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Microeconomia I Prof. Maurício V. L. Bittencourt PPGDE/UFPR
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
PÓS-GRADUAÇÃO EM DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO
DISCIPLINA DE MICROECONOMIA I Prof. Maurício Vaz Lobo Bittencourt Parte 1: Teoria da Produção 1.1 – Conjunto de Produção Considere uma economia com L commodities. Um vetor de produção (ou netput ou plano de produção) é um vetor ( )Lyyy ,...,1= ∈ Lℜ . Este vetor descreve os níveis de produção dos L produtos oriundos de um processo produtivo. Produtos → (+) Insumos → ( )
Exemplo: L = 5 ∴ y = (-5, 2, -6, 3, 0) Para estudar o comportamento da firma, é necessário identificar aqueles vetores de produção que são tecnologicamente possíveis ou viáveis. O conjunto de todos os vetores de produção que constituem planos viáveis para a firma é chamado de conjunto de produção (Y), onde: Y ⊂ Lℜ
Se y ∈ Y , y é viável
Se y ∉ Y , y é inviável ou
Tecnologia
Restrições legais ou contratos
Processo Produtivo
Relação Insumo- -produto
Planos de produção
Conjunto de
produção → → →
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Y
y1 ( ){ }oyFyY L ≤ℜ∈= :
{ }0)(: =ℜ∈ yFy L
( )−
( )yF∇
2ℜ∈Y
y2
Pode-se descrever um conjunto produtivo (Y) como uma função F(.), chamada de função de transformação, cuja a propriedade é a de: Y = {y ∈ Lℜ : F(y) ≤ 0} e F(y) = 0 sse y está na fronteira de transformação de Y. Fronteira de Transformação → Conjunto de todos os pontos na fronteira de Y, ou seja, {y ∈ Lℜ : F(y) = 0}
Conjunto de Produção e Fronteira de Produção
Se F(.) é diferenciável, e sey satisfaz ( )yF = 0, temos que para os produtos l e k, que:
MRTlk( y ) =
( )( )
k
l
yyF
yyF
∂∂
∂∂
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Assim, temos que esta expressão define a Taxa Marginal de Transformação (MRT) do
bem l para o bem k em y .
Sabe-se que na fronteira, se ( )yF = 0, temos:
( )2
2
dyy
yF
∂∂
+ ( )
11
dyy
yF
∂∂
= ( )ydF = 0
ou seja, a inclinação da fronteira de produção no ponto y é dada por: Exemplo: Função Cobb-Douglas f( 1z , 2z ) = α
1z . β2z
Tecnologias com diferentes insumos e produtos Considere ( ) 0,...,1 ≥= Mqqq
( ) 0,...,1 ≥= −MLzzz q → níveis de produto dos M produtos da firma z → níveis de produto dos L-M insumos utilizados
- MRT12( y ) = ( )( )
2
1
yyF
yyF
∂∂
∂∂
= - 1
2
dy
dy
( )zMRT12 = 1
2
z
z
βα
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No caso de produção de um único produto tem-se q = f(z), que é uma função e produção, a qual representa a quantidade máxima de produto obtida do conjunto de insumos
( )11,..., −= Lzzz ≥ 0. Por exemplo: suponha que L é o único produto final, e f(.) é responsável pelo conjunto de produção:
=Y { ( ) ( ) 0:,,...,, 121 ≤−−−− − zfqqzzz L e ( ) 0,...,, 121 ≥−Lzzz } Mantendo o nível de produção fixo, podemos definir a taxa marginal de substituição
técnica (MRTS) do insumo l pelo insumo k em z , como:
( )zMRTSlk mede a quantidade adicional do insumo k que deve ser usado para manter a
quantidade produzida constante em ( )zfq = quando o insumo l é reduzido marginalmente. Propriedades dos conjuntos produtivos: 1 - Y não é um conjunto vazio;
2- Y é um conjunto fechado, ou seja, inclui a sua fronteira; 3- Não há “free lunch”, ou seja, não é possivel produzir algo do nada; 4- Existe a possibilidade de nada produzir (0 ∈ Y); esta propriedade depende do tempo de organização da firma. Se decisões já foram feitas, há possibilidade de parar a produção com custos (sunk costs); 5- Existe a possibilidade de descarte (“free disposal”); sempre ocorre quando há possibilidade de absorver qualquer quantidade adicional de insumos sem reduzir a quantidade de produto final. A quantidade extra de insumos (ou produtos) pode ser eliminada sem custos;
( )zMRTSlk =
( )( )
k
l
zzF
zzF
∂∂
∂∂
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5
y1
y
αy
α = [0, 1]
Y
y2
y1
y αy
α ≥1
Y
y2
6 - Irreversibilidade ( insumo → produto e não produto → insumo) 7 – Retornos de escala não-crescentes; ocorre se para qualquer y ∈ Y tem-se αy ∈ Y ∀ escalares α∈[0,1], ou seja, qualquer vetor insumo-produto viável pode ser reduzido.
8- Retornos de escala não-decrescentes; ocorre se para qualquer y ∈ Y tem-se αy ∈ Y ∀ escalares α ≥ 1, ou seja, unidades de y2 podem ser obtidas a um custo constante do insumo y1, exceto pelo custo fixo inicial.
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6
y1
αy
α ≥ 0
Y
y2
9- Retornos de escala constantes; y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y ∀ escalares α ≥ 0 ⇒ Y é um cone.
