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Tema da Aula:
Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte I
Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos
1
Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos
Estrutura da aula
2
1 Introdução2 Revisão da Transformada de Laplace;3 Função de Transferência;4 Modelagem com Diagramas de Blocos;
3
1 Introdução
Modelos matemáticos de sistemas físicos são elementos-chave no projeto e análise de sistemas de controle. O comportamento dinâmico é geralmente descrito com o uso de equações diferenciais ordinárias. Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída, ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema.
Analisando-se uma equação diferencial geral de enésima ordem, linear e invarianteno tempo, observa-se que os parâmetros do sistema, que são os coeficientes ai e bi , bem como a saída, c(t), e a entrada r(t), aparecem nos diversos termos da equação.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trbdt
trdbdt
trdbtcadt
tcdadt
tcda m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 01
1
101
1
1 +++=+++ −
−
−−
−
− LL
Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas.
4
1 IntroduçãoSeria preferível uma representação matemática como a exposta na figura (a) abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas. Seria também interessante representar as interconexões dos diversos subsistemas como exposto na figura (b). Esta última apresenta uma configuração em cascata, onde uma função matemática , chamada de função de transferência, é colocada no interior de cada bloco e as funções em blocos podem ser facilmente combinadas, resultando no bloco da figura (a), facilitando a análise do projeto. Esta é uma facilidade que não pode ser obtida com a equação diferencial.
5
1 Introdução
Uma vez que a maioria dos sistemas físicos é não-linear, serão discutidas aproximações lineares, as quais possibilitam o uso de métodos baseados na transformada de Laplace. Estes métodos permitem a obtenção das relações entrada-saída na forma de funções de transferência. Como mostrado anteriormente, estes blocos de funções de transferência podem ser organizados em diagramas de blocos, ou ainda, em diagramas de fluxo de sinal, o qual descreve graficamente as interconexões entre os blocos.
Além destas abordagens no domínio da freqüência, apresenta-se uma representação denominada modelo em variáveis de estado.
Graças ao conceito de variáveis de estado, é possível representar um sistema físico no domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita por um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem. Além disso, apresenta-se a relação deste modelo com os modelos de fluxo de sinal.
6
2 Revisão da Transformada de Laplace
Com a transformada de Laplace, pode-se representar a entrada, a saída e o sistema como entidades separadas. Com essa representação, as inter-relações e subsistemas serão simplesmente algébricas.
A transformada de Laplace é definida como
( ) ( ) ( )∫∞
−
−
==0
stetfsFtfL
onde s = σ + jω é uma variável complexa. Desse modo, conhecendo-se f(t) sabendo-se que a integral é possível, pode-se obter uma função F(s), que échamada de transformada de Laplace de f(t).A notação no limite inferior indica que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, pode-se realizar a integração antes da descontinuidade, desde que a integral seja convergente. Assim, pode-se obter a transformada de Laplacede funções impulso.
(1)
7
2 Revisão da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace inversa, a qual nos permite obter f(t) a partir de F(s), é definida como
( ) ( ) ( ) ( )∫∞+
∞−
− ==j
j
st tutfdsesFj
sFLσ
σπ211
onde,( )
0001
<=>=
tttu
(2)
Utilizando-se a equação (1) é possível deduzir os elementos da tabela ao lado, que relaciona f(t) e F(s) para casos específicos. Ao se utilizar a tabela, não será preciso fazer uso da equação (2), para se obter f(t) a partir de F(s).
Tabela (1)
8
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 01:
Determine a transformada de Laplace de f(t) = Ae-atu(t).
SOLUÇÃO
Como a função do tempo não contém uma função impulso, pode-se substituir o limite inferior da equação (1) por 0. Assim,
( )
( )
asAe
asA
dteAdteAedtetfsF
t
tas
tasstatst
+=
+−=
===
∞
=
+−
∞ ∞+−−−
∞− ∫ ∫∫
0
0 00
)()(
9
2 Revisão da Transformada de Laplace
Além da tabela com as transformadas deLaplace, pode-se utilizar os teoremas da transformada de Laplace, relacionados na tabela ao lado, para auxiliar na transformação entre f(t) e F(s).A seguir, ilustramos o desenvolvimento de um destes teoremas, denominado teorema de deslocamento no tempo.
Tabela (2)
10
2 Revisão da Transformada de LaplaceTeorema do deslocamento no tempo:
Considere a função rampa da figura (a). Considere agora as várias formas de deslocar a mesma no tempo. A figura (b) ilustra a função de f(t)u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.Assim,
⎩⎨⎧
<>
=0,0
0),()()(
tttf
tutf
A figura (c) mostra a função f(t – t0), onde t0 é o tempo deslocado, sendo t0 > 0.
f(t)
t0
(a)
f(t)
t0
(b)
f(t-t0)
t0
(c)
t0
11
2 Revisão da Transformada de Laplace
A função f(t - t0)u(t) é exposta na figura (d), a função f(t - t0)u(t - t0) é dada na figura (e).
f(t-t0)u(t)
t0
(d)
t0
f(t-t0)u(t-t0)
t0
(e)
t0
Para esta última função,⎩⎨⎧
<>−
=−−0
0000 ,0
),()()(
ttttttf
ttuttf
De acordo com a definição da transformada de Laplace, a transformada de Laplace de f(t) requer a função da figura (b).
12
2 Revisão da Transformada de Laplace
Neste sentido, obtemos uma propriedade que relacione a transformada de Laplace da função da figura (e) com a função da figura (b). A transformada de Laplace da figura (e) é dada por
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )∫
∫∞
−
∞−
−=
−−=−−
0
0
00000
t
st
st
dtettf
dtettuttfttuttfL
Aplicando a mudança de variável (t – t0) = τ ; assim, t = (τ + t0), dt = dτ; e
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )∫
∫∞
−−
∞+−
=
=−−
0
000
0
0
ττ
ττ
τ
τ
defe
defttuttfL
sst
ts
13
2 Revisão da Transformada de Laplace
Como τ é a variável de integração e pode ser trocada por t, a integral do lado direito da última equação é F(s). Portanto, a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo é dada por
( ) ( )[ ] ( )sFettuttfL st000
−=−−
onde t0 >= 0 e L[f(t)] = F(s). Esta relação é chamada de deslocamento real ou teorema da translação real, aplicada apenas em funções do tipo da figura (e).
Alguns exemplos de aplicação deste teorema são expostos a seguir.
14
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 02:Considere a função exponencial mostrada na figura (a) abaixo, a qual édescrita matematicamente por,
( ) tetf 3.05 −=
t
f(t)
2
2.744
5
(a)
onde t é dado em segundos. Esta função é atrasada em 2 segundos e multiplicada por u(t – 2) como mostrado na figura (b), onde a equação da função exponencial atrasada é dada por,
( ) ( ) ( )25 23.0 −= −− tuetf t
t
f(t - 2)u(t – 2)
2
5
(b)
15
2 Revisão da Transformada de Laplace
Da tabela (1) e do teorema de deslocamento no tempo, tem-se
( )[ ] ( ) ( )3.0
5 22
11 +===
−−
sesFesFtfL
ss
EXEMPLO - 03:Algumas vezes é necessário construir formas de onda complexas a partir de formas de onda simples. Como um exemplo, pede-se a obtenção da transformada de Laplace da onda apresentada na figura abaixo.
f(t)
0 1 2 3 t
10
7
16
2 Revisão da Transformada de Laplace
Como primeiro passo, escrevemos a equação que descreve a onda em quatro etapas.
1. A inclinação da função muda de 0 para 10 no instante t = 1s.
( ) ( ) ( )11101 −−= tuttf
2. A inclinação da função muda de 10 para 0 no instante t = 2s.
( ) ( ) ( ) ( )221012 −−−= tuttftf
3. O degrau da função muda de –3 em t = 2s..
( ) ( ) ( )2323 −−= tutftf
4. O degrau da função muda de –7 em t = 3s..
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )372322101110
373
−−−−−−−−−=−−=
tutututtuttutftf
17
2 Revisão da Transformada de Laplace
Podemos verificar esta função (como a soma de quatro elementos) como segue:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 077370321011032110000110,21
00000,1
=−=>=−−−−−=<<−=−−−−=<<
=−−−=<
tfttttft
tttfttft
Logo,a equação está de acordo com a figura. Cada termo em f(t) está de acordo com o teorema do deslocamento no tempo.
