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Probabilidadese Processos Estocásticos
EE-240/2009
EE-240Probabilidade e
Processos Estocásticos
Probabilidadese Processos Estocásticos
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1. Espaço de Probabilidades: É uma Tripla P,,F
2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis
3. Classe de Eventos: É a classe de sub-conjuntos de que satisfaz:F
FF CAAi)
1,....2,1;)
iii AiAii FF
1,....2,1;)
iii AiAiii FF
4. Medida de Probabilidade: É uma função P: tal que, para 1,0F FA
212121)
1)
0)
APAPAAPAAiii
Pii
APi
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5. Probabilidade Condicional: MP
MAPMAP
A
M
MA
Exemplo:
3
235,3,1
3
155,3,1
056,4,2
MPM
MPM
MPM
6,...,1,6
1
6,5,4,3,2,1
iiP
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5. Probabilidade Condicional: MP
MAPMAP
A
M
MA
6. Fórmula de Bayes:
AP
MAPAMP
MP
MAPMAP
MP
APAMPMAP
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7. Independência:
BA,
tesindependenBeABPAPBAP
8. Variáveis Aleatórias: Rx :
R
0
x
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Exemplo:
$
0
x
-20 +35
ímpar
parx
20
35
6,5,4,3,2,1
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9. Função Distribuição de Probabilidade:
R
0
xPFx
x
xF
xP
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9. Função Distribuição de Probabilidade: xPFx
10. Propriedades da Função Distribuição:
1221
2121
)
)
00)
)
01)
FFxPe
FFd
FFc
FFb
FeFa
11. Função Densidade de Probabilidade:
d
dFf xx
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12. Distribuição Condicional de Probabilidade:
MP
MxP MxPMFx
Exemplo: axM axP
axxPaxFx
|
1
Fx
axFx | xF
a
aFF
axFxaxxa
axFaxaxxa
x
x
1x
x
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13. Funções de uma variável aleatória:
xgxgy )(
x
RR
y xgxg )(
)(| yPFy
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14. Média:
0
x
dfdPxxEm xx ][
fx
d
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14. Média:
0
dfdPxxEm xx ][
fx
dP
f
R
.x
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14. Média:
0
dfdPxxEm xx ][
fx
dP
f
R
.x
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15. Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias:
x
y
y
x
yxPF yx ,|,,
16. Propriedades de Fx,y:
,,)(,)()
1,)
0,)
0,)
1221
,
,
,
xyxy
yx
yx
yx
FFyxPd
Fc
Fb
Fa
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17. Distribuição Marginal:
,
,
xyy
xyx
FF
FF
18. Independência de Variáveis Aleatórias:
As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B
são independentes, ou seja,
ByeAx )(|)(|
ByPAxPByAxP )()(})({})({
)(
)(
yB
xA
yxxy
yxxy
fff
FFF
,
,
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19. Função de duas variáveis aleatórias:
x
y
y
x
z
g(.,.) g(x,y)
z = g(x,y)
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19. Função de duas variáveis aleatórias:
x
y
y
x
z
g(.,.) g(x,y)
z = g(x,y)
Dz
ddfzD
yx ,,
))(),((|
)(|
yxgP
zPFz
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Conexão Série
S1 S2
t1
t2
t
tT1()
T2()
)t(F)t(F)t(F)t(F 2T1T2T1T
t2Tt1TP
t2T,1TminP
t2Tt1TPt2TPt1TP
tTi e1)t(F
t2ttttT e1e1e1e1e1)t(F
dt
d
t2T e2)t(f
2
1TE
Na área sombreada,o sistema conectado
em série ficouinoperante antes
do instante t
)P,,(
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Conexão Paralela
t1
t2
t
tT1()
T2()t
Ti e1)t(F
dt
d
Na área sombreada,o sistema conectado
em paralelo ficouinoperante antes
do instante t
t2T,1TmaxP
t2Tt1TP
t2TPt1TP
)t(F)t(F 2T1T
2tttT e1e1e1)t(F
t2tT ee2)t(f
2
3TE
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
S1
S2
)P,,(
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Conexão Stand By
t1
t2
t
tT1()
T2()dt
d
Na área sombreada,o sistema conectado
em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t
S1
S2
)t(f)t(f)t,t(f 11T11T212T,1T
t2T1TP)t(F 1T
222T21T dt)t(f)tt(F
222T21TT dt)t(f)tt(Fdt
d)t(f
222T1
yzx21T
1
dt)t(fdt
dt)tt(F
dt
d
)t(f*fdt)t(f)tt(f 2T1T222T21T
tTi e)t(f
t22
tz
0
)tt( tedtee 22
2
TE
)P,,(
222T11
tt
1T2121
tt
2T,1TT dttfdttfdtdtt,tf)t(F22
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20. Covariança:
ddfmm
mymxE
yxyx
yxxy
,))((
))((
,
)()(
2
1exp
det2
12/1
mQmQ
f Tnx
21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q), nRx
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22. Processos Estocásticos:
Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t RouZ
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Exemplo de Processo Estocástico
tempo
x
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23. Caracterização de Processos Estocásticos: tx
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizara coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de
tx
,,,,
,,
321
21
,,321
,21
ttt
tt
t
xxx
xx
x
fttt
ftt
ft
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Caracterização de Processos Estocásticos:
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizara coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de
tx
,,,,
,,
321
21
,,321
,21
ttt
tt
t
xxx
xx
x
fttt
ftt
ft
x t1
x t2
x t3
x t4
x t5
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23. Caracterização de Processos Estocásticos: tx
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizara coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de
tx
,,,,
,,
321
21
,,321
,21
ttt
tt
t
xxx
xx
x
fttt
ftt
ft
24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito)
Um processo xt(.) é dito ser estacionário se, nttttn ,,,,, 21
nxxnxx tntttnttff
,,,, 1,,1,,
11
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Exemplo:
t t
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8Processo Não-Estacionário
tempo
x
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Exemplo:
t t
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4
-2
0
2
4
6
8
10Processo Não-Estacionário
tempo
x
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25. Processos Estacionários no Sentido Amplo
Um processo xt(.) é dito ser estacionário no sentido amplo se,
,,2121
,, tttttt
ttt
xxxx
xx
ff
ff
Estacionário no Sentido Amplo
Estacionário noSentido Estrito
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26. Função de Auto-Correlação
2121 , ttxx xxEttR
No caso de processo estacionário no sentido amplo:
tRttRttR xxxx 1221 ,
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
0
1
0 10 20 30 40 50 60-1
0
1
0 20 40 60 80 100 1200
20
40
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1
0
1
0 10 20 30 40 50 60-1
0
1
0 20 40 60 80 100 1200
20
40
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-5
0
5
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
0 20 40 60 80 100 120 1400.5
1
1.5
2
Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência
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26. Função de Auto-Correlação
2121 , ttxx xxEttR
No caso de processo estacionário no sentido amplo:
tRttRttR xxxx 1221 ,
27. Ruído Branco
2121 tt xdeteindependenxtt
28. Ruído Gaussiano
gaussianasnteconjuntamexex tt 21
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26. Ruído Branco Gaussiano
Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0,
ydeteindependenxxyE 0
ttRx
Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão
Observação:
independência não-correlaçãonão-correlação independência
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Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares
hk
uk yk
k
0iiikk uhy
k
0iuuik
k
0iijik
k
0iiikj
kjuy
)i,j(Rh
]uu[Eh
uhuE
]yu[E)k,j(R
ijuu )i,j(R
k
0ijkijikuy hh)k,j(R
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hk
uk yk
*
E (.)
hi
iq
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0 5 10 15 20 25 30-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350Resposta Impulso
k
h(k) 786.0z646.1z
0674.0z073.0)z(G 2
4.0
2
4s2.1s
4)s(G
n
2
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Exemplos deProcessos Estocásticos
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15
-10
-5
0
5
10
15
Ruído Branco Gaussiano
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15
-10
-5
0
5
10
15
Ruído Branco Gaussiano
Nova Variança
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15
-10
-5
0
5
10
15
?
?
?
Outlier
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15
-10
-5
0
5
10
15
?
?
Novelty
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Alteração Brusca de Tendência
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15
-10
-5
0
5
10
15
?
Probabilidadese Processos Estocásticos
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10
-5
0
5
10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal dependente de variável manipulada...
y(t)
u(t)
y(t)u(t)
S
Probabilidadese Processos Estocásticos
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10
-5
0
5
10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
-0.5
0
0.5
1
y(t)u(t)
S
Ausência de Resposta pode ser Falha ...
y(t)
u(t)
Probabilidadese Processos Estocásticos
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-5
0
5
10
Saturação
Probabilidadese Processos Estocásticos
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6
-4
-2
0
2
4
6
Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído
Nova Variança do Ruído
Probabilidadese Processos Estocásticos
EE-240/2009
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6
-4
-2
0
2
4
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6
-4
-2
0
2
4
6
Qual a distribuição do ruído?
N(0,2)
U(-2,2)
Probabilidadese Processos Estocásticos
EE-240/2009
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10
0
10
20
30
40
50
Ruído aumentando com o tempo...
Probabilidadese Processos Estocásticos
EE-240/2009
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Falhas Intermitentes ...
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Muito Obrigado!