Exemplo: Função Cobb-Douglas
( )21, zzf = ( )21 2,2 zzf = ( )[ ]21,2 zzf = [ ]βα212 zz = ( )( )βα
21 22 zz = βαβα212 zz+ =
= ( )21,2 zzfβα + Se 1=+ βα → Retornos constantes de escala Se 1>+ βα → Retornos crescentes de escala Se 1<+ βα → Retornos decrescentes de escala 10- Livre entrada ou aditividade; Suponha que y ∈ Y e y’ ∈ Y, então: (y + y’) ∈ Y ou (y + y’) ∈ Y ou Y + Y ⊂ Y ⇒ ky ∈ Y
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y1
y
αy + (1- α)y’
Y
y1
y
Y
y2
y2
11- Convexidade; O conjunto de produção Y é convexo, ou seja, se y, y’∈ Y e α∈[0, 1], então [αy + (1- α)y’] ∈ Y, ∀ y, y’ ∈ Y
CONVEXO
NÃO É CONVEXO
OBS: 0 ∈ Y → convexidade (condição necessária, mas não suficiente). Se a possibilidade de produção nula existe, convexidade implica que Y tem retornos de escala não-crescentes. Para cada α∈[0,1], pode-se escrever αy = αy + (1-α)0. Então se y ∈ Y e
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0 ∈ Y, convexidade ⇒ αy ∈ Y. Outra interpretação é a de que convexidade traz a idéia de desequilíbrio na combinação de insumos que não são mais produtivos que combinações equilibradas. 12- Y é um cone convexo (11+9 ⇒ 12) Y é um cone convexo se para cada vetor produtivo y, y’ ∈ Y e constantes α ≥ 0 e β ≥ 0, temos: (α y + β y’) ∈ Y.
Análise de Atividade Linear
Suponha que tenhamos 2 insumos (z1, z2) = z ≥ 0 e 1 produto final y ≥ 0. A atividade (elementar) básica é representada por:
y
z
z
2
1
ou
12
1
z
z
Os vetores de insumos básicos são:
=
12
111
a
aav
e
=
22
212
a
aav
Assim, temos:
y2
y1
( )( )'1 yy αα −+
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9
≡
11
12
111
a
aav
e
≡
11
22
212
a
aav
Tem-se, então, algumas propriedades, tais como: 1) Replicabilidade:
=
=
+
12
2
2
11
zzzz, tal que:
=
k
kzzk
1, onde k = número inteiro não-negativo
z1
a1
2a1
z2
z1
a22
a21
a11
a12
a2
a1
Espaço Insumo
z2
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2) Aditividade (livre entrada):
++
=
+
'
'
'
'
yy
zz
y
z
y
z, onde y e y’∈ Y e são independentes.
3) Divisibilidade:
=
ty
tz
y
zt , onde 0 ≤ t ≤ 1
Adicionalmente, temos:
z1
tz
z
z2
z1
2a2
a1
2a1
a2
a1+a2
Cone convexo
z2 2a1+2a2
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Onde:
++
≥≥
kt
kata
k
t 21
:.0
0
Assim, temos que se t + k = 1: V(1) = { z : (z,1) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =1} = { z : z é uma combinação convexa de a1 e a2} V(2) = { z : (z,2) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =2} = { z : z é uma combinação convexa de 2a1 e 2a2} . . . . . . . . . V(y) = { z : (z,y) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =y} = { z : z é uma combinação convexa de ya1 e ya2}
Conjunto de Requerimento de Insumos
z1
ka2
a1
ta1
a2
V(2)=2V(1)
z2
z=ta1+ka2
onde t,k ≥ 0 e t+k =1 V(1)
z1
ka2
a1
ta1
a2
z2
z = ta1+ka2
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⇒ Conjunto de requerimento de insumos = caso especial de um conjunto de possibilidades de produção:
V(y) = {z∈ℜL : (-z,y) está em Y} Este é um conjunto de todas as combinações de insumos que produzem ao menos y unidades de produto. ⇒ Isoquanta:
Q(y) = {z∈ℜL : z∈V(y) ∧ z∉V(y’) para y’ > y} ⇒ Função de produção (para um único produto) = máxima produção escalar como função dos insumos:
f(z) = {y∈ℜ : max y com -z∈Y} ⇒ Função de transformação = versão L-dimensional de f(z), a qual é uma função de produção implícita que contém os máximos vetores de produção líquida:
F(z,y) = 0 se somente se y é eficiente
Exemplo: Cobb-Douglas para 0 < α < 1:
Y = {(-z1,-z2, y)∈ℜ3 : αα −≤ 121 zzy }
V(y) = {(z1, z2) ∈ℜ2 : αα −≤ 121 zzy }
Q(y) = {(z1,z2)∈ℜ2 : αα −= 121 zzy }
F(z,y) = αα −− 121 zzy
f(z1,z2)= αα −121 zz
⇒ Análise de atividade Considere que:
Y = {(1,-1,-2), (1,-2,-1)} ou
V(y) = V(1) = {(1,2), (2,1)} ou
V(y) = {(y,2y), (2y,y)}, ou seja,
para produzir y unidade de produto, poderíamos usar y vezes cada insumos para y = 1,2, ..., L. Alternativamente temos: V(y) = {(yA+ 2yB ; 2yA + yB) : y = yA+ yB} Assim: V(2) = {(2,4),(4,2),(3,3)}
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Devido à propriedade de “free disposal”, tem-se que:
Se z∈V(y) e z’≥ z, então z’∈ V(y) (monotonicidade) Assim, temos:
Isto é equivalente no contexto de conjunto produtivo a assumir que: se y ∈ Y e y’ ≤ y ⇒ y’ ∈ Y, ou seja, se y é viável, y’ também o é. De acordo com a propriedade 10) livre entrada ou aditividade, tem-se a pressuposição 11) convexidade. No caso dos conjuntos de requerimentos de insumos V(y), temos: se z' e z ∈ V(Y), então tz + (1-t)z’ ∈ V(y) ∀ 0 ≤ t ≤ 1, ou seja, V(y) é um conjunto convexo.
Um conjunto de produção (Y) é convexo ⇒ V(y) convexo
Prova: Se Y é convexo, para qualquer z e z’ tal que (-z,y) e (-z’,y) ∈ Y, deve-se ter:
[ty + (1-t)y, -tz - (1-t)z’] ∈ Y. Isto requer que [y, -(tz + (1-t)z’)] ∈ Y. Mas se z e z’ ∈ V(y), tz + (1-t)z’ ∈ V(y), o que comprova a convexidade de V(y).
z1
z2
V(y)
z1
técnica B
V(1)=V(y)
1
1
2
2
3
3
4
4
técnica A
z2
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⇒ Definição geométrica de combinação convexa:
Tem-se que: t(z – z’) + z’ = tz – tz’ + z’ = tz + (1-t)z’, resultando em: {tz + (1-t)z’ : t∈ℜ} Mas a figura acima mostra que t(z - z’) + z’ está no intervalo z, z’ se e somente se 0 ≤ t ≤ 1. Assim, o segmento zz’ é dado por {tz + (1-t)z’ ∃ t : 0 ≤ t ≤ 1}. 1.2 – Problema da maximização de lucro (PML) e problema da minimização de
custo (PMC) Tem-se um vetor de preços para os L produtos 0),...,,( 21 >>= Lpppp , os quais são independentes dos planos de produção (tomadores de preços, não existe nenhum tipo de concorrência imperfeita).
O problema da maximização de lucro (PML)
Dado o vetor preço 0>>p e o vetor de produção Yy∈ , Ly ℜ∈ , o lucro gerado pela firma é dado por:
onde o problema (PML) é dado por:
z1
z2
t(z-z’)+z’
z’
z
(z-z’)
t(z-z’)
t > 1
t < 0
0 < t < 1
ll
L
lyppy
1=∑=
-z’
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Y y1
( )pypy π<⋅:
Inclinação = 2
1p
p−
( )( ) ( )[ ]pyFpF ∇=∇ π
( )pypy π=⋅: y*
y2
Max p.y Max p.y y y ⇒ Sujeito a y ∈ Y Sujeito a F(y) ≤ 0
Dado Y , a função lucro ( )pΠ associa a cada preço p a quantidade:
( ) { }YypyMAXp ∈=Π : como o valor de solução ao PML. Temos que o conjunto de
vetores que maximizam o lucro é dado por ( ) { })(: ppyYypy Π=∈= (linha de iso-lucro). Assim, ( )pΠ é o valor de lucro máximo no PML.
MAX py ou MAX py y sa y∈Y y sa F(y)≤ 0
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As condições de primeira ordem (CPO), resultam em:
ou
Ou seja, o vetor de preços p e o gradiente F(y*) são proporcionais. Tem-se também que:
No caso de um produto final, temos a função de produção f(z), onde p>0 é o preço para o produto final e w>>0 o preço dos insumos. O vetor de insumos que maximiza lucro, dado por (p,w) é a solução para:
( ) zwzfpMAX
z⋅−⋅
≥0
Se z* é ótimo, as CPO para l=1, 2,...,L-1 são:
ou ou
e O produto marginal de cada insumo l deve igualar o seu preço em termos de produto final
pwl . Assim, tem-se:
( )l
l y
yFp
∂∂= *λ
l = 1, 2,…,L
λ=p F(y*)
0≥λ e ( )pyy ∈*
→λ multiplicador de Lagrange
*)(, yMRTp
pkl
k
l =
( )l
l
wz
zfp ≤
∂∂⋅ *
( )
ll
wz
zfp =
∂∂⋅ *
se zl*>0
p. f(z*) lw≤
z*.[p. f(z*) lw− ]=0
k
lkl w
wMRTS =,
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Propriedades de Π(.) (função lucro) onde Y é fechado e temos “free disposal”:
(i) Π(.) é homogênea de grau (HDG) um; (ii) Π(.) é convexa; (iii) se Y é convexo, { }0)(: >>∀Π≤ℜ∈= pppyyy L ; (iv) y(.) é HDG zero; (v) se Y é convexo, y(p) é um conjunto convexo para ∀p; (vi) (lema de Hotelling) se y(p ) consiste de um único ponto, então Π(.) é
diferenciável em p e )()( pyp =Π∇ ;
(vii) se y(.) é diferenciável, em p , então Dy(p ) = D2Π( p ) é uma matriz simétrica semidefinida positiva com Dy(p ) p = 0;
(viii) teorema: ∆p. ∆y(p) ≥ 0 (lei da oferta): (p-p’).(y-y’) ≥ 0 ∀p,p’,y ∈ y(p) e y’∈y(p’) . : (p-p’).(y-y’) = (p.y – p.y’) + (p’.y’ – p’.y) ≥ 0
≥ porque y∈y(p) e y’∈y(p’)
Maximização de Lucro Multi-Produtos e Multi-Insumos Uma função de produção: F: ℜn+m → ℜ é definida por: F(z,y) ≤ 0 se e somente se (-z,y) ∈ Y Tem-se: z = vetor não-negativo de insumos ; y = vetor não-negativo de produtos Onde: z = zi = (z1, z2, . . . , zn) e y = (yj) = (y1, y2, . . . , ym) Assim : Y = {(-z,y) \ y é produto de z} (conjunto de produção) Sob a propriedade de “free disposal”, temos:
0<∂∂
iz
F e 0>
∂∂
jy
F
Tem-se que p.y é a receita e w.z é o custo, o que resulta no lucro dado por p.y – w.z, o que define a função lucro como:
Π(p,w) = Max{p.y-w.z \ F(z,y) ≤ 0}
ou
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Π(p,w) = Max{p.y-w.z \ (-z,y) ∈ Y} Π (.) é convexa e linearmente homogênea em (p,w), não-decrescente em p, e não-crescente em w. Considerando que F(.) é diferenciável, λ ≥ 0 é o multiplicador de Lagrange em F(z,y) ≤ 0, tem-se:
L = (p.y – w.z) - λ[F(z,y)]
As condições de primeira ordem de Kuhn-Tucker são:
0≤∂∂−−
ii z
Fw λ F(z,y) ≤ 0
0=
∂∂+−
iii z
Fwz λ λF(z,y) = 0
0≤∂∂−
jj y
Fp λ 0=
∂∂−
jjj y
Fpy λ
Se zi > 0 e yj > 0, tem-se:
ii z
Fw
∂∂−= λ e
jj y
Fp
∂∂= λ
As seguintes propriedades são válidas:
1) Z* é um vetor de insumos minimizador de custo e w.z* = C(w,y*).
