Post on 10-Apr-2022
Top – Matemática
Primeira Parte
1. (Ueg) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ uti-
lizando sua caneta de quatro cores distintas, de tal forma
que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O
número de maneiras que esse aluno pode escrever essa
palavra é
a) 64 b) 24 c) 12 d) 4
2. (Ufu) A senha de acesso ao cofre de um carro-forte é
formada por d algarismos, em que esses algarismos
pertencem ao conjunto de inteiros 0,1,2, ,9 . Um dos
guardas observa o colega digitar o último algarismo da
senha, concluindo que esta corresponde a um número
ímpar. Assuma que esse guarda demore 1,8 segundos
para realizar cada tentativa de validação da senha, sem
realizar repetições, de maneira que, assim procedendo,
no máximo em duas horas e meia terá sucesso na ob-
tenção da senha.
Segundo as condições apresentadas, conclui-se que o
valor de d é um número
a) quadrado perfeito. b) primo.
c) divisível por 3. d) múltiplo de 5.
3. (Epcar) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são
amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas
de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas
e sem numeração. A quantidade de formas distintas de
se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de
mesmo número fiquem juntas é
a) 8 7! b) 7!
c) 5 4! d) 10!
4. (Fatec) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pu-
gilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab,
o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugi-
lista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em
2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empre-
gando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cru-
zado e um gancho.
Assim, o número máximo de sequências que ele poderá
criar será de
a) 180. b) 160. c) 140.
d) 120. e) 100.
5. (Imed) O número de candidatos inscritos para reali-
zação do último vestibular de verão, em um determinado
curso, corresponde ao número de anagramas da palavra
VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR.
Esse número é igual a:
a) 120. b) 240. c) 360.
d) 540. e) 720.
6. (ifsp) Um banco está testando um novo produto e dis-
ponibilizou a alguns dos seus clientes acesso via inter-
net para esse produto, por meio de senhas compostas
por cinco vogais distintas e dois números pares distintos,
de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, primeiro as vogais e
depois os números. O número de clientes que podem
acessar esse novo produto, via internet, é:
a) 22. b) 3.520. c) 1.440.
d) 180. e) 920.
7. (Efomm) A quantidade de anagramas da palavra
MERCANTE que não possui vogais juntas é
a) 40320. b) 38160. c) 37920.
d) 7200. e) 3600.
8. (Upf) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verti-
cais representam ruas e os quadrados representam
quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento
mínimo ligando A a B é:
a) 40.320 b) 6.720 c) 256
d) 120 e) 56
9. (Unisc) Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de
Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. O número de
maneiras diferentes que Newton pode organizar esses
livros em uma estante, de forma que os livros de um
mesmo assunto permaneçam juntos, é
a) 24 b) 36 c) 56
d) 72 e) 144
10. (Upe) Um palíndromo ou capicua é um número, que
se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da
esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661
e 28482. Assinale a alternativa correspondente à quan-
tidade de palíndromos que são números pares de cinco
21 Top – Matemática
algarismos do nosso sistema de numeração.
a) 300 b) 400 c) 500
d) 600 e) 800
11. (Uemg) “Genius era um brinquedo muito popular na
década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a
memorização de cores e sons. Com formato semelhante
a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emi-
tiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência.
Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”.
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado).
Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão
acender de forma aleatória e em sequência, podendo
cada cor acender mais de uma vez.
O número máximo de formas que essa sequência de 3
luzes poderá acender é:
a) 12. b) 24. c) 36. d) 64.
12. (Uece) No Brasil, os veículos de pequeno, médio e
grande porte que se movimentam sobre quatro ou mais
pneus são identificados com placas alfanuméricas que
possuem sete dígitos, dos quais três são letras do alfa-
beto português e quatro são algarismos de 0 a 9. inclu-
sive estes. Quantos desses veículos podem ser
emplacados utilizando somente letras vogais e algaris-
mos pares?
a) 78625. b) 78125.
c) 80626. d) 80125.
13. (Ueg) Uma montadora de carros oferece a seus cli-
entes as seguintes opções na montagem de um carro: 2
tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (ma-
nual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho,
azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples,
intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras dis-
tintas pode-se montar esse carro?
a) 4 b) 13 c) 24
d) 36 e) 72
14. (G1 - ifpe) Um auditório em forma de um salão cir-
cular dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto
como entrada ou para saída do salão. De quantos mo-
dos distintos uma pessoa que se encontra fora do audi-
tório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta
de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar?
a) 6 b) 5 c) 12
d) 30 e) 36
15. (ifba) De acordo com o DETRAN de uma certa ci-
dade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de
automóveis com três letras, conforme modelo a seguir:
M
Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X,
Y e Z, e para o 3º espaço as letras letras A, B, C, D, E,
F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para
emplacamento é:
a) 18 b) 24 c) 28
d) 36 e) 60
16. (Enem) Uma família composta por sete pessoas
adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consul-
tou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo
para a data escolhida estava quase lotado. Na figura,
disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão
marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são
as mostradas em branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família
nesse voo é calculado por
a) 9!
2! b)
9!
7! 2! c) 7!
d) 5!
4!2! e)
5! 4!
4! 3!
