Post on 02-Jul-2015
MATEMÁTICA DISCRETA
RELAÇÕES E FUNÇÕES
Profa. Eulanda Miranda dos Santos PhD. Eng.
CURSO NÍVEL DEPARTAMENTO PERIODO
Engenharia da Computação
Graduação Ciência da Computação
MATUTINO
OBJETIVO DA AULA:
Identificação de relações, determinação de ordem, testar funções e taxa de crescimento de funções
ASSUNTOS ANTERIORES
1. Teoria dos Números
2. Lógica de Predicados
3. Técnicas de Demonstração
4. Teoria dos Conjuntos
5. Análise Combinatória
6. Teoria dos Grafos
1. INTRODUÇÃO
• Há muitas relações na Matemática e na Ciência da Computação– “Menor do que”– “É paralelo à”– “É um subconjunto de”
• Tipos de relações:– Relações de equivalência– Relações de ordem– Funções
2. RELAÇÕESPRODUTO DE CONJUNTOS: Sejam A e B : A x B = {(x,y)|x A e y B}– Conjunto de todos os pares ordenados (x,y)
• A x A = A2
– Ex: A = {1,2} e B = {3,4} A x B = {(1,3), (1,4),(2,3),(2,4)} B x A = {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} A2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} A3 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2), (2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}
– Portanto, |AxB| = 4 e |A| x |B| = 4
2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO
– Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados
• Dado o conjunto A, é uma relação binária em A, se for um conjunto de pares ordenados de membros de A.
• É um subconjunto de A2.
– Existem relações unárias, ternárias, quaternárias, etc.– Em geral uma relação binária é definida por uma
descrição da relação predicado binário
2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO• Ex: Considere o conjunto S = {1, 2, 4}
– Relaçõesa) x y x = y/2 ; b) x y x + y é ímpar;
RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um
subconjunto de SxT
{(1,2), (2,4)} satisfazem
{(1,2), (1,4)} satisfazem
2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Ex: Considere os conjuntos
• E - Todos os estudantes de Engenharia da Computação (EC)• L - Todos os laboratórios do DCC• P - Todos os professores do DCC• D - Todas as disciplinas do curso de EC
– Relaçõesa)e l (e,l) E x L, e está matriculado e estagia no lab 1b)e d (e,d) E x D, e está matriculado na disciplina dc)d p (d,p) D x P, disciplina d é ensinada por p
2. RELAÇÕESTIPOS DE RELAÇÕES BINÁRIAS
– Um para um: cada componente aparece apenas uma vez na relação.
– Um para muitos: se a primeira componente aparece mais de uma vez.
– Muitos para um: se a segunda componente aparece em mais de um par.
– Muitos para muitos: se cada componente aparece em mais de um par.
2. RELAÇÕESPROPRIEDADES DAS RELAÇÕES
Dado o conjunto A– é reflexiva x x para todo x A
• Ex: <= e = sobre N
– é simétrica x y y x para todo x, y A• = sobre N, e irmãos sobre pessoas
– é transitiva x y e y z x z para todo x, y, z A• <, <= e = sobre N
– é anti-simétrica x y e y x x=y para todo x, y A
• = sobre N
2. RELAÇÕESExercícios
Teste as relações no conjunto dado S e diga suas propriedades:
1.S = N; x Y x + y é par 2.S = Z+; x Y x divide y3.S = N; x Y x = y2
4.S = {0,1}; x Y x = y2
5.S = {1,2,3}; = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
Reflexiva, simétrica e transitiva
Reflexiva, anti-simétrica e transitiva
Anti-simétrica
Reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva
Reflexiva, simétrica e transitiva
2. RELAÇÕESFECHOS DE RELAÇÕES
– Uma relação binária * em um conjunto S é o fecho de uma relação em S em relação à propriedade P se
1. * tem a propriedade P;2. *;3.* é subconjunto de qualquer outra relação em S que
inclua e tenha a propriedade P
2. RELAÇÕESEx: Sejam S={1,2,3} e = {(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3)}
– é reflexiva, simétrica e/ou transitiva? – O fecho de em relação à reflexividade:
– O fecho de em relação à simetria:
– O fecho de em relação à transitividade:
• Exercício: Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da relação: S = {a,b,c}; = {(a,a), (a,b), (b,c),(c,c)}
NÃO
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,2), (3,3)}
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,1), (3,2)}
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (3,2), (3,3),(2,1),(2,2)}
RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL– Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, anti-simétrica e transitiva.– Conjunto parcialmente ordenado: é o par ordenado
(S, ), em que é uma ordem parcial em S.– Ex:
• Relação < = no conjunto R • Relação “a divide b” no conjunto N+
2. RELAÇÕESRELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
– Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva.
