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O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM EQUAÇÕES
UNIDIMENSIONAIS
Rosane Cordeiro Rafael João Flávio Vieira de Vasconcellos UERJ - ,Instituto Politécnico UERJ - ,Instituto Politécnico
Email: rosanecr@ig.com.br jfvasconcelos @iprj.uerj.br
Palavras-chave: análise de erros, volumes finitos, solução manufaturada.
Resumo: Esse artigo visa mostrar a análise de erro na equação de advecção-difusão utilizando
o Método de Volumes Finitos. Através da expansão da série de Taylor tem-se uma estimativa do
erro a priori, e por intermédio de técnicas a posteriori busca-se mensurar a magnitude do erro
de discretização. Obteve-se uma solução analítica para o problema através da técnica de
solução manufaturada.
1. INTRODUÇÃO
Para Yang et al (1998), a maior dificuldade para obter a análise numérica da equação da
advecção-difusão surge com o aparecimento da difusão numérica durante a discretização do
termo convectivo da equação e a instabilidade numérica apresentada. Desta forma, a solução
obtida carregará erros gerados durante o processo de resolução da mesma. Assim, o objetivo
deste trabalho é o de fazer a análise de erros na equação diferencial de advecção-difusão,
utilizando para isto, o método dos volumes finitos.
2. O MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS
O Método dos Volumes Finitos é definido como a integração no espaço e no tempo da
equação diferencial na forma conservativa em um dos volumes de controle, Patankar (1980).
O método utiliza a equação diferencial na sua forma integral e para isto, torna-se necessário
a discretização do domínio do problema estudado. Assim, divide-se o domínio em um número
finito e contínuo de volumes de controle. Em cada um destes deve ser aplicada a equação de
conservação. No processo de discretização será utilizada uma malha do tipo nós e faces
centradas como a apresentada abaixo. Tem-se também a representação de um volume finito
típico para o caso unidimensional, onde os índices em maiúsculo representam os
volumes internos e os índices em minúsculos , representam as faces.
2.1. A Equação de Advecção-Difusão:
A equação diferencial estudada neste artigo é conhecida como equação de advecção-difusão
e é representada por:
(1)
Onde x é a variável espacial, ϕ a variável dependente e B(x) é o termo fonte. Na pesquisa, o
valor de Peclet será considerado constante. Quando discretizada através da técnica de volumes
finitos, o volume genérico P representado na Fig.(2) tem a forma a seguir:
(2)
Observe na Eq. (2) a necessidade de atribuir valores para faces de volumes ϕe e ϕw.
No caso apresentado, serão aplicadas duas técnicas de interpolação: UDS (Upwind
Differencing Scheme) e CDS (Central Difference Scheme) Maliska (2004). Para tal,
xUPeondexB
xPex
)(.
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2
Figura1 - Malha unidimensional uniforme Figura 2 – Volume Finito típico - unidimensional
266
ISSN 2317-3297
L
xnsenx
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ppPEWPWE xSSAAAxwPe
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A
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SxwPe
AxwPe
AA ee
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2
11;
2
11;0
utilizaremos as funções definidas em Germer (2009). Assim, quando α = 0, a função de
interpolação a ser aplicada é a CDS e quando α = ½, a função de interpolação utilizada será a
UDS, para u > 0.
2.2. Discretização
Ao aplicarmos as funções de interpolação citadas pro Germer (2009) na Eq. (2) e utilizando
o método de balanço para as fronteiras, obtém-se o sistema linear a seguir (Maliska, 2004):
(3)
Também aplicaremos condições de contorno de Dirichlet, em x = 0 e Neumann, em x = L
onde L= comprimento do domínio. Assim, aplicando as funções de interpolação sugeridas por
Germer (2009) na Eq.(2), os coeficientes encontrados para a Eq.(3) serão:
Coeficientes obtidos
Volume interno
Primeiro volume
(Dirichlet)
Último volume
(Neumann)
Tabela 3 - Coeficiente obtidos após a aplicação das funções de interpolação em (2)
Em tempo: no caso de Neumann, utilizamos a definição dada por Maliska(2004):
(4)
2.3. Solução Manufaturada
De acordo com Roy (2005), o método de soluções manufaturadas MSM é uma abordagem
geral e muito poderosa para a verificação de código. Ao invés de tentar encontrar uma solução
exata para uma equação diferencial, o objetivo é fabricar uma solução exata para uma equação
diferencial ligeiramente modificada. Assim, a função de manufatura proposta para o trabalho é:
(5)
Aplicados os coeficientes da Tabela (3)(Neumann) na Eq. (1) tem-se o seguinte termo fonte:
(6)
Ao escolhermos a Eq.(6) como termo fonte da Eq.(1), então, necessariamente a Eq. (5) é
solução analítica da Eq (1).
