Produtos Notáveis

8ª ANO

Prof.: Sergio Wagner

Os produtosProdutos notáveis são assim chamados por serem tipos fixos,

facilmente reconhecidos, de produtos.Temos abaixo alguns dos mais freqüentes:

Podemos simplificar dois dos produtos para um quadrado:

Trabalhando os produtosO primeiro caso a ser estudado é o quadrado da soma. Que é

dado por:

Podemos ver isto como de fato um quadrado, feito da soma de dois seguimentos quaisquer:

Resolvendo as áreas neste quadrado, temos:

No resultado anterior, podemos ver que os retângulos laranja, ab e ba são iguais, então agrupamos o resultado da área;

O quadrado da diferençaO segundo caso a ser estudado é análogo ao primeiro; temos

novamente um quadrado formado por dois seguimentos, mas agora o segundo seguimento é retirado do primeiro:

Para obter o quadrado (a -- b)² do quadrado a², devemos retirar algumas partes:

Retiramos:

Recolocamos o quadrado menor.

No resultado anterior, tivemos que adicionar o quadrado b² por tê-lo retirado duas vezes. Agrupamos também os dois retângulos ab. Como explicitamos a seguir.

Produto da soma pela diferença

Somamos ainda:

Agora retiramos

O último caso a ser estudado é o do produto da soma pela diferença, dado por ( a + b ) . ( a – b ).

Obtemos do quadrado o retângulo do produto:

Podemos simplificar o resultado, lembrando que o retângulo ab adicionado e o retângulo ab retirado são iguais. Temos então somente a diferença do quadrado a ² e do quadrado b ².

Simplificando os retângulos ab obtemos:

FatoraçãoOs produtos notáveis têm pouco valor de cálculo, mas são

imprescindíveis na álgebra, na forma da fatoração.Facilmente identificados, os produtos notáveis, podem

simplificar e resolver situações que seriam complexas ou até impossiveis sem o seu uso.

Fator comum em evidência

O fator comum em evidência é a fatoração inversa da propriedade distributiva da multiplicação. Como temos a seguir;

Como toda equação independe do sentido apresentado, podemos escrever a equação acima como;

Podemos visualizar a fatoração também de forma geométrica. Montando um retângulo com outros retângulos. No caso do fator comum em evidência, temos:

Trinômio do quadrado perfeitoO trinômio do quadrado perfeito é dado pelo primeiro caso de produto notável que estudamos, o quadrado da soma:

Outro exemplo do trinômio do quadrado perfeito vem do segundo caso estudado, o quadrado da diferença:

Visualizando o trinômio do quadrado perfeito, caso soma:

Visualizando o trinômio do quadrado perfeito, caso subtração:

A diferença de quadradosA diferença de quadrados advém do último caso de produto

notável estudado, o produto da soma pela diferença:

Inúmeros outros casos de produtos notáveis e suas fatorações podem ser feitas de acordo com a necessidade da prova ou trabalho que o matemático (ou qualquer pessoa) esteje tentando produzir.

Visualizando a diferença de quadrados:

Outros importantes produtos notáveis e casos de fatoração

Polinômio do segundo grau:

O polinômio do segundo grau é de grande importância para o estudo das equações e funções do segundo grau. Pois relaciona os coeficientes e as raízes de tal equação.

O cubo da soma:

O cubo da diferença:

Os polinômios do cubo perfeito:

Outro importante caso de fatoração é conhecido como a soma de cubos. Dado pela equação:

Outros casos de fatoração

O último caso que vamos mostrar é relativo ao de cima. A diferença de cubos. Dado pela equação:

Completando o QuadradoCompletar o quadrado é produzir um quadrado perfeito de um

polinômio que não é quadrado perfeito. Muito útil na resolução de equações.

Um exemplo desta poderosa técnica:

A princípio é uma equação complexa, mas se somarmos 16 a ambos os membros da equação teremos:

Podemos generalizar a técnica de completar o quadrado. Para tanto usamos uma equação genérica:

Podemos ver que nem sempre esta técnica será útil.