– Ex: Em N, x Y x + y é par• Em {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA E PARTICÕES– Seja S um conjunto não vazio, uma partição de S é uma
subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos.• Ex: Seja S = {1, 2, …, 8,9}
– Partição de S = [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7,9}]
2. RELAÇÕESTEOREMA:
– Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência;
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA [X]– Dados uma relação de equivalência no conjunto S e x
S;– [x] conjuntos de todos os elementos de S relacionados a x.– [x] = {y | y S x y}
2. RELAÇÕESEx1: Em S= {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
[1][2]
Ex 2: x y x + y é par em N. 1. par: se x é um número par, então, para todo número par y, x +
y é par, e y [x].2. ímpar: se x é um número ímpar, então, para todo número
ímpar y, x + y é par, e y [x].
S
1 2 3
[1] = [2]
[3] = {3}
pares ímpares
N
= {1,2};
= {1,2};
EXERCÍCIO1. Diga quais dos pares ordenados pertencem às relações
binárias abaixo, definidas em N:a) x y x = y + 2; (0,2), (4,2), (6,3), (5,3)b) x y y é o quadrado perfeito de x; (1,1), (4,2), (3,9), (25,5)
2. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas:a) S = N; x y x * y é parb) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}c) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2), (2,2),(2,3)}
EXERCÍCIO3. Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da
relação abaixo:a) S = {a, b, c, d}; = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(a,d), (b,d), (c,a),
(d,a)}
4. Seja a relação de equivalência no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: = {(1,1),(1,5),(2,2),(2,3),(2,6), (3,2),(3,3),(3,6), (4,4),(5,1),
(5,5), (6,2),(6,3),(6,6)}Mostre as classes de equivalência de
CONTEÚDO
1. Introdução
2. Relações
3. Funções
3. FUNÇÕES– Sejam S e T conjuntos
• Uma função f de S em T, f:ST, é um subconjunto de S x T tal que cada elemento de S aparece uma única vez como primeiro componente de um par ordenado.
– S – domínio; T – contradomínio; t – imagem de s;s – imagem inversa de t;
s
Domínio S Contradomínio T
. f(s)=t
EXERCÍCIOSeja f: A B ?
– Domínio de f: – Contra-domínio de f:– Imagem de f:
Quais das relações abaixo são funções?a) f: S T, onde S = T = {1,2,3}; f = {(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}b) g: Z N, onde g é definida por g(x) = |x| (módulo de x)c) h : NN, onde h é definida por h(x) = x – 4d) f : RR, onde f é definida por f(x) = 4x – 1
Não
Sim
Não
Sim
A
B
{b : existe a tal que f(a) =b
3. FUNÇÕESEXEMPLOS DE FUNÇÕES
– Função piso: x ; Função teto: x– Função módulo: f(x) = x mod n
FUNÇÕES IGUAIS : Funções que têm o mesmo domínio, o mesmo contra-domínio e a mesma associação de valores de contra-domínio a valores de domínio.
• Ex: Prove que f=g, dados S= {1,2,3} e T= {1,4,9} e f={(1,1), (2,4),(3,9)} e
2
)24()( 1
n
k
kng
3. FUNÇÕESPROPRIEDADES DE FUNÇÕES• Injetora (“one-to-one”) se:
– f(a1) = b e f(a2) = b a1 = a2– Ex: f: R R, f(x)= x3
• Sobrejetora (“onto”) se:– A imagem de f é o contra-domínio de f.– Ex: f: R R, f(x)= x3
• Bijetora (correspondência um-para-um) se:– É injetiva e sobrejetiva.– Ex: f: R R, f(x)= x3
3. FUNÇÕES– FUNÇÃO COMPOSTA
• Sejam f : S T e g : T U. A função composta g o f é função de F em U definida por :
(g o f)(s) = g(f(s))
• Ex: Seja f: R R definida por f(x) = x2. Seja g: R R definida por g(x) = x
– Valor de (g o f)(2.3)? 5
3. FUNÇÕES– FUNÇÕES EM ANÁLISES DE ALGORITMOS
• Função teto e função piso 3,14 = 3 3,14 = 4
• Funções valor inteiro e valor absolut0: INT(3,14) = 3 ABS (-14) = 14
• Função resto 25 (mod 7) = 4• Funções exponenciais• Funções logarítmicas
3. FUNÇÕES– Exercício
• Diga quais são funções, e suas propriedades:a) f: Z N, onde f (x)= x2+1b) f:{1,2,3} {p,q,r}, onde f{(1,q),(2,r),(3,p)} (módulo de x)c) g : NN, onde g é definida por g(x) = 2x
• Defina f:NN por f(x) = x+1. Seja g:NN dada por g(x) = 3x. Calcule as seguintes expressões:
a)(g o f)(5)? b)(f o g)(5)?