3. RESULTADOS
Marchi (2001) diz que o erro numérico (E) é a diferença entre a solução analítica exata (Φ)
de uma variável de interesse e a sua solução numérica (ϕ), isto é: E(ϕ) = Φ – ϕ .
Onde Φ = solução analítica e ϕ = solução numérica. Para avaliar a metodologia numérica foram
escolhidas duas variáveis de interesse: ϕC e EM (erro médio):
ϕC = valor numérico obtido no centro da malha através de volumes ímpares;
EM = Tem valor nulo e será calculado a partir de Vasconcelos e Vista (2010)
P é a solução analítica no ponto gerador do volume P e P a solução numérica no mesmo
volume.
Na análise a priori, utilizaremos a metodologia apresentada por Leonard (1995):
Escolhe-se um volume interno qualquer. Faz-se uma expansão em série de Taylor de todos
os vizinhos do volume em relação a ϕP e, em seguida, substitui-se as expansões na Eq. (2).
PPEEWWPP xSAAA
²cos)(
22
PeL
n
L
xnsen
L
n
L
xnxS
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)()(²
²1)(
²
²1hErroxB
xPexxS
xPecletx
²)(1
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²
8
1
²
²
8
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²
²2
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PecletxxPecletxPeclet
xErroh
²)(1
.³
³
24
1
²
²
4
1
2
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PecletxxxErroh
²)(²1
³
³2010
120
14
4
hhPeclet
Pecletxx
Erroh
²)(1
³
³
24
1
²
²
4
1
2
1hh
PecletxxxErroh
A análise a posteriori utilizará a definição dada por Baker (2005) e utilizará 3 soluções
numéricas e suas respectivas malhas.
3.1. Análise Teórica
A análise do erro da equação diferencial é feita considerando os seguintes aspectos:
(7)
Onde )(²
²1xS
xPecletx
, é a solução numérica e )(
²
²1xB
xPex
, é a solução analítica.
Malha uniforme – interpolação UDS
Volume interno
1º volume (Dirichlet)
Último volume
(Neumann)
Tabela 2- Erro obtido na malha uniforme- interpolação UDS
Observa-se que no primeiro volume e no último volume, mesmo quando 0h não existe a
garantia que o erro analítico tenderá a zero, visto que restarão termos independentes de h na
equação.
Malha uniforme – interpolação CDS
Volume interno ²)(²
1
³
³2010
120
14
4
hhPeclet
Pecletxx
Erroh
1º volume (Dirichlet)
Último volume
(Neumann)
Tabela 3-Erro obtido na malha uniforme - interpolação CDS
No caso do primeiro volume, o erro apresentado será de ordem h², e fazendo 0h o
erro tenderá a zero. Nos demais casos (primeiro e último volumes), temos erro de ordem h e
fazendo 0h , não se pode garantir tal fato, visto que restarão termos independentes.
3.2. Análise Numérica
Na a análise numérica, foi criado um programa utilizando a Linguagem C++. Objetivando
verificar a influência do número de Peclet considerou-se a seguinte variação: Peclet = 5 e 10.
Em cada resultado será informado o número de Peclet utilizado. As soluções numéricas foram
obtidas para malhas com N volumes, onde N = 2i +1 com i = 3,..,14 . As funções de interpolação
utilizadas foram CDS e UDS.