17. (Puc) No vestiário de uma Academia de Ginástica
há exatamente 30 armários, cada qual para uso indivi-
dual. Se, no instante em que dois alunos dessa Acade-
mia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas
8 dos armários estão desocupados, quantas opções
eles terão para escolher seus respectivos armários?
a) 14 b) 28 c) 48
d) 56 e) 112
18. (Upe) A vendedora de roupas está arrumando os
cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 ca-
misas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo
que cada peça fique uma do lado da outra sem sobrepo-
sição. Quantas são as disposições possíveis nessa ar-
rumação, de modo que as peças de um mesmo tipo
fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine?
a) 30 b) 120 c) 1.440
d) 4.320 e) 8.640
19. (Uerj) Uma criança ganhou seis picolés de três sa-
bores diferentes: baunilha, morango e chocolate, repre-
sentados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De
Top – Matemática 22
segunda a sábado, a criança consome um único picolé
por dia, formando uma sequência de consumo dos sa-
bores. Observe estas sequências, que correspondem a
diferentes modos de consumo:
(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou
(C, M, M, B, B, C)
O número total de modos distintos de consumir os pico-
lés equivale a:
a) 6 b) 90
c) 180 d) 720
20. (Puc) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de
uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Or-
ganizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre
os pais. Mantida essa configuração, o número de formas
em que poderão se posicionar para a foto é
a) 4 b) 6 c) 24
d) 36 e) 48
21. (Pucrj) A quantidade de anagramas da palavra
CONCURSO é:
a) 2520 b) 5040 c) 10080
d) 20160 e) 40320
22. (Imed) O total de anagramas da palavra LÓGICA é
exatamente igual à medida, em graus, da soma dos ân-
gulos internos de um polígono regular. Considerando
que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada
pela expressão S (n 2). 180 , onde n corresponde
ao número de lados, pode-se afirmar que esse polígono
é um:
a) Triângulo. b) Quadrado.
c) Pentágono. d) Hexágono.
e) Heptágono.
23. (Unesp) As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectiva-
mente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e
BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas,
ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira
letra retirada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a ter-
ceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta
volta a ser da urna 2, e assim sucessivamente. O nú-
mero mínimo de letras retiradas das urnas dessa ma-
neira até que seja possível formar, com elas, a palavra
PRAZER é igual a
a) 8. b) 6. c) 10.
d) 9. e) 7.
24. (Unicamp) O número mínimo de pessoas que deve
haver em um grupo para que possamos garantir que
nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo
dia da semana é igual a
a) 21. b) 20.
c) 15. d) 14.
25. (Ueg) Numa lanchonete o lanche é composto por
três partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete
oferece aos seus clientes duas opções de pão, três de
molho e quatro de recheio, a quantidade de lanches dis-
tintos que ela pode oferecer é de
a) 9 b) 12 c) 18 d) 24
26. (Ufjf) Quantos são os números de 7 algarismos dis-
tintos divisíveis por 5, começando com um número ím-
par, e tal que dois algarismos adjacentes não tenham a
mesma paridade, isto é, não sejam simultaneamente pa-
res ou simultaneamente ímpares?
a) 20.160 b) 3.600 c) 2.880
d) 1.440 e) 1.200
27. (Fatec) Dispondo de cinco cores distintas, uma pes-
soa pretende pintar as letras da palavra de
acordo com os seguintes critérios:
- na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão
a mesma cor;
- letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e
- cada letra será pintada com uma única cor.
O número de modos distintos de se realizar essa pintura
é
a) 120. b) 90. c) 80.
d) 50. e) 40.
28. (Fgv) O total de números pares não negativos de
até quatro algarismos que podem ser formados com os
algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir algarismos é
a) 26. b) 27.
c) 28. d) 29.
e) 30.
29. (Ueg) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika
e, antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma
roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 rou-
pas e 3 coleiras, todas distintas, de quantas maneiras
Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para pas-
sear com a Kika?
a) 10 b) 21
c) 35 d) 42
30. (Enem) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II,
III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro
quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que
podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9
ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontu-
ação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de
empate, a campeã será a que alcançar a maior soma
das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e
Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano
no momento em que faltava somente a divulgação das
notas do jurado B no quesito Bateria.
23 Top – Matemática
Quesitos 1. Fantasia
e Alegoria
2. Evolução
e Conjunto
3. Enredo e
Harmonia
4. Bate-
ria To-
tal Jurado A B A B A B A B
Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55
Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66
Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50
Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68
Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54
Quantas configurações distintas das notas a serem atri-
buídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam cam-
peã a Escola II?
a) 21 b) 90 c) 750
d) 1.250 e) 3.125
31. (Uepa) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu
celular edita fotos, possibilitando diversas formas de
composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar moldu-
ras e mudar a cor da foto. Considerando que esse apli-
cativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de
molduras e 4 possibilidades de mudar a cor da foto, o
número de maneiras que esse jovem pode fazer uma
composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os
recursos citados, para publicá-las nas redes sociais,
conforme ilustração abaixo, é:
a) 424 120 . b) 4120 . c) 24 120.
d) 4 120. e) 120.
32. (Uema) Uma professora de educação infantil de
uma escola, durante a recreação de seus 6 alunos, or-
ganiza-os em círculos para brincar. Considere a se-
guinte forma de organização dos alunos pela professora:
são três meninas e três meninos e cada menina ficará
ao lado de um menino, de modo alternado. As possibili-
dades de organização dos seus alunos são
a) 4. b) 6. c) 9.
d) 12. e) 16.
33. (Esc. Naval) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens
para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e
2 para a cidade de Salvador. De quantos modos dife-
rentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando
somente uma viagem para cada um?
a) 288 b) 1260 c) 60800
d) 80760 e) 120960
34. (Mackenzie) Cinco casais resolvem ir ao teatro e
compram os ingressos para ocuparem todas as 10 pol-
tronas de uma determinada fileira. O número de manei-
ras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10
poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem
se sentar lado a lado é
a) b) c)
d) e)
35. (Puc) O número de anagramas da palavra BRASIL
em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes
também, é
a) 24 b) 48 c) 96
d) 240 e) 720
36. (Upe) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr.
Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro
com seus familiares através de fotos. Uma delas suge-
rida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por su-
gestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos
os netos deveriam ficar entre os seus avós.
De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina
podem posar para essa foto com os seus netos?
a) 100 b) 800 c) 40 320
d) 80 640 e) 3 628 800
37. (Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o há-
bito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve,
sempre pega outros dois filmes e assim sucessiva-
mente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns
lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e
3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia
para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alu-
gará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia.
Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o
cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que
todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum
filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente
poderá ser posta em prática?
a) 220 8! (3!) b) 8! 5! 3!
c) 8
8! 5! 3!
2
d)
2
8! 5! 3!
2
e) 8
16!
2
38. (Ufsm) Para cuidar da saúde, muitas pessoas bus-
cam atendimento em cidades maiores onde há centros
médicos especializados e hospitais mais equipados.
Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por
vans disponibilizadas pelas prefeituras.
Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e
o motorista. De quantos modos distintos os 9 passagei-
ros podem ocupar suas poltronas na van?
a) 4.032. b) 36.288. c) 40.320.
d) 362.880. e) 403.200.
39. (ifce) O número de anagramas da palavra TAXISTA,
que começam com a letra X, é
a) 180. b) 240. c) 720.
d) 5040. e) 10080.
40. (Ufpr) A figura a seguir apresenta uma planificação
do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras
abaixo:
9 9! 8 9! 8 8!
10!
2
10!
4
Top – Matemática 24
Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa
planificação, deverão ser pintados com cores diferentes.
Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas de-
verão ter cores diferentes. De acordo com essas regras,
qual o MENOR número de cores necessárias para se
pintar o cubo, a partir da planificação apresentada?
a) 2. b) 3. c) 4.
d) 5. e) 6.
41. (Upf) Alice não se recorda da senha que definiu no
computador. Sabe apenas que é constituída por quatro
letras seguidas, com pelo menos uma consoante.
Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 le-
tras, bem como que não há diferença para o uso de mai-
úsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é
possível compor?
a) 423 b) 323 18 c) 323 72
d) 4 423 5 e) 4 418 5
42. (Uece) Paulo possui 709 livros e identificou cada um
destes livros com um código formado por três letras do
nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” assim de-
finida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,...
Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o se-
gundo com AAB,... Nestas condições, considerando o
alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro
foi
a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG.
43. (Epcar (Afa)) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas
iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que ne-
nhuma delas ficou vazia, a probabilidade de uma caixa
conter, exatamente, 4 bolas é
a) 25% b) 30% c) 40% d) 48%
44. (UNEB) DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-
tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja
menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é
reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo
apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas co-
muns é surpreendentemente alta; as substâncias lista-
das a seguir, por exemplo, podem causar danos aos
seus dentes com contato prolongado.
(BREWER. 2013, p. 64).
COMIDA/BEBIDA PH
SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 – 2,4
CAFÉ PRETO 2,4 – 3,2
VINAGRE 2,4 – 3,4
REFRIGERANTES DE COLA 2,7
SUCO DE LARANJA 2,8 – 4,0
MAÇÃ 2,9 – 3,5
UVA 3,3 – 4,5
TOMATE 3,7 – 4,7
MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8 – 4,0
CHÁ PRETO 4,0 – 4,2
Considere que em um laboratório foram verificadas, por
um técnico, duas amostras de alimentos que constam na
tabela e verificado, por ele, que o pH dessas substâncias
era, respectivamente, 3,2 e 4,2.
Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afir-
mar que o número de maneiras distintas que esse téc-
nico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais
foram os dois alimentos examinados é igual a
a) 9 b) 10 c) 12
d) 14 e) 15
Gabarito:
Resposta da questão 1:[B]
O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é
igual ao arranjo de 4, 3 a 3. O seja:
3 34 4
4!A 4 3 2 A 24
(4 3)!
Resposta da questão 2:[A]
2,5h 9.000s
Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que
o número n de senhas será dado por:
d 1n 10 5 ou n 9000 1,8 5000
Portanto, d 110 5 5000 d 1 3 d 4
Logo. d é um quadrado perfeito.
Resposta da questão 3:[A]
Pode-se extrair do enunciado que:
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
3 bolas amarelas A , A , A
3 bolas verdes V , V , V
4 bolas coloridas C , C , C , C
Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam nu-
meradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não im-
porta se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual
elas foram nomeadas como 1 2 3 4C , C , C e C .
Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunci-
ado é claro em afirmar a “quantidade de formas distintas” ou seja, a
ordem é importante.
Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma nu-
meração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se
identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas:
1 1 2 2 3 3 1 2 3 4A V A V A V C C C C
Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos
identificados seria permutação de 7, ou seja 7!
Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma
numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a or-
dem é importante.
Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elemen-
tos isoladamente será:
1 1A V permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2
25 Top – Matemática
2 2A V permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2
3 3A V permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2
Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas
de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será:
2.2.2.7! = 8.7!
Resposta da questão 4:[A]
Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-
se escrever 2;2 2;26 6
6! 6 5 4 3 2!P P 180
2! 2! 1! 1! 2! 2 1
Resposta da questão 5:[E]
Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples:
6P 6! 6.5.4.3.2.1 720
VE _ _ _ _ _ _ AR
Resposta da questão 6:[C]
Considerando as vogais: a, e, i, o e u existem 5P 5! modos de dispor
as vogais, 4 modos de escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de
escolher o segundo algarismo par. Portanto, pelo Princípio Multiplica-
tivo, segue que a resposta é 5!.4.3 = 1440.