2) y* é um vetor de produção maximizador de receita e p.y* = R(p, z*) Se 0>iz e 0>jy ∴ i = 1, 2,...,n
j= 1, 2,...,m
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Tem-se:
ou
Obtém-se também:
i
ji
jj
zF
yF
wy
Fp
∂∂
∂∂
⋅−=∂∂⋅= λ
( ) →= yCMgp jj p = custo marginal ⇒ Π - máximo (abordagem função custo marginal
na qual Π é definido como p.y – c(y).
O problema da minimização de custos (PMC) A quantidade de produto que minimiza lucro é tal que não existe como produzir esta quantidade a um custo menor. A minimização de custo é uma condição necessária para a maximização de lucro. Existem inúmeras vantagens em se trabalhar com a minimização de custos.
O caso de 1 produto: O PMC é o seguinte:
( ) qzfysazzwMIN
≥=⋅≥⋅
0
j
j
i
i
y
Fp
z
Fw
∂∂==
∂∂−
λ
j
ij
ii
yF
zF
pz
Fw
∂∂
∂∂
⋅−=∂∂−= λ
Prmg = produto receita marginal, ou seja,
( )zPRmgw ii =
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O valor ótimo do PMC é dado pela função: Custo → ( )qwC , O conjunto ótimo de insumos é dado por ( )qwZ , e é chamado de demanda condicional de fatores, onde “condicional” se refere à demanda de fatores que está condicionada aos requerimentos de insumos do nível de produção q.
No caso de 2 insumos, o conjunto acima representa o conjunto de vetores de insumo z que produz, no mínimo, q. A solução ( )qwZ ,= , z*, está na linha iso-custo que intercepta o conjunto
( ){ }qzfZ L ≥ℜ∈ + : , o mais próximo da origem. Se z* é ótimo, e f(.) é diferenciável, então para algum 0≥λ , as C.P.O para cada insumo l= 1, 2, ..., L-1, implicam em:
( )( )qwZf ,∇
qZf =)(
( )qwCzwZ ,: >⋅
( )qwCzwZ ,: =⋅
( )qwZz ,* =
z2
z1
Inclinação = 2
1w
w−
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21
Como no caso do PML, se Y é um conjunto convexo (f(.) é côncava), os resultados obtidos são condições necessárias e suficientes para z* ser ótimo no ponto PMC. Das equações anteriores, tem-se:
Pois, maximização de lucro implica que as escolhas de insumos são de custo mínimo para o nível de produção q. Em z*, a inclinação da isoquanta é exatamente igual à razão de preços – w1/w2. λ pode ser interpretado como o valor marginal de relaxar a restrição ( ) qzf ≥* . Assim,
Propriedades da função custo: suponha que C(w,q), e que Y é fechado e satisfaz a propriedade de “free disposal”, tem-se:
(i) C(.) é homogênea de grau (HDG) um em w e não-decrescente em q; (ii) C(.) é côncava; (iii) se os conjuntos {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} são convexos para todo q,
então Y={(-z,q):w.z ≥ C(w,q) ∀ w >> 0}; (iv) z(.) é HDG zero em w;
( )l
l z
zfw
∂∂⋅−≥ *λ ou
( )l
l z
zfw
∂∂⋅−= *λ se 0* >lz
ou
( )*zfw ∇⋅−≥ λ e ( )[ ] 0** =⋅∇⋅+ zzfw λ
Igual ao obtido no PML
( ) =∂
∂=q
qwC ,λ custo marginal
klk
l MRTSw
w,=
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(v) se o conjunto {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} é convexo, então z(w,q) é convexo; se o conjunto {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} é estritamente convexo, então z(w,q) é dado apenas por um valor;
(vi) (lema de Shepard) se z(w ,q) consiste de um único ponto, então C(.) é diferenciável com respeito à w e ),(),( qwzqwwC =∇ ;
(vii) se z(.) é diferenciável, em w , então Dwz(w ,q) = D2C(w ,q) é uma matriz simétrica semidefinida negativa com Dwz(w ,q) w = 0;
(viii) se f(.) é HDG “1” (CRS), então C(.) e z(.) são HDG “1” em q; (ix) se f(.) é côncava, C(.) é uma função convexa de q, ou seja, Cmg são não-
decrescentes em q. Através da função custo, a determinação do nível de produção que maximiza o lucro pode ser descrito como:
Max p.q – C(w,q) q ≥ 0 As C.P.O. para q* implicam em:
0*),( ≤
∂∂−
q
qwCp , com igualdade se q* > 0.
Preço iguala Cmg, ou seja, C.P.O. do PML e PMC são os mesmos, desde que p = λ. Notação:
( ) ( )ni zzzzz ,...,, 21== (n → insumos)
( ) ( )mj yyyyy ,...,, 21== (m → produtos)
Y = {(-z,y) \ y é produzido de z} Uma função implícita de produção é dada por: ( ) 0, ≤yzF sse ( ) Yyz ∈− , .
( )0
. <∂
∂
iz
F e
( )0
. >∂
∂
jy
F
O conjunto requerimento de insumos, V(y), é dado por:
( ) ( ){ }YyzzyV ∈−= ,:
ou
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( ) ( ){ }0,: ≤= yzFzyV Os preços dos insumos são dados por:
( ) ( )ni wwwww ,...,, 21==
O PMC se torna:
zMIN
( ) Yyzsazw
∈−⋅,.
z
MIN( )yVzsazw
∈⋅
.
zMIN
( ) 0, ≤⋅⋅
yzFsazw
Se F(z,y) é diferenciável, temos:
( ) ( ){ }0,:, ≤⋅= yzFzwMINywC
Caso C(w,y) seja côncava, linear, homogênea e decrescente em w, tem-se:
( )[ ]yzFzwL ,λ+⋅=
0>∂∂
iz
L e 0=⋅
∂∂
ii
zz
L
ou
0=∂∂
iz
L se 0* >iz
Para cada zi, as condições de Kuhn-Tucker são:
( )0
, ≥∂
∂⋅+i
i z
yzFw λ
( )i
i z
Fw
∂∂⋅−= .λ se zi >0
( )i
i z
yzFw
∂∂⋅−≥ ,λ
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( )0
, =⋅
∂∂⋅+ i
ii z
z
yzFw λ
Se 0=λ , z = 0, y = 0 Se 0>λ , F(z,y) = 0 na solução (exatamente na fronteira) A C.P.O. chave é a relação da qual se obtém:
ii z
Fw
∂∂− (.)λ somente se zi = 0.
