Métodos Quantitativos Aplicados a...

Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Paulo Afonso BracarenseUbiratan Vieira Guimarães

IESDE Brasil S.A.Curitiba

2012

Edição revisada

Métodos quantitativos aplicados a negócios.indb 1 28/1/2013 09:20:26

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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ ________________________________________________________________________________B788m Bracarense, Paulo Afonso, 1957- Métodos quantitativos aplicados à negócios / Paulo Afonso Bracarense, Ubiratan Vieira Guimarães. - 1.ed., rev. - Curitiba, PR : IESDE Brasil, 2012. 320p. : 28 cm Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-3091-0 1. Negócios 2. Investimentos 3. Investimentos - Análises. I. Guimarães, Ubiratan Vieira. I. Título.

12-6746. CDD: 332.6 CDU: 336.76

17.09.12 02.10.12 039220 ________________________________________________________________________________


Paulo Afonso BracarenseDoutor em Engenharia de Produção com con-centração em Inteligência Arti�cial pela Univer-sidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Estatística e Experimentação Agrícola pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP). Bacharel em Estatística pela Uni-versidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR. Diretor Superintendente da Fundação da Universidade Federal do Paraná (Funpar).

Ubiratan Vieira GuimarãesMestre em Administração com concentração em Sistemas de Informação para Tomada de Deci-são pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Especialista em Estatística Aplicada e Qualidade e Produtividade pelo Instituto Bra-sileiro de Qualidade Nuclear (IBQN). Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Foi diretor executivo do Ibmec Educacio-nal em Curitiba e Coordenador Acadêmico dos Programas Executivos – MBA e CBA do Ibmec MG. Atuou na consultoria de grandes empresas e insti-tuições, tais como: Electrolux S/A, Grupo Positivo, Renault, Volvo, Spaipa, Banco Mundial, BID, V&M, entre outras.


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Teoria da decisão 213

213 | Problema


216 | Critérios de escolha utilizando distribuição a priori

221 | Representação através de diagrama de decisão

223 | Estabelecimento de distribuições de probabilidades

229 | Tomada de decisões baseada na utilidade esperada

230 | Tomada de decisão com probabilidades a posteriori

Análise de séries temporais 249

249 | Problema


254 | Método dos mínimos quadrados ordinários

260 | Modelo de médias móveis

273 | Outros métodos de previsão

Anexos 289

Referências 319


Apresentação Métodos Q

uantitativos A

plicados a Negócios

Este livro foi escrito com o objetivo de fornecer elementos teóricos e técnicos para pro�ssionais que necessitam tomar decisões tendo como material essencial conjuntos de dados que pre-cisam ser analisados.Um conjunto de dados, por si só, não passa de um conjunto de dados. É necessário dominar uma série de técnicas para que esses dados possam gerar alguma informação. O patamar superior da análise de dados é a aquisição do conheci-mento. E ela só estará disponível se ao domínio teórico do campo de atuação, à experiência pro-�ssional e de vida e à intuição do tomador de decisões forem trabalhadas as técnicas quanti-tativas necessárias para agregar a esses atribu-tos informações provenientes de dados correta-mente adquiridos.O livro foi organizado de forma a cobrir toda a base que compõe o campo de conhecimento da Estatística. Começando por técnicas de estatísti-ca descritiva e de análise exploratória de dados, passando pela medição da incerteza através da teoria de probabilidades e pela compreensão das possibilidades indutivas da teoria clássica da Estatística no trato com amostras.Três técnicas úteis e bastante utilizadas na área de negócios foram apresentadas em detalhes balanceando-se a complexidade com a explora-ção da intuição. O trato conceitual foi priorizado em relação ao trabalho matemático extensivo. Optamos por trabalhar com toda a conceituação básica até o quinto capítulo, buscando ajudar o leitor a desenvolver sua sensibilidade com re-lação aos conceitos abordados. Tratamos cada técnica com exemplos especí�cos e ilustrativos na área de Negócios.


A ciência busca compreender os fenômenos reais através de modelos, muitas vezes de modelos matemáticos muito próprios para estudos realizados em ambiente de incer-teza. A teoria de probabilidades e a teoria estatística clássica são ferramentas muito úteis para ajudar o tomador de decisões em sua opção por diferentes ações diante de cenários postos. Esperamos que o conteúdo do livro, acom-panhado das aulas, possa ser de grande valia para os leitores. Estamos certos, no entanto, que navegar por essas águas fará com que cada um se sinta mais confortável em viver e trabalhar em um mundo cercado de incer-tezas e que vale mais a pena compreender o mundo dessa forma do que viver seguro, acorrentado e míope na ilusão das coisas certas e absolutas.

