Pré-Cálculo - IMEF · Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos...

Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos Notáveis Frações Radicais Radicais Exercícios Agradecimento Bibliografia

Pré-Cálculo

Camila Perraro SehnEduardo de Sá Bueno Nóbrega

FURG - Universidade Federal de Rio Grande



Projeto Pré-Cálculo

Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendoos principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemáticano período do Ensino Médio, tendo a função de fixarconhecimentos para facilitar o aprendizado de novasdisciplinas na faculdade.

A apostila contém assuntos como Polinômios, ProdutosNotáveis, Trigonometria, Funções e outros.Conhecimentos estes que são de extrema importância para oaprendizado de Cálculo Diferencial e Integral, Àlgebra Linear,Geometria Analítica e afins.



Introdução

Apresentaremos nesta aula os assuntos:

Produtos Notáveis

Frações

Radicais



PRODUTOS NOTÁVEIS



Produtos NotáveisQuadrado da soma de dois termos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado doprimeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo,mais o quadrado do segundo.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (1)

Note que: (x + y)2 = (x + y)(x + y)

Exemplo:(x + 3y)2 = (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2



Produtos NotáveisQuadrado da diferença de dois termos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadradodo primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelosegundo, mais o quadrado do segundo.

(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (2)

Note que: (x − y)2 = (x − y)(x − y)

Exemplo:(7x − 4)2 = (7x)2 − 2(7x)(4) + (4)2 = 49x2 − 56x + 16



Produtos NotáveisProduto da soma pela diferença de dois termos:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual aoquadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundotermo.

(x + y)(x − y) = x2 − y2 (3)

Exemplo:(3a + x)(3a− x) = (3a)2 − (x)2 = 9a2 − x2



Produtos NotáveisCubo da soma de dois termos:

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro,mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelosegundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadradodo segundo, mais o cubo do segundo.

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (4)

Note que: (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)

Exemplo(a+b)3 = (a)3+3(a)2(b)+3(a)(b)2+(b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3



Produtos NotáveisCubo da diferença de dois termos:

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo doprimeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiropelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro peloquadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

(x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (5)

Note que: (x − y)3 = (x − y)(x − y)(x − y)

Exemplo:(2a− y)3 = (2a)3 − 3(2a)2(y) + 3(2a)(y)2 − (y)3 =

8a3 − 12a2y + 6ay2 − y3



FRAÇÕES



Simplificação de FraçõesRegras Básicas:

Para simplificar frações deve-se ter conhecimento daspropriedades das frações.

Citaremos algumas formas de operações com númerosfracionários.



Operações com FraçõesSoma e Subtração:

Quando as frações possuem denominadores iguais:

É necessário somar ou subtrair os numeradores,conservando os denominadores.

Quando as frações possuem denominadoresdiferentes:

Neste caso,o primeiro passo é obter frações equivalentes,de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplocomum) dos denominadores das frações em questão.



Operações com FraçõesMultiplicação e Divisão:

Multiplicação:

Multiplica-se o numerador com numerador e denominadorcom denominador. Se necessário, simplifica-se o produto.

Divisão:

Deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso dasegunda. Se necessário, simplifica-se o resultado.



Operações com FraçõesExponenciação:

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Exemplo:(

12

)2

=12

22 =14

= 0, 25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmoresultado:

Exemplo:(

12

)2

= (0, 5)2 = 0, 25



Operações com FraçõesExpoente Fracionário:

Da mesma forma como na divisão entre frações, a ocorrênciade expoente fracionário causa a inversão da operação.

Exemplo:

823 =

3√

82 = 3√

64 = 4



RADICAIS



RadicaisDefinição:

Onde a e b são números reais e n um número inteiro epositivo, podemos escrever:

n√

a = b (6)

Nomenclatura:n√

a = radicala = radicandon = índice do radicalb = raiz



RadicaisPropriedades dos Radicais

Primeira Propriedade:Quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, araiz é exata e igual à base da potência do radicando.

n√

an = a (7)

Onde a > 0 e n um número inteiro e positivo.

Exemplo:3√

23 = 2




Segunda propriedade:A raiz do produto de dois ou mais fatores é igual ao produtodas raízes de mesmo índice de cada fator.

n√

ab = n√

a n√

b (8)

Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.

Exemplo:√

9.16 =√

144 = 12 ou√

9√

16 = 3.4 = 12




Terceira propriedade:A raiz do quociente de dois números é igual ao quociente daraiz de mesmo índice de cada número.

n

√ab

=n√

an√

b(9)

Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.

Exemplo:√78

=

√7√8




Quarta propriedade:O valor de um radical não se modifica quando multiplicamos oudividimos o índice do radical e o expoente do radicando por ummesmo número inteiro positivo.

n√

am =n.p√

am.p (10)

Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.

n√

am =n:p√

am:p (11)

Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.

Exemplo:3√

72 =3.3√

72.3 =9√

76



RadicaisIntrodução de um fator externo no radicando:

Para introduzir um fator externo em um radicando, devemosescrevê-lo com o mesmo expoente do índice do radical.

p n√

a = n√

pn.a (12)

Onde a > 0, n e p números inteiros e positivos.

Exemplo:3√

5 =√

32.5 =√

9.5 =√

45



RadicaisSimplificação de radicais:

Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos maissimples, com o auxílio das propriedades citadas anteriormente.Geralmente, é necessário decompor o radicando em fatoresprimos antes de aplicar as propriedades dos radicais.Lembrando que, número primo é aquele que é divisível por umou por ele mesmo.