Tem-se, então, que:
Desta expressão,
i
i
z
F
w
∂∂
pode ser interpretado como segue. No PMC, a firma decide a
quantidade de insumo a adquirir (∆zi). O custo incremental é dado por wi∆zi. Mas ∆zi tem
uma contribuição incremental de i
i
i z
z
F
w∆
∂∂
. Como
i
i
ii
ii
z
Fw
zz
F
zw
∂∂
=∆
∂∂
∆ ][, a razão
i
i
z
F
w
∂∂
pode ser
considerada como despesa marginal de um aumento do vetor de produção total pelo uso de zi. No caso de zi e zk serem usados, se:
i
i
z
F
w
∂∂
<
k
k
z
F
w
∂∂
⇒ é mais barato expandir a produção com uso de zi.
Para qualquer dois insumos l e k:
( ) ( ) ( )0
,,, =⋅
∂∂+⋅
∂∂= k
kl
l
dzz
yzFdz
z
yzFyzdF
Sendo dF = 0, dzl = 0 ∀ l ≠ i,k e dyj = 0 ∀ j = 1, 2, . . . , m.
( ) ( )k
l
i
i
z
yzFw
z
yzFw
∂∂
−==
∂∂
−,,
λ
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25
Se ( ) ( )k
k
i
i
z
yzFw
z
yzFw
∂∂
=
∂∂ ,,
Ponto de ótimo
( )
( )k
i
l
k
z
yzFz
yzF
w
w
∂∂
∂∂
= ,
,
MRTSk,i
Generalizando:
( )
( )k
i
Fi
kik
z
Fz
F
dz
dzMRTS
∂∂∂
∂
−=−==
.
.
0
,
Implicitamente ao conceito de MRTS está o conjunto de requerimento de insumos, V(y), para um nível de produção y. A superfície isoquanta para y é a fronteira de V(y). Ao longo desta fronteira, a MRTS(k,i/z,y) mede a inclinação da curva isoquanta entre zi e zk, enquanto os outros insumos estão constantes.
V(y)
MRTSk,i
zk
zi
y
y
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26
Custos Marginais Seja ( ) 0, =yzF , e considere mudanças apenas em zi e yi, tem-se:
( ) ( ) ( )0
,,, =⋅
∂∂+⋅
∂∂= j
ji
i
dyy
yzFdz
z
yzFyzdF
⇒
0=
−Fj
i
dy
dz→ incremento adicional em zi para gerar um incremento adicional em yj
Assim, 0=
⋅Fj
ii dy
dzw → custo marginal de aumentar yj usando somente zi
Note que:
( )
⋅
∂∂−=⋅
= j
i
i
Fj
ii dy
yzdF
zyzF
w
dy
dzw
),(,
0
Vem das CPO λ=
( ) ( )j
k
k
jj
i
i
dy
dF
zyzF
w
y
F
dy
dF
zyzF
w ⋅
∂∂−=
∂∂=⋅
∂∂−
,,λ
para qualquer zk, zi usado no mix de insumos que minimiza custos.
( )
( )0
0,
,
== ∂
∂∂
∂
=−
Fi
j
Fj
i
zyzF
yyzF
dy
dz
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27
Ou seja:
O custo marginal de se produzir dyj é equalizado entre todos os insumos. Então, jy
F
∂∂λ
pode ser identificado como o custo marginal de se produzir yj. Considerando o Teorema do Envelope, esta conclusão pode ser facilmente obtida do PMC. Sendo y = (y1, ..., ym) um vetor paramétrico para o PMC, o Teorema do Envelope permite que:
jjj y
F
y
C
y
L
∂∂=
∂∂=
∂∂ λ , onde estas derivadas parciais são avaliadas em (y,w).
Por definição, jy
C
∂∂
é o custo marginal de se produzir yj, ou seja:
1.3 – Retornos de escala As C.P.O. do PMC nos permitem a obtenção da medida local de elasticidade de escala, definida por:
∂
∂
∂∂−
=∑
∑
jjj
i ii
yFy
zFz
zS )(
Onde o numerador é dado por λ
ii
i zw∑, pois
( )i
i
z
yzFw
∂∂=− ,
λ, resultando em:
j
kk
jj
ii dy
dzw
y
F
dy
dzw ⋅=
∂∂=⋅ λ
Cmgj (w,y) ( )
),(
,
ywjy
yzF
∂∂⋅= λ
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28
∂
∂=∑
∑
jjj
iii
yFy
zwzS
λ)( , mas vimos que
jj y
F
y
C
∂∂=
∂∂ λ e sabemos que ),(ywCzw i
ii =∑ ,
onde tem-se:
),(
),()(
ywjjj y
Cy
ywCzS
∂∂
=
∑, onde F(z,y) =0 e z minimiza o custo de produzir yj. Ou seja:
),(
),()(
ywjj
jCmgy
ywCzS
∑=
Considere uma função de produção no caso de apenas um produto: F(z,y) = y – f(z). Neste caso temos:
1=∂∂
jy
F, o que resulta em λ=
∂∂
jy
C
Mas como Pmgzi = iz
zf
∂∂ )(
, então:
yjzi
i CmgPmg
w == λ
Retornos Globais de Escala Definições: A palavra global indica que as propriedades devem ser válidas para todos os vetores de produção.
� Y tem retornos crescentes de escala (IRS) se tz ∈Y para qualquer t ≥ 1, z∈Y; � Y tem retornos decrescentes de escala (DRS) se tz ∈Y para qualquer 0 < t ≤ 1,
z∈Y; � Y tem retornos constantes de escala (CRS) se tz ∈Y para qualquer t > 0, z∈Y.
