Pds Processamento de sinais

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Introducao

Analise deFourier deTempo Curto

AnaliseusandoTransformadaWavelet

TransformadaWaveletDiscreta

Aplicacoes daDWT

Conclusoes

Disciplina: Processamento Digital de SinaisAula 04 - Analise Tempo-Frequencia

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia

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Aplicacoes daDWT

Conclusoes

Conteudo

1 Introducao

2 Analise de Fourier de Tempo Curto

3 Analise usando Transformada Wavelet

4 Transformada Wavelet Discreta

5 Aplicacoes da DWT

6 Conclusoes

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Introducao

Em muitos casos praticos as caracterısticas do sinal variam como tempo.

Por exemplo, numa musica e possıvel perceber a mudanca noscomponentes de frequencia (graves - baixas frequencias eagudos - altas frequencias) ao longo de sua execucao.

Outros exemplos de sinais variantes no tempo:- Sinais do sistema eletrico;- Sinais de instrumentacao biomedica (eletrocardiograma,

eletroencefalograma, etc);- Audio em geral (voz, musica, sinais acusticos de maquinas

eletricas, etc);- Vıdeo.- ...

Nestes casos, e importante realizar o processamento dos sinaisde modo que seja possıvel explorar, ao mesmo tempo, osdomınios do tempo e da frequencia.

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Resolucao nos Domınios do Tempo e da Frequencia

Na analise tempo-frequencia ha sempre um compromisso entre asresolucoes obtidas em cada domınio.

Para obtermos uma boa resolucao no domınio da frequencia e precisode uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtasjanelas de tempo nao e possıvel obter boa resolucao na frequencia.

Essa limitacao e mostrada na figura abaixo em termos da “caixa deHeisenberg” ou “atomo tempo-frequencia”.

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Resolucao nos Domınios do Tempo e da Frequencia

Percebe-se entao que, e preciso manipular adequadamente atransformacao tempo-frequencia de modo que os requisitos deresolucao sejam atendidos em ambos os domınios.

Existem duas formas mais comuns de realizar a analisetempo-frequencia (que serao apresentadas a seguir):

A analise de Fourier de Tempo Curto (ou Janelada)A analise de Wavelet

A principal diferenca entre elas e que na primeira a resolucaotempo-frequencia e mantida constante em toda a analise dosinal e na segunda e possıvel realizar o que e definida como umaanalise multi-resolucao.

Ou seja, a transformada Wavelet permite variar a resolucao datransformacao tempo-frequencia no decorrer da analise do sinal.

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Analise de Fourier de Tempo Curto

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Analise de Fourier de Tempo Curto

Na analise de Fourier de Tempo Curto (do ingles Short-TimeFourier Analysis) o sinal temporal e sub-dividido em janelas decurta duracao e a transformada de Fourier e calculada para cadajanela.

As janelas temporais podem ser definidas com ou semsuperposicao entre as janelas adjacentes.

As funcoes janela mais utilizadas sao as semelhantes as vistasanteriormente para o projeto de filtros FIR:

- Retangular;- Triangular;- Hamming;- Hanning;- ...

Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular)geram oscilacoes de Gibbs nos componentes de frequenciaestimados.

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Transformada de Fourier de Tempo Curto

A Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT -Short-Time Fourier Transform) e entao definida, no domıniodiscreto como:

X (m, ω) =∞∑−∞

x [n]f [n −m]e−jωn

sendo f [n] uma funcao janela de comprimento limitado L. Ouseja: f [n] = 0, se |n| < L/2

Numa implementacao pratica, o deslocamento no tempo(representado pelo parametro m) nao pode ser realizadocontinuamente.

Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretosde m usando um espacamento ∆m pre-determinado.

Quando ∆m < L ha superposicao entre as janelas adjacentes.

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Transformada de Fourier de Tempo Curto

Para a apropriada visualizacao dos resultados da STFT pode-seutilizar:

- Graficos 3D: onde os eixos x e y estao associados aotempo e a frequencia, e o eixo z a amplitude doscomponentes.

