 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
se eu não tiver a área da base? Vou construir outra possibilidade conhecendo
outros elementos.
Outros três alunos construíram seus aplicativos com duas telas, em que a
segunda requer outros elementos como raio da circunferência que circunscreve a
base, aresta lateral da Pirâmide e apótema da Pirâmide. Os demais alunos
construíram a ideia básica (a partir da área da base e da altura). Na atividade não
houve nenhuma dificuldade encontrada.
Com a construção da tela disposta no Quadro 43 pela aluna C3,
organizamos as ações de construção do aplicativo no quadro que se segue:
Quadro 44: Ações de construção do aplicativo volume da Pirâmide Atividade: calculadora de elementos
Ação (sujeito) Instrumento
Ferramenta da plataforma
Aplicativo
1 Iniciar novo projeto
Seleciona/clica Botão esquerdo do mouse
Barra de tarefas
-
2 Seleciona/clica Idioma/botão esquerdo do
mouse
Lista suspensa (Português do
Brasil)
3 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.hori-
zontal Paleta
Título (a) 4
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/legenda
5 Digita/edita Texto/fonte Propriedades
6 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.tabela
Paleta
Caixa de entrada (b)
Área da base (Sb)
7 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda
8 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
9 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/caixa
de texto Paleta
10 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda Caixa de entrada (c) Altura (h)
11 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
12 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/caixa
de texto Paleta
13 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda Legenda de
Resultados (d) Volume (V)
14 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
15 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda Paleta
16 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
17 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.hori-
zontal Paleta
Botões (e) Calcular,
Limpar e sair 18
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/botão
19 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
236 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
20 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/botão Paleta
21 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
22 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/botão Paleta
23 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
24 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.tabela
Paleta
Legendas indicativas (f,
g, h, i) 25
Seleciona/clica-arrasta
Interface do usuário/legendas
26 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte
27 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/caixas de texto
Caixas de texto (f,g,h,i) Número de lados (n), Medida do
lado (l), Medida do
apótema (a) e Altura (h)
28 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/legenda e legenda de resultado (j)
29 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades
30 Seleciona/clica-
arrasta Organização/org.hori-
zontal Paleta Botão (l)
Volume (V) 31 Seleciona/clica-
arrasta Interface do usuário/botão
32 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades
33 Seleciona/clica-
arrasta screen Componentes
Imagem (m) 34 Seleciona/clica-
arrasta Interface do
usuário/imagem Paleta
35 Clica/seleciona arquivo/anexa
Imagem Propriedade
36 Edita e renomeia os
componentes Legendas, botões e caixas
de texto Componentes
Pré-programação
37 Seleciona Ambiente da plataforma blocos Programação Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)
A estrutura básica dos aplicativos construídos pelos demais alunos são
organizados com uma sequência de ações próximas das apresentadas acima.
Na programação das funções do aplicativo houveram alguns novos
esquemas ainda não observados. Para o botão limpar, foi utilizada a função “encolher
bloco”, ação permitida com clique na região em branco dos blocos, com o botão direito
do mouse. A aluna justifica sua ação: “Ah professor, usei o encolhimento do bloco
para o botão limpar porque haviam muitos elementos da tela no comando
limpar, e eu precisava de espaço”.
237 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Do pondo de vista matemático, o volume foi compreendido a partir de
substituição de relações. Inicialmente a estudante utilizou o grupo de blocos
para encontrara o volume da Pirâmide a partir da área da
base e da altura da mesma. Após demonstrar o desejo de incluir elementos da base
para encontrar o volume, outra sequência de blocos foi construída com os blocos
para representar a relação l.a/2, encaixada em seguida
no bloco ao visar o produto com o número de lados n. Após visualizar a
relação V=Sb.h/3, encaixa a estrutura e reúne os dois conjuntos
e , como na Figura 95.
Figura 96: Estrutura de blocos do aplicativo volume da Pirâmide (Aluna C3)
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
Observou-se a utilização da duplicação de blocos, efetuada com o botão
direito do mouse, tal ação otimizou o tempo de construção da programação dos
blocos.
Figura 97: Utilização de novos esquemas (Aluna C3)
Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)
238 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Na estruturação do aplicativo, percebemos que os estudantes
cuidadosamente escolhem cores, tamanhos de fontes, imagens e detalhes peculiares
a seu gosto e criatividade.
Nessa perspectiva a aluna C3, assim como os demais, utilizaram as
ferramentas necessárias para construir o aplicativo, e relacionou as ideias duas
atividades anteriores (Móbile e barracas) para o cálculo do volume, o que reflete a
pertinência da sequência.
Registra-se parte do diálogo sobre a ordem dos blocos matemáticos,
ocorrido entre dois alunos na construção do aplicativo, descrito nos Quadros 43 e 44:
D4: O meu aplicativo não está calculando corretamente, já modifiquei e instalei de
novo.
C3: Abre aí de novo, deixa eu ver... O que está acontecendo é que você organizou os
blocos e ficou entendido como 3/Sb.h, assim não tá correto.
D4: Ah tá... falta de atenção.... Mas, se eu não tiver a área da base?
C3: Aí vai depender dos dados que você tem, se é lado, apótema ou aresta... Vale
fazer uma pesquisa.
D4: Mas se eu quiser incluir mais informações que não cabem na tela?
C3: Na plataforma tem uma opção que cria uma barra de rolagem para esses casos,
basta clicar em propriedades e marcar a opção “rolável”.
C3: Outro detalhe importante é você estipular a largura e altura dos elementos, tipo:
legenda, caixa de texto, botão, organizador e por aí vai...
O recorte retrata que mesmo que o estudante consiga estruturar os blocos,
o resultado pode ser comparado e o possível erro identificado. A plataforma salva
automaticamente todo projeto construído, o que permite a retomada e correção de
maneira prática e fácil. Outro enfoque pode ser dado ao papel colaborativo da
atividade, em que os estudantes podem trocar experiências das mais variadas no
âmbito do instrumento ou do objeto, pois com a meta da atividade é automaticamente
determinada: Construir o aplicativo para o cálculo do volume.
Na sequência, a ficha de atividade descreve os procedimentos para a
execução da tarefa para o Momento B da atividade. A questão proposta, permite a
construção ou adaptação de uma aplicativo capaz de estimar o volume de um iceberg.
239 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Momento B
Procedimento:
i) Leia a questão proposta.
Iceberg
(Adaptado- PAIVA, 2009) É um bloco ou massa de gelo de grandes
proporções que, tendo se desprendido de uma geleira (por exemplo, das existentes
nas calotas polares, originárias da era glacial), de um glaciar ou de uma plataforma
de gelo continental, vagueia pelo mar, levado pelas águas dos mares árticos ou
antárticos. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Iceberg
Para calcular o volume de um iceberg, uma oceanógrafa observou que a parte
emersa do bloco de gelo era aproximadamente uma Pirâmide de base quadrada
com 10 km de aresta da base e 1,5 km de altura. Calculando a densidade do gelo e
da água do mar naquela região, a cientista estimou que 80% do iceberg estava
submerso. De acordo com esses pressupostos, qual era o volume aproximado do
iceberg?
A partir da questão dada, vamos desenvolver um aplicativo que ajude a
resolve-la:
ii) Desenvolva o esboço, no seu caderno, de uma estrutura de construção do
aplicativo contendo o design da tela e estrutura lógica de blocos.
iii) Construa o aplicativo “Volume do iceberg” usando a plataforma App inventor II,
em seguida, realize o teste do mesmo respondendo as seguintes questões:
Análise a priori
Esta etapa da atividade tem como objetivo utilizar as ferramentas da
plataforma App Inventor II para construir um aplicativo que encontre o volume do
iceberg. Tal aplicativo deverá possuir tela com ferramentas capazes de permitir o
manuseio para questões que envolvam o volume de Pirâmide. A adaptação ou
modificação da estrutura de um aplicativo construído também possui qualificações
aceitáveis.