Resposta da questão 7:[D]
Considere o diagrama, no qual cada espaço em branco pode ser ocu-
pado por no máximo uma vogal.
_M_R _C_N_ T _
Para que não haja vogais juntas, deve-se escolher 3 dos 6 espaços
disponíveis para inserir as vogais E, E e A. Isso pode ser feito de
6 6!20
3 3! 3!
maneiras. Definidos os espaços que serão ocupados
pelas vogais, ainda podemos permutá-las de (2)3
3!P 3
2! modos.
Ademais, também é possível permutar as consoantes de
5P 5! 120 maneiras.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é
20 3 120 7200.
Resposta da questão 8:[E]
, , ,... 5,3n 8
n! 8!P P 56
! ! !... 5! 3!
α βθ
α β θ
Resposta da questão 9:[E]
Tem-se 3P 3! maneiras de dispor os três blocos de livros, 3P 3!
modos de organizar os livros de Álgebra, 2P 2! maneiras de dispor
os livros de Cálculo e 2P 2! modos de dispor os livros de Geometria.
Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é
3! 3! 2! 2! 144.
Resposta da questão 10:[B]
Desde que o algarismo das unidades deve ser par e diferente de zero,
temos 4 maneiras de escolher esse algarismo. Portanto, como existem
10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 10 maneiras de es-
colher o algarismo das centenas, pelo Princípio Multiplicativo, segue
que a resposta é 4.10.10 = 400.
Resposta da questão 11:[D]
Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4.4.4 = 64.
Resposta da questão 12:[B]
Considerando como vogais apenas as letras a, e, i, o ou u há 5 pos-
sibilidades para cada letra e 5 possibilidades para cada algarismo. Em
consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é
75 78125.
Observação: O item não considera o acordo ortográfico vigente.
Resposta da questão 13:[E]
O resultado será o produto do número de opções para cada item.
2.2.6.3 = 72.
Resposta da questão 14:[D]
Princípio Fundamental da Contagem
entrar sair
6 5 30
Resposta da questão 15:[B]
Com base no enunciado, pode-se deduzir:
M 3 possibilidades 8 possibilidades
Logo, o número total de possibilidades de prefixos será de 3.8 = 24.
Resposta da questão 16:[A]
O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9
objetos tomados 7 a 7 isto é, 9, 7
9!A .
2!
Resposta da questão 17:[D]
O número de opções que eles terão para escolher seus respectivos
armários é igual ao arranjo de 8 armários 2 a 2. Logo,
28
8! 8 7 6!A 8 7 56
(8 2)! 6!
Resposta da questão 18:[E]
Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e
casacos) sejam distinguíveis, há 5P 5! 120 maneiras de arrumar
as camisas, 3P 3! 6 modos de arrumar as bermudas e 2P 2! ma-
neiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os
3 grupos de 3P 3! 6 modos.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é
120.6.2.6 = 8640.
Resposta da questão 19:[B]
Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que
o resultado pedido é dado por (2, 2, 2)6
6!P 90.
2! 2! 2!
Resposta da questão 20:[E]
Há 2 possibilidades para o posicionamento dos pais e 4P 4! 24
modos de posicionar os filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplica-
tivo, segue que o resultado é 2.24 = 48.
Resposta da questão 21: [C]
A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O apa-
recem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas
desta palavra deveremos usar permutação com repetição.
2,28
8!P 10080
2! 2!
Resposta da questão 22:[D]
O número de anagramas possíveis da palavra LÓGICA é igual a per-
mutação de 6: 6! 6 5 4 3 2 1 720
A soma dos ângulos internos de um polígono regular se dá pela fór-
mula S (n 2) 180, onde n é o número de lado do polígono. Logo,
se S = 720, então S 720 (n 2) 180 n 6 .
O polígono regular de 6 lados chama-se hexágono.
Resposta da questão 23:[A]
Observando que as letras P e A figuram apenas na urna 2, e que as
letras E e Z figuram apenas na urna 3, podemos concluir que serão
necessárias pelo menos 6 extrações a fim de retirar tais letras. Além
disso, como a letra R figura uma vez em cada urna, o primeiro R de-
verá ser retirado da urna 1, e o segundo da urna 2, totalizando 8 reti-
radas. Caso contrário, o número de letras retiradas será igual a 9
Resposta da questão 24:[C]
Como a semana tem 7 dias, para garantir que há pelo menos três pes-
soas no mesmo dia da semana, é necessário que haja pelo menos 2.7
+ 1 = 15 pessoas no grupo.
Resposta da questão 25:[D]
Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 2.3.4 = 24.
Resposta da questão 26:[D]
Se i denota algarismo ímpar e p denota algarismo par, então os nú-
meros que satisfazem as condições são da forma ipipipi Ademais,
como o número deve ser divisível por 5 segue que o algarismo das
unidades só pode ser 5 Logo, existem 4 possibilidades para o primeiro
algarismo, 5 para o segundo, 3 para o terceiro, 4 para o quarto, 2 para
o quinto e 3 para o sexto. Em consequência, pelo Princípio Multiplica-
tivo, a resposta é 4.5.3.4.2.3.1 = 1440.
Resposta da questão 27:[C]
Existem 5 maneiras de escolher a cor da letra T, 4 modos de escolher
a cor das letras A e E e 4 maneiras de escolher a cor das letras F e C
Por conseguinte, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 5.4.4 = 80.