- Graficos 2D: nos quais os eixos x e y estao associados aotempo e a frequencia, e a amplitude e indicada por umcodigo de cores. Esta visualizacao e normalmente chamadade Espectrograma.

O espectrograma pode ser considerado como uma “vistasuperior” do grafico 3D.

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Visualizacao 3D da STFT - Exemplo 1

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Visualizacao 3D da STFT - Exemplo 2

As cores podem ser associadas a intensidade ou a energia associadaaos componentes de frequencia.

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Exemplo de Visualizacao 2D da STFT(Espectrograma)

No inıcio o sinal nao tem informacao em qualquer frequencia; Logo a seguir (p/ T < 2) aparecemcomponentes de baixa frequencia; Para T > 2 comecam aparecer componentes de frequencia maisalta; Quando 6 < T < 8 a energia esta concentrada em algumas faixas de frequencia; Em T > 10percebe-se que ha energia em quase toda a faixa de frequencias analisada (provavelmenterepresentando contaminacao por ruıdo branco).

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Outras Transformadas Janeladas

O conceito do janelamento do sinal temporal para a realizacaode uma analise tempo-frequencia tambem pode ser estendidopara outras transformadas como a Transformada Discreta daCossenos.

Essa abordagem da origem a modified discrete cosine transform(MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposicao de50% e atualmente e aplicada em diversos algoritmos decompactacao de audio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA,ATRAC, Cook e AAC.

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Limitacoes da STFT

Conforme mencionado anteriormente, a analise tempo-frequenciausando janelas e transformadas com funcoes de base invariantes(senos e/ou cossenos) apresenta uma limitacao inerente que e aresolucao fixa.

Ou seja ha um compromisso entre as resolucoes possıveis de seremobtidas nos dois domınios (nao se pode ter uma excelente resolucaotanto no tempo como na frequencia).

Isso pode se tornar um problema a depender da aplicacao. Um modode contornar essa limitacao e utilizar transformadas com funcoes debase variaveis, como as Wavelets.

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Exemplos utilizando o Matlab

Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab dispoe derotinas nativas como o spectrogram.

Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio(musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequencia amedida que as musicas se desenvolvem no tempo.

Foram utilizadas as musicas a seguir (disponıveis para download

juntamente com esse modulo de slides no arquivo

ExMusicasPDSaula04.mat):

- y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (OrquestraBrasileira de Musica Jamaicana);

y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelosRed Hot Chili Peppers.

As musicas podem ser importadas com o comando load.

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Exemplos utilizando o Matlab

Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir:figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e

A sintaxe do comando garante que:- O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos;

- Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposicao de50 % e duracao T/100;

- A FFT e realizada com Nfft pontos.

Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 eNfft=2048.

Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os parametros acimapara verificar sua influencia na apropriada visualizacao dasinformacoes de interesse no sinal.

Para executar os arquivos em formato de audio utilizem os comandoswavplay (que executa diretamente do Matlab, mas so funciona comSO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo .wav para serexecutado atraves de um programa apropriado).

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Espectrograma do sinal y1

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Espectrograma do sinal y2

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Analise usando Transformada Wavelet

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Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas emambos os domınios e necessario utilizar atomos tempo-frequenciacom diferentes suportes temporais.

A transformada wavelet decompoe um sinal em versoes escalonadas etransladadas das funcoes wavelet.

Uma wavelet e definida como uma funcao ψ ∈ L2(R) com media zero:∫ ∞−∞

ψ(t)dt = 0,

normalizada ‖ψ‖ = 1 e centrada em torno de t = 0.

Um dicionario de atomos tempo-frequencia e obtido doescalonamento por s e da translacao por u de ψ:

D =

{ψu,s(t) =

1√sψ

(t − u

s

)}u∈R,s∈R+

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Conclusoes


A transformada Wavelet do sinal f no tempo u e escala s edefinida por:

Wf (u, s) =

∫ ∞−∞

f (t)1√sψ∗(

t − u

s

)dt

Exemplo de uma funcao wavelet tipo spline cubico (a) e suarespectiva transformada de Fourier (b):

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Analise Multiresolucao usando Wavelet

Um atomo tempo-frequencia wavelet corresponde a uma caixade Heisenberg centrada em (u, η/s) de comprimento sσt notempo e σω/s na frequencia.