Fonte:https://conteudofreela.com.br/infografi
co-iceberg-das-midias-sociais/
240 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
A questão requer a utilização do conteúdo de porcentagem como fator para
encontrar o volume da Pirâmide.
Análise a posteriori
A tela foi esboçada por todos os quinze estudantes que participaram da
atividade. Como amostra, selecionamos o registro da estudante O14. Na tela, a
mesma planejou a utilização de organizadores horizontais e em tabela, legendas
indicativas e uma para resultado, caixas de texto e três botões (Figura 98).
Figura 98: Esboço do aplicativo volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
O planejamento e construção da tela do aplicativo não representou muitas
dificuldades, no entanto, houve uma dúvida por parte da aluna sobre como
acrescentar a porcentagem: “Professor, entendo que o volume que vou calcular é
apenas da parte visível do iceberg, agora do restante submerso, como devo
fazer?” Na primeira tentativa a aluna não conseguiu, o que tornou necessária uma
nova intervenção docente com toda a turma para a construção coletiva de ideias que
contribuíram para a solução do problema.
Abaixo um recorte do diálogo que fomentou a ida de alguns alunos ao
quadro:
Professor: Vocês compreenderam como calcular o volume da Pirâmide, certo?
Coro: Sim professor! Compreendemos.
Professor: Se a parte submersa da Pirâmide representa oitenta porcento, a parte
visível corresponda a que percentagem?
E5, A1 e H8: A vinte porcento, professor.
241 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Professor: O14, que relação utilizamos agora para descobrir o volume total da
Pirâmide. Vejam bem: volume Total!
O14: Regra de três!
Professor: Isso! E como estruturar isso em blocos de programação?
O14: Volume visível corresponde a vinte, volume total corresponde a cem.
Professor: Perfeito.
A intervenção do professor contribuiu com o entendimento matemático,
mas a estruturação passou por uma série de tentativas em que os próprios alunos
concluíram em ajudas mútuas. Dessa maneira, a estudante O14 acabou por adaptar
a estrutura do aplicativo de C3 em parceria. Ambos atuaram juntos e modificaram o a
construção do Quadro 43.
Para isso, a aluna C3, com a plataforma aberta selecionou a opção
“Projetos” na barra de tarefas e clicou em “exportar o projeto selecionado (.aia) para
o meu computador” disponibilizou-o, com a utilização de um pen drive, para O14 e
começaram a trabalhar simultaneamente em computadores diferentes.
Para a adaptação, decidiram excluir as etapas de 24 a 32 do Quadro 44, e
reestrutura-los com os dados referentes à porcentagem, permitiu enfim concluir o novo
aplicativo que calcula o volume visível e o volume total, este primeiro não previsto no
esboço (Figura 98). O aplicativo final está disposto no Quadro 45.
Quadro 45: Aplicativo Volume do iceberg (Aluna O14) Design Elementos
(a) Título da Tela (legenda); (b) Caixa de entrada “Área da base”. (c) Caixa de entrada “Altura da Pirâmide”; (d) Legenda de resultado “Volume visível”; (e) Legenda de resultado “Volume Total iceberg”; (f) Botões: Calcular, limpar e fechar.
Estrutura de programação em blocos
242 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta o resultado (d e e) para V=Sb.h/3 e Vt=Vv.100/20 respectivamente. (2) Botão fechar- fecha a tela. (3) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e o resultado para “ ” .
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Finalmente, o aplicativo construído foi utilizado para a resolução das
questões abaixo dispostas:
Questões de verificação do aplicativo construído 1- Utilizando o aplicativo “Volume da Pirâmide”, calcule o volume pedido na questão iceberg. 2 - Uma Pirâmide quadrangular regular de 13 cm de altura tem aresta lateral medindo 15 cm. Qual o volume dessa Pirâmide? 3- (FTD-2015) Um escultor pretende esculpir uma Pirâmide de base quadrangular a partir de um bloco de mármore com formato de cubo com 30 cm de aresta. A base e a altura da Pirâmide serão as mesmas do cubo. O volume de mármore que terá de ser retirado do bloco para a confecção da Pirâmide é de: a) 3 000 cm³ b) 9 000 cm³ c) 18 000 cm³ d) 27 000 cm³ e) 36 000 cm³ 4- (FTD-2015) Armênia trabalha com velas decorativas. Ela precisa produzir 30 velas com o formato de Pirâmide quadrangular que deverão medir 10 cm de altura e ter arestas da base medindo 10 cm. A parafina com que ela trabalha é vendida em blocos reto-retangulares que medem 20 cm de comprimento por 10 cm de largura e de altura. No mínimo, quantos blocos de parafina Armênia precisa comprar para produzir as 30 velas? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5- Preencha as células em branco no quadro abaixo utilizando o aplicativo construído por você para calcular volume de Pirâmides, considerando que as Pirâmides indicadas na primeira tratam-se de poliedros regulares:
243 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Pirâmide Lado da base (l)
Medida do
apótema da base (a)
Área da base (Sb)
Altura (h)
Volume (V)
Triangular 6
Quadrada 8
Pentagonal 2
Hexagonal 4
Decagonal 3
Pirâmide de n lados
6- Com a questão 5, você necessitou fazer alguma mudança na estrutura do aplicativo construído? Quais? Socialize com o professor e com os colegas.
A imagem abaixo foi printada da tela do smartphone da estudante O14. Nas
caixas de entrada foram digitados os valores 100 (área da base em km2) e 1,5 (km),
que em seguida, ao teclar o botão calcular calculou o volume visível em 50 km3 e
volume total do iceberg em 250 km3.
Figura 99: Resposta da questão 1- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Print da tela aplicativo volume do iceberg (2018)
A realização da tarefa foi desenvolvida com êxito pela maioria dos
estudantes, o que demonstrou que o processo de Gênese Instrumental aconteceu ao
longo do processo de realização da atividade proposta.
As demais questões foram resolvidas a mão e conferidas no aplicativo
construído, de acordo com as Figuras 101 a 104.
244 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Figura 100: Resposta da questão 2- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na resposta à segunda questão (Figura 100), a estudante encontrou a área
da base e a utilizou para encontrar o volume. à esquerda esboçou uma Pirâmide de
base quadrada, o que demonstra a necessidade de por vezes recorrer aos recursos
visuais.
A questão 3 foi resolvida por todos sem dificuldades.
Figura 101: Resposta da questão 3- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
Na quarta questão, novamente recorreu-se a representação visual com
desenhos sobre a Pirâmide e paralelepípedo. Os conceitos de volume foram utilizados
para resolve-la.
Figura 102: Resposta da questão 4- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
245 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Diferentemente das demais questões da atividade, a questão 5 fora
deixada sem reposta com uma observação da estudante, que escreveu: “não utilizei
apótema no meu aplicativo”. De fato, pela construção desenvolvida no Momento B
da atividade, a mesma não contemplou a utilização do apótema, no entanto, a mesma
poderia ter recorrido a atividades anteriores.
Figura 103: Resposta da questão 5- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)
Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)
A questão 6 oportunizou uma discussão sobre as mudanças a serem feitas
no último aplicativo. No entanto, a aluna C3 lembrou que não precisaria fazer
modificação, pois já havia pensado nessa possibilidade no aplicativo anterior,
inclusive, a mesma recorreu ao aplicativo, mas com uma diferença que foi utilizar a
medida do apótema de cada Pirâmide.
De fato, como a aluna O14 apenas modificou a estrutura do aplicativo
desenvolvido por C3 com ajuda da mesma, optaram por excluir a estrutura que
tratavam do volume com o apótema conhecido, o que impossibilitou responder à
questão 5.