Uma tecnologia com CRS é sinônima de que Y é um cone. Mas um cone não precisa ser convexo. Quando um cone é também convexo, este é chamado cone convexo.
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29
Podemos reescrever as definições acima com o uso de uma função de produção implícita através da substituição da viabilidade produtiva como φ(z) ≤ 0 e φ(tz) ≤ 0, em lugar de z em Y e tz em Y, respectivamente. Tem-se:
� φ(z) exibe retornos crescentes de escala (IRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer t ≥ 1, φ(z) ≤ 0; � φ(z) exibe retornos decrescentes de escala (DRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer 0 < t ≤ 1, φ(z) ≤ 0; � φ(z) exibe retornos constantes de escala (CRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer t > 0, φ(z) ≤ 0.
Considere a partição de uma função de produção em: n insumos e m produtos ( )yzZ ,−= Tem-se a função implícita da produção:
( ) ℜ→ℜ→ℜ×ℜ +mnmnyzF :, F(.) exibe:
• Retornos crescentes de escala (IRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 1≥t e ( ) 0, ≤yzF ;
• Retornos decrescentes de escala (DRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 10 ≤< t e
( ) 0, ≤yzF ;
• Retornos constantes de escala (CRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 0>t e ( ) 0, ≤yzF .
Para apenas um produto, temos y = f(z), f : ℜn → ℜ, o que resulta em:
• Retornos crescentes de escala (IRS) se f(tz) ≥ tf(z) para qq 1≥t ;
• Retornos decrescentes de escala (DRS) se f(tz) ≥ tf(z) para qq 10 ≤< t ;
• Retornos constantes de escala (CRS) se f(tz) = tf(z) para qq 0>t .
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30
Grau de homogeneidade
HDG “no mínimo r”
• Um conjunto Y é HDG “no mínimo r” em (-z,y) em Y se ( ) Yyttz r ∈− , para qq t>0;
• Uma função de produção ℜ→ℜ +mnF : é HDG “no mínimo r” em (-z,y) em Y se
( ) 0, ≤yttzF r para qq t>0 e ( ) 0, ≤yzF ;
• Uma função de produção para 1 produto, ℜ→ℜnf : , é HDG “no mínimo r” em
z se ( ) ( )zfttzf r ⋅≥ para qq t>0. A definição acima continua sendo de caráter global, e existem inúmeras funções de produção e conjunto de produção os quais a definição acima não faz sentido. Desta forma, precisamos da definição de uma medida de economia de escala local. Assumindo que a função de produção seja diferenciável, F(z,y)=0. Assim definimos o grau de homogeneidade local em (z,y), quando F(z,y)=0, como o “r máximo” pelo qual ( ) 0, ≤yttzF r , em uma vizinhança de z. No caso de um único produto, tem-se que o grau de homogneidade é “r” se
( ) ( )zfttzf r ⋅≥ tal medida é chamada de elasticidade de escala ou elasticidade de economias de escala.
Funções de Produção Homogêneas Uma função de produção de um produto com muitos insumos é f : ℜn → ℜ tal que y = f(z), no qual z = (z1, . . . , zn) e y é um escalar.
f é dita HDG “r” em z se:
f(tz) = trf(z) ∀ t > 0, ∀ z
Aplicando a definição de retornos de escala à funções de produto HDG “r”, ℜ→ℜnf : , pode-se afirmar que f exibe:
• IRS se r>1; • DRS se r<1 ; • CRS se r=1
Estas são definições globais. Se representarmos a função de produção em log, temos:
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31
( ) ( )zftrtzf lnlnln +⋅= , pois ( ) ( )zfttzf r ⋅≥
LEMA: Assumindo que f é diferenciável, f é HDG “r” sse f satisfaz a condição de elasticidade: ∀ t>0, em qq z
Elasticidade de Escala (medida local) A fórmula acima mede a mudança % na produção em resposta à mudança % em todos os insumos enquanto mantendo as proporções de insumos fixos. Quando avaliada em t=1, tem-se uma medida local de elasticidade de escala ou medida local do efeito de escala:
( )r
t
tzf
t
=∂
∂
=1lnln
Como ( )
( )( )
11lnln
== ∂∂⋅=
∂∂
tt t
tzf
tzf
t
t
tzf, pode-se expandi-lo em:
( ) ( ) ( ) ( )tzfztzfztzfzt
tzfi
n
ii ⋅=+⋅+⋅=
∂∂
∑=1
2211 ...
( )( )tzi
i z
ftzf
∂∂=∴ é a derivada parcial de f em relação a cada um dos argumentos de (zi)
avaliada em tz.
Em t=1, ( ) ( ) ( ) ( )zfzzfzzfzt
tzfi
n
ii ⋅=+⋅+⋅=
∂∂
∑=1
2211 ...
Assim:
( )r
t
tzf =∂
∂ln
ln
Elasticidade de escala = grau de homogeneidade
( ) ( )( )zf
zfz
t
tzf iii
t
∑ ⋅=
∂∂
=1lnln
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32
Definição: A elasticidade de economias de escala para uma função de produção de um único produto ℜ→ℜnf : é dada por:
iz∀
Se a função de produção de um único produto é homogênea: Teorema Generalizado de Euler: Uma ℜ→ℜnf : é HDG “r” sse: iz∀
S(z) é o valor máximo de grau de homogeneidade de uma função ℜ→ℜnf : , a qual exibe:
• CRS local se S(z) =1;
• IRS local se S(z) >1;
• DRS local se S(z) <1; Elasticidade de escala para o caso multi-produto: , onde i = 1, 2, ..., n j = 1, 2, ..., m
( ) ( ) ( )( )∑
==
⋅=∂
∂=n
i
ii
t zf
zfz
t
tzfzS
11lnln
S(z) = r
( ) ( )∑=
⋅=⋅n
iii zfzzfr
1
( )∑
∑
=
=
⋅
⋅−= n
jjj
n
iii
Fy
FzzS
1
1
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33
Vamos demonstrar que: , w = vetor preço dos insumos
( )( )ywiy
CywCMg
,
,
∂∂=∴ ; F(z,y) = 0 e z é um vetor de insumos que minimiza custo
O PMC é:
zMIN ( ){ }0,: ≤⋅ yzFzw { }nwwww ,...,, 21=∴
( ) ( ){ }0,:, ≤⋅=≡ yzFzwMINywC
O Lagrangeano é dado por:
( )yzFzwL ,⋅+⋅= λ Pelo teorema do envelope:
( ) ( ) ( )
( )yzFy
F
y
C
y
Lj
yzjywjywj
,,,,
⋅=
∂∂⋅=
∂∂=
∂∂ λλ
CMgj
As condições de Kuhn-Tucker são:
( )[ ] 0, =⋅+ yzFwz iii λ
( ) ( )( )∑ ⋅
=
jj ywCMgy
ywCzS
,,
( )yzFw ii ,⋅−≥ λ ( )yzFzzw iiii ,⋅⋅−=⋅ λ ou
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34
• Se 0=λ , 0=⋅ ii zw iz∀ tal que i = 1, 2, ..., n
ou seja, z = 0
Se y>0, isto é contra a pressuposição “no free lunch”, a qual diz que não é aaaaaaaaaaaaapossível produzir do nada.