( ) ( )[ ] ( )sFettuttfL st000
−=−−
Portanto, a transformada de Laplace de f(t) é dada por,
se
se
se
sesF
ssss 32
2
2
2
731010)(−−−−
−−−=
18
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 04:Determine a transformada de Laplace de f(t) mostrada na figura (a) abaixo.
0 1 2 3 4
1
(a)t
f(t)
A figura (a) pode ser descrita como a soma de duas componentes mostradas na figura (b)
(b)
0 1 2 3 4
1
t
f(t)
0 1 2 3 4
1
t
f(t)
t - 1 +
19
2 Revisão da Transformada de Laplace
A equação para a primeira componente é t – 1 para 1 <= t <= 2, de tal forma que esta componente pode ser descrita por
( ) ( ) ( )[ ]211 −−−− tutut
O primeiro termo do lado direito é o sinal tu(t) deslocado por 1 segundo. Além disso, o terceiro e quarto termos são o sinal u(t) deslocado por 2 e 4 segundos, respectivamente.
( ) ( )42 −−− tutu
Portanto, ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )422111
42211)(−−−+−−−−−=
−−−+−−−−=tutututtut
tututututtf
A segunda componente pode ser descrita por
20
2 Revisão da Transformada de Laplace
O segundo termo, entretanto, não pode ser interpretado como uma versão atrasada de qualquer sinal na tabela (1). Por esta razão, reorganizamos este termo por,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221221 −+−−=−+−=−− tututtuttut
Acabamos de expressar o segundo termo na forma desejada, como sendo tu(t) atrasado por 2 segundos mais u(t) atrasado por 2 segundos. Com este resultado, f(t) pode ser descrita por,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42211 −−−−−−−= tututtuttf
Aplicando o teorema de deslocamento no tempo, obtemos a transformada F(s),
( ) sss es
es
es
sF 4222
111 −−− −−=
21
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 05:
Determine a transformada de Laplace inversa de F1(s) = 1/(s+3)2.
SOLUÇÃO
Neste exemplo utiliza-se o teorema do deslocamento de freqüência (frequecy shift theorem), Item 4 da tabela (2), e a transformada de Laplace de f(t) = tu(t), Item 3 da tabela (1).
Se a transformada inversa de F(s) = 1/s2 é a transformada de Laplace de tu(t), atransfomada inversa de F(s+a) = 1 /(s+a)2 é e-attu(t). Assim,
f1(t) = e-3ttu(t).
22
2 Revisão da Transformada de LaplaceEXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS:
Para se obter a transformada de Laplace inversa de uma função com maior nível de complexidade, pode-se converter a função a uma soma de termos mais simples, para o quais se conhece a transformada de Laplace de cada termo. O resultado é chamado de expansão em frações parciais. Se F1(s) = N(s) / D(s), onde a ordem de N(s) seja maior ou igual à ordem de D(s), então N(s) deve ser dividido por D(s) sucessivamente até que o resultado apresente um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do denominador. Por exemplo, se
5762)( 2
23
1 +++++
=ss
ssssF
Deve-se realizar a divisão até se obter um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à de seu denominador. Assim,
521)( 21 ++
++=ss
ssF
23
2 Revisão da Transformada de Laplace
Realizando-se a transformada de Laplace inversa, utilizando o Item I da tabela (1), juntamente com o teorema da derivação (Item 7) e o teorema da linearidade (Item 3) da tabela (2), obtém-se
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++++= −
52)()()( 2
11 ss
Ltdt
tdtf δδ
A utilização da expansão em frações parciais torna possível a expansão de funções como F(s) = 2 / (s2 + s + 5) em uma soma de termos e, em seguida, pode-se obter a transformada de Laplace inversa para cada termo. Serão considerados três casos de como esta expansão pode ser realizada.