Exemplos:8√

74 =8:4√

74:4 =√

73√

8x3 = 3√

23x3 = 3√

22.2√

x2x = 3.2√

2x√

x = 6x√

2x

Observação: Note que√

x2 + y2 é diferente de x + y , assimcomo

√x2 − y2 é diferente de x − y .



RadicaisRedução de radicais ao mesmo índice:

Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo índice:

1 Determinamos o mmc dos índices dos radicais, obtendo oíndice comum.

2 Dividimos o mmc encontrado pelo índice de cada radical.3 Multiplicamos cada quociente pelo expoente do respectivo

radicando.



RadicaisRedução de radicais ao mesmo índice:

Exemplo:

Reduzir ao mesmo índice os radicais: 4√

23 e 6√

32

1 MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) entre 4 e 6= 122 12:4= 3

12:6= 23

4.3√

23.3= 12√

296.2√

32.2= 12√

34

Assim obtemos, 12√

29 e 12√

34.



RadicaisOperações com radicais:

Adição algébrica de radicais semelhantes:

Para obter a soma algébrica de radicais semelhantes,adicionamos algebricamente os fatores externos e reduzimos aexpressão a um só radical.

Exemplo:2√

3 + 5√

3−√

3 = (2 + 5− 1)√

3 = 6√

3



RadicaisMultiplicação de radicais:

Radicais de mesmo índice:

A multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a outroradical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual aoproduto dos radicandos.

n√

a n√

b =n√

ab (13)

Exemplo:√7.8 =

√56 =

√22.2.7 = 2

√14



RadicaisMultiplicação de radicais:

Radicais de índices diferentes:

Para multiplicar radicais de índices diferentes, devemosreduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação.

Exemplo:3√

3 4√

2 =12√

34 12√

23 = 12√

81 12√

8 = 12√

81.8 = 12√

648



RadicaisDivisão de radicais:

Radicais de mesmo índice:

A divisão de radicais de mesmo índice é igual a outro radicalem que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao quocientedos radicandos.

n√

an√

b= n

√ab

ou n√

a :n√

b =n√

a : b (14)

Exemplo:√10√5

=

√105

=√

2



RadicaisDivisão de radicais:

Radicais de índices diferentes:

Para dividir radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los aum mesmo índice antes de efetuar a operação.

Exemplo:√2

3√

3=

6√

23

6√

32=

6√

86√

9=

6

√89



RadicaisPotenciação de radicais:

Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicandoao expoente dessa potência.

( n√

a)m =n√

am (15)

Onde a real, m inteiro, n inteiro e positivo.

Exemplo:

(√

3)5 =√

35 =√

34.3 =√

34√

3 =2:2√

34:2√

3 =1√

32√

3 = 32√

3 = 9√

3



RadicaisRadiciação de radicais:

Para extrair a raiz de uma raiz, multiplicamos os índices econservamos o radicando.

m√

n√

a = m.n√

a (16)

Onde a real, m e n inteiros e positivos.

Exemplo:√√10 = 2.2

√10 = 4

√10

Observação: Antes de calcular a raiz de uma raiz, éconveniente introduzir todos os termos no radicando maisinterior.



RadicaisRacionalização de denominadores:

Em frações em que os denominadores são raízesnão-exatas(números irracionais), deve-se transformar estesdenominadores em números racionais, multiplicando onumerador e o denominador por um mesmo número diferentede zero. Tal processo chama-se Racionalização dedenominadores.




Fração com denominador na forma n√

am

Quando o denominador da fração é um radical da forma n√

am,multiplicamos o numerador e o denominador por n

√an−m para

racionalizar esse denominador.

Exemplo:

Racionalizar o denominador de1√3

:

Multiplicamos o numerador e o denominador por√

3(2−1):

1√3

=1√

3√3√

3=

√3√

3.3=

√3√32

=

√3

3




Fração com denominador na forma√

a +√

b

Quando o denominador da fração é uma expressão da forma√a +

√b, multiplicamos o numerador e o denominador por√

a−√

b para racionalizar esse denominador.




Exemplo:

Racionalizar o denominador de1√

5 + 1:


5− 1:

1√5 + 1

=1(√

5− 1)

(√

5 + 1)(√

5− 1)=

√5− 1

(√

5)2 − 12=

√5− 1

5− 1=

√5− 14




Fração com denominador na forma√

a−√

b

Quando o denominador da fração é uma expressão da forma√a−

√b, multiplicamos o numerador e o denominador por√

a +√

b para racionalizar esse denominador.




Exemplo:

Racionalizar o denominador de5√

3− 1:


3 + 1:

5√3− 1

=5(√

3 + 1)

(√

3− 1)(√

3 + 1)=

5√

3 + 5(√

3)2 − 12=

5√

3 + 53− 1

=5√

3 + 52



Exercícios

1 Simplifique a equação3n+1 + 3n−1

3n+1 .

2 Calcule 3√

108 + 2 3√

32− 6 3√

4.

3 Calcule(√

3 +12

)2



Muito obrigado pela atenção!



Bibliografia

Malveira, Linaldo. Matemática Fácil para 8asérie. 9a edição.São Paulo: Ática, 1993.

Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos. PraticandoMatemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1a edição, SãoPaulo.

G.Cavalcante, Luiz. Para Saber Matemática, 6asérie.2aedição. São Paulo: Saraiva, 2006.

Guelli, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento.São Paulo: Ática, 2002.


Pré-Cálculo - IMEF · Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos...

Documents

Transcript of Pré-Cálculo - IMEF · Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos...