Post on 11-Feb-2016
description
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET
CURSO: Física Licenciatura
TURMA: CET172
PÊNDULO FÍSICO
Abraão de Oliveira Amaral Júnior (20121021)
e-mail: abraaoamaraljunior@hotmail.com
Ilhéus – Bahia
2015
4
INTRODUÇÃO
Qualquer corpo rígido suspenso de forma que possa oscilar em um plano vertical
em torno de um eixo que passe pelo corpo é denominado pêndulo físico ou pêndulo
composto. O pêndulo físico consiste em um corpo rígido suspenso por um ponto que
não esteja localizado sobre seu centro de massa, de modo que, quando submetido a
pequenos deslocamentos angulares em relação à direção vertical, realiza um movimento
oscilatório sob a ação da força gravitacional.
Um caso particular do pêndulo físico é o pêndulo simples (Figura 1), onde uma
massa é conectada a uma haste de peso desprezível, suspensa por uma de suas
extremidades. Esses sistemas físicos exibem uma propriedade muito importante: seu
movimento é periódico e se considerarmos pequenas amplitudes de deslocamento, seu
período depende apenas da distância do ponto de suspensão a seu centro de massa, da
aceleração da gravidade no local e da distribuição de sua massa em torno de seu centro
de massa.
Figura 1: Representação do Pêndulo Físico
Tem-se em um pêndulo físico uma distância do eixo de rotação ao centro de
massa, e um deslocamento angular θ, assim quando é feito um deslocamento angular
um torque de restituição agirá sobre o corpo, de maneira a trazê-lo novamente à posição
de equilíbrio. Utilizando isso se tem que para pequenos ângulos (𝜃 < 15°) de oscilação,
o período (T) de um pêndulo físico é dado por:
5
T = 2π√𝐼ℎ
𝑚𝑔ℎ (1)
E sendo m a massa do corpo e d a distancia do eixo de oscilação ao Centro de Massas.
OBJETIVOS.
Compreender o conceito de pêndulo físico e pêndulo simples
Calcular momento de inercia.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais
Suporte universal com pêndulo acoplado;
Cilindro maciço de metal;
Linha de costura
Corpo de prova com ponto de sustentação que permita sua oscilação (régua de metal);
Corpo de prova com ponto de sustentação que permita sua oscilação (placa retangular
plástica);
Fita métrica;
Balança;
Transferidor;
Cronômetro do celular
Métodos
Primeira etapa do experimento foi coletar as informações como massa dos pêndulos
utilizados (régua, placa e o cilíndrico), a área da régua e placa. Após anotarmos os
dados, iniciamos a primeira etapa do experimento que consistiu em cronometrar quanto
tempo gasta em um momento a régua para completar 10 oscilações e em outro a placa.
6
Realizamos esse procedimento dez vezes anotando o tempo decorrido até o termino das
dez oscilações
Após concluir a primeira etapa, continuamos o experimento só que agora
tínhamos que variar o comprimento do fio do pendulo cilindro de tal forma que ele
conseguisse ter o “mesmo” período que o da régua feito isso anotamos o comprimento,
depois repetimos o processo para placa.
Para diminuir as incertezas instrumentais utilizaram-se as seguintes equações :
Media (�̅�)
�̅� = 1
𝑛∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Desvio padrão (σ):
𝜎² = 1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
− �̅�)²
Desvio padrão médio (𝜎𝑚):
𝜎𝑚 = 𝜎
√𝑛
Erro relativo percentual
𝐸% = (𝐼𝑇 − 𝐼𝐸
𝐼𝑇) × 100
Onde 𝐼𝑇 é Momento de inercia teórico e𝐼𝐸 momento de inercia experimental.
E para conseguirmos calcular o momento de inercia será necessário resolve-lo
por simetria retangular, como a seguir:
7
Momento de Inercia para placa retangular
𝐼𝐶𝑀 = ∫ 𝑟²𝑑𝑚 ; 𝑟² = 𝑥² + 𝑦² (2)
Onde 𝑑𝑚
𝑀=
𝑑𝑎
𝐴→ 𝑑𝑚 =
𝑀
𝐴𝑑𝑎 e 𝑑𝑎 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 . Com isso temos que:
𝐼𝐶𝑀 = ∫ ∫𝑀
𝐴(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎/2
−𝑎/2
𝑏/2
−𝑏/2
𝐼𝐶𝑀 =𝑀
12(𝑎2 + 𝑏2) (3)
Teorema dos eixos paralelos:
Figura 2: Representação do teorema dos eixos paralelos
𝒚 = 𝒚′ + 𝒚𝑪𝑴
Então:
8
𝑰 = ∫[(𝒙′ + 𝒙𝑪𝑴)𝟐 + (𝒚′ + 𝒚𝑪𝑴)𝟐]𝒅𝒎
Como:
∫ 𝒙′𝒅𝒎 = ∫ 𝒚′𝒅𝒎 = 𝟎 , 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 ∫ 𝒅𝒎 = 𝑴 𝒆 𝑫𝟐 = 𝒙𝑪𝑴𝟐 + 𝒚𝑪𝑴
𝟐
𝑰 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴𝑫𝟐 (𝟒)
Comprimento do Pêndulo Simples:
𝐿 =𝑇2 𝑔
4 𝜋2 (5)
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados obtidos foram reunidos nas tabelas que seguem abaixo:
Régua
Medida Incerteza instrumental
Massa(g) 139,7 0,1
Altura b (cm) 59 0,05
Largura a (cm) 2,5 0,05
Tabela 1: Massa e área com suas respectivas incertezas instrumental.