Algumas considerações sobre a atividade iceberg
A atividade iceberg não trouxe muitas surpresas do pondo de vista dos
resultados coletados nas atividades anteriores, percebeu-se melhor domínio das
habilidades e a descoberta de novas ferramentas que melhoraram a aparência do
aplicativo (propriedades: cores, dimensões, fontes), outras ferramentas que otimizem
a construção (esconder e duplicar blocos) e manuseio dos blocos de operações
matemáticas, que permitiram decidir a ordem das operações.
A atividade contemplou as habilidades e descritores de documentos
curriculares prescritos, permitiu a socialização das ideias, interação entre os alunos e
generalização de alguns casos.
246 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Apontamos a versatilidade apresentada pelos estudantes ao decidirem
adaptar o aplicativo construído anteriormente para a construção de um novo aplicativo
para a resolução da questão, tendo em vista que tratava-se basicamente do mesmo
conteúdo, o que excluiu a necessidade de iniciar um novo.
Matematicamente, o aplicativo se mostrou útil para a conferência de
resultados, por outro lado, não retirou o caráter subjetivo e necessidade de manuseio
de outras ferramentas como lápis, borracha e caneta pra efetuar os cálculos nas
questões propostas, a fim de mostrar-se um aliado complementar ao ensino.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O entusiasmo movido pela novidade de adentrar a temática tecnológica
para o ensino da Matemática no Ensino Médio nos desafiou a rever conceitos, formular
hipóteses, mergulhar na leitura e tentar criar, se não novos conhecimentos, mas um
novo perfil de educador e de estudante. Dessa forma, reunimos pessoas, informações,
ideias, metodologias, ferramentas, teoria e prática. Enfim, após uma gama de etapas
e ações chegamos à conclusão deste estudo, consequentemente tecer nossas
considerações finais.
Sobre as questões relativas à aprendizagem de Pirâmides, em particular
as questões sobre que envolvem elementos: base, lado, aresta, raio, diagonal, face
lateral, altura, apótema, área e volume são comumente encontrados em livros
didáticos do Ensino Médio de todo o país. Por outro lado, há uma carência de
pesquisas científicas que aprofundem o estudo sobre o tema.
Há ainda que se considerar que trata-se de tema relevante no eixo da
Geometria Espacial, muito cobrada no contexto das avaliações externas, responsável
por índices que chamam atenção bienalmente com a publicação dos resultados de
proficiência pelo Ministério da Educação.
Outro aspecto relevante para o contexto ora apresentado, é a crescente
evolução dos dispositivos tecnológicos digitais nos ambientes externos à escola, que
por muitas vezes é excluído das propostas metodológicas escolares por diversos
motivos, que ganham ênfase pelo sucateamento de laboratórios de informática
subutilizados.
247 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Assim, a pesquisa teve por objetivo observar como os alunos do 3º ano do
Ensino Médio apropriam-se dos conhecimentos ligados a Pirâmides, quando utilizam
e constroem aplicativos para dispositivos móveis, no nosso caso, para smartphone.
Nestas considerações finais, trataremos a respeito dos aspectos que
consideramos importante para o trabalho, tais como: o Quadro teórico e metodológico
utilizado, o experimento, os resultados e as possibilidades de investigações futuras.
Quadro Teórico e Metodológico
Consideramos que a abordagem Instrumental de Rabardel (1995, 2002) foi
pertinente para nosso estudo por acreditarmos que por meio dela pudemos observar
e analisar as ações dos estudantes interagiram com o ambiente da plataforma App
Inventor II, isto é, observar como acontece o processo de Gênese Instrumental do
aluno.
Especificamente, atentamos às questões ligadas a instrumentação e
instrumentalização, a transformação do artefato em instrumento e as relações
identificadas nas Situações de Atividade Instrumental (SAI) : sujeito-objeto [S-O],
sujeito-instrumento [S-I], instrumento-objeto [I-O] e sujeito-objeto mediada pelo
instrumento [S(i)-O] que se desenvolvem num ambiente formado pelo conjunto de
condições que o sujeito considera para realizar sua atividade.
A partir do modelo SAI, descrevemos as principais sequências de ações
que os alunos desenvolveram para construir os aplicativos, bem como as ferramentas
utilizadas e os produtos (aplicativos) construídos. As ações das construções iniciais
dos aplicativos em cada atividade proposta foram descritas nos Quadros 28, 33 e 44
e na análise a priori, estas identificam as etapas seguidas pelos alunos.
Para a organização da SD, nos pautamos nas ideias de Zabala (1998), no
entanto necessitamos fazer algumas adaptações iniciais, e modificações posteriores,
por não ser possível seguir à risca as etapas as etapas previstas. O conjunto de
atividades elaboradas para a SD compuseram um Produto Educacional com onze
atividades dos mais diversos assuntos sobre Pirâmides, dos quais selecionamos
apenas três para desenvolver no experimento.
Utilizamos a Engenharia Didática (Artigue,1988) como metodologia da
pesquisa. Diante dessa escolha, desenvolvemos as quatro fases previstas para
orientar as etapas, dessa forma, organizamos o texto em três capítulos: I- Análises
Preliminares; II- Concepção e análise a priori; e; III- Experimento, análise e validação.
248 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Inicialmente apresentamos aspectos históricos, matemáticos e curriculares das
Pirâmides, e estudos que descrevem a utilização de tecnologias no ensino de
Geometria Espacial, pois não encontramos trabalhos específicos sobre Pirâmides.
Alguns desses trabalhos abordam estudos sobre a visualização de figuras
geométricas, o nível de pensamento geométrico, as contribuições da tecnologia para
o ensino de geometria e a resolução de problemas com o uso de tecnologias.
Na análise do experimento, utilizamos atividades com aplicativo e quadros
que ajudam o aluno a perceber a regularidade existente entre relações matemática
até chegarem a uma expressão algébrica, fundamental para a programação em
blocos e o funcionamento correto de novo aplicativo criado. Logo após o estudante
constrói um aplicativo que resolva uma questão proposta. Os principais conteúdos
abordados foram: relação entre elementos da Pirâmide (lado, apótema, aresta, base
e altura), área e volume da Pirâmide. Em cada atividade, descrevemos na análise a
priori os possíveis esquemas de utilização do App Inventor II pelos estudantes por
meio do SAI e suas possíveis sequências de ações, na análise a posteriori validamos
ou não as hipóteses levantadas na análise a priori.
Principais resultados
As primeiras experiências obtidas com a nossa proposta ocorreram no
curso de nivelamento. Na oportunidade, conforme Rabardel, a plataforma App
Inventor II constituía-se num artefato para os estudantes, já que todos os participantes
a desconheciam totalmente.
Observamos que a habilidade dos alunos com aplicativos para
smartphones contribuiu para a compreensão das funções propostas na criação das
telas. Por outro lado, alguns estudantes não possuíam habilidades com ferramentas
computacionais, o que representou algumas barreiras para o processo, superadas
posteriormente. O ambiente virtual da plataforma utilizado para as atividades
contribuiu para a superação dos obstáculos, com aparência e organização de
linguagem simples e objetiva.
Nas fichas de avaliação do curso de nivelamento, oitenta porcento dos
alunos concordam completamente que os recursos computacionais utilizados são
interessantes e trazem benefícios à aprendizagem. Consideramos a possibilidade de
teste do aplicativo construído, a facilidade de representar algebricamente uma
249 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
situação com o uso dos blocos e a capacidade de conferir resultados ou indicar o erro
como os principais contributos, segundo os alunos.
Solicitamos que os alunos deixassem uma crítica e um elogio ao curso,
dentre os quais resumimos algumas respostas abaixo:
Quadro 46: Avaliação do curso de nivelamento (Críticas) Aluno Crítica
E5 O curso é muito cedo (da tarde)
G7 No começo eu estava perdido na parte dos blocos, depois de duas aulas eu aprendi a configurar.
J10 Um só professor pra atender todo mundo demora
M12 -
P15 -
Fonte: Ficha de avaliação do curso de nivelamento
Quanto às críticas, as únicas encontradas nos registros foram as citadas
acima no Quadro 46, o que para o trabalho é motivo de satisfação, tendo em vista as
dificuldades de locomoção e da dupla jornada dos estudantes para participar do
projeto. Por outro lado, no tocante aos blocos, é comum que nos primeiros momentos
hajam dúvidas pelo universo de ferramentas disponíveis e pela ausência ou pouco
conhecimento da plataforma.
Alguns dos elogios citados pelos mesmos, em todas as fichas analisadas,
citamos dos mesmos alunos que teceram as críticas:
Quadro 47: Avaliação do curso de nivelamento (Elogios) Aluno Elogio
E5 Despertou o interesse para a conclusão dos aplicativos
G7 A forma de aprender os conteúdos pelo aplicativo é melhor
J10 O fato de ele ensinar uma coisa que a gente não usa na sala de aula e que ajudaria bastante
M12 Ajudou a construir o que a gente antes só usava
P15 Podemos fazer os aplicativos sobre vários assuntos e em qualquer lugar
Fonte: Ficha de avaliação do curso de nivelamento
No que se refere a elogios, concordamos que muitos estudantes ficaram
motivados com a ideia de colocar no seu smartphone uma construção própria, o
coloca na posição de autor, e não de mero usuário de um aplicativo. Outro destaque
dar-se à mutualidade colaborativa com troca de ideias e a pré-disposição em ajudar e
sugerir, ao mesmo tempo em que pudemos perceber que estudaram matemática sem
perceber, enquanto conversavam sobre possibilidades de construir seus aplicativos.
250 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Com relação à plataforma, consideramos de fácil acesso, leve e que possui
peculiaridades muito positivas, como o salvamento imediato dos projetos. Toda ação
executada com a mesma é automaticamente salva sem colocar em risco as tarefas já
desenvolvidas. Outra característica que contribui positivamente é a organização dos
blocos de programação, dispostos em cores de acordo com as suas funções. Por outro
lado, deixa a desejar nos aspectos gráficos, pois os recursos de alocação nos
elementos da tela precisam de configurações que tornam-se por sua vez dificultadoras
do processo, o que ocasiona redimensionamentos imprevisíveis da tela criada para a
tela do smartphone.
O desenvolvimento das atividades, pode ser considerado satisfatório, tendo
em vista que os estudantes portaram-se como protagonista do processo de ensino, e
ao tomar a frente de decisões que os oportunizaram aprender a elaborar suas
próprias estratégias, criar novos esquemas, socializar suas descobertas e refletir
sobre seu papel como aprendiz numa sociedade submersa em evoluções
tecnológicas.
Assim, na etapa de introdução à plataforma App Inventor II, distribuída em
dez encontros que totalizaram em 30 horas, acreditamos ter atingido o nosso objetivo
de instrumentar os alunos com as ferramentas e recursos da plataforma, sem
introduzir noções de Pirâmides.
Justificamos que a instrumentação do App Inventor II ocorreu, segundo
Rabardel (1995, 2002), pelo fato de que as propostas de utilização das ferramentas
da plataforma para a construção dos aplicativos terem sido utilizadas com os
esquemas de uso criados pelos estudantes, similares aos esquemas esperados
previamente pelo orientador. As construções encontram-se registrados nas Figuras
38 a 44, bem como o diálogo sobre o assunto no segundo Capítulo.
A etapa de diagnóstico, compreendida entre as atividades introdutórias 1 e
4, nos confirmaram a dificuldade de compreensão de conceito, bem como a pouca
fundamentação acerca das nomenclaturas e relações existentes entre os elementos
das Pirâmides, por parte dos estudantes. Nos apontou também a necessidades de
haver recursos visuais em propostas de atividades (materiais ou virtuais) como
complementação, aspecto limitado no App Inventor II, a não ser pela possibilidade de
inserção de figuras nas telas dos aplicativos.
251 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Diante de tais limitações, sugerimos que se utilize outros programas de
geometria dinâmica para visualização de figuras, como: GeoGebra ou Poly; ou até
mesmo materiais concretos como: sólidos de madeira ou palitos e réguas.
Finalmente, a etapa propositiva para a realização de atividades de Pirâmide
com aplicativos surge como a terceira e última proposta, de maneira que cada
atividade contou com dois Momentos (A e B). O primeiro baseia-se na utilização de
um aplicativo “pronto” para auxiliar no preenchimento do quadro de valores, descobrir
uma relação matemática e em seguida, o aluno deve construir um aplicativo
semelhante.
No segundo momento, cada aluno recebeu uma questão com nível mais
elevado sobre o tema proposto e constrói um aplicativo para resolve-la e testa o
aplicativo em ouras questões similares.
Nesta etapa, observamos uma familiaridade dos estudantes com as
ferramentas da plataforma, que uma vez já instrumentalizada, cede espaço para os
aplicativos se tornarem artefato.
As etapas chamadas de Momento A, atingiram o nosso objetivo quanto a
promover a construção de aplicativos semelhantes aos fornecidos pelo docente, pois
o artefato assim compreendido para cada uma das três atividades, foram cedendo
espaço para os esquemas de uso criados pelos estudantes durante o
desenvolvimento dessas atividades tornam-se similares aos esquemas previstos na
análise a priori de cada atividade (Móbile, barracas e iceberg). Neste contexto, a
análise a posteriori reuniu subsídios suficientes para reconhecermos que a
instrumentalização do App Inventor II e de cada aplicativo construído e as noções de
Pirâmides ocorreu. Dessa forma, o artefato transformou-se progressivamente em
instrumento.
Ao confrontarmos os Quadros: 26 com 27 (Associado com o Quadro 28);
31 com 32 (Associado com o Quadro 33); e; 42 com 43 (Associado ao Quadro 44),
fica visivelmente confirmado que a Gênese Instrumental ocorreu pelos detalhes
apresentados, corroborados com trechos das falas do professor e de alunos, que
reúne indícios de aprendizagem do conteúdo enquanto associam grandezas variáveis,
estruturam os blocos e organizam estruturas algébricas.
No Momento B de cada atividade, cada questão proposta recebeu uma
informação diferenciada do conteúdo inicial (percentual, produtos, somas e cálculo de
área de outras figuras), o que garante que não apenas algoritmos fossem
252 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
empregados. Surgiram exatamente nesses momentos, alguns obstáculos que
variaram de grau de dificuldade, o que tornou imprescindível a intervenção do docente
e a socialização de ideias entre os estudantes.
Durante o confronto de pontos de vistas para a programação dos
aplicativos do Momento B, surgiram várias ideias e contribuições que tenderam à
evolução de utilização de recursos e ferramentas de forma a reunir esquemas
preexistentes com novos esquemas, de forma que a construção do segundo aplicativo
(Momento B) apresentou em alguns casos novos elementos não previstos no curso
de nivelamento, muito menos nas análise a priori, como o caso da figura inserida como
plano de fundo na atividades iceberg.
A interação dos alunos com os blocos de programação do App Inventor II
facilitou a compreensão das relações existentes entre os elementos das Pirâmides e
permitiu a visualização de representações algébricas para a solução das questões
propostas, testar possibilidades com diferentes proposições de estruturação
permitiram o funcionamento do aplicativo.
A cada atividade proposta, os alunos descobriram relações algébricas entre
os elementos da Pirâmide com o auxílio do aplicativo e do quadro de valores, a ação
permitiu a visualização de regularidades existentes em problemas diversos, em outros
níveis de cognição e de realidade. Tais afirmações se dão pelos registros de vídeos e
escritos registrados, além de habilidades não previstas nas prescrições curriculares.