24
2 Revisão da Transformada de LaplaceCASO I: Raízes Reais e Distintas no Denominador de F(s)
Um exemplo de raízes reais e distintas é a função,
52)( 2 ++
=ss
sF
Pode-se escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador original forme o denominador de cada termo, e constantes, chamadas resíduos, formem os numeradores. Assim,
( ) ( )2152)( 21
2 ++
+=
++=
sK
sK
sssF
(1)
(2)
25
2 Revisão da Transformada de Laplace
( )( )2
12
2 21 +
++=
+ sKsK
s
Para se obter K1, multiplica-se, inicialmente, a equação anterior por (s+1), o que isola K1 . Assim,
Fazendo-se s tender a –1, elimina-se o último termo e obtém-se K1 = 2. Analogamente, a constante K2 pode ser obtida multiplicando-se a equação (2) por (s+2) e , em seguida, fazendo-se s tender a –2; assim, K2 = - 2.
(3)
Cada parte da equação (2) corresponde a uma F(s) na tabela (1). Portanto, f(t) éa soma das transformadas de Laplace inversars de cada um dos termos,
( ) ( )tueetf tt 222)( −− −= (4)
26
2 Revisão da Transformada de Laplace
Em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possui raízes reais e distintas, uma expansão em frações parciais do tipo,
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
m
m
nm
psK
psK
psK
psK
pspspspssN
sDsNsF
++
+++
++
+=
++++==
LL
LL
2
2
1
1
21
)()()()(
pode ser empregada se a ordem de N(s) for menor do que a ordem de D(s). Para se avaliar cada um do resíduos, Ki, multiplica-se a equação (5) pelo denominador da correspondente fração parcial. Assim, ao se desejar Km, multiplica-se a equação (5) por (s+pm) e obtém-se
(5)
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )n
nm
mmm
nm
mm
psKps
Kps
Kpsps
Kps
pspspspssNpssFps
+++
++++
+++
+=
+++++
=+
LL
LL
2
2
1
1
21
)()(
(6)
27
2 Revisão da Transformada de Laplace
Quando s tende a –pm , todos os termos do lado direito da equação (6) tendem a zero, exceto o termo com a constante Km. Assim,
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) m
psnm
m Kpspspsps
sNps
m
=++++
+
−→LL21
28
2 Revisão da Transformada de Laplace
EDO
condições iniciais
Passo 1Aplica-se a
transformada L
Passo 4Aplica-se a
transformada inversa
Passo 2Resolva para
Y(s) = N(s)/D(s)
Passo 3Aplicar expansão
em frações parciaisSolução y(t)
Obs: O passo 3 pode ser contornado se a transformada do passo 2 corresponde a uma entrada na tabela (1).
Procedimento geral de uso da expansão por frações parciais na solução de uma equação diferencial ordinária.
29
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 06: Solução de uma equação diferencial pela transformada de Laplace.
Dada a equação diferencial a seguir, obtenha a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são nulas. Utilize a transformada de Laplace.
SOLUÇÃO
Substitua a correspondente função F(s) de cada um dos termos da equação utilizando o Item 2, da tabela (1), os Itens 7 e 8 da tabela (2) e as condições iniciais de y(t) e dedy(t)/dt, fornecidas como y(0-) = 0 e dy(0-)/dt = 0, respectivamente. A transformada e Laplace fica
( )tuydtdy
dtyd 3232122
2
=++
ssYssYsYs 32)(32)(12)(2 =++
30
2 Revisão da Transformada de LaplaceSOLUÇÃO
A solução para a resposta Y(s), fornece
( ) ( )( )8432
321232)( 2 ++
=++
=ssssss
sY
Observa-se que a equação acima não apresenta qualquer de seus termos na tabela (1). Assim, desenvolve-se a expansão em frações parciais dos termos do lado direito e identifica-se cada um dos termos resultantes com as funções F(s) na tabela (1). Assim,
( )( ) ( ) ( )848432)( 321
++
++=
++=
sK
sK
sK
ssssY
onde( )( ) 1
8432
01 =
++=
→sssK ( ) 2
832
42 −=
+=
−→sssK ( ) 1
432
83 =
+=
−→sssK
31
2 Revisão da Transformada de Laplace
SOLUÇÃO
Portanto,
( ) ( )81
421)(
++
+−=
ssssY
Como cada uma das três partes constituintes da equação acima é representada através de uma função F(s) na tabela (1), a função y(t) é a soma das transformadas deLaplace inversas de cada termo, ou seja,
( ) ( ) ( )tueety tt 8421 −− +−=
A função u(t) mostra que a resposta é nula para (t < 0). A menos que seja especificado de forma diferente, nenhuma das entradas responderá antes de t = 0. Desse modo, escreve-se a resposta como
( ) tt eety 8421 −− +−=
2 Revisão da Transformada de Laplace
32
CASO II: Raízes Reais e Repetidas no Denominador de F(s)
Um exemplo da função F(s) com raízes reais e repetidas no denominador é
( )( )2212)(++
=ss
sF
Nesse caso, a raiz do denominador em -2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2. Na expansão de frações parciais, cada fator do denominador forma o denominador de cada termo. Cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores com denominador de multiplicidade reduzida.
