Prof. Josenildo dos Santos

MÉTODOS QUANTITATIVOS

APLICADOS ÀS CIÊNCIAS

CONTÁBEIS

CONTABILIDADE ESTRATÉGICA

2º MÓDULO

Prof. Josenildo dos Santos

POPULAÇÃO:

Conjunto de todos os indivíduos que

possuem uma característica de interesse.

AMOSTRA:

Subconjunto de uma População extraído ao

acaso.

Prof. Josenildo dos Santos

ATENÇÃO:

Quem estabelece uma População

é a característica de interesse.

Prof. Josenildo dos Santos

VARIÁVEL:

É a característica de interesse de uma População podendo ser Qualitativa ou

Quantitativa.

Prof. Josenildo dos Santos

VARIÁVEL QUALITATIVA Quando seu atributo é classificável.

Exemplo: Sexo: Masculino ou Feminino, Nacionalidade, etc.

Prof. Josenildo dos Santos

VARIÁVEL QUANTITATIVA

Quando é mensurável, isto é, uma variável é Quantitativa, quando a característica de interesse for expressa em forma numérica, quer por contagem ou não.

Prof. Josenildo dos Santos

Qualitativa

Escala Nominal

Escala Ordinal

Categórica

QuantitativaNuméric

a

Escala de Intervalo

Escala de Proporcionalidade

Discreta Contínua

QUADRO GERAL DAS VARIÁVEIS

Tipo de

Variável

Prof. Josenildo dos Santos

VARIÁVEL CATEGORIZADA

A variável aleatória categorizada produz resposta categorizada.

Prof. Josenildo dos Santos

EXEMPLOS PRÁTICOS DE VARIÁVEIS

Variáveis Categorizadas

Na sua família existem diabéticos?

SIM

NÃO

Você possui catarata?

A resposta da pergunta acima é categorizada

Os humanos subdividem quanto ao sexo em:

MASCULINO FEMININO

Prof. Josenildo dos Santos

Em resumo,

VARIÁVEL QUALITATIVA (categorizada)

quando o atributo é classificável. Exemplo: Sexo, Nacionalidade ...

VARIÁVEL QUANTITATIVA produz resposta numérica

Prof. Josenildo dos Santos

VARIÁVEIS NUMÉRICAS

DISCRETA Quantos pacientes o HC atende por dia ? ... Número

Qual a altura de cada paciente do HC ? ... metrosCONTÍNUA

Prof. Josenildo dos Santos

EXERCÍCIO:

A variável numérica: Quantidade de pequenas empresas da Região Metropolitana do Recife é discreta ou contínua? Porquê?

Prof. Josenildo dos Santos

QUADRO GERAL DO TRABALHO CIENTÍFICO

FONTE DE DADOS

Utilizar dados já publicados

Projetar uma Experiência

Considerações éticas

Realizar uma Pesquisa

ProbabilísticaNão

Probabilística

Tipo de amostra

Prof. Josenildo dos Santos

Para avaliar uma série de observações (uma amostra de dados) existem, com basena estatística descritiva, duas medidas detendência central:as de posição e as dedispersão.

Medidas de Tendência Central

Prof. Josenildo dos Santos

1. Medidas de Posição

São os valores pontuais ou centrais em torno dos quais se acumulam os dados observados.

Exemplos: mediana, moda e média aritmética percentis e quartis

Prof. Josenildo dos Santos

2. Medidas de dispersãoEm grau numérico, evidenciam o quanto os

dados se distanciam de um valor médio.

Prof. Josenildo dos Santos

Medidas de posição

1.Mediana

Mediana – é uma medida de tendência central, denotada por Md , e igual ao valor da série ordenada que está numa posição eqüidistante dos extremos dos elementos da série.