• Se 0>λ , resulta em:
( )yzFzwz iiii ,⋅⋅=⋅ λ ou ( )λ
iiii
wzyzFz
⋅=⋅− ,
( ) ∑∑ ⋅=⋅− iiii wzyzFzλ1
,
C(w,y) Como ( )∑ =⋅=⋅ ywCzwzw ii , , temos:
( ) ( )( )
( )∑∑∑
∑⋅
=⋅
=⋅⋅
⋅−=
jjj
jjjj
ii
CMgy
ywC
yzF
ywC
Fy
zwzS
,,
,λλ
CMgj
Pelo teorema do envelope:
( )( )yzF
y
C
y
Lj
ywij
,,
⋅=
∂∂=
∂∂ λ
CMgj A mesma elasticidade-custo pode ser derivada da função custo:
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35
Se ( ) ( )1ln
ln
=∂∂=
tt
tyCyσ , σ(y) mede a mudança % no custo total se a produção total
aumenta em 100t %, mantendo a proporção de produção constante.
( ) ( ) ( )( )
)(
)(
)()()(11
yC
yCMgy
yC
y
yCy
y
tyCy
tyC
t
t
tyC
tyC
ty j
jjj j
j
tj j
j
t
∑∑∑ =
∂∂
=∂
∂=∂
∂===
σ
Assim:
( ))(
1zS
y =σ , onde F(z,y) = 0 e z é um minimizador de custo para produzir y, dado w.
1.4 – Dualidade Considere ( )yw,Ψ como uma função contínua e de valor real; w é um vetor de preços dos insumod e y um vetor de produção. Considere o conjunto:
( ) ( ){ }ywzwzywH ,.:, Ψ≥= Onde z é um vetor de insumo. Como ( ).Ψ é assumida como sendo uma função contínua, H(w,y) é um meio espaço fechado. Se tomarmos todas as intersecções de H(w,y) com respeito a todos os preços dos insumos, tem-se:
( ) ( )I0
,>
=w
ywHyH
Como H(w,y) é fechado, H(y) também é fechado. H(y) pode ser interpretado como:
( ) ( ){ }0,,: >∀Ψ≥⋅= wywzwzyH
No PMC, temos:
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36
xMIN w. z
s.a: z está em H(y) Definimos a função custo como:
( ) { :ˆ,ˆ zwMINywC ⋅= z está em ( )}yH Custo mínimo Esta ( ).C é monotôna, linear, homogênea e positiva, e côncava emw ; e se ( ).C é
diferenciável emw , *
ˆ ii
zw
C =∂∂
. O *iz é solução para o PMC em H(y).
Em H(y), PERGUNTA: ( ).C coincide com ( ).Ψ ? Para verificar isto, deixe z* ser o vetor de insumos de custo mínimo, em H(y), tem-se que
Como ( )yHz ∈* , temos que: ( ) ( )ywywCzw ,,ˆ*ˆ Ψ≥=⋅
Pode ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= ?
ou
( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ=⋅ ?
Suponha que a igualdade não seja possível, ou seja, ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ>⋅ . O argumento usual é de que existe um pequeno vetor δ o qual permitirá a validade de:
( ) ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ>−⋅ δ
Para se dizer que ( )δ−*z custa menos que z*, entretanto, deve-se mostrar que
( )δ−*z está em H(y). Isto significa que ( ) ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ≥−⋅ δ 0>∀w .
( ) *ˆ,ˆ zwywC ⋅=
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37
Esta conclusão depende de certas condições de regularidade para ser válida. Não é fácil assegurar que ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= . Uma vez que Ψ=C , significa que Ψ deve
herdar todas as propriedades de C . A classe das funções de Ψ contém todas as propriedades de C , ou seja, existe um subconjunto Ψ , tal que Ψ=C , que apresentam as mesmas características de C . O teorema da dualidade produção-custo estabelece que as propriedades de homogeneidade linear, monotonicidade e concavidade em w, são condições necessárias e suficientes para afirmar que Ψ=C . A prova mais rigorosa da dualidade utiliza o teorema da separabilidade estrita de hiperplanos.
• A homogeneidade linear de Ψ , a qual é usada para a prova formal de que Ψ=C .
• A concavidade de Ψ→ convexidade do cone gerado por Ψ .
• A monotonicidade de Ψ resulta em um vetor positivo do hiperplano separável.
Essa teoria é usada para gerar uma contradição se ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ> ocorre para algum w . Pela “reduction ad absurdum”, a qual o teorema gera, confirma-se: ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= ∀ w>0 e y>0. Quando Ψ é diferenciável, é possível se obter uma prova mais simplificada de que
Ψ=C . Como encontrada em alguns livros textos. O poder e a simplificação advinda da diferenciabilidade de Ψ vêm do LEMA DE SHEPARD, uma conseqüência do TEOREMA DO ENVELOPE aplicado a uma função custo legítima.