Métodos Q

uantitativos A

plicados a Negócios


Introdução – conceitos e aplicações

Por que escrever mais um livro de Estatística? De fato a literatura já forne-ce incontáveis livros desse ramo da matemática. Alguns mais teóricos, outros mais práticos. Há tentativas inclusive de se escrever livros de estatística sem matemática. Há outros que se utilizam fartamente de um referencial comple-xo na matemática para a discussão dos conceitos e das técnicas estatísticas. A grande preocupação dos autores foi oferecer à comunidade estatística e principalmente à não estatística elementos que as auxiliassem na tarefa da tomada de decisões.

Público-alvoOs livros de estatística são bem diferentes, pois tratam a mesma questão

com abordagens diversas. O que leva um autor a escolher o tipo de abordagem, a profundidade das discussões e o quanto de ferramental matemático utilizará depende fundamentalmente de seu público-alvo. Esta é a chave da questão.

Muito bem, dessa forma devemos então localizar nosso livro em razão do nosso público-alvo. Este livro foi escrito para pro�ssionais das mais diferen-tes áreas do mundo dos negócios: economistas, contadores, engenheiros de produção, administradores ou qualquer outro pro�ssional chamado a tomar decisões e que esteja no nível de gerência ou pretenda alcançá-lo. E mais, es-peramos que o nosso público esteja realmente disposto a utilizar as técnicas oferecidas no livro em seu dia a dia.

O livro foi composto para um curso esbelto, no sentido de que pretende fornecer os elementos mínimos necessários para a utilização de seu conteúdo em poucas horas. Por isso, a seleção dos assuntos oferecidos, que são somen-te uma amostra do vastíssimo campo da Estatística, foi feita rigorosamente, com as técnicas mais utilizadas na ação gerencial. Mas há de �car muito claro que não se trata de um manual de aplicações simpli�cado e essencialmente prático. O grande destaque é o rigor conceitual na aplicação das técnicas que foram apresentadas sempre através de aplicações em problemas corriquei-ros da administração.

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Esse último destaque norteou toda a redação do livro e é fundamental para que o tomador de decisões consiga empregar as técnicas expostas no seu trabalho com a segurança necessária para que os resultados obtidos possam efetivar mudanças de conduta ou aprofundamento de condutas já empregadas. Para que a compreensão conceitual seja de fato um facilitador da compreensão das técnicas, ousamos acreditar que seja possível aproxi-mar do sentimento do leitor o conteúdo técnico da intuição. Por isso, além das técnicas, “abusamos” das analogias e não economizamos nas explicações.

Evitamos o uso extensivo da matemática. Ou, de outra forma, utilizamos a mínima matemática necessária para a apresentação dos conceitos e para a solução dos problemas. Sempre que possível mantivemos o nível de exi-gência matemática em patamares mais rudimentares possível. Lembrando, no entanto, que o livro é dirigido para pro�ssionais que buscam um nível de especialização superior ao dos cursos de terceiro grau e, portanto, certas resistências ao uso da matemática precisarão ser ultrapassadas. Mas preten-demos tornar essa tarefa quase indolor.

Linguagem matemáticaToda ciência tem sua linguagem própria, assim, a Estatística tem a sua e a

Matemática também. Navegaremos por esses mares nem sempre sem turbu-lências. Duas questões devem ser colocadas a respeito dessas linguagens.

A primeira é o reconhecimento de que o emaranhado de notações, no-tadamente na Estatística, muitas vezes conduzem a confusões. Procuramos amenizar um pouco essa di�culdade apresentando uma notação única para todas as técnicas, expondo o signi�cado de cada uma delas e mantendo-as sempre mais próximas do que é o mais usual, de forma que estudos comple-mentares nas bibliogra�as sugeridas não se tornem mais um entrave para o aprofundamento do conhecimento dos assuntos tratados.

