Post on 17-Apr-2015
Otimização Aplicadaao Dimensionamento e
Operação de Reservatórios
Aplicações de Programação Linearpor
Mario Thadeu Leme de Barros
Dimensionamento e Operação de Reservatórios
Reservatório para abastecimento: retirada constante
Notação:
tmesnoafluentenaturalvazãoti
ioreservatórdocapacidadec
tmesnovertimentotw
ntoabastecimedevazãoq
inicialntoarmazenameS
tmesdofinalnontoarmazenametS
críticoperíododotamanhoemesdoíndicenet
0
Dimensionamento (PL com 2n+2 variáveis e 2n+1 restrições):
0,
.....2,10,0
0
....2,1
........3,2,11
qc
nttwS
SnS
ntctS
nttwqtitStS
asujeito
czMinimizar Dorfman, 1965
O problema pode ser equacionado sem as variáveis de armazenamento
(problema com n variáveis a menos) :
0,
....2,1011
....2,1011
0
....2,111
0
qc
nttw
n
ttinq
n
ttw
nkkqk
ttw
k
ttiS
nkckqk
ttw
k
ttiS
asujeito
czMinimizar
Comentários Importantes:
•A somatória maior ou igual a zero na segunda formulação é necessária para garantir a não negatividade (isso não é necessário na primeira formulação)
•as duas formulações apresentadas podem ser empregadas para: conhecido C determinar qual a vazão de abastecimento garantida q; nesse caso, o problema passa a ser maximizar q
•essa vazão q é chamada de vazão garantida (safe yield); é melhor chamá-la de vazão garantida histórica; é necessário empregar a hidrologia sintética para estimar a sua confiabilidade
Levando em conta a evaporação:
gtetwqtitShtetShte
outShtShgtetwqtitStS
ficabalançodeequaçãoaodesse
tShgtetateevaporadovolume
tShgtStShgta
áreaxvolumedalinearoaproximaçã
1)2/1()2/1(
]1)2/()2/([1
:mod
)(.
)2
1(
:
Levando em conta um modelo de equação diferencial para a equação do volume:
tkketkondegtktwtkqtktitktS
ketS
ficaPLdarestriçãoaodesse
ketktbtSketS
períododofinalnoquedoconsideran
htetke
gtetwqtitbondeStktbtd
dSqueescreversepode
tmesnotempooéonde
hStegtetwqtitd
dS
tt
tt
/)1('''''1)(
:mod
)1)(/(1)(
1
)
)
Alteração quando se considera volume para controle de cheias
udeeirou
ntq
twtS
SnS
ttkentcomkvctS
nttitwqtStS
asujeito
qzimizar
kvmescada
acheiasdecontroleparavolumeoconhecidosejaqueondo
int][
....2,10
0,0
]12/)1[(12...2,1
...2,11
max
sup
Abastecimento com vazões variáveis a cada mês
udeeirou
ntq
AQtwtS
SnS
ttkentcomctS
ntAQktitwtStS
asujeito
AQzimizar
kmesnoutilizadaAQdefraçãoakseja
AQntoabastecimedeanualvazãooconhecidosejaqueondo
int][
....2,10
0
0,0
]12/)1[(12...2,1
...2,11
max
sup
Regras de operação e simulação
Um modelo que maximiza mês a mês uma certa vazão de abastecimento, dada uma capacidade C, segue uma regra operativa: uma equação, um gráfico ou uma tabela especificando a quantidade de água a ser descarregada (para vários fins) em função dos estados do sistema e de parâmetros
Múltiplos reservatóriosRegras de locação de volumes para abastecimento
Serão tratados reservatórios em paralelo uma vez que reservatórios em série podem ser tratados como um único reservatório (para abastecimento)
Vamos considerar inicialmente a situação em que as contribuições mensais não variam
Múltiplos reservatórios (três em paralelo)
zeroaiguaisserdevemiáveisastodas
kkqkqkqMq
iiSinS
eiosreservatórosparaidem
ntCtS
ttkntkqtwtitStS
asujeito
MqzMaximizar
anonumntoabastecimepararetiradaserpodequevazãoMq
tmesdofinalnoiosreservatórdosvolumestStStS
tmesnoiosreservatórtresnosvertidasvazõestwtwtw
anodokmes
noiosreservatórtresnosntoabastecimedevazõeskqkqkq
tmesnoosrservatóritrêsosparaafluentesvazõestititi
iosreservatórtrêsdeCapacidadeCCC
var
12...2,1321
3,2,10
32
......2,111
]12/)1[{12.....2,1111111
3,2,1
3,2,1
3,2,1
3,2,1
3,2,1
Múltiplos reservatórios (três em paralelo)
Alguns comentários:
•cada ano tem-se 36 valores de vazões, três para cada mês; num dado mês o total é constante, mas os valores podem variar para cada reservatório mês a mês;
•a solução desse problema é diferente se cada reservatório for operado de forma independente (neste caso o total deve ser menor do que a operação conjunta)
•pode-se evitar mudanças bruscas mês a mês se forem acrescentadas restrições do tipo:
11.....2,11,
11....2,11,
kikqkiq
kkiqikq
Da mesma forma podem ser consideradas vazões mensais totais diferentes
12....2,1321
.