De acordo com o exposto, o polo [S-I], proposto por Rabardel, foi
plenamente atendido nas atividades propostas e no seu desenvolvimento pelos
estudantes.
Do ponto de vista das relações do instrumento e do objeto, percebemos
que a plataforma App Inventor II possui muitas ferramentas com potencial explorativo
que não foi possível abordarmos nesse trabalho, a exemplo: utilização de memória
para o próprio aplicativo, movimento de elementos gráficos na tela, sensores, novas
variáveis, programações lego e arduíno. Por outro lado, o conteúdo explorado possui
uma gama de temas de exploração em que a plataforma apresenta limitações que
impedem uma experiência mais exitosa, a citar: a construção da imagem das
Pirâmides com a utilização de seus elementos, a rotação e translação de figuras no
espaço, a ampliação e redução de figuras etc.
253 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Diagrama 2: Relação Instrumento - Objeto
Fonte: Autor (2018)
Diante do exposto, reconhecemos o potencial do App Inventor II para as
questões ligadas a problemas que exigem cálculo, estruturação de relações
algébricas e a execução dessas estruturas programadas. Tal função proporciona uma
eficiência quanto à otimização do tempo nas aulas quando o aplicativo já está
construído, e durante o processo de construção revela o desenvolvimento de
habilidades cognitivas não previstas nas competências e habilidades prescritas
curricularmente, que contribuirão em decisões futuras do aluno não só na matemática,
mas em diversas áreas. Tais considerações tornam-se relevantes para o polo [I-O].
Quanto ao conhecimento de Pirâmides adquirido com o experimento,
constituiu-se a medida que os aplicativos propostos foram programados.
Consideramos que a escolha de cada bloco (ferramenta) de programação na
sequência de ações para a estruturação dos aplicativos dependeram exclusivamente
da decisão tomada de cada estudante, mas o funcionamento correto para o cálculo
de valores só foi corretamente executado, por causa da relação matemática utilizada.
Por outro lado, a escolha de elementos que constituem a tela dos aplicativos
dependem da vivência, criatividade e necessidade de cada estudante, o que contribui
para sua autonomia. Assim concordamos na relação exitosa entre os elementos
sujeito, instrumento e objeto, frente ao polo [S(i)-O].
Nesse sentido, de acordo com o modelo SAI, enfatizamos a importância da
composição da tríade:
• Sujeito (S): A1, B2, ..., P15;
• Instrumento (I): App Inventor II e seus recursos/ferramentas,
aplicativos, e conteúdos matemáticos; e
• Objeto (O): aplicativos matemáticos construídos sobre Pirâmides.
254 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Chamamos atenção para a simplicidade da linguagem de programação da
plataforma, que por ser em blocos torna o processo mais acessível e possível para
leigos em programação. Assim, deixamos claro que, a nossa intenção não foi tratar
de aspectos ligados à programação computacional, pois estes poderiam inviabilizar a
proposta frente ao público atendido.
Com vistas a SD de acordo coma concepção de Zabala (1998), concluímos
nem sempre ser possível seguir a ordem das atividades previstas no Quadro 11, mas
corroboramos com sua afirmação que a classifica como uma “série ordenada e
articulada de atividades que formam as unidades didáticas”, pois embora não
tenhamos seguido detidamente o modelo proposto, mantivemos o ordenamento das
atividades, e essa característica garantiu a compreensão, assimilação e acomodação
das etapas (Moreira, 2017). Destacamos que um fator de relevância foi a
possibilidades de análise atitudinal dos educandos: cooperação, iniciativa e
proatividade.
Diante as atividades realizadas, é possível perceber indícios de conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais de maneira implícita, que potencializaram as
ações instrumentais e permitiram a conclusão dos aplicativos.
Tais aspectos são demonstrados a etapa final dos experimentos expresso
na Figura 104, que mostra a gravação de uma videoaula para compor o Produto
Educacional desta pesquisa:
Figura 104: Gravação de vídeo aula construção de aplicativos (Aluno P15)
Fonte: Arquivo pessoal do aluno (2018)
Outros dois alunos também contribuíram com a gravação de vídeos, tal
atitude reflete o nível de confiança dos mesmos quanto aos temas estudados e frente
as ferramentas utilizadas. Alguns alunos recorreram a pesquisas em sites e vídeos
255 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
para a compreensão de conteúdo. Para a proposta julgamos natural tendo em vista
que buscamos a autonomia do aluno.
Acreditamos que as atividades propostas: móbile, barracas e iceberg,
foram entronizadas pela descoberta das relações. A programação de botões, caixas
de entrada e legendas foram oportunizadas pelo conhecimento de esquemas
preexistentes adquiridos no curso de nivelamento. Por conseguinte, a manipulação
desses blocos de programação e a organização da tela favorece a aprendizagem do
conteúdo, principalmente de maneira integrada aos quadros de valores e
complementarmente com recursos visuais (figuras, material concreto).
Se considerarmos o objeto matemático e o aplicativo disposto no início de
cada atividade como artefatos, concluímos que não seria possível o preenchimento
dos quadros sem o aplicativo, nem tampouco a construção de aplicativos sem o
conhecimento das relações matemáticas, a não ser que houvesse uma nova fonte de
informação sobre estes dois recursos. Dessa forma acreditamos que o quadro de
valores e aplicativos utilizados foram primordiais para atingirmos o objetivo do
trabalho.
Dessa forma, acreditamos que uma contribuição desta pesquisa é
reconhecer que o aplicativo possui função limitada quando apenas utilizado como uma
calculadora pelo estudante, que passaria do status de aprendiz para usuário, como
ocorre com a utilização de todo e qualquer aplicativo disponível para download no
mercado. A utilização pedagógica da proposta se torna adequada quando incorpora a
descoberta de relações matemáticas existentes em problemas do cotidiano,
proporciona o desenvolvimento de atividades experimentais que oportunizem o erro e
reflexão sobre este erro, utiliza as ferramentas do App Inventor II para personalizar
sua ferramenta de cálculo, sem excluir o potencial de quadros, tabelas, materiais
concretos e as contribuições docentes.
Atividades complementares relacionadas
Durante o desenvolvimento deste trabalho surgiram diversas
oportunidades de tratar sobre o tema e assim aprimorar as experiências que
contribuíram para a compreensão do quadro teórico e prático desta pesquisa. Trata-
se de eventos científicos das quais as propostas foram submetidas e aceitas
distribuídas no Quadro 49.
256 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Quadro 48: Oferta de minicursos em eventos EVENTO/INSTITUIÇÃO CIDADE DATA
Mini curso -IFMA São João dos Patos- MA 10/10 a 11/12/2017
CEINJAR (SEDUC-MA) São João dos Patos- MA 20/06 a 13/08/2018
III SNTDE (UFMA) São Luís- MA 25, 26 e 27/07 de 2018
XIV SEMAFIS (IFPI) Teresina-PI 01, 02 e 03/08 de 2018
PAPMEM (IFMA) São João dos Patos- MA 06 a 09/08 de 2018
IV Mostra de Extensão (CTF) Floriano- PI 16 e 17/11 de 2018
Semana de Ciência e Tecnologia- SNCT/IFMA
S.J. dos Patos-MA 17 a 19/10 de 2018
Fonte: Autor (2018)
A submissão de propostas, a aceitação e execução dos eventos só foram
possíveis pela oportunidade do estudo da nossa temática. Os eventos tiveram efeitos
muito positivos e objetivaram a disseminação da plataforma App Inventor II, ainda
pouco conhecida por onde passamos.
Perspectivas futuras
Ao considerar os resultados desta investigação, podemos enveredar numa
pesquisa que trate de uma proposta de formação para professores que se utilizem da
construção de aplicativos para o ensino de conteúdos matemáticos. As contribuições
da Gênese Instrumental serão de grande valia para tal processo de formação, no
entanto poderemos agregar alguma outra teoria complementar que lide diretamente
com a formação de docentes, as a instrumentação é indispensável.