Assim, se Ψ=C , tem-se que: i
ii w
zw
Cˆˆ
*
∂Ψ∂==
∂∂
, ou seja, o LEMA DE SHEPARD diz que
Ψ∇==∇ *zC . Um vetor gradiente é dado por:
( )ncccC ,...,, 21=∇ ; onde ii
i zw
Cc =
∂∂≡ , (i = 1, 2, ..., n)
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38
( )nΨΨΨ=Ψ∇ ,...,, 21 ; onde ii
i zw
=∂
Ψ∂=Ψ , (i = 1, 2, ..., n)
Para dado ( )yw,ˆ minimiza o custo de produzir y. Por economia de notação, ( )wΨ . Como Ψ é homogênea linear em w, a LEI DE EULER diz que: para qualquer w Desde que ( )wzw Ψ≥⋅ z∀ em H(y), a equação de Euler implica que ( )wΨ∇ é mais barato que qualquer vetor em H(y), ou seja, z∀ em H(y) É preciso mostrar que ( )wΨ∇ produz y. Para isso, é preciso demonstrar que: ( )wΨ∇ está em H(y). Como Ψ é côncavo em w , temos que:
( ) ( ) ( ) ( )wwwww −⋅Ψ∇≥Ψ−Ψ ˆˆˆ
( ) ( ) ( ) ( ) wwwwww ⋅Ψ∇−Ψ≥⋅Ψ∇−Ψ ˆˆˆˆ
( ) ( ) www ⋅Ψ∇−Ψ≥ ˆ0
Este resultado demonstra que ( )wΨ∇ está em H(y).
( ) 0ˆ >Ψ∇ w (monotonicidade estrita) Assim, ( )wΨ∇ é um legítimo vetor de insumos de custo mínimo para produzir y, dado w . RESULTADO: Qualquer função Ψ monotônica, linearmente homogênea e côncava, gera um conjunto de requerimento de insumos H(y), economicamente importante para se produzir qualquer vetor y, sendo que a função custo derivada de H(y) é idêntica a Ψ (ou seja, C=Ψ ). Esta é a essência da dualidade produção-custo.
( ) ( )www Ψ∇⋅=Ψ
( )wwzw Ψ∇⋅≥⋅
( ) ( )www Ψ≥⋅Ψ∇ ˆ 0>∀w
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39
Exemplos Ilustrativos: 1- Uma função custo linear
( ) ( ) ywwywwC ⋅+= 2121 ,, Onde: ( )21 www += ; ( )21,zzz = Temos: ( ) ( ){ }ywCzwzywH ,:, ≥⋅= Vamos expandir ( )ywCzw ,≥⋅ :
ywywzwzw ⋅+⋅≥⋅+⋅ 212211
( ) ( )1122 zywyzw −⋅≥−
Fronteira linear de ( )ywH ,
( ) ( )I00
2
1
,
>>
=ww
ywHyH → movimento de rotação
z2
z1
y
( )ywH ,
2
1
w
w−
( )yzw
wyz −⋅−≥− 1
2
12
y
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40
Realizando o movimento de rotação n vezes
( ) { yzzyH ≥= 1: e }yz ≥2
Função de produção do tipo Leontief
z2
y
( )yH
z2
y
( )yH
z1
LEONTIEF
z1
( ) ( ) ( ){ }2121 ,:, zzMINyzzyH ≤=
y
y
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41
2- Uma função custo tipo Leontief Tem-se:
( ) ( )2121 ,,, wwMINyywwC ⋅= Dado ( )21,www = , tem-se:
( ) ( ) ( ){ }ywCzwzzywH ,:,, 21 ≥⋅= ( )ywCzw ,≥⋅∴ Existem 3 casos: 1º caso: 21 ww <
( )211 ,wwMINw =
( )21,wwMINyzw ⋅≥⋅
12211 wyzwzw ⋅≥⋅+⋅
( )1122 zywzw −⋅≥⋅
( )yzw
wz −⋅
−≥ 1
2
12
z2
z1
y
12
1 −>−w
w
y
Giro em torno de z1
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42
( ) ( )I
21
2
100
,
wwww
ywHyH
<>>
=
Temos:
Função de produção linear 2º caso: 21 ww >
( )212 ,wwMINw =
( )21,wwMINyzw ⋅≥⋅
22211 wyzwzw ⋅≥⋅+⋅
( )2211 zywzw −⋅≥⋅
z2
z1
y
12
1 >−w
w
( ) { }21: zzyzyH +≤=
( ) 12
12 z
w
wyz ⋅
−≥−
y
Giro em torno de z2
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43
( ) ( )I0
,>>
=w
ywHyH
( ) { 21: zzyzyH +≤=∴ e }21 ww > 3º caso: www == 21
( )21,wwMINw =
( ) ( ){ }ywwCzwzywH ,,:, 21≥⋅= Temos: ( ) wyzzwzw ⋅≥+=⋅ 21
( ) { 21: zzyzyH +≤= e }21 ww =
z2
z1
y
12
1 =−w
w
( )yH
y
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44
Interseção dos 3 casos:
O Lema de Shepard e a dualidade Ao invés de termos usado o método de análise da intersecção de hiperplanos, poderíamos ter usado diretamente o lema de Shepard para recuperar o conjunto de requerimento de insumos ( ( )yH ou ( )yV ) ou a função de produção. Para a função custo ( ) ( ) ywwywwC ⋅+= 2121 ,, , tem-se:
z2
z1
y( )yH
y
A interseção é o 3º caso
( ) ( )y
w
Cywwz =
∂∂=
1211
.,,
( ) ( )y
w
Cywwz =
∂∂=
2212
.,,
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45
Pontos não-diferenciáveis ocorrem quando o PMC tem múltiplas soluções. Ex: A tecnologia Leontief não é diferenciável em todos os seus pontos, mas a solução para o seu custo mínimo é única para todo w>>0. Conclusão: “C(w,y) é diferenciável sse o PMC tem solução única dado (w,y).”
z2
z1
( )yH
1zy =
2zy =