Prof. Josenildo dos Santos

Assim, podemos concluir:Numa série de n observações ordenadas de forma crescente, a mediana é o valor daobservação, em duas metades iguais, numadelas com valores inferiores ao valor damediana e a outra com valores superiores. Portanto, para calcular a mediana podemos seguir as etapas:

Prof. Josenildo dos Santos

Se a série de dados tiver um numero ímpar de observações, então o valor da mediana é opróprio elemento que está no meio da série, oelemento de ordem igual a (n+1)/2.

a1 a2 a3 a4 a5

Mediana ordem= (5+1)/2=3

1. Situação Ímpar

Prof. Josenildo dos Santos

Se a série de dados tiver um numero par de observações não existirá um valor no centroda série, portanto, para calcular o valor da mediana devemos dividir por dois a soma dosvalores das observações com ordem n/2 e n/2 +1.

Md

a1 a2 a3 a4

2. Situação Par

Prof. Josenildo dos Santos

Alem disso, podemos observar as principais vantagens e desvantagens da mediana

Vantagens: 1. Fácil de determinar;2. Não é afetada pelos valores extremos;3. Parece ser uma medida correta, pois

divide a série em duas partes iguais a 50%.

Desvantagens:1. Difícil de incluir em equações

matemáticas;2. Não usa todos os dados disponíveis

Prof. Josenildo dos Santos

-          ordenar a série de dados acima em ordem crescente e obtenha o máxima e mínimo.-          Obter média, moda e media aritmética

 2. Moda

Moda – é uma medida de tendência central, é igual ao valor da série que mais se repete, isto é, que tem maior freqüência. Podemos, assim, concluir que:  

1.a moda é também uma medida resistente, pois está relacionada apenas com a freqüência de um ou mais elementos da série de observações. Por exemplo, a mudança de valor de um elemento da série pode não afetar o valor da moda.2.comparando à mediana, a moda não tem que representar mais da metade das observações, apenas representa a observação, ou classe, que tem maior freqüência.

Prof. Josenildo dos Santos

Além disso, podemos resumir as principais vantagens e desvantagens da moda: Vantagens:

1.Fácil de calcular;2.não é afetada pelos valores extremos.

 Desvantagens:

1.pode estar afastada do centro das observações;2.difícil de incluir em equações matemáticas;3.a distribuição pode ter mais de uma moda;4.não usa todos os dados disponíveis.

Prof. Josenildo dos Santos

3. Média Aritmética Seja X a seqüência de observações, representa uma populacao ou uma amostra.

X = (x1, x2,..., xn) onde x1 é o primeiro dado da série, xn é o último dado da seqüência e xi é um elemento qualquer da mesma seqüência.Define-se a) média da população x é o resultado de divisão da soma de todos os elementos da seqüência pelo número de elementos   x = (x1+x2...+ xn) /n b) média da amostra, suponhamos que nessa amostra temos m<n, assim _ X = (x1+x2...+ xm) /m

Exemplos: calcular a média do exemplo da hemoglobina.

 

Prof. Josenildo dos Santos

10,2 12,0 13,7 12,9 10,4 11,1 14,9

13,3 13,4 12,9 12,1 12,1 10,9 9,4

10,6 11,9 10,5 11,4 13,7 12,5 11,8

12,1 11,2 12,9 15,1 11,4 10,7 12,7

9,3 14,6 13,5 11,1 14,6 13,5 10,9

8,8 11,5 10,2 12,0 11,6 11,0 12,5

11,3 13,5 14,7 10,8 10,8 11,7 13,3

13,0 14,1 11,6 10,3 13,1 13,6 9,7

12,9 10,6 13,4 11,4 12,3 11,9 11,0

10,9 11,7 13,1 10,9 11,8 10,4 12,2

Exemplos: amostra de hemoglobina obtida de 70 mulheres

  ordenar a série de dados acima em ordem crescente e obtenha o máxima e mínimo.-          Obter média, moda e media aritmética

Prof. Josenildo dos Santos

Assim, temos as seguintes conclusões: 

1.a medida de posição mais usada é a média aritmética de uma seqüência de observações2.o valor da média pode ser interpretado de forma geométrica, isto é, pode-se ver que o valor da média aritmética está posicionado entre os dados de forma equilibrada, isto é, todos os dados se distribuem ao redor da média.3.a soma dos desvios das observações de uma seqüência é sempre igual a zero.4.a soma dos quadrados dos desvios das observações de uma seqüência é sempre um valor mínimo.