Como reconhecemos o potencial da plataforma para outros conteúdos
matemáticos e não matemáticos, poderemos desenvolver pesquisas com outros
conteúdos matemáticos diferentes da geometria, mais próximos da álgebra, e até
identificar os limites algébricos das ferramentas disponíveis.
Outra possibilidade seria o estudo da implantação de uma proposta
curricular voltada para o uso de tecnologias nas escolas da região do Médio Sertão
Maranhense, baseadas nos resultados da nossa pesquisa.
Paralelamente, caberão investigações sobre outras ferramentas de
construção de aplicativos simples que não beirem a programação computacional
formal.
REFERÊNCIAS
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266 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE A- Termo de consentimento do estudante
267 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE B- Termo de consentimento do professor
268 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE C- Questionário do aluno
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Prezado(a) aluno (a), estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Para o êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
QUESTIONÁRIO 1- (ALUNOS DO 3º ANO)
1- Idade: _______anos. 2- Gênero: □ Masculino. □ Feminino. □ Outro. 3- Série/Ano: □ 1º ano. □ 2º ano. □ 3º ano. 4- Rede de ensino em que estuda? □Municipal. □Estadual. □Federal. □Particular. □Outra. 5-Você já reprovou em matemática? □ Sim. □ Não. 5.1- Você já ficou reprovado (a) em alguma matéria de um dos blocos abaixo? (poderá
marcar mais de uma) □ Química, Física ou Biologia. □ História, filosofia ou sociologia. □ Língua portuguesa, estrangeira ou arte. 6- Com relação a disciplina de matemática: □ Não gosto. □Suporto. □Gosto. □Adoro. 7- Quem é seu responsável masculino? □Pai. □Avô. □ Tio. □Irmão. □Outro. □Não tenho. 7.1- Qual a escolaridade do seu responsável masculino? □Superior. □Médio. □Fundamental. □Fundamental incompleto. □Não estudou. 7.2- Seu responsável desenvolve atualmente alguma atividade remunerada? □ Sim. □ Não. 8- Quem é sua responsável feminina? □Mãe. □Avó. □ Tia. □Irmã. □Outra. □Não tenho. 8.1 - Qual a escolaridade da sua responsável feminina? □Superior. □Médio. □Fundamental. □Fundamental incompleto. □Não estudou. 8.2- Sua responsável desenvolve atualmente alguma atividade remunerada? □ Sim. □ Não. 9- Você já desenvolveu alguma atividade remunerada? □ Sim, trabalho atualmente. □ Sim, hoje não mais. □ Estágio. □ Não. 10-Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática? □Professor particular. □Família. □ Amigos. □Outros. □Ninguém. 11- Com que frequência você estuda matemática fora da escola? □Todo dia. □ Somente nos finais de semana. □No período de prova (considerar até cinco dias). □Só na véspera da prova (considerar somente um dia antes). □Não estudo fora da escola. 12- Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática? □Sempre. □Quase sempre. □Às vezes. □Poucas vezes. □Nunca. 13- Quais formas de atividades e/ou trabalhos o seu Professor (a) de matemática mais utiliza para a avaliação da aprendizagem? □ Provas com questões abertas (subjetivas). □ Provas com questões de múltipla escolha. □ Provas com questões mistas (subjetivas e de múltipla escolha). □ Pesquisas. □ Projetos. □ Seminários. □ Experimentos. □ Outros. 14- Como você se sente quando está diante de uma avaliação em matemática? □ Contente. □ Tranquilo. □ Com medo. □ Preocupado. □ Com raiva. □ Com calafrios. 15- As aulas de Matemática despertam sua atenção de maneira que o (a) motive a estudar? □Sim. □Não. □ Às vezes. 16- Você consegue relacionar os conteúdos matemáticos ensinados em sala de aula com seu dia a dia? □ Sim. □ Não. □ Às vezes.
269 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
17- Seu professor de matemática demonstra domínio do conteúdo? □ Sim. □ Não. 18- Como você avalia as explicações do seu professor de matemática? □ Ruim. □ Regular. □ Suficiente. □ Boa. □ Excelente. 19- Você já estudou Pirâmides? □ Sim. □ Não. 19.1- Se já estudou sobre pirâmides, favor informe a série. □Ensino fundamental. □ 1º ano. □ 2º ano. □ 3º ano. 20- Para iniciar um novo conteúdo, seu professor de matemática, na maioria das aulas inicia: □ Com uma situação problema para depois introduzir o assunto. □ Com a história do assunto para depois explorar os conceitos. □ Pela definição seguida de exemplos e exercícios. □ Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. □ Com jogos para depois sistematizar os conceitos. □ Com um experimento para chegar ao conceito. 21- Para praticar o conteúdo de pirâmides seu professor costuma (ava): □ Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. □ Apresentar jogos envolvendo o assunto. □ Solicitar que os alunos resolvessem os exercícios do livro didático. □ Solicitava que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver. □ Não propõe questões de fixação. 22- Seu professor já lhe permitiu fazer auto avaliação sobre os conteúdos estudados? □ Sim. □ Não. □ Não sei responder. 23- Com que frequência seu professor faz uso de tecnologias digitais na aulas? □ Nunca. □ Raramente. □ Ocasionalmente. □ Quase sempre. □ Sempre. □ Oferta de minicursos com atividades complementares. 24- Você costuma fazer uso de quais tecnologias digitais no seu dia-a-dia (poderá marcar mais de uma): □Não costumo utilizar. □ Computador (notebook). □ Celular, tablet ou similares. □ Calculadora. □ Outro (a). 24.1- Possui tablet ou celular? □ Sim. □ Não. 24.2- Possui computador de mesa (notebook)? □ Sim. □ Não. 24.3 – Possui internet em casa? □ Sim. □ Não. 24.4 – Tem acesso à internet na escola? □ Sim. □ Não. 25- Com relação à utilização do celular na sala de aula, assinale a alternativa que mais se aproxima da sua realidade: □ Há alguma proibição do professor ou da escola quanto a utilização na resolução de atividades. □ Há consenso entre alunos e professores para a não utilização. □ O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de celular. □ O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não celular. □ A utilização de tecnologias digitais (computadores, celulares, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula. 26- Quanto tempo, em média, você faz uso do celular quando se encontra fora da sala de aula? □ Não utilizo. □ 0 a 2 horas. □ 2 a 4 horas. □ 4 a 6 horas. □ Mais de 6 horas. □ Não tenho noção, pois utilizo a todo instante. 27- Tem conhecimento básico de programação? □ Sim □ Não. caso tenha, quais?________________ 28- Você conhece o App Inventor 2? □ Sim □ Não 29- Você já fez uso de algum aplicativo de celular? □ Sim □ Não, quais?________________ 30- Que nota, você daria, a uma aula com a utilização de aplicativos de celulares? □ 0 a 2 □ 2 a 4 □ 4 a 6 □ 6 a 8 □ 8 a 10
270 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE D- Questionário de afinidade com o conteúdo Pirâmides
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Prezado(a) aluno (a), estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Para o êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
QUESTIONÁRIO 2- (ALUNOS DO 3º ANO)
Com base na sua experiência quando você estudou pirâmides preencha o quadro a seguir.
(MF: Muito Fácil; F: Fácil; R: Regular; D: Difícil; MD: Muito difícil)
Conteúdo Não
estudei
Qual grau de dificuldade que você teve para
aprender?
MF F R D MD
Ideia de pirâmide ilimitada.
Definição de pirâmide.
Aresta da pirâmide.
Faces da pirâmide.
Vértice da pirâmide.
Altura da pirâmide.