A area do retangulo permanece constante, mas a resolucao notempo e na frequencia dependem do fator de escala s.

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A Famılia de Wavelets Daubechies

As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por IngridDaubechies. Sao funcoes wavelet ortogonais muito utilizadasem analises atraves da Transformada Discreta de Wavelet, poissao funcoes limitadas no tempo.

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A Famılia de Wavelets Daubechies

As funcoes Wavelet podem tambem serem definidas em mais deuma dimensao, como por exemplo a Daubechies 20 2-d:

Com funcoes wavelet limitadas no tempo (definidas por seriesde suporte temporal finito) e possıvel realizar o processamentodiscreto atraves da DWT (Discrete Wavelet Transform).

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Transformada Wavelet Discreta

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Para operar em sistemas digitais a transformada Wavelet precisa serexecutada de modo discreto. Um modo eficiente para realizar a DWT(Discrete Wavelet Transform) e atraves de filtragens sucessivas dosinal discreto x [n].

Considerando dois filtros digitais (filtros espelhados em quadratura)com sequencias de resposta a impulso finitas g [n] (passa-baixas) eh[n] (passa-altas), o sinal de interesse x [n] e entao decomposto em:

yLow[n] =∞∑

k=−∞

x [k]g [2n − k] e yHigh[n] =∞∑

k=−∞

x [k]h[2n − k]

Graficamente temos:

Percebe-se que apos a filtragem, os sinais sao sub-amostrados por umfator de 2.

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A sub-amostragem e viavel pois apos os filtros temos:

- em yLow[n] apenas a primeira metade dos componentes defrequencia do sinal x [n] e

- em yHigh[n] apenas a segunda metade dos componentes defrequencia do sinal x [n].

Assim, e possıvel reduzir a frequencia de amostragem (por um fatorigual a 2) e ainda assim manter valido o teorema de Nyquist.

Os coeficientes dos filtros g [n] e [h[n] estao relacionados com asfuncoes Wavelet utilizadas na decomposicao.

Conforme definicao, a DWT com um unico nıvel de decomposicao ecapaz de dividir em duas faixas de frequencia o sinal original e gerardois sinais temporais concentrando essas informacoes

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Se for necessario explorar outras faixas de frequencia pode-se realizarsucessivas decomposicoes:

O espectro de frequencias fica entao mapeado conforme mostrado aseguir:

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Uma nomenclatura normalmente adotada para a analise via DWT

considera que:

- yLow[n] = g1[n] sao os coeficientes de aproximacao doprimeiro nıvel de decomposicao do sinal x [n] e

- yHigh[n] = h1[n] sao os coeficientes de detalhe do primeironıvel de decomposicao do sinal x [n].

Considerando um nıvel de decomposicao generico k, temos:

- gk [n]→ os coeficientes de aproximacao do nıvel k;

- hk [n]→ os coeficientes de detalhe do nıvel k.

Devido a subamostragem, gk [n] e hk [n] tem uma reducao de 2k nonumero de amostras em comparacao ao sinal original x [n].

=⇒ Um aspecto interessante da DWT e que os sinais gk [n] e hk [n]preservam a informacao no domınio do tempo referente a faixas defrequencia especıficas.

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Wavelet Packet Decomposition

Conforme visto anteriormente, a estrutura de decomposicao definidana DWT normalmente envolve apenas a operacao sequencial sobre oscoeficientes de aproximacao, o que proporciona uma crescenteresolucao em baixas frequencias.