  

Prof. Josenildo dos Santos

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Prof. Josenildo dos Santos

Lembre-se:

Os métodos que podem medir os fenômenos devido ao acaso são:

Probabilístico » Pelo método probabilístico apriori, podemos ter uma estimativa dos casos favoráveis à realização do fenômeno.

Estatístico » Pelo método estatístico ou a posteriori, sabemos com que freqüência, em relação a massa geral, acontecem os casos favoráveis ao aparecimento do fenômeno. do fenômeno.

Prof. Josenildo dos Santos

Assim definimos:

A probabilidade matemática apriori como sendo a relação entre os casos favoráveis de realização de um acontecimento sobre os casos igualmente possíveis.

Prof. Josenildo dos Santos

p = Número de casos favoráveis

Número de casos possíveis

p = Número de casos favoráveis

Nº de casos favoráveis + Nº de casos contrários

Prof. Josenildo dos Santos

Por outro lado, a probabilidade contrária é representada por q e definida por

q = Número de casos contrários Número de casos possíveis

Prof. Josenildo dos Santos

Conseqüentemente,

p+q = Nº de casos favoráveis + Nº de caos contrários Número de casos possíveis

p+q = 1

q = 1-p

Prof. Josenildo dos Santos

EXEMPLO 2 : Seja uma população formada por cinco bolas numeradas com os números 2, 4, 6, 8 e 10 que estão dentro de uma urna da qual retiramos amostras. Pode-se calcular o valor esperado das medidas amostrais X referentes as amostras de tamanho n=2 retiradas da população.Solução: ...Conclusão:

A população tem média µx = 6

O valor esperado das médias amostrais E [ X ] = 6

Em outras palavras o valor esperado das médias amostrais é o próprio valor da média da população.

Prof. Josenildo dos Santos

HISTOGRAMA DAS MÉDIAS AMOSTRAIS DE TAMANHO N = 2

3 4 5 6 7 8 9

Pro

babi

lidad

e

10%

20%

X

P

Prof. Josenildo dos Santos

Na prática temos:

A distribuição em questão pode ser aproximadamente normal.

Qualquer amostra real pode se desviar das características teóricas esperadas.

Prof. Josenildo dos Santos

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Prob.: X ~ N ( µ1 σ2)X tem distribuição normal ( N ) com média µ e variância σ2 .

Características da Distribuição Normal Em termos de forma, ela é simétrica e tem

o formato de um sino

Prof. Josenildo dos Santos

Suas medidas de tendência central (média aritmética, mediana, moda, média de intervalo e média das juntas) são todas idênticas (Exercício: Usar o livro texto e o SPSS).

Sua dispersão média é igual a 1,33 desvio padrão. Isto significa que o intervalo interquantil está contido dentro de um intervalo de dois terços de desvio padrão, abaixo da média aritmética e dois terços de um desvio padrão acima da média (exerc.)

Sua variável aleatória associada possui uma intervalo infinito ( - oo < X < oo )

Prof. Josenildo dos Santos

Na verdade, um fenômeno que possa ser aproximado por um modelo de distribuição normal, pode ter as seguintes características:

C1 - Seu polígono pode apenas aproximadamente ter formato de um sino e ter aparência simétrica.

Prof. Josenildo dos Santos

C2 - Suas medidas de tendência central pode divergir ligeiramente uma da outra.C3 - O valor de seu intervalo interquantil pode definir ligeiramente de 1,33 desvio padrão.

C4 - Se o intervalo prático não será infinito, não geralmente estará entre 3 (três) desvios padrões acima e abaixo da média aritmética ( isto é intervalo de amplitude ~ 6 desvios padrões)

Prof. Josenildo dos Santos

MODELANDO:

Modelo Funcional da Distribuição Normal.

