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Matemática Discreta

Prof. Nilson Costa

nilson.mtm@hotmail.com

2014

2Definições Importantes

Proposição:

É qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que

faça sentido.

Exemplos:

A: Todo número maior e que 2 é impar. (V)

B: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo

é 180.(V)

C: Todo número impar é primo. (F)

Teorema: É uma proposição verdadeira do tipo

“P=>Q” , onde P e Q são proposições.

3Definições Importantes

P é a Hipótese do teorema. (Conjectura, Suposição,

Presunção, Prognostico, etc.)

É um condição suficiente de Q

Q é a Tese do teorema.

Exemplos:

(1) D: n é um número primo maior do que 2.

E: n é um número ímpar.

(2) Se duas frações a/b e c/d são iguais então

ou

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑=𝑎 + 𝑐

𝑏 + 𝑑

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑⇒𝑎

𝑏=𝑐

𝑑=𝑎 + 𝑐

𝑏 + 𝑑

4Definições Importantes

Lema: É um teorema preparatório para a

demonstração de outro teorema.

Colorário: É um teorema que segue como

consequência natural de outro teorema.

Atenção:

Num teorema “P=>Q” (Vale Q se vale P) e (Vale P

somente se valer Q)

P(Hipótese) é uma condição suficiente de Q( Tese)

e

Q(Tese) é uma condição necessária de P(Hipótese)

5Definições Importantes

Recíproca de um teorema “P=>Q” : É proposição

Q=>P ou P<=Q que pode ser verdadeira ou não.

Ex: Todo número primo maior que 2 é ímpar.

Recíproca

Ex: Se ABC é um triângulo retângulo em B, então

AC 2=AB2+BC2

Recíproca

6Definições Importantes

Atenção: PQ(P se e somente se Q)(Proposições

equivalentes)

A condição necessária e suficiente para que a

proposição P seja verdadeira é que a proposição Q

também seja verdadeira.

Ex: Existe várias maneiras de de se juntar o teorema

anterior e sua recíproca.

1- A condição necessária e suficiente para que um

triângulo ABC seja retângulo em B é que

AC 2=AB2+BC2

7Definições Importantes

2- Dados três pontos distintos A,B e C, a condição

necessária e suficiente para que AC 2=AB2+BC2 é que

o triângulo ABC seja triângulo em B.

3- Seja ABC um triângulo. Então, ABC é um triângulo

em B AC 2=AB2+BC2.

4- Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente

se AC 2=AB2+BC2.

Exercícios Propostos

1-Escreva a recíproca para cada sentença:

a. O crescimento sadio das plantas é consequência da

quantidade suficiente de água.

Exercícios Propostos

Recíproca:

b. O crescimento da oferta de computadores é uma

condição necessária para o desenvolvimento

científico.

Recíproca:

c. Haverá novos erros apenas se o programa for

alterado.

Recíproca:

Exercícios Propostos

d. A economia de combustível implica um bom

isolamento, ou todas as janelas são janelas para

tempestades.

Recíproca:

e. Se a chuva continuar, o rio vai transbordar.

Rec:

Exercícios Propostos

f. Uma condição suficiente para a falha de uma rede é

que a chave geral pare de funcionar.

Rec:

g. Os abacates só estão maduros quando estão escuros

e macios.

Rec:

h. Uma boa dieta é uma condição necessária para um

gato saudável.

Rec:

11Definições Importantes

Princípios Lógicos

Principio da não contradição

Afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e

falsa ao mesmo tempo.

Em outras palavras denotando a negativa de uma

proposição por Ã, se A for verdadeira, então à é falsa

Principio do Terceiro Excluído

Afirma que qualquer proposição A ou é verdadeira ou

é falsa.

Em outras palavras , ou A é verdadeira, ou à é

verdadeira, não existindo uma terceira alternativa.

12Técnicas de Demonstração

Tipos de Raciocínios

Indutivo: Parte do particular para o geral

(Construindo uma conclusão baseada em

experiência).

Ex: Examinando sete ou oito inteiros divisíveis por 6,

e constado que estes inteiros também são divisíveis

por 3.

Podemos conjecturar: Se P, então Q (se um inteiro é

divisível por 6, então ele também é divisível por 3).

Ex: Sistemas baseados em agentes(abordagem de

aprendizado)

13Técnicas de Demonstração

Ex: O ferro conduz eletricidade

O ferro é metal

O ouro conduz eletricidade

O ouro é metal

O cobre conduz eletricidade

O cobre é metal

Logo os metais conduzem eletricidade.

14Técnicas de Demonstração

Dedutivo: Parte do geral para o particular (Você

tenta verificar se sua conjectura é verdadeira ou

falsa).