( )( ) ( ) ( ) ( )221212)( 1
221
2 ++
++
+=
++=
sK
sK
sK
sssF
(1)
(2)
33
2 Revisão da Transformada de Laplace
então K1=2, conforme descrito anteriormente. A constante K2 pode ser isolada multiplicando-se a equação (2) por (s + 2)2, resultando em
( ) ( ) ( ) ( ) 3212 21
21
2 KsKsKs
s+++
++=
+
Fazendo-se s tender a –2 tem-se K2 = -2. Para se obter K3 observa-se que ao se derivar a equação (3) em relação a s obtém-se
(3)
( )( )( ) 3122 1
212 KK
sss
s+
++
=+−
A constante K3 é isolada e pode ser obtida fazendo-se s tender a –2. Portanto, K3 = -2.
(4)
34
2 Revisão da Transformada de Laplace
Cada termo constituinte da equação (2) é uma função F(s) mostrada na tabela (1); logo, f(t) é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos, isto é,
ttt eteetf −−− −−= 222)( 2
Assim, em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possua raízes reais e repetidas, pode-se realizar uma expansão em frações parciais da forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )n
nr
rrr
nr
psK
psK
psK
psK
psK
pspspssN
sDsNsF
+++
++
+++
++
+=
+++=
=
+
−
L
L
L
2
1
11
1
2
1
1
21
)()()()( se a ordem de N(s) for menor do
que a ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em –p1.
(5)
(6)
35
2 Revisão da Transformada de LaplaceA fim de se obter as constantes K1 até Kr para as raízes de multiplicidade superior àunidade, multiplica-se, inicialmente a equação (6) por (s + p1)r, obtendo-se F1(s) na forma, ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )n
rn
rr
rr
nr
r
r
pspsK
pspsK
KpsKpsKpsK
pspspssNps
sFpsF
++
++++
+
+++++++=
++++
=
+=
+
−
1
2
11
113
21211
21
1
11
L
L
L
Pode-se assim determinar K1 imediatamente, fazendo-se s tender para –p1. A constante K2 é obtida derivando-se a equação (7) em relação a s e, em seguida, fazendo-se s tender a –p1. Derivações sucessivas conduzirão à determinação de K3até Kr. A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é
( )( ) 1!0;,,2,1
!11
1
11
1
==−
=−→
−
−
rids
sFdi
Kps
i
i
i K
(7)
36
2 Revisão da Transformada de LaplaceCASO III: Raízes Complexas ou Imaginárias no Denominador de F(s)
Um exemplo de F(s) com raízes complexas no denominador é
( )523)( 2 ++
=sss
sF
Esta função pode ser expandida da seguinte forma,
( ) 52523
2321
2 +++
+=++ ss
KsKs
Ksss
Nesse caso K1 é obtido da forma usual e vale 3/5, K2 e K3 podem ser determinados multiplicando-se inicialmente a equação (2) pelo mínimo múltiplo comum do denominador, s(s2 + 2s + 5), e evidenciando-se as frações. Substituindo-se o valor de K1, obtém-se
(1)
(2)
37
2 Revisão da Transformada de LaplaceSubstituindo-se o valor de K1, obtém-se
356
533 3
22 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += sKsK (3)
Igualando-se os coeficientes, tem-se (K2 + 3/5) = 0 e (K3 + 6/5) = 0. Assim, K2 = - 3/5 e K3 = - 6/5. Portanto,
( ) 522
535/3
523)( 22 ++
+−=
++=
sss
sssssF
Pode-se mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno exponencialmente amortecidos. Utilizando o Item 7 da tabela (1) e os Itens 2e 4 da tabela 2, encontra-se
[ ] ( )( ) 22cos
wasasAtAeL at
+++
=− ω [ ]( ) 22 was
BwtsenAeL at
++=− ω
(4)
(5) (6)
38
2 Revisão da Transformada de LaplaceSomando-se as equações (5) e (6), tem-se
[ ] ( )( ) 22cos
wasBwasAtsenBetAeL atat
++++
=+ −− ωω
Converte-se, agora, o último termo da equação (4) para a forma sugerida pela equação (7), completando-se os quadrados no denominador e ajustando-se os termos do numerador sem alterar seus valores. Assim,
(7)
( ) ( )( )( ) 22 21
22/11535/3)(
++++
−=s
ss
sF (8)
Comparando-se a equação (8) com as expressões apresentadas na tabela (1) e na equação (7), obtém-se
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= − tsentetf t 2
212cos
53
53)(
39
2 Revisão da Transformada de Laplace
De uma forma geral, a resposta de um sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em em uma resposta a entrada nula (resposta natural) e uma resposta ao estado nulo (resposta forçada).