Resposta da questão 28:[B]
Com um algarismo podemos formar apenas dois pares: 0 e 2.
Top – Matemática 26
Com dois algarismos, podemos formar os números: 10, 12, 20, 30 e
32.
Com três algarismos, fixando o zero no algarismo das unidades, temos
3.2 = 6 números. Além disso, fixando o 2 no algarismo das unidades,
temos 2.2 = 4 números. Logo, pelo Princípio Aditivo, há 6 + 4 = 10
possibilidades.
Com quatro algarismos, fixando o zero no algarismo das unidades, te-
mos 3.2.1 = 6 números. Ademais, fixando o 2 no algarismo das unida-
des, há 2.2.1 = 4 números. Em consequência, novamente pelo
Princípio Aditivo, existem 6 + 4 = 10 números.
A resposta é 2 + 5 + 10 + 10 = 27.
Resposta da questão 29:[B]
Para cada uma das 3 coleiras existem 7 roupas. Portanto, o número
de maneiras diferentes de se passear com Kika é 3.7 = 21.
Resposta da questão 30:[C]
Observando a diferença entre a pontuação total da Escola II e a das
outras escolas, tem-se que a Escola II será campeã quaisquer que se-
jam as notas das Escolas I, III e V. Logo, em relação a essas escolas,
há 5 notas favoráveis para cada uma.
Por outro lado, como a Escola II vence a Escola IV em caso de empate,
e tendo a Escola IV uma vantagem de dois pontos em relação à Escola
II, a última será campeã nos seguintes casos:
a) 6 para a Escola IV e 8, 9 ou 10 para a Escola II;
b) 7 para a Escola IV e 9 ou 10 para a Escola II;
c) 8 para a Escola IV e 10 para a Escola II.
Em consequência, temos:
3 5 5 5 2 5 5 5 1 5 5 5 750.
Resposta da questão 31:[A]
Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições
distintas, tem-se que o número de maneiras possíveis de fazer uma
composição é dado por 4 44P (5 6 4) 24 120 .
Resposta da questão 32:[D]
Há (3)PC 2! 2 modos de organizar as meninas em círculo. Defini-
das as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os
meninos. Portanto, como os meninos podem ser dispostos de
3P 3! 6 maneiras, segue, pelo Princípio Multiplicativo, que o resul-
tado é 2.6 = 12.
Resposta da questão 33:[B]
Trata-se de permutação simples com repetição de elementos, ou seja:
4,3,2 4,3,29 9
9! 9 8 7 6 5 4! 9 8 7 6 5P 9 4 7 5 P 1260
4! 3! 2! 4! 3! 2! 3! 2!
Resposta da questão 34:[B]
As 10 pessoas podem se sentar de maneiras. Por outro lado,
o casal que está brigado pode se sentar lado a lado de
modos. Em consequência, o resultado pedido é
Resposta da questão 35:[C]
Considerando dois grupos, o das vogais com dois elementos e o das
consoantes com 4 elementos, temos três permutações, a permutação
dos grupos e as permutações dos elementos em cada grupo. Portanto,
o número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam
lado a lado e as consoantes também será dado por:
2! 4! 2! 96.
Resposta da questão 36:[D]
Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibili-
dades para os avós e 8P 8! 40320 possibilidades para os netos.
Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem
2 40320 80640 maneiras distintas de fazer a foto.
Resposta da questão 37:[B]
Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições
de ordem ímpar serão ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras
posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de comédia, e as
3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de
drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de 8P 8! modos,
os de comédia de 5P 5! maneiras e os de drama de
3P 3! possibi-
lidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que o resul-
tado é 8! 5! 3!.
Resposta da questão 38:[D]
Devemos distribuir 9 pessoas para nove lugares distintos, temos então
uma permutação de nove elementos:
P9 = 9! = 362880.
Resposta da questão 39:[A]
A primeira letra X será fixa e as outras seis sofrerão permutação com
repetição, pois temos duas letras A e duas letras T.
2,26
6!P 180
2! 2!
Resposta da questão 40:[B]
De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces
para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo para a segunda cor
e finalmente 1 face para a terceira cor. Portanto, o menor número de
cores necessárias para pinta o cubo é 3.
Resposta da questão 41:[D]
Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 423 23 23 23 23 có-
digos, sem qualquer restrição, utilizando as 23 letras do alfabeto. Por
outro lado, o número de códigos em que figuram apenas vogais, tam-
bém pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 45 5 5 5 5 . Em con-
sequência, o resultado pedido é igual a 4 423 5 .
Resposta da questão 42:[D]
Quantidade de códigos que começam por A: 1 26 26 676
Quantidade de códigos que começam por BA: 1 1 26 26
O restante dos livros começa por BB.
Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último.
(709 676 26 7)
Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto).
O código associado ao último livro é BBG.
Resposta da questão 43:[C]
Sabendo-se que nenhuma das caixas ficou vazia, só existem 4 possi-
bilidades de distribuição, cada qual com possibilidades de permutação
de seus elementos. São elas:
23
3
23
23
3!Distribuição 1 5 ;1;1 Permutação P 3
2!
Distribuição 2 4 ; 2 ;1 Permutação P 3! 6
Total de 15 possibilidades de distrib3!Distribuição 3 3 ; 2 ; 2 Permutação P 3
2!
3!Distribuição 4 3 ; 3 ;1 Permutação P 3
2!
uição
Assim a probabilidade de uma caixa conter exatamente 4 bolas é:
P(distribuição 2) 6 20,40 40%
P(total de distribuições) 15 5
Resposta da questão 44:[C]
Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode
ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para
tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos
examinados.