Usado na lógica predicativa para provar que uma wff

é um teorema, ou encontramos uma interpretação na

qual a wff é falsa.

ex: Sistemas especialistas(abordagem declarativa)

Duas abordagens

Demonstrar a conjectura

Negar a conjectura

15Técnicas de Demonstração

Demonstração por contra exemplo (Negar a

conjectura)

Exemplo 0: Examinando sete ou oito inteiros

divisíveis por 6, foi constado que estes inteiros

também são divisíveis por 3.

Para encontrar um contra exemplo basta

simplesmente encontrando um inteiro divisível por 6

mas não por 3.

Exemplo 1: Considere a sentença "Todo inteiro menor

que 10 é maior que 5" ou, expresso em uma

implicação "Se um inteiro é menor que 10, então ele é

maior que 5".

16Técnicas de Demonstração

Um contra exemplo para esta implicação é o inteiro

4.

PRÁTICA 1: Forneça contra exemplos para as

seguintes sentenças:

a. Todos os animais que vivem nos oceanos são peixes.

b. As entradas para um programa de computador são

sempre fornecidas através do teclado.

Exercícios Propostos

2- Encontre contra exemplos para cada uma das

seguintes afirmações:

a. Toda figura geométrica plana com quatro ângulos

retos é um quadrado.

Sol:

b. Se um número real não é positivo, então ele deve

ser negativo.

Sol:

c. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes ou são

altas.

Sol:

Exercícios Propostos

d. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes e são

altas.

Sol:

19Técnicas de Demonstração

Demonstração Direta: No caso geral, como podemos

demonstrar que P=>Q é verdadeira?

Assume-se a hipótese P como verdadeira e deduz-se a

tese Q.

Exemplo 2: "Se um inteiro é divisível por 6, então ele

também é divisível por 3." O teorema faz uma

afirmação sobre um inteiro arbitrário, sua forma é:

(∀ x) ( x divisível por 6→ x divisível por 3)

Hipótese: x é divisível por 6 (verdadeiro)

Conclusão: x é divisível por 3 (definição de

divisibilidade) (verdadeiro)

PRÁTICA 2: Demonstre de forma direta o Teorema

"Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes o

inteiro é divisível por 4".

Técnicas de Demonstração

Solução:

Técnicas de Demonstração

Exemplo 3: demonstre de forma direta de que o

produto de dois números pares é par.

Solução:

Técnicas de Demonstração

Demonstração por Contraposição

É uma variante da técnica de prova direta.

Se você pode demonstrar o teorema P’→Q’ ,pode

concluir que P→Q pelo uso da tautologia

(Q’→ P’ ) → (P→ Q).

(Q’→P’ ) é a contrapositividade de P→Q.

A técnica para demonstrar que P →Q construindo

uma prova direta de Q’→ P’ é chamada de

demonstração por contraposição.

Técnicas de Demonstração

Exemplo 4: Qual a contrapositiva do teorema “Se um

inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível

por 3"

Sol:

Técnicas de Demonstração

PRÁTICA 3- Escreva a contraposição para cada

sentença:

a. Se a chuva continuar, o rio vai transbordar.

Sol:

b. Uma condição suficiente para a falha de uma rede é

que a chave geral pare de funcionar.

Sol:

Técnicas de Demonstração

c. Os abacates só estão maduros quando estão escuros

e macios.

Sol:

d. Uma boa dieta é uma condição necessária para um

gato saudável.

Sol:

Técnicas de Demonstração

27Exercícios Propostos

1-Escreva a contrapositiva para cada sentença:

a. O crescimento sadio das plantas é consequência da

quantidade suficiente de água.

Contrapositiva:

b. O crescimento da oferta de computadores é uma

condição necessária para o desenvolvimento

científico.

Contrapositiva:

Exercícios Propostos

c. Haverá novos erros apenas se o programa for

alterado.

Contrapositiva:

d. A economia de combustível implica um bom

isolamento, ou todas as janelas são janelas para

tempestades.

Contrapositiva:

28

Exemplo 6 - A implicação "Se a > 5 então a >

2" é verdadeira, no entanto a sua recíproca "Se

a > 2 então a > 5" é falsa.

Atenção: Lembre-se de que qualquer teorema

do tipo "se e somente se" requer uma

demonstração em ambas as direções.

Técnicas de Demonstração 30

Exemplo 7- Demonstre que o produto xy é ímpar se, e

somente se, x e y são inteiros ímpares.

Solução:

Técnicas de Demonstração

Técnicas de Demonstração

Parte da demonstração do Exemplo 7 utiliza a técnica

conhecida como demonstração por exaustão( ou por

casos) que algumas vezes é muito útil.

Técnicas de Demonstração

Demonstração por contradição ou absurdo

Suponhamos que estamos tentando demonstrar que

P→Q.