Considere a equação diferencial,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tudt
tdutydt
tdydt
tyd−=++ 3232
2
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )sUussU
sYyssYysysYs−−=
+−+−−−
−−−
03203002 &
40
2 Revisão da Transformada de Laplace
O agrupamento de Y(s) e U(s) resulta em
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsuyysySYss 13030300232 −+−++=++ −−−− &
o que implica em
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sU
sss
ssuyysSY
2313
2303003
22 ++−
+++
−++=
−−− &
Resposta a entrada nula Resposta ao estado nulo
A solução da equação diferencial revela que parte dela é excitada por uma entrada u(t), t >= 0, e parcialmente excitada pelas condições iniciais ( ) ( ) ( )−−− 0,0y,0 uey &
41
2 Revisão da Transformada de Laplace
Estas condições iniciais denominam-se estado inicial. O estado inicial éexcitado pelas entradas aplicadas antes de t = 0. Assim, o estado inicial sintetiza o efeito das entradas passadas u(t), t < 0 , sobre uma saída futura y(t), para t >= 0.
A segunda parte é excitada exclusivamente pela entrada e denomina-se resposta ao estado zero. No domínio da transformada de Laplace, a resposta ao estado zero é governada por, ajustando todas as condições iniciais nulas,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsUss
sSY =++
−=
2313
2
onde a função racional G(s) é denominada função de transferência. A qual consiste na razão da transformada de Laplace da saída pela entrada quando todas as condições inicias são nulas. O conceito de função de transferência e suas aplicações são abordados na seção seguinte.
42
3 Função de TransferênciaFunções de transferência são usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.
Considere o sistema linear invariante no tempo descrito pela seguinte equação diferencial de enésima ordem,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trbdt
trdbdt
trdbtcadt
tcdadt
tcda m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 01
1
101
1
1 +++=+++ −
−
−−
−
− LL
Para obtermos a função de transferência deste sistema, precisamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (1) e admitir que a condições iniciais sejam nulas, a equação (1) reduz-se a
(1)
( ) ( ) ( ) ( )sRbsbsbsCasasa mm
mm
nn
nn 0
110
11 +++=+++ −
−−
− LL (2)
43
3 Função de TransferênciaExpressa-se agora a relação entre a transformada da saída, C(s), e a transformada da entrada, R(s):
(3)( )( ) ( ) ( )
( )01
1
01
1
asasabsbsbsG
sRsC
nn
nn
mm
mm
++++++
== −−
−−
L
L
A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos, conforme mostrado na figura abaixo, a entrada à esquerda e a saída à direita, e a função de transferência do sistema no interior do bloco.
44
3 Função de TransferênciaQuanto à classificação, as funções de transferência denominam-se:
(a) Estritamente própria: quando o grau do polinômio denominador émaior que o grau do polinômio numerador (n > m);
(b) Biprópria: quando o grau dos polinômios denominador e numerador são iguais (n = m);
(c) Imprópria: quando o grau do polinômio denominador é menor que o grau do polinômio numerador (n < m).