kkqkqkqAQk
AQzMax
Regras de operação quando as vazões afluentes variam mês a mês
tperíododofinalnoiioreservatórnolivrevolumeitv
garantidovolumeestimadoseraáguadeproduçãodavalorT
dadesconhecitmêsnoiioreservatór
dovolumecalculadaãocontribuiçitx
iioreservatóraoalocada
tmêsdodemandadadadesconheciproporçãoit
conhecidoenchimentoredeciclodoteres
noiioreservatórnoprevistavazãoiir
conhecidaiioreservatórnotmêsoparaestimadavazãoitip
notação
)(
)(
)(tan
)(
:
Regras de operação quando as vazões afluentes variam mês a mês
As vazões afluentes podem ser estimadas por correlações com o mês anterior;
A Regra do Espaço de Clark (1962):
repartir a vazão requerida pelos reservatórios de modo que a razão entre o espaço disponível em cada reservatório (depois da retirada) e o total vazio dos reservatórios seja igual, na medida do possível, à razão da vazão prevista em cada reservatório durante o período restante do ciclo de re-enchimento e o total previsto para todos reservatórios
Esta regra foi pensada para minimizar o vertimento no restante do período de re-enchimento, entretanto não garante o mínimo vertimento;
a regra não fornece um valor para a produção conjunta de água, ela apresenta somente uma regra de alocação, considerando as contribuições relativas; além disso, é preciso estimar T (a produção conjunta do três reservatórios)
3,2,11)(
:Re
)()1(
,mod
3
1)1(
:min
3
1])]1([
]]1([
:
3
1
:
3
1
3
1)]1([
]]1([
:
)1(
:
iparaitipitSiCTNititx
Agra
TNititxitipitSiCitxparasistemaocalcularpodemosodesse
iitipitSiCN
adordenonoconhecidostermososagruparpodemos
it
iTitipitSiC
itxitipitSiC
acimarazãonadosubstituin
Ti
itx
quedoconsideran
kkir
iirit
iitxitipitSiC
itxitipitSiC
razãoa
itxitipitSiCitv
iioreservatórnolivrevolumeo
Razão deClark
Outras razões par alocar água dos reservatórios:
3,2,1*]3
11
1[
:Re
iT
iitS
itSitx
Bgra
T
iitipitS
itipitSitx
Cgra
*3
1)]1([
)1(
:Re
T
iiCitipitS
iCitipitSitx
Dgra
*3
1]/)1([
/)1(
:Re
Como calcular T (por tentativas)
Supondo que a regra de alocação de água seja A, pode-se determinar T com as seguintes equações de balanço de água:
01]/[
1
101
itxitiitSpareelinadmissívitS
itxitiitSiCiCitS
iCitxitiitSitxitiitSitS
Essas equações devem ser escritas para cada reservatório i do sistema, para cada mês do registro crítico (pior sequência de vazões)
Operação em Tempo Real e Maximização da Produção
Notação:
i ioreservatór do capacidade -
i ioreservatór no mês num esperado vazio volume-
i ioreservatór no mês o durante o vertiment-
i ioreservatór no prevista vazão- iip
meta a para i ioreservatór do ãocontribuiç -
anterior) período do final no
ento(armazenam intervalo do início no i ioreservatór no ntoarmazename -
iCiw
iw
ix
iS
)(
)(
Vamos adotar como FO a Minimização do vertimento...assim podemos estimar T
3 e 1,2,i com
3 e 1,2i com
z
0,,
321
.321
iwiwix
Txxx
iCiipiSixiwiw
as
wwwMin
Varia-se o valor de T até algum reservatório apresentar volume negativo..........neste caso obtém-se o maior T..
Regra de Clark para o mesmo caso....
denegativida não
3 e 1,2i com
3 e 1,2i com
i ioreservatór no futura afluente vazão-
3
10)(
321
.
3
1
3
1
321
kkwiiw
Txxx
iCiipiSixiwiw
ask
kwzMinim
i
kkw
iw
if
fffif
i
Otimização Mensal, conhecido o estado presente e as previsões para os próximos 12 meses....
Minimizando o vertimento esperado
Regra para o próximo mês somente:
kii
kiV
kii
kiU
ieSioS
kiiadeprobabilidk
ip
kii
Notação
ocorrer se i ioreservatór no livre volume-
ocorrer se i ioreservatór no o vertiment-
randômica variávelmês, do final no i ioreservatór no ntoarmazename -
conhecido prévio, mês do final no i ioreservatór no ntoarmazename -
de
mês o durante i ioreservatór ao afluente vazãoda possível realização késima
:
.afluente.. vazãoa para intervalos de número o é m
1,2...mk 1,2,3;i
Txxx
kiV
kiUiCix
kiiiS
asi
m
k
kiUk
ipzMin
321
0
.
3
1 1. Alternativa:
3
1 1.
i
m
k
kiV
kipz
Minimizar
Dimensionamento de Reservatórios
em Função do Custo
Reservatórios operados de forma independente:
Tqqqq
as
qfqfqfz
iqiSinsiCits
itwiqitiitsitsiCz
Minimizar
321
.
)3(3)2(2)1(1
0
1
Minimizar
:dois fase
da...regulariza vazão versuscusto de curva uma ção...eregulariza de
curva uma ioreservatór cadapar determino q, variando
conhecido com
1,2...nt com
1,2,....nt com
:calcular ioreservatór cada para teInicialmen
Dimensionamento de Reservatórios
em Função do Custo
Reservatórios operados de forma conjunta:
PL mista - inteira - yi é igual a um se o reservatório for construído, zero caso contrário