Figura 1. Erro em malha cartesiana, Peclet =5 Figura 2. Erro em malha cartesiana, Peclet =10
²)(²2
²1hh
xErroh
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Nos casos, a função de interpolação CDS acarretou melhores resultados, obtendo erro
médio superior a 10-5
.Com o intuito de provar a ordem de cada uma das funções de
interpolação, buscou-se fazer alguns testes para validar os resultados obtidos. A tabela que
segue foi obtida para as interpolações CDS e UDS, utilizando Peclet = 5 e N= 3. Nela,
encontram-se alguns valores após os testes. Para determinar a acuracia da ordem do erro de
discretização, utilizou-se a Eq.(14). Os resultados encontram-se na tabela abaixo:
N1 N2 N3 P CDS P UDS
5 9 17 2.205742669871589 0.9556954087952803
9 17 33 2.071765804247858 0.8695997679052959
17 33 65 2.020301585193323 0.9090134114650305
33 65 129 2.005357704533072 0.9508082465791468
65 129 257 2.001373549635189 0.9753994151041138
129 257 513 2.000347552671374 0.9878923900907018
257 513 1025 2.000087326368272 0.9940263986937784
513 1025 2049 2.000021709123375 0.9970378832976793
1025 2049 4097 2.000008208002170 0.9985257325480633
2049 4097 8193 2.000009200100751 0.9992646379439467
Tabela 3. Ordem do erro de discretização
Observa-se que com o refino da malha na função de interpolação CDS, a ordem do erro
tende a 2, já na função de interpolação UDS, esta ordem tende a 1. Como havia sido visto.
4. CONCLUSÕES
A partir do exposto, ao utilizar o método dos volumes finitos para a análise do erro na
equação de advecção-difusão, concluiu-se que as funções de interpolação CDS e UDS são
capazes de obter bons resultados para a ordem do erro obtido. Além disso, a variação no
número de Peclet pouco influenciou o erro encontrado. Comparando a interpolação CDS com a
UDS, observa-se que a primeira alcança melhores resultados, visto que esta função configura
erro de segunda ordem. Tal constatação pôde ser visualizada mais claramente ao refinar a malha
e utilizar para isto a extrapolação de Richardson, que comprovou a ordem do erro em cada caso.
Assim, conclui-se que o método funciona atisfatóriamentepara a análise da equação sugerida.
5. REFERÊNCIAS
[1] B.P. Leonard. 1979. “A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on
Quadratic Upstream Interpolation”.Comput. Meth. Appl. Mech. Engr.; 19:59 – 98.
[2] Baker, T.J. 2005. “On the Relationship Between Mesh Renement and Solution Accuracy”.17
th ALAA Computational Fluid Dynamics Conference, Toronto, Ontario.
[3] Germer, E. M. 2009. “Verificação de Funções de Interpolação em Adveção-Difusão 1D com
Volumes Finitos”. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.
[4] Maliska, C. R. 2004. “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”.2.ed.
LTC, Rio de Janeiro.
[5] Marchi, C. H. 1993. “Esquemas de Alta Ordem para a Solução de Escoamento de Fluido
sem Dispersão Numérica”. Revista Brasileira de Ciências Mecânicas. V.15, n.3, p.231-249.
[6] Noye, B.J. 1991. “ Some Tree-Level Finite Difference Methods For Simulating Advection
in Fluids Computers & Fluids”. V.19, n.1, p.119 – 140.
[7] S.V. Patankar. 1980. “Numerical Heart Transfer and Fluid Flow”. Hemisphere.
[8] Vasconcellos, J.F.V., Vista, R.C. 2010. “Análise de Erros de Solução pelo Método de
Volumes Finitos da Equação de Poisson em Malhas de Voronoi” . Anais do XIII Encontro
de Modelagem Computacional, Nova Friburgo.
[9] Yang, Y. , Wilson, L.T., Makela, M.E., Marchetti, M.A. 1998. “Accuracy of Numerical
Methods for Solving the Advection-Diffusion Equation as Applicad to Spore and Insect
Dispersal”. Ecological Modeling, V. 109, n.1, p. 1-24.
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