Prof. Josenildo dos Santos

O modelo matemático da função de densidade da probabilidade para a distribuição normal é dado por:

f(x) = 1 σ 2π

ҽ-½ ( X-µ σ )

2

Onde:µ = (média da população) =

σ = (variância da população) =

σ = (desvio padrão) =

2

M N

i=1 Xi N

M N

i=1

N

( Xi - µ ) 2 M

N

i=1

N

( Xi - µ ) 2

Prof. Josenildo dos Santos

TABELA DE FREQÜÊNCIA DE CLASSESDefine-se como sendo o arranjo da massa de

dados em uma tabela de freqüência, na qual os dados são agrupados em classes de intervalo de comprimento constante. Para estabelecer o intervalo de comprimento das classes que irão representar os dados, pode-se utilizar a seguinte expressão:

m = 0,9 n

Onde: m - número de classes N - número de observações

Prof. Josenildo dos Santos

Segundo Sturges() existe, também a proposta m = 1 + log2 n , com o objetivo de estabelecer o número de classes. No entanto, faz-se necessário ressaltar que estas formulações (ver fig.II) não são rígidas, ou seja tenham que ser aplicadas. O critério para se estabelecer o comprimento das classes depende, em muito, do conhecimento do pesquisador sobre o assunto.

Prof. Josenildo dos Santos

0 50 100 150 200 250 300

m = 0,9 n

m

n

w

16 --14 --12 --10 -- 8 -- 6 -- 4 -- 2 --

Tamanho da amostra (n)

Núm

ero

de c

lass

es (m

)

-- -- -- -- -- --

Prof. Josenildo dos Santos

ASSIMETRIA E CURTOSE

Ao se representar uma série de observações (ou uma massa de dados) através dos pontos médios das classes, em função da freqüência, percebe-se que o gráfico pode ser simétrico, ou seja, possui a mesma forma à esquerda e à direita da moda ( fig. III), ou pode ser assimétrica (fig.IV).

Prof. Josenildo dos Santos

Moda = média = medianafre

qüên

cia

classes

3Md - MoMa=2

Fig. III

Fig III - distribuição de freqüência

Prof. Josenildo dos Santos

freqü

ência

classes

Fig. IV

moda

mediana média

modamediana média

Prof. Josenildo dos Santos

CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA

Para determinar o coeficiente de assimetria CA utiliza-se a seguinte relação:

Então:

Se CA3 = 0 - a massa de dados tem representação simétrica

Se CA3 < 0 - indica uma assimetria negativa

Se CA3 > 0 - indica uma assimetria positiva

(Xi - X)3

n S3

w

i=1

n

CA3 =

(Xi - X)2

n -1

w

i=1

n

S =

, onde

O desvio padrão da amostra

Prof. Josenildo dos Santos

CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CURTOSE

Denomina-se de curtose, o grau de achatamento da curva em torno do eixo máximo (moda). Esta característica é exclusiva para a distribuição simétrica. O coeficiente de curtose CC4 é calculado pela seguinte relação:

Então : Se CC4 = 3 temos uma mesocurtose Se CC4 > 3 temos uma leptocurtose Se CC4 < 4 temos uma platicurtose

(Xi - X)4

n S4

w

i=1

n

CC4 =

(Xi - X)2

n -1i=1

n

S =

, onde

O desvio padrão da amostra

w

Prof. Josenildo dos Santos

De fato, existem vários níveis de achatamento da curtose, no entanto iremos considerar neste trabalho apenas os três citados acima.

freqü

ência

classes

leptocurtose

mesocurtose

platicurtose

Prof. Josenildo dos Santos

TABELA DE FREQÜÊNCIA

A apresentação de uma série de observações (dados) em uma tabela de freqüência, é o arranjo que se dá ao organizá-los em colunas. Na primeira coluna, normalmente, colocam-se os dados em ordem crescente e sem repetí-los. Nas outras colunas, adicionam-se a freqüência observada (fo) e ou relativa

com a probabilidade observada (po).

Prof. Josenildo dos Santos

A freqüência observada (fo) é o número de vezes que cada elemento se repete, enquanto que a freqüência relativa (fr) - ou probabilidade observada- é a relação

percentual da "fo" pelo total de dados (no caso da probabilidade observada é razão entre a freqüência observada e o número total de dados). Por vezes faz-se necessário apresentar a probabilidade esperada (pe), a

diferença po - pe, Z-Teste ou X2-Teste ou outros testes.