11;
11;
11;2;1 2
22
+−
+−
++
ss
ss
ss
EXEMPLO – 07: Classificar as seguintes funções de transferência
45
3 Função de Transferência
Funções de transferência de circuitos elétricos:
Os circuitos equivalentes para redes elétricas que serão apresentados consistem em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela (3) apresenta esses componentes e as relações entre tensão e corrente, e entre tensão e carga desses elementos sujeitos a condições iniciais nulas.
Tabela (3)
46
3 Função de TransferênciaAs funções de transferência podem ser obtidas utilizando-se a lei de Kirchhoff das tensões e somando-se as tensões ao longo dos laços ou das malhas. Esta é a chamada análise das malhas ou dos laços, e é discutida no exemplo a seguir.
EXEMPLO – 08: Malha única via equação diferencial
Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor, VC(s), àtensão de entrada, V(s), para o circuito mostrado na figura abaixo.
A soma das tensões ao longo da malha, admitindo-se condições iniciais nulas, fornece a seguinte equação íntegro-diferencial,
( ) ( ) ( ) ( )tvdiC
tRidt
tdiLt
=++ ∫ ττ0
1
47
3 Função de Transferência
Trocando-se as variáveis de corrente para carga, utilizando a definição i(t) = dq(t)/dt, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )tvtqCdt
tdqRdt
tqdL =++1
2
2
Pela relação tensão-carga para um capacitor, fornecida na tabela (3), obtém-se,
( ) ( )tCvtq C=
Substituindo-se a relação acima, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )tvtvdt
tdvRCdt
tvdLC CCC =++2
2
Aplicando a transformada de Laplace,
( ) ( ) ( )( )( ) ( )1
11
2
2
++=
=++
RCsLCssVsV
sVsVRCsLCs
C
C
48
3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 09: Malhas múltiplas
Dado o circuito da figura (a), obtenha sua função de transferência, I2(s)/V(s).
A primeira etapa da solução é a conversão do circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e das variáveis do circuito, admitindo condições iniciais nulas. Este resultado é mostrado na figura (b).
A segunda etapa é obter as equações simultâneas, obtidas pela Lei das tensões de Kirchhoff (LTK) ao longo das malhas onde circulam as correntes I1(s) e I2(s).
49
3 Função de Transferência
Aplicando a LTK na malha 1:
( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsLsIsIR =−+ 2111
Aplicando a LTK na malha 2:
( ) ( ) ( ) ( ) 0112222 =−++ sLsIsI
CssIRsLsI
Combinando as equações das malhas como equações simultâneas:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 01221
211
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
=−+
sICs
RLssLsI
sVsLsIsILsR
50
3 Função de TransferênciaNa terceira etapa, utilizamos a regra de Cramer para resolver para I2(s):
( )
( ) ( )( )
∆=
∆−+
=sLsVLs
sVLsR
sI0
1
2
onde, ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
−+=∆
CsRLsLs
LsLsR1
2
1
Formando-se a função de transferência G(s), tem-se
( ) ( )( ) ( ) ( ) 121
221
22
RsLCRRLCsRRLCsLs
sVsIsG
++++=
∆==
conforme mostrado na figura (c).
51
3 Função de Transferência
Funções de transferência de sistemas mecânicos em translação:
Os sistema mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três elementos lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são elementos armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica.
Pode-se, agora, analisar melhor esses elementos mecânicos observando-os na tabela (4). Na tabela, K, fV, e M são chamados, respectivamente, de rigidez de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa.
52
3 Função de Transferência
Tabela (4)
53
3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 10: uma equação de movimento
Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).
A solução se inicia pela construção do diagrama de corpo livre mostrado abaixo. Indicando todas as forças sentidas pela massa. Admita que a massa se desloque para a direita.
54
3 Função de Transferência
Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais forças são contrárias ao movimento e, portanto, atuam em sentido oposto a ele.Escreve-se, assim, a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton, que estabelece que a soma de todas as forças atuantes sobre a massa na figura (a) é igual a zero.
( ) ( ) ( ) ( )tftKxdt
tdxfdt
txdM v =++2
2
Aplicando-se a transformada de Laplace, admitindo-se condições iniciais nulas, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )sFsKXssXfsXMs v =++2
ou ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )KsfMssFsXsG
sFsXKsfMs
v
v
++==
=++
2
2
1
55
3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 11: sistema com dois graus de liberdade
Obtenha a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).
