Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br

Teorema da Amostragem

Carlos Alexandre Mello

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Processamento Digital de Sinais

Aspecto fundamental: Conversão do sinal contínuo em uma sequência

de amostras

Um sinal discreto no tempo

Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo

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Processamento Digital de Sinais

A sequência x é escrita como: x = {x[n]}, - <n <

n inteiro

Sequência gerada a partir do processo de amostragem

n-ésimo termo: x[n] = xa(nT), - <n <

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Processamento Digital de Sinais

Referimo-nos a um sistema que implementa a operação anterior como um conversor ideal contínuo-para-discreto (C/D) no tempo

Na prática, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D)

Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de conversores C/D ideais

Na implementação ou escolha de um conversor A/D deve-se considerar a quantização da saída, linearidade, a necessidade de circuitos sample-and-hold e limitações na taxa de amostragem

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Processamento Digital de Sinais

Circuito sample-and-hold no MatLab

Simulink

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Processamento Digital de Sinais

Circuito sample-and-hold no MatLabEntrada

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Processamento Digital de Sinais

Circuito sample-and-hold no MatLabSaída

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Processamento Digital de Sinais

Circuito sample-and-hold no MatLabSaída

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Processamento Digital de Sinais

Circuito sample-and-hold no MatLabSaída

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Processamento Digital de Sinais

Em geral, a amostragem é um processo não-inversível Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes,

não é possível reconstruir o sinal original xc(t)

Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída

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Processamento Digital de SinaisAmostragem

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Processamento Digital de Sinais

É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, dividindo-o em duas partes O processo consiste de um trem de impulsos

seguido de uma conversão desse trem em uma sequência

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Processamento Digital de SinaisAmostragem

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Teorema da Amostragem

Na conversão analógico-digital é necessário colher-se um número discreto de amostras de um sinal contínuo

O problema crucial na amostragem está com o número de amostras/seg que devem ser colhidas

Um número muito pequeno de amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal

A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shannon-Nyquist

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Teorema da Amostragem

Experimento: Sinal de voz >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav');

>> soundsc(som, Fs)

>> som2 = som(1:2:length(som));

>> soundsc(som2, Fs/2)

>> soundsc(som, Fs/2) %

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Teorema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

O teorema estabelece que, sob certas condições, as amostras de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada

Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras colhidas sem nenhuma aproximação

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Teorema de Shannon

Um sinal de banda limitada por fm Hz está

unicamente determinado por amostras, se

são tomadas, pelo menos, 2fm amostras

equidistantes por segundo

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Teorema de ShannonProva

Se as amostras são obtidas a cada Ts segundos, considera-se então um trem de impulsos Ts(t)

A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por:

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Teorema de ShannonProva

Pares sinal etransformada

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Teorema de ShannonProva

Vamos analisar o espectro do sinal amostrado

O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser determinado com o auxílio do teorema da convolução na frequência:

Segue que:

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Teorema de ShannonProva

Se:

Então, o espectro de fs(t) é dado por:

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Teorema de ShannonProva

E, finalmente:

Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçamento Ts

entre amostras

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Teorema de ShannonProva

Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Suponha um sinal banda limitado em wm:

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Teorema de ShannonProva

Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:

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Teorema de ShannonProva

Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:

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Teorema de ShannonProva

Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:

Aliasing

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Teorema de ShannonProva

Recuperação do sinal original - FPB

FPB

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Teorema de ShannonProva

Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que: ws 2wm

ou seja 2/Ts 2.2fm Ts 1/(2fm) seg

O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist

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Teorema de Shannon

Além da preocupação com a taxa de amostragem, deve-se tomar precauções quanto à recuperação do sinal para não provocar distorções: Ganho nas altas frequências

Perda nas baixas frequências

Modulação das frequências do sinal original

Casos híbridos

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Teorema de ShannonProva

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Teorema de ShannonProva

Na digitalização de imagens, podemos observar esses fenômenos: Exemplo: Padrões de Moireé

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Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras

De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts ½ fm, então a passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamente o sinal analógico

Sabendo que: f(t)

F(w)

FPBFunção Sample

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Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras

Como o sinal é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) corresponde à superposição de várias funções sample deslocadas, centradas em 0, T, 2T, ....

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Teorema da Amostragem

Referências: Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons, 2004