A segunda questão de linguagem, e isso agora diz mais respeito à mate-mática, é que procuramos evitar a retirada de conclusões através de concei-tos puramente matemáticos. O caminho de usar a própria matemática para induzir ou deduzir conclusões é sim muito fértil para quem tem o domínio dessa linguagem. O que você enxerga quando olha a expressão a2 = b2 + c2? Se isso quer dizer mais ou menos a mesma coisa do que esta sequência de símbolos Д Й Ж, você não deve se preocupar muito. Essas letras não são do alfabeto grego nem são runas, são letras do alfabeto cirílico. Um mate-



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mático ou uma pessoa habituada com a linguagem matemática enxergará prontamente na expressão a2 = b2 + c2 um triângulo retângulo. Mas esse nível de exigência não será cobrado neste livro.

Naturalmente, esse conhecimento pode facilitar em certos momentos a leitura do texto que estamos apresentando, mas o que o diferenciará da maioria dos textos estatísticos possivelmente já encontrados pelo leitor é que neste livro não será necessário o domínio dessa linguagem. O que seria bastante, não se pode deixar de dizer, mais confortável para quem escreve. Mas esse desa�o foi extremamente estimulante na redação do texto.

Modelagem matemática dos fenômenos reaisOs fenômenos que estudaremos estão no contexto do mundo da admi-

nistração e dos negócios. Não só eles, mas praticamente todos os fenômenos naturais ou não naturais estão eivados de incerteza. Segundo o estatístico alemão Schumacher, quando Deus fez o mundo e desejou colocar nele um ser inteligente ele pensou em duas situações. A primeira, de fazer o mundo completamente determinístico. Depois de muito re�etir, concluiu que neste mundo não haveria espaço para o homem porque tudo já estaria pré-deter-minado e a inteligência não seria de nenhuma utilidade. Pensou então em um mundo completamente aleatório. Veri�cou também que não havia porque colocar o homem inteligente neste mundo em que nada pode ser determina-do, em que tudo ocorre devido ao acaso. Concluiu então por um mundo que tivesse os dois componentes: um determinístico e outro aleatório. O papel da Estatística é o de ajudar a compreender este mundo, particularmente no comportamento aleatório dos fenômenos.

A ciência tem procurado compreender os fenômenos da natureza através de modelos que possam ajudar o pesquisador a construir uma certa raciona-lidade para a sua compreensão e muitas vezes para a sua intervenção nos fenômenos em foco. Boa parte deles é construída sob pilares matemáticos, notadamente quando se utilizam de técnicas estatísticas. Todo modelo cons-truído dessa forma implica fazer algumas restrições ao comportamento do fenômeno. O que se faz então são simpli�cações para que se possa domar a complexidade do mundo real. Isso tem que �car absolutamente claro. Quanto mais complexo for o fenômeno em estudo, mais complexo será o instrumen-tal racional para compreendê-lo.


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Esse limite tem que ser compreendido para não correr o risco de pensar que o modelo possa substituir a realidade. E mais, a grande maioria dos com-pêndios estatísticos alerta para o fato de que ela, a Ciência Estatística, é um servidor leal quando usada com prudência e sem arrogância. Ela compõe o espectro das peças de evidência na solução de problemas que devem auxi-liar o tomador de decisões aliada ao conhecimento teórico da matéria em estudo, da experiência extraestatística e mesmo da intuição de quem deseja administrar bem ou praticar a boa ciência. Como peça de evidência, ela serve mais para dar suporte do que fazer descobertas. Na fábula descrita pelo es-critor escocês Andrew Lang, ele recomenda usar a Estatística como o bêbado usa o poste, mais para apoio do que para iluminação.

A forma básica dos modelos construídos para os fenômenos que compor-tam incerteza e são tratados através de modelagem matemática é: Y = f(x) + ε. Nesse modelo, f(x) é a componente determinística e ε, a componente aleatória. A tarefa do tomador de decisões é veri�car, com base em alguma teoria que envolva o assunto pesquisado, quais podem ser as alternativas para f(x) que expliquem variações de Y, e fazer suposições sobre o comportamento de ε que o auxiliem no entendimento das variações devidas ao acaso.

Os papéis da teoria de probabilidades e da análise de dados amostrais

A componente aleatória, ε, é chamada de erro estatístico ou resíduo. Nela estão todas as variáveis menos importantes que podem explicar as variações de Y e também aquela parte genuinamente devida a oscilações ocorridas ao mero acaso.