O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das massas pode se mover na direção horizontal enquanto a outra permanece parada. Assim, são necessárias duas equações de movimento simultâneas para descrever o comportamento do sistema. A superposição é utilizada para se construir os diagramas de corpo livre.
56
3 Função de Transferência
Por exemplo, as forças sobre a massa M1 são devidas a (1) seu próprio movimento (2) ao movimento da massa M2 transmitido a M1 através do sistema. Estas duas fontes serão consideradas separadamente.
Ao se manter a M2 parada e movendo-se M1 para a direita, obtêm-se s forças mostradas na figura (a). Ao se manter M1 parada e movendo-se M2 para a direita, obtêm-se as forças mostradas na figura (b). A força total é a superposição das forças discutidas e éilustrada na figura (c).
Neste caso, a primeira equação simultânea é dada por,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfvsXKKsfvfvsM =+−++++ 223131312
1
57
3 Função de Transferência
Para a análise de M2, procede-se e maneira semelhante: inicialmente se move M2 para a direita mantendo-se M1 parada; em seguida se move M1 para a direita mantendo-se M2 parada. Para cada um dos casos são calculadas as forças atuantes sobre M2. Os resultados são apresentados na figura abaixo.
Neste caso, a segunda equação simultânea é dada por,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322
2123 =++++++− sXKKsfvfvsMsXKsfv
58
3 Função de Transferência
A partir dessas equações, a função de transferência, X2(s)/F(s) é dada por:
( )( ) ( ) ( )
∆+
== 232 KsfvsGsFsX
( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ]3232
2223
2321312
1
KKsfvfvsMKsfvKsfvKKsfvfvsM
+++++−+−++++
=∆
onde
59
4 Modelo com Diagrama de Blocos
Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação ilustrada das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais. Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras através de blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada no bloco que produz a saída.
C(s) = G(s)E(s)E(s) = R(s) – B(s)= R(s) – H(s)C(s)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )( )( ) ( )sHsG
sGsRsC
sRsGsHsGsCsCsHsRsGsC
sCsHsRsGsC
+=
=+−=
−=
1)(1)(
)()()(
Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.
G(s)
H(s)
E(s) C(s)
B(s)
R(s)
60
4 Modelo com Diagrama de BlocosUm diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de diagramas de blocos, de acordo com a tabela exposta a seguir.
61
4 Modelo com Diagrama de Blocos
EXEMPLO - 12: reduzir o seguinte diagrama de blocos
62
4 Modelo com Diagrama de Blocos
63
4 Modelo com Diagrama de Blocos
EXEMPLO - 13: reduzir o seguinte diagrama de blocos
64
4 Modelo com Diagrama de Blocos
EXEMPLO - 14: reduzir o seguinte diagrama de blocos
65
4 Modelo com Diagrama de BlocosFUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA ENTRADAS DE PERTURBAÇÕES:
A figura a seguir mostra um sistema de malha fechada sujeito a perturbação. Quando duas, ou mais, entradas (a entrada de referência e a(s) de perturbação) estão presentes em um sistema linear, cada entrada pode ser tratada independente da outra, e as saídas correspondentes a cada entrada sozinha podem ser adicionadas para dar a saída completa.
G2(s)
H(s)
N(s)
C(s)R(s)G1(s)
66
4 Modelo com Diagrama de Blocos1) Examinando o efeito da perturbação N(s)
G2(s)
H(s)
N(s)
C(s)G1(s)
-1
)s(H)s(G)s(G1)s(G
)s(N)s(C
21
2N
+=
67
4 Modelo com Diagrama de Blocos2) Examinando o efeito da entrada de referência R(s)
)s(H)s(G)s(G1)s(G)s(G
)s(R)s(C
21
21R
+=
G2(s)
H(s)
C(s)G1(s)
R(s)
Portanto, a resposta C(s) devido à aplicação simultânea das entradas R(s) e N(s) é dada por:
[ ])s(N)s(R)s(G)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(C
)s(C)s(C)s(C
121
2
NR
++
=
+=
68
OBRIGADO