MATEMÁTICA Professor Diego Viug

FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA

FUNÇÃO AFIM • Taxa de variação constante.

• Proporcionalidade. (usaremos semelhança)

y = ax + b

a coeficiente angular.

b coeficiente linear. a < 0 a > 0

FUNÇÃO QUADRÁTICA

y = ax2 + bx +c

IMPORTANTE:

a > 0 a < 0

Xv = −b2a

Valor que torna máximo (ou mínimo).

Yv = −∆4a

Valor máximo (ou mínimo).

VÉRTICE

QUESTÃO 1 Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente.

O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é:

a) b) c) e) d)

QUESTÃO 2 O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será

a) Menor que 1150.

b) 218 unidades maior que em 2004.

c) Maior que 1150 e menor que 1200.

d) 177 unidades maior que em 2010.

e) Maior que 1200.

Favela Tem Memória. Época. N.º 621, 12 abr. 2010 (adaptado).

SOLUÇÃO

Sendo y o número de favelas em 2016, temos y – 968 = 968 – 750.

Dessa igualdade, resulta y = 1186.

QUESTÃO 2 O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será

a) Menor que 1150.

b) 218 unidades maior que em 2004.

c) Maior que 1150 e menor que 1200.

d) 177 unidades maior que em 2010.

e) Maior que 1200.

Favela Tem Memória. Época. N.º 621, 12 abr. 2010 (adaptado).

QUESTÃO 3 O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é:

a) y = 4 300x

b) y = 884 905x

c) y = 872 005 + 4 300x

d) y = 876 305 + 4 300x

e) y = 880 605 + 4 300x

SOLUÇÃO Como o incremento de trabalhadores é constante, a função que descreve a quantidade de trabalhadores y no mês x é da forma y = ax + b, com a e b constantes.

Além disso, temos:

a = 4 300 (incremento mensal)

para x = 2 (fevereiro), temos y = 880 605.

Assim, 880 605 = 4 300 ⋅ 2 + b

b = 872 005

Logo, y = 872 005 + 4 300x

QUESTÃO 3 O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é:

a) y = 4 300x

b) y = 884 905x

c) y = 872 005 + 4 300x

d) y = 876 305 + 4 300x

e) y = 880 605 + 4 300x

QUESTÃO 4 Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.

Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu:

a) 16 m3 de água.

b) 17 m3 de água.

c) 18 m3 de água.

d) 19 m3 de água.

e) 20 m3 de água.

SOLUÇÃO

25 − 1920 − x

=25 − 1520 − 15

620 − x

=105

= 2

20 − x = 3

x = 17

QUESTÃO 4 Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.

Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu:

a) 16 m3 de água.

b) 17 m3 de água.

c) 18 m3 de água.

d) 19 m3 de água.

e) 20 m3 de água.

QUESTÃO 5 Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

a) V = 10.000 + 50x – x2.

b) V = 10.000 + 50x + x2.

c) V = 15.000 – 50x – x2.

d) V = 15.000 + 50x – x2.

e) V = 15.000 – 50x + x2.

SOLUÇÃO Do enunciado temos:

V = 1,5−x

100 ⋅ 10000 + 100x

V = 150 – x ⋅ 100 + x

V = 15000 + 50x – x²

QUESTÃO 5 Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

a) V = 10.000 + 50x – x2.

b) V = 10.000 + 50x + x2.

c) V = 15.000 – 50x – x2.

d) V = 15.000 + 50x – x2.

e) V = 15.000 – 50x + x2.

QUESTÃO 6 Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:

a) 11000.

b) 22000.

c) 33000.

d) 38000.

e) 44000.

SOLUÇÃO Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx . (44 000 – x)

R(x) = -kx² + 44 000 kx

Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv.

xv = −

b2a

= −44000k

−2k= 22 000

QUESTÃO 6 Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:

a) 11000.

b) 22000.

c) 33000.

d) 38000.

e) 44000.

QUESTÃO 7 Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função abaixo em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:

a) 100.

b) 108.

c) 128.

d) 130.

e) 150.

2

7t 20, para 0 t 100

5T(t)

2 16t t 320, para t 100

125 5

SOLUÇÃO Como a peça é colocada quando está a 48°C, o tempo decorrido desde que o forno foi ligado é dado por:

75

t + 20 = 48 ⇒ t = 20, ou seja, 20 minutos.

A peça deve ser retirada quando estiver a 200°C. Assim, o tempo (t) é dado por:

2125

t2 –

165

t + 320 = 200, t > 100

t² – 200t + 7500 = 0

Resolvendo essa equação, temos t = 150.

Desse modo, o tempo que a peça deve ficar no forno é dado por:

150 – 20 = 130, ou seja, 130 minutos.

QUESTÃO 7 Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função abaixo em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:

a) 100.

b) 108.

c) 128.

d) 130.

e) 150.

2

7t 20, para 0 t 100

5T(t)

2 16t t 320, para t 100

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