Por construção da tabela-verdade, veremos que

(P ᴧ Q’→0) →(P→Q)é uma tautologia,

então para demonstrar que o teorema P →Q é

suficiente demonstrar que P ᴧ Q’→0

Técnicas de Demonstração

Exemplo 8- Use a prova por contradição para a

sentença "Se um número somado a ele próprio resulta

no próprio número, então o número é 0 (zero)".

Solução:

Técnicas de Demonstração

Exemplo 9- Mostra que 2 não é um número

racional. Lembrando que um número racional é um

número que pode ser escrito na forma p/q onde p e q

são inteiros, q≠ 0 e p e q não têm fatores comuns

(além de ±1).

Técnicas de Demonstração

Sol:

Técnicas de Demonstração

Pratica 5- Prove por contradição que o produto de

dois inteiros pares é par.

Sol:

Técnicas de Demonstração

Técnicas de Demonstração

Técnica de Demonstração Abordagem para provar

P→Q

Observações

Demonstração por Exaustão Demonstre P→Q para todos

os casos possíveis

Pode ser usada apenas para

provar um número finito de

casos

Demonstração Direta Suponha P, deduza Q Abordagem padrão—o que

se deve tentar, em geral.

Demonstração por

Contraposição

Suponha Q’, deduza P’ Use essa técnica se Q’

parece dar mais munição do

que P.

Demonstração por absurdo Suponha PᴧQ’, deduza uma

contradição.

Use essa técnica quando Q

disser que alguma coisa não

é verdade

39Exercícios Propostos

As definições a seguir podem ser úteis na resolução de

alguns dos exercícios.

• Um quadrado perfeito é um inteiro n tal que n = k2

para algum inteiro k.

• Um número primo é um inteiro n > 1 tal que n não

é divisível por nenhum inteiro além de 1 e n.

• Para dois números x e y, x < y significa y - x > 0.

5- Prove que se n = 25, 100 ou 169 então n é um

quadrado perfeito e é a soma de dois quadrados

perfeitos.

40Exercícios Propostos

Solução:

6- Prove que se n é um inteiro par, 4 ≤ n ≤ 12, então n

é a soma de dois números primos.

Solução:

41Exercícios Propostos

4. Dê contra exemplos para as proposições a seguir:

a. O número n é um inteiro se, e somente se, 3n+5 é

um inteiro par.

Solução:

42Exercícios Propostos

18. Prove que o número n é um número impar se, e

somente se, 3n+5=6k+8 para algum inteiro k.

Solução:

43Exercícios Propostos

b. O número n é um inteiro par se, e somente se, 3n+2

é inteiro par.

Solução:

44Exercícios Propostos

19. Prove que o número n é um número par se, e

somente se, 3n+2=6k+2 para algum inteiro k.

Solução:

45Exercícios Propostos

07. Prove que para qualquer inteiro positivo n ≤ 3,

n! < 2n.

Solução:

08. Prove que para 2≤ n ≤4, 2n ≤ n2.

Solução:

Exercícios Propostos

9. Forneça uma demonstração direta de que a soma

de inteiros pares é par.

Sol:

10. Forneça uma demonstração por absurdo de que a

soma de inteiros pares é par. Sol:

47

47Exercícios Propostos

11. Prove que a soma de dois inteiros ímpares é par.

Solução:

48Exercícios Propostos

12. Prove que a soma de um inteiro par e um inteiro

ímpar é ímpar.

Solução:

15. Prove que o quadrado de um número par é

divisível por 4.

Solução:

49Exercícios Propostos

20. Sejam x e y números positivos, prove que x < y se,

e somente se, x2 < y2.

Solução :

50Exercícios Propostos

23. Prove que se dois inteiros são ambos divisíveis por

um inteiro n, então a sua soma é divisível por n.

Solução:

51Exercícios Propostos

28- Prove que o quadrado de um inteiro ímpar pode

ser escrito como 8k + 1 para algum inteiro k.

Solução:

29- Prove que o produto dos quadrados de dois

inteiros é um quadrado perfeito.

Solução:

52Limites

AGORA É A SUA

VEZ BONS

ESTUDOS

53Referências BibliográficasBÁSICA

1. GERSTING, J. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação.

Rio de Janeiro: LTC, 1995.

2. LOPES, L. Manual de Indução Matemática. Rio de Janeiro: Interciência,

1999.

3. MOLLUZZO, J. C. A First Course in Discrete Mathematics. Springer-

Verlag Ny, 2000.

COMPLEMENTAR

1. SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: Uma introdução.

2ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

2. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo:

Nobel, 1975.

3. YAGLON, I. M. Álgebra Booleana. São Paulo: Atual, 1998.

DE APOIO RECOMENDADA

1. Utilizar os slides enviados se possível na forma impressa em sala de

aula