Se for necessario explorar mais detalhadamente tambem outrasregioes do espectro, pode-se modificar a estrutura da DWTtradicional, dando origem ao que se chama Wavelet PacketDecomposition (ou WPD):

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Wavelet Packet Decomposition

Com a WPD o espectro de frequencias pode ser mapeado demodo regular:

Freq

Freq

Freq

Decomposição de Nível 1:

Decomposição de Nível 2:

fm

fm/2 fm

fm/2 fmfm/4 3fm/2

Sinal Original

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Exemplo - DWT

Considerando um sinal acustico de curta duracao como:

0 0.05 0.1 0.15−1

−0.5

0

0.5

1

Time (s)

Am

plit

ude (

V)

a

b

c

E realizando-se uma decomposicao do tipo DWT:

X[k] d [k]1

h [k]1

d [k]2

h [k]2

...

...

d [k]m

h [k]m

2 2 2

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Exemplo - DWT

Apos 5 nıveis sequenciais de decomposicao chega-se a:

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.05

0.1

Sig

nal

0 500 1000 15000

0.05

0.1

d1

0 100 200 300 400 500 600 7000

0.05

0.1d2

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.05

0.1

d3

0 50 100 1500

0.05

0.1

d4

0 20 40 60 800

0.05

0.1

Number of points

d5

A cada nıvel o sinal e sub-amostrado por um fator de 2 e representaas informacoes de frequencias mais baixas.

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Aplicacoes da Transformada Wavelet Discreta

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Aplicacoes da DWT

Entre as principais aplicacoes da DWT (e da WPD) pode-semencionar:

- Extracao de Caracterısticas

- Remocao de Ruıdo

- Compressao de Sinais

No exemplo mostrado no Slide 31, a DWT foi utilizada paraextrair caracterısticas do sinal acustico.

Naquela aplicacao, os coeficientes de aproximacao de ordem 5foram utilizados para inferir informacoes acusticas a respeito dacondicao de operacao de um transformador auto-regulado(OLTC - On-Load Tap Changer).

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Wavelet Denoising

O processo de filtragem de ruıdo utilizando wavelets (conhecidocomo Wavelet Denoising), pode ser resumido pelo diagrama aseguir:

x[n] + N[n] Patamar x[n]DWT IDWT

A etapa “patamar” se refere a eliminacao dos coeficientes dedetalhe dk [n] que sejam inferiores a um valor limitepre-estabelecido:

dk [n] =

{0, dk [n] ≤ λmdk [n], dk [n] > λm

=⇒ Escolha de λm:

- quanto menor λm, menor a intensidade da filtragem;

- com valores muito elevados de λm pode-se acabareliminando o sinal de interesse.

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Wavelet Denoising - Exemplo

Sinais original, ruidoso e filtrado com Wavelet Denoising:

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Compressao da informacao com Wavelets

De modo analogo ao realizado no processo de remocao de ruıdo,a compressao da informacao usando Wavelets pode ser realizadaa partir da eliminacao de um conjunto de coeficientes poucorepresentativos da informacao de interesse.

O sinal compactado (com menor numero de coeficientes) podeser utilizado para reconstruir a informacao atraves datransformacao wavelet inversa.

Para compactacao podem ser utilizados esquemas DWT ouWPD.

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Para analisar adequadamente sinais com caracterısticas variantes notempo e preciso fazer uso de extensoes dos metodos tradicionais.

O processamento deve ser capaz de descrever o sinal durante todo operıodo de analise.

Para esse objetivo pode-se utilizar a analise tempo-frequencia.

Observamos que a analise tempo-frequencia pode ser executadausando a STFT (transformada de Fourier de tempo curto) ou atransformada Wavelet.

Nas analises tempo-frequencia ha uma relacao de compromisso entreas resolucoes possıveis nos domınios do tempo e da frequencia.

A analise via STFT apresenta resolucao tempo-frequencia fixa,enquanto a analise wavelet permite uma analise multi-resolucao.

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Bibliografia Consultada

Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- MALLAT, S. Wavelet Tour of Signal Processing, TheSparse Way, Academic Press, 2008.

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas figuras foram retiradas na ıntegra das referenciasacima.

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