9
Placa retangular
Medida Incerteza instrumental
Massa(g) 347,3 0,1
Altura b (cm) 30 0,05
Largura a (cm) 20 0,05
Tabela 2: Massa e área com suas respectivas incertezas instrumental.
Massa do cilindro (g) 81,3
L para régua (cm) 39
L para placa (cm) 22,5
Tabela 3: Massa e os L para que o período do cilindro seja igual ao da régua ou da placa.
N t (s)
1 0,076
2 0,056
3 0,083
4 0,080
5 0,035
6 0,042
7 0,042
8 0,064
9 0,037
10 0,039
Média 0,055
Tabela 4: Medidas do tempo de reação ao ativar o cronometro
10
• Incerteza do cronometro para 10 oscilações;
𝜎20 =0,055
10= 0,0055 𝑠
Régua
Medida Tempo de 10 oscilações (s)
1 11,72
2 12,25
3 11,50
4 11,66
5 11,92
6 11,73
7 11,18
8 12,01
9 11,89
10 12,21
Valor médio 11,81
Desvio Padrão 0,256
T (s) 1,811
Tabela 5: Tempo decorrido para completar 10 oscilações e seu período.
11
Placa
Medida Tempo de 10 oscilações (s)
1 9,324
2 9.32
3 9.00
4 9.45
5 9.44
6 9.37
7 9.32
8 9.49
9 9.64
10 8.83
Valor médio 9,32
Desvio Padrão 2,949
T (s) 0,932
Tabela 6: Tempo decorrido para completar 10 oscilações e seu período.
Régua
𝑰𝑪𝑴 (kg.m²) (4.000 ± 0.002).𝟏𝟎−𝟒
𝑰(kg.m²) (1.620 ± 0.003).𝟏𝟎−𝟑
Tabela 7: Momento de inercia e momento de inercia no centro de massa.
12
Placa
𝑰𝑪𝑴 (kg.m²) (3.8 ± 0.3).𝟏𝟎−𝟒
𝑰(kg.m²) (1.5 ± 0.2).𝟏𝟎−𝟑
Tabela 8: Momento de inercia e momento de inercia no centro de massa.
Régua
𝑳𝑻(m) 𝑳𝒆(m) 𝑬% (%)
0,35 0,39 11,4
Tabela 9: Valores do comprimento (L) teórico e obtido experimentalmente do pendulo
cilíndrico e seu erro relativo percentual.
Placa
𝑳𝑻(m) 𝑳𝒆(m) 𝑬% (%)
0,21 0,23 9,5
Tabela 10: Valores do comprimento (L) teórico e obtido experimentalmente do pendulo
cilíndrico e seu erro relativo percentual.
Através da eq. (5) obtiveram-se os comprimentos teóricos e experimentais,
analisando o valor do erro relativo entre eles, percebe-se que as medidas foram
satisfatórias considerando que o comprimento experimental foi obtido contendo
incertezas instrumentais e erro humano. Com isso percebe-se que quanto maior a
distância entre o centro de massa e eixo de oscilação do pêndulo maior será a exatidão
nos resultados experimentais. Portanto, o pêndulo obedece à teoria dos eixos paralelos,
com um pequeno erro experimental.
13
CONCLUSÃO
Enquanto que no pêndulo simples o período é influenciado pelo comprimento do
fio, no pêndulo físico a distância entre o eixo de oscilação e o centro de massa é que
interfere significativamente no tempo necessário para o pêndulo completar uma
oscilação. Com isso, percebe-se o quanto o pêndulo físico é um sistema mais complexo
e real.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] FERNANDO LANG DA SILVEIRA, Determinando a aceleração gravitacional,
Revista de Ensenãnza de la Física, Córdoba, 10(2): 29-35, 1995.