Relação entre o número de arestas, faces e vértices. (V+F=A+2).
Ideia de superfície lateral de uma pirâmide qualquer.
Ideia da superfície total de uma pirâmide qualquer.
Classificação das pirâmides quanto a base.
Ideia de Pirâmide regular.
Ideia do apótema de uma pirâmide regular à altura de uma face lateral.
Ideia do apótema da base de uma pirâmide regular.
Ideia de tetraedro.
Ideia de tetraedro regular.
Ideia de secção paralela à base de uma pirâmide reta.
Princípio de Cavalieri.
Equivalência de tetraedros.
Decomposição de um prisma triangular em pirâmides.
Ideia de Pirâmide reta.
Ideia de Pirâmide oblíqua.
Planificação de uma pirâmide qualquer.
Cálculo da altura de uma pirâmide reta.
Cálculo da altura de uma pirâmide qualquer.
Cálculo do apótema lateral de uma pirâmide regular.
Cálculo do apótema lateral de uma pirâmide qualquer.
271 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Cálculo do apótema da base de uma pirâmide regular, dado o lado de base.
Cálculo do raio de uma circunferência que circunscreve a base de uma pirâmide regular, conhecendo o lado da base.
Cálculo da diagonal de uma circunferência que circunscreve a base de uma pirâmide regular, conhecendo o apótema da base.
Cálculo da área da face lateral da pirâmide reta.
Cálculo da área da face lateral de uma pirâmide qualquer.
Cálculo da área da base da pirâmide regular com medidas de números inteiros.
Cálculo da área da base da pirâmide qualquer.
Cálculo da área lateral de uma pirâmide regular.
Cálculo da área lateral de uma pirâmide qualquer.
Cálculo da área total de uma pirâmide regular.
Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer.
Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.
Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).
Cálculo do volume de uma pirâmide regular.
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer.
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer a partir de uma imagem dada.
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer conhecendo apenas as medidas e não dada uma imagem.
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).
Cálculo do volume de uma pirâmide regular conhecendo apenas a aresta lateral e a aresta da base.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides em que uma imagem é dada.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides em que uma imagem não é dada, apenas medidas.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões inteiras.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões decimais.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões em que aparecem raízes.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides que solicite medidas de capacidade.
Resolução de problemas envolvendo pirâmides que requeira leitura e interpretação de texto.
De já, agradecemos sua pré-disposição em contribuir com a nossa pesquisa. Muito Obrigado!
272 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE E- Relatório do curso de nivelamento
274 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE F- Avaliação do curso de nivelamento
275 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE G- Tabulação de dados questionário aluno
Perfil da amostra – Quem foram os discentes consultados
Distribuição dos alunos do 3º ano por gênero
Gênero Quant. %
Feminino 116 59,5 Masculino 79 40,5 Outro 0 0,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Distribuição de alunos por faixa etária
Idade Quant. %
15 2 1,03 16 47 24,10 17 106 54,36 18 24 12,31 19 10 5,13 20 3 1,54 21 2 1,03 22 1 0,51
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)
Percentual de alunos reprovados em alguma disciplina
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Afinidade com a matemática segundo discentes
Afinidade Quant. %
Não gosto 34 17,4 Suporto 43 22,0 Gosto 103 52,9 Adoro 15 7,7
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)
Nível de formação escolar dos responsáveis dos alunos
276 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nível de escolaridade Resp. Masculino Resp. Feminino
Quant. % Quant. %
Não estudou 13 6,7 6 3,1 E. Fund. Incompleto 47 24,1 33 16,9 E. Fundamental 57 29,2 31 15,9 E. Médio 47 24,1 76 39,0 Ensino Superior 15 7,7 46 23,6 Não Sabe/Não tem 16 8,2 3 1,5
Total 195 100,0 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)
Tempo de dedicação ao estudo de matemática fora da sala de aula
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Compreensão das explicações do professor
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Principais formas de avaliação segundo discentes
Tipo de avaliação Quant. %
Provas com questões múltipla escolha 76 39,0 Provas com questões abertas 37 19,0 Provas com questões mistas 48 24,6 Seminários 0 0,0 Pesquisas 16 8,2 Experimentos 0 0,0 Outras 18 9,2
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
277 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Estado emocional dos estudantes no momento da avaliação
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Relaciona a matemática com o cotidiano
Opinião Quant. %
Sim 52 26,7 Não 32 16,4 As vezes 111 56,9
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
Opinião dos alunos sobre a atenção nas aulas de matemática
Opinião Quant. %
Sim 63 32,3 Não 20 10,3 As vezes 112 57,4
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
Percentual de alunos que afirmaram já ter estudado Pirâmides
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Série/ano em que estudou Pirâmides
Série/ano Quant. %
Ens. fundamental 13 6,7 1º ano 16 8,2 2º ano 93 47,7 3º ano 38 19,5 Não lembram 35 17,9
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
278 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
O professor inicia um novo conteúdo com a abordagem
Abordagem Quant. %
Pela definição seguida de exemplos e exercícios. 142 72,8 Pela história do assunto para depois explorar os conceitos. 20 10,3 Por uma situação problema para depois introduzir o assunto. 28 14,3 Por um modelo para situação seguida de sua análise. 5 2,6 Por meio de jogos para depois sistematizar os conceitos. 0 0,0 Por meio de um experimento para chegar ao conceito. 0 0,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
Para praticar o conteúdo costuma-se
Abordagem Quant. %
Resolver a lista de exercícios propostos 82 42,1 Resolver atividades propostas nos livros didáticos 95 48,6 Participar de atividades com jogos 5 2,6 Pesquisar e responder questões de outras fontes 0 0,0 Outras formas 13 6,7 Não são propostas atividades de fixação 0 0,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)
Os discentes a as tecnologias
Utilização de tecnologias nas aulas de matemática segundo discentes em percentual
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de alunos que puderam se auto avaliar
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
279 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Recursos tecnológicos mais utilizados pelos discentes
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de discentes que possuem celular ou tablet
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de discentes que possuem computador ou notebook
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Local de acesso à internet localizadas em zona urbana no Brasil
Local %
Sala do(a) coordenador(a) pedagógico(a) ou do(a) diretor(a) 99,0
Sala dos professores ou sala de reunião 93,0
Laboratório de informática 45,0
Sala de aula 82,0
Biblioteca ou sala de estudos para os alunos 69,0 Fonte: BRASIL (2017b)
280 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Percentual de alunos que possuem internet em casa
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de alunos que tem acesso à internet na escola
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Utilização do celular em sala de aula nas aulas de matemática
Abordagem Quant. %
Há proibição da escola/professor quanto sua utilização na resolução de atividades
108 55,4
Há consenso entre aluno e professore para a não utilização.
39 20,0
O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de celular.
11 5,6
Já propus atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não celular.
0 0,0
A utilização de tecnologias digitais (computadores, celulares, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula.
37 19,0
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)
281 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Tempo médio de utilização do celular fora de sala de aula
Intervalo Quant. %
Não utilizo 0 0,0 0 a 2 horas 24 13,4 2 a 4 horas 23 12,9 4 a 6 horas 13 7,3 Mais de 6 horas 33 18,4 Não tenho noção 86 48,0
Total 179 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)
Percentual de alunos que possuem noção de programação
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de alunos que conhecem o App Inventor 2
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo
Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)
282 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Nota atribuída a perspectiva de aulas com aplicativos celulares
Intervalo Quant. %
0 a 2 0 0,0
2 a 4 2 1,1
4 a 6 11 5,6
6 a 8 34 17,4
8 a 10 148 75,9
Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)
Nível de dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos relacionados
a Pirâmides
Grau de dificuldade de aprendizagem de Pirâmides na opinião dos discentes
Conteúdo Não
Estudei Grau de dificuldade (%)
MF* F* R* D* MD*
Ideia de Pirâmide ilimitada. 59,4 1,6 3,6 22,4 8,9 4,1
Definição de Pirâmide. 19,0 7,7 24,6 37,4 9,7 1,5
Aresta da Pirâmide. 18,9 9,2 28,1 32,1 8,6 3,1
Faces da Pirâmide. 15,8 9,2 32,1 29,1 11,7 2,0
Vértice da Pirâmide. 15,5 8,8 25,8 34,0 14,4 1,5
Altura da Pirâmide. 17,4 7,2 27,7 34,9 12,3 0,5
Relação entre o número de arestas, faces e vértices. (V+F=A+2).