Quando se fala de incerteza, de acaso, fala-se tradicionalmente de proba-bilidade. Mais recentemente, outras formas de se medir incerteza têm sido propostas, como a lógica “fuzzy”, por exemplo, que ultrapassa os limites da lógica clássica por admitir outros resultados, que não somente o dicotômi-co sim ou não, base aristotélica de toda a lógica clássica a partir da qual foi construída a teoria de probabilidades. Mas para efeito do estudo das técni-cas apresentadas neste livro, construiremos toda a metodologia baseando- -nos na probabilidade como medida de incerteza.

Dessa forma, a probabilidade pode ser de�nida como uma medida racional de crença. Ela é de�nida como um número entre 0 e 1 e busca medir o grau



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de incerteza associada a um fenômeno que no geral pode ser compreendi-do como alguma espécie de jogo em que fazemos apostas. As decisões são então tomadas com base em quanto estamos dispostos a pagar no caso de perdermos a aposta realizada. Naturalmente, se as consequências de nossa decisão errada forem muito graves, optaremos por apostar menos ou so-mente apostar com um certo grau mínimo de incerteza.

As técnicas estatísticas utilizam-se fartamente de levantamento de dados para a compreensão do fenômeno em estudo. Esses dados podem ser relati-vos a toda uma população ou a uma parte dela chamada de amostra. Deseja-mos, obviamente, que a amostra represente a população como um todo. Fa-remos observações na amostra e a partir delas desejaremos fazer inferências para a população. Veremos fartamente como isso pode ser feito, com rigor cientí�co, de forma a nos assegurarmos de que podemos compreender um comportamento da população a partir do comportamento da amostra.

Organização dos capítulos do livroConvém, no entanto, antes de buscarmos fazer ilações sobre a popula-

ção com base na amostra, explorar ao máximo as informações que os dados podem fornecer. Esta tarefa pode ser facilitada com o emprego de técnicas de estatística descritiva e de análise exploratória de dados. Esses assuntos serão tratados no capítulo 2 deste livro. Estudaremos as melhores formas de tabular dados, de apresentá-los em grá�cos adequados e de construir medi-das que sintetizem as informações necessárias para compreensão do fenô-meno. Construir essas medidas tem por objetivo veri�car o comportamen-to dos dados, que valores podem representar o comportamento geral dos dados e como eles estão distribuídos em torno de valores centrais e assim por diante.

Quando falamos em amostragem, estamos de antemão reconhecendo que um grau de incerteza está associado às medidas realizadas na amos-tra como candidatas a facilitadoras da compreensão do comportamento da população. Essa incerteza, como já especi�cado, será tratada tendo como base a teoria de probabilidades, que será o tema do capítulo 3. Este capítulo é, entre todos, o que necessitará de maior trabalho matemático. Entretanto, essa talvez não seja a maior di�culdade do conteúdo do capítulo, mas sim a compreensão dos limites dos cálculos que faremos.


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No lance de uma moeda honesta, a probabilidade de sair cara em um lance pode ser ½ ou um outro valor qualquer dependendo do que estamos medindo. Se atirarmos a moeda cinco vezes, a probabilidade de sair cara exa-tamente no quinto lance é sempre ½? Depende de como olhamos o proble-ma. Se olharmos somente para o quinto lance como um lance isolado, não há dúvidas do valor ½ para a probabilidade de sair cara. Mas se por outro lado estivermos interessados em calcular qual a probabilidade de sair cara no quinto lance, após quatro coroas, a probabilidade de sair cara não será mais igual a ½, com certeza será um valor muito menor, conforme veremos quando estudarmos o capítulo de probabilidades. Esse fato não é intuitiva-mente tão fácil de ser percebido. E mostrar isso intuitivamente é mais difícil do que o simples cálculo dessa probabilidade. Aqui, a linguagem matemá-tica facilitaria enormemente a compreensão do que está ocorrendo. Vamos tentar compor essas duas formas de encarar o problema.

Tendo então a noção da probabilidade, poderemos voltar ao trabalho de destrinchar o comportamento dos dados através do estudo da forma de produzi-los. Uma vez que nos deteremos fundamentalmente em retirar de uma população uma amostra de seus indivíduos para quando estivermos estudando-os, compreenderemos o comportamento da população. Tere-mos que veri�car quais são as melhores formas de se retirar esses dados e de que tamanho deverá ser essa parte da população para que tenhamos alguma segurança, medida através de probabilidades, em fazer a�rmações sobre a população.

