UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC

DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET

CURSO: Física Licenciatura

TURMA: CET172

PÊNDULO FÍSICO

Abraão de Oliveira Amaral Júnior (20121021)

e-mail: abraaoamaraljunior@hotmail.com

Ilhéus – Bahia

2015

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INTRODUÇÃO

Qualquer corpo rígido suspenso de forma que possa oscilar em um plano vertical

em torno de um eixo que passe pelo corpo é denominado pêndulo físico ou pêndulo

composto. O pêndulo físico consiste em um corpo rígido suspenso por um ponto que

não esteja localizado sobre seu centro de massa, de modo que, quando submetido a

pequenos deslocamentos angulares em relação à direção vertical, realiza um movimento

oscilatório sob a ação da força gravitacional.

Um caso particular do pêndulo físico é o pêndulo simples (Figura 1), onde uma

massa é conectada a uma haste de peso desprezível, suspensa por uma de suas

extremidades. Esses sistemas físicos exibem uma propriedade muito importante: seu

movimento é periódico e se considerarmos pequenas amplitudes de deslocamento, seu

período depende apenas da distância do ponto de suspensão a seu centro de massa, da

aceleração da gravidade no local e da distribuição de sua massa em torno de seu centro

de massa.

Figura 1: Representação do Pêndulo Físico

Tem-se em um pêndulo físico uma distância do eixo de rotação ao centro de

massa, e um deslocamento angular θ, assim quando é feito um deslocamento angular

um torque de restituição agirá sobre o corpo, de maneira a trazê-lo novamente à posição

de equilíbrio. Utilizando isso se tem que para pequenos ângulos (𝜃 < 15°) de oscilação,

o período (T) de um pêndulo físico é dado por:

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T = 2π√𝐼ℎ

𝑚𝑔ℎ (1)

E sendo m a massa do corpo e d a distancia do eixo de oscilação ao Centro de Massas.

OBJETIVOS.

Compreender o conceito de pêndulo físico e pêndulo simples

Calcular momento de inercia.

MATERIAIS E MÉTODOS.

Materiais

Suporte universal com pêndulo acoplado;

Cilindro maciço de metal;

Linha de costura

Corpo de prova com ponto de sustentação que permita sua oscilação (régua de metal);

Corpo de prova com ponto de sustentação que permita sua oscilação (placa retangular

plástica);

Fita métrica;

Balança;

Transferidor;

Cronômetro do celular

Métodos

Primeira etapa do experimento foi coletar as informações como massa dos pêndulos

utilizados (régua, placa e o cilíndrico), a área da régua e placa. Após anotarmos os

dados, iniciamos a primeira etapa do experimento que consistiu em cronometrar quanto

tempo gasta em um momento a régua para completar 10 oscilações e em outro a placa.

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Realizamos esse procedimento dez vezes anotando o tempo decorrido até o termino das

dez oscilações

Após concluir a primeira etapa, continuamos o experimento só que agora

tínhamos que variar o comprimento do fio do pendulo cilindro de tal forma que ele

conseguisse ter o “mesmo” período que o da régua feito isso anotamos o comprimento,

depois repetimos o processo para placa.

Para diminuir as incertezas instrumentais utilizaram-se as seguintes equações :

Media (�̅�)

�̅� = 1

𝑛∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Desvio padrão (σ):

𝜎² = 1

𝑛 − 1∑(𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

− �̅�)²

Desvio padrão médio (𝜎𝑚):

𝜎𝑚 = 𝜎

√𝑛

Erro relativo percentual

𝐸% = (𝐼𝑇 − 𝐼𝐸

𝐼𝑇) × 100

Onde 𝐼𝑇 é Momento de inercia teórico e𝐼𝐸 momento de inercia experimental.

E para conseguirmos calcular o momento de inercia será necessário resolve-lo

por simetria retangular, como a seguir:

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Momento de Inercia para placa retangular

𝐼𝐶𝑀 = ∫ 𝑟²𝑑𝑚 ; 𝑟² = 𝑥² + 𝑦² (2)

Onde 𝑑𝑚

𝑀=

𝑑𝑎

𝐴→ 𝑑𝑚 =

𝑀

𝐴𝑑𝑎 e 𝑑𝑎 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 . Com isso temos que:

𝐼𝐶𝑀 = ∫ ∫𝑀

𝐴(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑎/2

−𝑎/2

𝑏/2

−𝑏/2

𝐼𝐶𝑀 =𝑀

12(𝑎2 + 𝑏2) (3)

Teorema dos eixos paralelos:

Figura 2: Representação do teorema dos eixos paralelos

𝒚 = 𝒚′ + 𝒚𝑪𝑴

Então:

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𝑰 = ∫[(𝒙′ + 𝒙𝑪𝑴)𝟐 + (𝒚′ + 𝒚𝑪𝑴)𝟐]𝒅𝒎

Como:

∫ 𝒙′𝒅𝒎 = ∫ 𝒚′𝒅𝒎 = 𝟎 , 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 ∫ 𝒅𝒎 = 𝑴 𝒆 𝑫𝟐 = 𝒙𝑪𝑴𝟐 + 𝒚𝑪𝑴

𝟐

𝑰 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴𝑫𝟐 (𝟒)

Comprimento do Pêndulo Simples:

𝐿 =𝑇2 𝑔

4 𝜋2 (5)

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os dados obtidos foram reunidos nas tabelas que seguem abaixo:

Régua

Medida Incerteza instrumental

Massa(g) 139,7 0,1

Altura b (cm) 59 0,05

Largura a (cm) 2,5 0,05

Tabela 1: Massa e área com suas respectivas incertezas instrumental.

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Placa retangular

Medida Incerteza instrumental

Massa(g) 347,3 0,1

Altura b (cm) 30 0,05

Largura a (cm) 20 0,05

Tabela 2: Massa e área com suas respectivas incertezas instrumental.

Massa do cilindro (g) 81,3

L para régua (cm) 39

L para placa (cm) 22,5

Tabela 3: Massa e os L para que o período do cilindro seja igual ao da régua ou da placa.

N t (s)

1 0,076

2 0,056

3 0,083

4 0,080

5 0,035

6 0,042

7 0,042

8 0,064

9 0,037

10 0,039

Média 0,055

Tabela 4: Medidas do tempo de reação ao ativar o cronometro

10

• Incerteza do cronometro para 10 oscilações;

𝜎20 =0,055

10= 0,0055 𝑠

Régua

Medida Tempo de 10 oscilações (s)

1 11,72

2 12,25

3 11,50

4 11,66

5 11,92

6 11,73

7 11,18

8 12,01

9 11,89

10 12,21

Valor médio 11,81

Desvio Padrão 0,256

T (s) 1,811

Tabela 5: Tempo decorrido para completar 10 oscilações e seu período.

11

Placa

Medida Tempo de 10 oscilações (s)

1 9,324

2 9.32

3 9.00

4 9.45

5 9.44

6 9.37

7 9.32

8 9.49

9 9.64

10 8.83

Valor médio 9,32

Desvio Padrão 2,949

T (s) 0,932

Tabela 6: Tempo decorrido para completar 10 oscilações e seu período.

Régua

𝑰𝑪𝑴 (kg.m²) (4.000 ± 0.002).𝟏𝟎−𝟒

𝑰(kg.m²) (1.620 ± 0.003).𝟏𝟎−𝟑

Tabela 7: Momento de inercia e momento de inercia no centro de massa.

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Placa

𝑰𝑪𝑴 (kg.m²) (3.8 ± 0.3).𝟏𝟎−𝟒

𝑰(kg.m²) (1.5 ± 0.2).𝟏𝟎−𝟑

Tabela 8: Momento de inercia e momento de inercia no centro de massa.

Régua

𝑳𝑻(m) 𝑳𝒆(m) 𝑬% (%)

0,35 0,39 11,4

Tabela 9: Valores do comprimento (L) teórico e obtido experimentalmente do pendulo

cilíndrico e seu erro relativo percentual.

Placa

𝑳𝑻(m) 𝑳𝒆(m) 𝑬% (%)

0,21 0,23 9,5

Tabela 10: Valores do comprimento (L) teórico e obtido experimentalmente do pendulo

cilíndrico e seu erro relativo percentual.

Através da eq. (5) obtiveram-se os comprimentos teóricos e experimentais,

analisando o valor do erro relativo entre eles, percebe-se que as medidas foram

satisfatórias considerando que o comprimento experimental foi obtido contendo

incertezas instrumentais e erro humano. Com isso percebe-se que quanto maior a

distância entre o centro de massa e eixo de oscilação do pêndulo maior será a exatidão

nos resultados experimentais. Portanto, o pêndulo obedece à teoria dos eixos paralelos,

com um pequeno erro experimental.

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CONCLUSÃO

Enquanto que no pêndulo simples o período é influenciado pelo comprimento do

fio, no pêndulo físico a distância entre o eixo de oscilação e o centro de massa é que

interfere significativamente no tempo necessário para o pêndulo completar uma

oscilação. Com isso, percebe-se o quanto o pêndulo físico é um sistema mais complexo

e real.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] FERNANDO LANG DA SILVEIRA, Determinando a aceleração gravitacional,

Revista de Ensenãnza de la Física, Córdoba, 10(2): 29-35, 1995.