24,0 13,8 18,9 26,5 14,3 2,5
Ideia de superfície lateral de uma Pirâmide qualquer.
31,1 1,0 8,2 29,6 25,0 5,1
Ideia da superfície total de uma Pirâmide qualquer.
32,0 1,0 9,8 24,7 26,8 5,7
Classificação das Pirâmides quanto a base.
35,7 2,6 14,8 27,0 18,4 1,5
Ideia de Pirâmide regular. 36,4 1,5 9,2 27,7 22,1 3,1
Ideia do apótema de uma Pirâmide regular à altura de uma face lateral.
34,4 2,6 5,6 22,1 23,1 12,2
Ideia do apótema da base de uma Pirâmide regular.
37,4 1,5 5,6 23,6 21,0 10,8
Ideia de tetraedro. 42,6 2,1 7,7 16,9 21,0 9,7
Ideia de tetraedro regular. 48,0 1,0 5,6 18,4 20,9 6,1
Ideia de secção paralela à base de uma Pirâmide reta
43,9 2,6 5,1 16,3 17,3 14,8
Princípio de Cavalieri 45,1 1,6 8,8 18,7 15,0 10,8
Equivalência de tetraedros. 59,3 0,5 5,2 12,4 14,4 8,2
Decomposição de um prisma triangular em Pirâmides.
47,7 2,6 7,2 20,4 15,9 6,1
Ideia de Pirâmide reta. 35,2 3,1 10,7 29,6 16,3 5,1
Ideia de Pirâmide oblíqua. 42,9 3,1 5,1 20,4 21,4 7,1
Planificação de uma Pirâmide qualquer. 43,6 2,6 8,7 25,6 14,4 5,1
283 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Cálculo da altura de uma Pirâmide reta. 26,5 3,6 12,2 36,7 16,3 4,6
Cálculo da altura de uma Pirâmide qualquer.
28,6 2,6 14,2 19,4 6,6 18,6
Cálculo do apótema lateral de uma Pirâmide regular.
38,8 1,5 7,7 23 21,4 7,6
Cálculo do apótema lateral de uma Pirâmide qualquer.
43,6 2,6 9,2 17,9 19,5 7,2
Cálculo do apótema da base de uma Pirâmide regular, dado o lado de base.
41,8 2,0 7,7 18,9 19,4 10,2
Cálculo do raio de uma circunferência que circunscreve a base de uma Pirâmide regular, conhecendo o lado da base.
31,1 2,6 11,7 21,9 23,0 9,7
Cálculo da diagonal de uma circunferência que circunscreve a base de uma Pirâmide regular, conhecendo o apótema da base.
43,9 3,6 5,6 20,9 16,3 9,7
Cálculo da área da face lateral da Pirâmide reta.
27,2 7,6 12,3 30,3 15,9 6,7
Cálculo da área da face lateral de uma Pirâmide qualquer.
30,1 6,6 10,2 30,6 16,3 6,1
Cálculo da área da base da Pirâmide regular com medidas de números inteiros.
36,7 6,1 12,2 24,0 13,8 7,1
Cálculo da área da base da Pirâmide qualquer.
26,2 6,7 14,4 35,8 12,8 4,1
Cálculo da área lateral de uma Pirâmide regular.
28,2 6,2 13,8 32,8 12,8 6,2
Cálculo da área lateral de uma Pirâmide qualquer.
30,8 4,6 13,3 30,8 15,4 5,1
Cálculo da área total de uma Pirâmide regular.
28,0 6,6 12,1 32,4 15,4 5,5
Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer.
31,6 6,2 10,4 26,4 16,6 8,8
Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.
44,1 2,6 9,7 18,5 15,4 9,7
Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).
40,8 4,1 8,2 22,4 12,8 11,7
Cálculo do volume de uma Pirâmide regular.
28,1 3,1 14,8 30,6 16,8 6,6
Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer.
29,1 4,6 9,7 31,1 19,4 6,1
Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer a partir de uma imagem dada.
32,1 5,6 10,7 16,5 27,9 7,1
284 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer conhecendo apenas as medidas e não dada uma imagem.
38,3 3,6 7,1 28,6 17,3 5,1
Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.
43,9 3,6 6,1 21,9 18,4 6,1
Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).
41,5 1,5 6,2 21,5 20,0 9,2
Cálculo do volume de uma Pirâmide regular conhecendo apenas a aresta lateral e a aresta da base.
34,2 1,5 11,2 30,1 16,8 6,1
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides em que uma imagem é dada.
34,7 2,6 8,7 25,0 23,4 5,6
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides em que uma imagem não é dada, apenas medidas.
41,3 3,6 7,7 19,4 18,3 9,7
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões inteiras.
43,6 3,1 7,2 19,4 20,0 6,7
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões decimais.
51,0 3,1 6,1 15,3 15,8 8,7
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões em que aparecem raízes.
47,2 2,1 4,1 14,8 23,6 8,2
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides que solicite medidas de capacidade.
50,0 1,5 5,1 16,3 18,4 8,7
Resolução de problemas envolvendo Pirâmides que requeira leitura e interpretação de texto.
40,8 3,6 9,2 17,8 18,9 9,7
Média Aritmética 36,1 3,8 11,2 24,6 17,1 7,2 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)
*MF- Muito fácil; *F- Fácil; *R- Regular; *D- Difícil; *MD- Muito difícil;
285 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE H- Texto de atividade introdutória
Os templos maias
[Os templos maias] eram espaços pequenos, localizados no topo das Pirâmides,
onde os reis realizavam alguns rituais. O templo era frequentado pelo rei, pela família real e
por alguns súditos. As Pirâmides maias eram fruto do grande conhecimento de Matemática e
arquitetura desse povo. Elas eram dedicadas aos deuses e não serviam como residência.
Uma mesma cidade podia ter até dez Pirâmides, dependendo da área ocupada. [...] Em El
Castillo no México, um detalhe arquitetônico homenageia o deus Kukulcán, uma serpente com
plumas. A construção da Pirâmide foi feita de maneira que, nos dois equinócios do ano (datas
em que o dia e a noite têm exatamente 12 horas de duração cada), os raios de Sol projetam
a sombra de uma serpente nas laterais da escadaria.
Extraído do site: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-eram-os-templos-maias>. Acesso
em: 12 nov. 2014
Fonte: FTD (2015)
A Pirâmide de Kukulcán e seu templo podem ser representados por dois sólidos
geométricos sobrepostos, você sabe quais são? Quais as diferenças entre esses sólidos?
Suas características? Você conhece outros tipos de sólidos? Outras Pirâmides? Existem
projetos arquitetônicos recentes na forma de Pirâmides, quais?
Supondo que existam grandes estruturas arquitetônicas atuais, em vidro. Como
calcular a quantidade de materiais gastos na construção? Suponha que existam grandes
depósitos no formato piramidal, como calcular a capacidade volumétrica desses depósitos?
286 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE I- Autorização de divulgação do nome da escola
287 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
APÊNDICE J- Jogo Baralho Geométrico
292 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones
ANEXO A- Moldes Pirâmides
Pirâmidetrangular regular
Pirâmide de base quadrada
Pirâmide pentagonal regular