Na matéria que será tratada no capítulo 4, estudaremos técnicas simples mas e�cientes de buscarmos amostras representativas da população. Não temos dúvidas que após esse estudo o leitor aceitará o fato de que as pes-quisas podem representar bem a opinião de eleitores ou de consumidores quando falarmos de pesquisa de mercado. No momento pode ainda parecer intuitivamente incorreto que uma amostra de tamanho 400 possa represen-tar os eleitores de um município, mas que talvez uma amostra de 1 000 não represente bem os eleitores de um bairro da cidade.

A nossa pretensão de falar da população com base em elementos da amostra passa pela compreensão de que descreveremos tanto a população como a amostra através de medidas estatísticas e da forma de comportamen-to dos dados que serão descritos através de distribuições de probabilidades. Rigorosamente, essas medidas estatísticas serão medidas da própria distri-buição dos dados.



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Essa parte da estatística é chamada de inferência estatística ou de esta-tística indutiva. Ela será tratada no capítulo 5, sobre estimação, em que três procedimentos serão estudados. O primeiro deles é a chamada estimação por pontos, na qual calculamos um valor na amostra, por exemplo, a média de uma variável, que deverá servir como uma estimativa da média da po-pulação. O segundo procedimento, chamado de estimação por intervalos ou construção de intervalos de con�ança, consiste em criar em torno do valor do estimador pontual um intervalo em que esse valor possa estar contido; associaremos esse intervalo a um certo nível de con�ança, rela-cionado com uma medida de probabilidade. E o terceiro procedimento é o de se fazer alguma a�rmação sobre o valor de uma medida na popula-ção através do estabelecimento de uma hipótese e então realizar um teste sobre essa declaração associado a uma certa probabilidade de estar-se er-rando na decisão. Esse procedimento é conhecido como teste de hipóteses estatísticas.

O conteúdo até esse ponto do livro é o mínimo obrigatório a qualquer livro que pretenda apresentar o principal da teoria que envolve a enormi-dade de procedimentos estatísticos que podem servir de auxílio na tomada de decisões. É a partir desse ponto que os autores de livros de estatística devem decidir, de acordo com as necessidades do público que querem atin-gir, quais são as técnicas úteis para cumprir o seu objetivo. Optamos por tra-balhar com três técnicas que podem ser amplamente utilizadas no auxílio à tomada de decisões gerenciais para pro�ssionais interessados nos chama-dos “negócios”.

Não pretendemos com essa opção sugerir que essas técnicas sejam su-�cientes. Muito pelo contrário, gostaríamos de poder estimular os leitores a buscarem um maior aperfeiçoamento com a pesquisa na literatura de outras técnicas também úteis. Contamos que esse marco introdutório, disponível até o capítulo 5, forneça instrumentos ao leitor para novas aventuras. No en-tanto, a nossa prática no trabalho de aplicação de métodos estatísticos aplica-dos a negócios nos leva a apresentar essas técnicas neste livro por compreen-dermos que cobrem bem uma possível lacuna no gerenciamento.

Elas são apresentadas nos capítulos de 6 a 8. No capítulo 6 discutiremos Análise de Regressão e Correlação, no capítulo 7 a Teoria de Decisão Estatís-tica e no capítulo 8 a Análise de Séries Temporais e Modelos para Previsão de Demanda.


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Outras técnicas estatísticas são bastante úteis dependendo do ramo de atuação de cada leitor. Técnicas como: Controle Estatístico de Qualidade; Análise de Con�abilidade e de Sobrevivência; Análise de Credit Score; Plane-jamento de Experimentos; Análise de Dados Categorizados; Análise de Dados Longitudinais; Números Índices; Matemática Atuarial; Processos Estocásticos e Teoria de Filas; Análise Multivariada; Análise de Variância; Testes Não Para-métricos; Geoestatística; Estatística Espacial; Processos Estocásticos; e mais uma in�nidade de técnicas estatísticas estão disponíveis para aplicações.

Para cada um desses tópicos há uma enormidade de livros especí�cos, da mesma forma que há uma enormidade de outros livros para cada um dos capítulos que estamos apresentando. A abordagem de cada um desses livros, o grau de complexidade dos conceitos e da matemática envolvidos é que fazem de cada obra uma obra única.


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