4 3 12
Segunda Parte
1. (Ucs) Um supermercado está selecionando, entre 15
candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para
desempenhar a função de “caixa”.
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa es-
colha?
a) 5 b) 45 c) 215
d) 360 e) 455
10P 10!
9 2P P 2 9!
10! 2 9! 10 9! 2 9! 8 9!.
27 Top – Matemática
2. (Uece) Uma urna contém 50 cartelas das quais 20
são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são vermelhas,
numeradas de 21 a 50. De quantas formas diferentes é
possível retirar três cartelas (por exemplo, duas verme-
lhas e uma azul, três azuis,...) dessa urna?
a) 19600. b) 19060.
c) 16900. d) 16090.
3. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções
distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor ver-
melha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso,
duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra
cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação
do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas
as possibilidades distintas de iluminação do painel, após
seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos,
sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são:
a) 4 e 12 b) 8 e 24
c) 25 e 12 d) 50 e 24
4. (Feevale) Em certo bairro, houve um “troca-troca” de
livros usados. João levou 10 livros de romance. Pedro
levou 15 de poesia, e Marcelo, 7 de ficção. Marcelo
quer levar para casa, em troca de seus livros, 4 de ro-
mance e 3 de poesia. Assinale a alternativa que repre-
senta o número de formas diferentes com que essa
escolha pode ser feita.
a) 10,4 15,3C C b) 10,4 15,3C C
c) 10,4 15,3A A d) 10,3 15,4A A
e) 10,4 15,3A A
5. (Uemg) Observe a tirinha abaixo:
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pe-
dir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferen-
tes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por
casquinha, sendo sempre uma de cada sabor.
O número de formas diferentes com que Magali poderá
pedir essa casquinha é igual a
a) 20. b) 41. c) 120. d) 35.
6. (Epcar) Um turista queria conhecer três estádios da
Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de
escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes si-
tuações:
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã.
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria
que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não co-
nheceria nenhum dos dois.
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 está-
dios brasileiros, a razão entre o número de modos dis-
tintos de escolher a situação I e o número de maneiras
diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é
a) 11
26 b)
13
25 c)
13
24 d)
11
24
7. (Puc) Dado o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10},
quantos subconjuntos com 3 elementos podem ser for-
mados de maneira que a soma dos três elementos seja
um número par?
a) 60. b) 120. c) 10.
d) 40. e) 125.
8. (Uece) Um conjunto X é formado por exatamente
seis números reais positivos e seis números reais nega-
tivos. De quantas formas diferentes podemos escolher
quatro elementos de X, de modo que o produto destes
elementos seja um número positivo?
a) 245. b) 225. c) 235. d) 255.
9. (Uece) A turma K do Curso de Administração da
UECE é formada por 36 alunos, sendo 22 mulheres e
14 homens. O número de comissões que podem ser for-
madas com alunos desta turma, tendo cada comissão
três componentes e sendo assegurada a participação de
representantes dos dois sexos em cada comissão, é
a) 5236. b) 6532. c) 3562. d) 2635.
10. (Insper) No jogo da multiplicação unitária deve-se
preencher cada um dos círculos sombreados na figura
com um dos números 1 ou 1. Em seguida, deve-se
multiplicar os números dois a dois, obtendo um resultado
para cada linha que liga dois círculos. Por último, deve-
se somar os resultados de todas essas multiplicações,
obtendo o resultado do jogo.
O menor resultado que esse jogo pode ter é
a) 0. b) 1. c) 2.
d) 4. e) 6.
11. (Mackenzie) O número de polígonos convexos dis-
tintos que podemos formar, com vértices nos pontos de
coordenadas (0, 0), (0,1), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2,1),
(2, 2) e (2, 3), do plano, é
a) 101 b) 84 c) 98
d) 100 e) 48
Top – Matemática 28
12. (Uern) Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete
e y sabores de cobertura. Combinando um sabor de
sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se,
respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de es-
colha.Assim, conclui-se que o número de sabores de co-
bertura disponível é
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7.
13. (Uepa) Atual tendência alimentar baseada no maior
consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona o
mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos
e uma diminuição no consumo de produtos que levam
glúten, lactose e açúcar. Uma empresa especializada no
preparo de refeições, visando a esse novo mercado de
consumidores, disponibiliza aos seus clientes uma
“quentinha executiva” que pode ser entregue no local de
trabalho na hora do almoço. O cliente pode compor o
seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e so-
bremesas. Se essa empresa oferece 8 tipos de entra-
das, 10 tipos de pratos principais e 5 tipos de
sobremesas, o número de possiblidades com que um cli-
ente pode compor seu almoço, escolhendo, dentre os ti-
pos ofertados, duas entradas, um prato principal e uma
sobremesa é:
a) 400 b) 600 c) 800
d) 1.200 e) 1.400
14. (Insper) Um dirigente sugeriu a criação de um tor-
neio de futebol chamado Copa dos Campeões, dispu-
tado apenas pelos oito países que já foram campeões
mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Ar-
gentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Ingla-
terra, França e Espanha). As oito seleções seriam
divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do
grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B
em São Paulo. Considerando os integrantes de cada
grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o
número de maneiras diferentes de dividir as oito sele-
ções de modo que as três sul-americanas não fiquem no
mesmo grupo é
a) 140. b) 120. c) 70.
d) 60. e) 40.
15. (Esc. Naval) Qual a quantidade de números inteiros
de 4 algarismos distintos, sendo dois algarismos pares
e dois ímpares que podemos formar, usando algarismos
de 1 a 9?
a) 2400 b) 2000 c) 1840
d) 1440 e) 1200
16. (Unesp) Um professor, ao elaborar uma prova com-
posta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alter-
nativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um
equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem
assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele de-
seja que duas questões sejam assinaladas com a alter-
nativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra
o modelo. Modelo de folha de resposta (gabarito)
A B C D E
01 X
02 X
03 X
04 X
05 X
06 X
07 X
08 X
09 X
10 X
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas
diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corre-
tas, será
a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800.
d) 181 440. e) 604 800.
17. (Uemg) Na Copa das Confederações de 2013, no
Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico
Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores
de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6
meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time,
com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defenso-
res , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Jú-
lio César como goleiro e Fred como atacante, o número
de times distintos que o técnico poderá formar é
a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000.
18. (Uea) Potencialmente, os portos da região Norte po-
dem ser os canais de escoamento para toda a produção
de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde es-
tão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em
logística e a construção de novos terminais portuários
privados irão aumentar consideravelmente o número de
toneladas de grãos embarcados anualmente. Para em-
barques durante a safra de grãos, seis navios diferentes
devem ser distribuídos entre dois portos, de modo que
cada porto receba três navios. O número de formas di-
ferentes de se fazer isso é
a) 6. b) 20. c) 9.
d) 12. e) 18.
19. (Puc) Para a escolha de um júri popular formado por
21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Co-
marca dispõe de uma listagem com nomes de trinta ho-
mens e de vinte mulheres. O número de possibilidades
de formar um júri popular composto por exatamente 15
homens é
a) 15 630 20C C b) 15 6
30 20A A c) 15 630 20C C
d) 15 630 20A A e) 21
50C
20. (Ufsm) As doenças cardiovasculares aparecem em
primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As ci-
rurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no
tratamento dessas doenças.
29 Top – Matemática
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardio-
logistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores
que fazem parte do grupo de profissionais habilitados
para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes dife-
rentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1
anestesista e 4 instrumentadores?
a) 200. b) 300. c) 600.
d) 720. e) 1.200.
21. (Epcar) Num acampamento militar, serão instaladas
três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 solda-
dos, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal ma-
neira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca
II e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B
NÃO deve ficar na barraca III, então o número de ma-
neiras distintas de distribuí-los é igual a
a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240
22. (Uemg) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de
6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de
vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio,
os 6 números sorteados estariam entre os 10 números
que tinha escolhido.
Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na
Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6
números entre os 10 números escolhidos.
Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que
cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?
a) R$ 540,00. b) R$ 302.400,00.
c) R$ 420,00. d) R$ 5.040,00.
23. (Uerj) A tabela abaixo apresenta os critérios adota-
dos por dois países para a formação de placas de auto-
móveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados
quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do
alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa
X 3 letras e 3 algarismos, em
qualquer ordem
Y
um bloco de 3 letras, em
qualquer ordem,
à esquerda de outro bloco de
4 algarismos,
também em qualquer ordem
Considere o número máximo de placas distintas que po-
dem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y
igual a p. A n
p razão corresponde a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6
Gabarito:
Resposta da questão 1:[E]
A resposta corresponde ao número de combinações simples de 15 ob-
jetos tomados 3 a 3 ou seja, 15 15!
455.3 3! 12!
Resposta da questão 2:[A]
Sendo a bola azul e v bola vermelha, as possibilidades são:
{a, a, a}, {a, a, v}, {a, v, v} e {v, v, v}. Logo, é possível retirar
3 bolas azuis de 20 20!
11403 3! 17!
modos; 2 bolas azuis e 1 ver-
melha de 20 30 20!30 5700
2 1 2! 18!
maneiras; 1 bola azul e 2
vermelhas de 20 30 30!20 8700
1 2 2! 28!
modos; e 3 bolas ver-
melhas de 30 30!4060
3 3! 27!
maneiras.
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é
1140 5700 8700 4060 19600.
Resposta da questão 3:[B]
Duas vermelhas e uma azul: 9,2C 7 36 7 252
Duas azuis e uma vermelha: 9,2C 7 36 7 252
Portanto, o tempo total será de 252 252 504 segundos.
Como, 504 8 60 24, temos: x 8 e u 24.
Resposta da questão 4:[A]
Como os grupos de livros diferenciam-se apenas pela natura de ele-
mentos (a ordem dos livros escolhidos não importa), trata-se de com-
binação. Como Marcelo quer levar 4 livros de romance e 3 livros de
poesia, logo deve-se fazer uma multiplicação entre duas combinações,
a fim de encontrar o número total de formas diferentes de escolha.
Logo, a alternativa correta é a letra [A].
Resposta da questão 5:[B]
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores de-
vem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por
6 6 6 6! 6!6 6 15 20 41.
2! 4! 3! 3!1 2 3
Resposta da questão 6:[A]
Para a situação I, existem 11 11!55
2 2! 9!
escolhas possíveis. Para
a situação II, o número de possibilidades é dado por
10 10!10 10 130.
3 3! 7!
Em consequência, a resposta é
55 11.
130 26
Resposta da questão 7:[D]
Os subconjuntos considerados no enunciado podem ser formados de
duas maneiras diferentes:
Primeira maneira (3 elementos pares): 5 5!10
3 2! (5 2)!
Segunda maneira (2 elementos ímpares e um par):
4 4!5 5 30
2 2! (4 2)!
Portanto, o número de subconjuntos com 3 elementos com soma par
será dado por: 10 30 40.
Resposta da questão 8:[D]
Para que o produto dos quatro números escolhidos seja positivo, só
existem 3 possibilidades:
1. Os quatro números escolhidos são positivos;
2. Os quatro números escolhidos são negativos;
3. Dois números escolhidos são positivos e dois são negativos.
Sabendo disso, e sabendo que a ordem dos números escolhidos não
interfere no seu produto, podemos calcular as combinações. Os casos
1 e 2 são idênticos, ou seja, sua combinação é:
46
6! 6 5 4! 30C 15
4!(6 4)! 4! 2! 2
Já o caso 3 pode ser calculado como sendo a combinação de 6 ele-
mentos 2 a 2 (para os dois números positivos) e a combinação de 6
elementos 2 a 2 (para os dois números negativos). Ou seja:
26
2 26 6
6! 6 5 4! 30C 15
2!(6 2)! 2! 4! 2
C C 15 15 225
Top – Matemática 30
Somando-se as três possibilidades, tem-se: 15 15 225 255 for-
mas de escolher quatro elementos de X de modo que o produto destes
elementos seja um número positivo.
Resposta da questão 9:[A]
O número de comissões que podem ser formadas, independente-
mente do sexo de seus participantes, é 36 36!7140.
3 3! 33!
Desse
total, devemos descontar o número de comissões cujos membros são
todos homens, e o número de comissões cujos membros são todos
mulheres.
O número de comissões formadas exclusivamente por mulheres é
igual a 22 22!1540.
3 3! 19!
O número de comissões formadas apenas por homens é
14 14!364.
3 3! 11!
Portanto, o resultado pedido é igual a 7140 1540 364 5236.
Resposta da questão 10:[C]
O resultado será mínimo quando o número de produtos iguais a 1
for máximo. Tem-se que o número de produtos possíveis é igual a
4 4!6.
2 2! 2!
Ademais, se x é a quantidade de números iguais a
1 e y é a quantidade de números iguais a 1, temos
(x,y) {(4, 0), (3,1), (2, 2), (1, 3), (0, 4)}.
É imediato que as possibilidades (4, 0) e (0, 4) não convêm. Logo,
por inspeção, concluímos que (x, y) (2, 2), com os números dispos-
tos em quaisquer círculos.
A resposta é 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 2.
Resposta da questão 11:[B]
É possível formar apenas triângulos e quadriláteros.
Existem 4 maneiras de escolher um dos pontos sobre o eixo das orde-
nadas e 4 4!6
2 2! 2!
modos de escolher dois pontos da reta x = 2.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, é possível formar 2.4.6 = 48 triân-
gulos (note que é possível escolher dois pontos do eixo das ordenadas
e um ponto da reta x = 2).
Para formar quadriláteros, é necessário tomar dois pontos sobre o eixo
das ordenadas e dois pontos sobre a reta x = 2 Isso pode ser feito de
6.6 = 36 maneiras.
Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 48 + 36 = 84.
Resposta da questão 12:[C]
Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3 sabores de cober-
tura, pode-se escrever:
3y
2y
y!C 200 y! (y 2)! 2!(y 3)! 3!
y!150 (y 3)! 3! y!C(y 2)! 2!
(y 2) (y 3)! 2! (y 2) (y 2) 200
(y 3)! 3 2! 3 3 150
y 2 200150y 300 600 150y 900 y 6
3 150
Resposta da questão 13:[E]
O cliente pode escolher duas entradas de 8 8!
282 2! 6!
modos,
um prato principal de 10 maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Por-
tanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 28 10 5 1400.
Resposta da questão 14: [D]
Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-
americanas, 33
2
modos de escolher essas duas seleções, e
5 5!10
2 3! 2!
modos de escolher as duas seleções europeias que
irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo
grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-
se que o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem,
é 2 3 10 60.
Resposta da questão 15:[D]
Nos algarismos de 1 a 9 tem-se 4 algarismos pares e 5 algarismos
ímpares. Deve-se escolher 2 algarismos ímpares e 2 pares, permu-
tando-os. Assim, pode-se escrever:
2 25 4
5 4 3! 4 3 2!C C 4! 4! 1440
3! 2! 2! 2!
Resposta da questão 16:[B]
10,2 8,2 6,2 4,2 2,2C C C C C 45 28 15 6 1 113400
Resposta da questão 17:[A]
Logo, o número de times distintos é: 1 70 20 10 14000.
Resposta da questão 18: [B]
6,36!
C 203! 3!
Resposta da questão 19:[A]
Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas
são homens, segue-se que o número de mulheres nesse júri é igual a
21 15 6. Portanto, o resultado é dado por 30 20.
15 6
Resposta da questão 20:[B]
O resultado pedido é dado por
5 2 6 5! 6!2 20 15 300.
3! 2! 4! 2!3 1 4
Resposta da questão 21:[B]
1º caso: Soldados A e B na barraca I
Barraca I: C8,2 = 28
Barraca II: C6,3 = 20
Barraca III: C3,3 = 1
Total(1) = 28 20 1 = 560.
2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II
Barraca I: C8,3 = 56
Baraca II CC5,2 =10
Barraca III: C3,3 = 1
Total(2) = 56 10 1 = 560.
Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 +
560 = 1120.
Resposta da questão 22:[C]
Total de combinações possíveis: 10,6
10!C 210.
6! 4!
Valor total dos jogos: 210 2 R$420,00.
Resposta da questão 23:[B]
Escolhendo 3 lugares para as letras 6,3C 20
x = 6,3C .26.26.26.10.10.10 = 20.26.26.26.10.10.10
y = 26.26.26.10.10.10.10
Logo, x 20.26.26.26.10.10.102
y 26.26.26.10.10.10.10 .