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Múltiplos e DivisoresMúltiplos e Divisoresde números Naturais
Professor Roberto Bonelli
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y Múltiplos: os múltiplos de um número´aµ são todos aqueles que estão natabuada de ´aµ.
Para nomear o conjunto dos múltiplos de´aµ escrevemos:
M(a) = {0.a, 1.a, 2.a, ...}
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Portanto, o conjunto de múltiplos de umnúmero natural é infinito.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... , 30, 33, 36, ...}
M(10) = {0,10,20,30, ...}
M(12) = {0, 12, 24, 36 ...}
Exceto para o zero:
M(0) = {0,0,0...} = {0}
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y Divisores: os divisores de um número´aµ são todos aqueles que dividem ́ aµsem deixar resto.
Para nomear o conjunto dos divisores deum número ́ aµ escrevemos:
D(a) = { divisores de a}
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Portanto o conjunto dos divisores de umnúmero ́ aµ é finito.
D(10) = {1, 2, 5, 10}D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
D(17) = {1, 17}
Veja que 1 divide todos os números e quetodo número também é divisor dele mesmo.
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E o zero? Não divide nenhum número?
NÃO! Não existe
divisão por zero!
Porém, podemos
dividir zero porqualquer número.
05
0!
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Números PrimosNúmeros Primos
Existem números Naturais que têm comodivisores apenas o 1 e ele mesmo. Essessão chamados números PRIMOS.
São eles: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, ...
Você encontra alguma particularidadenesses números? Algum que seja diferentede todos os outros?
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Comparação entre os nomesComparação entre os nomesMúltiplo, divisor e divisível, o que têm de comum?
Múltiplos são aqueles que estão na tabuada edivisores são aqueles que dividem certo número
(sem deixar resto). Então se ́ aµ divide ́ bµ significaque ́ bµ está na tabuada de ́ aµ e ́ bµ é divisível por´aµ.
Ex: 5 é divisor de 20, 20 é múltiplo de 5,pois 20 ÷ 5 = 4 pois 4x5 = 20
Nesse caso também dizemos que 20 é divisível por 5.
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Regra para construir o conjuntoRegra para construir o conjunto
dos divisoresdos divisoresNa hora de achar os divisores de umnúmero não precisamos testar todos osnúmeros até chegar nele. Podemos ir
apenas até o ́ meioµ do conjunto e aosoutros chegamos por raciocínio. Veja:
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Mais exemplosMais exemplos
D(64) = {1, 2, 4, 8, ...64}
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Regras de divisibilidadeRegras de divisibilidade
Como saber por raciocínio se um númeroé divisível por outro?
2 Divide todos os pares.3 Soma-se os algarismos do número. Se a
soma estiver na tabuada do 3, o númerotambém estará.
4 Um número é divisível por 4 se seusdois últimos algarismos forem zero ouformarem um número divisível por 4.
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5 Todo número terminado em 0 e 5.
6 É necessário que o número sejadivisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
7 Dividimos e testamos.
8 Um número é divisível por 8 se seus 3últimos algarismos forem zeros ouformarem um número divisível por 8.
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9
Idem a regra do 3, porém a somaprecisa estar na tabuada do 9.
10 Todo número terminado em 0.
11 Testar
12 Deve ser divisível por 3 e 4 ao mesmotempo.
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FatoraçãoFatoração
Fatorar um número ou expressão significatransformá-lo em uma multiplicação,mantendo seu valor.
12 = 4x3 Fatoração por números primos: significa
transformar um número em uma
multiplicação onde todos os fatores sejamprimos.
12 = 2x2x3
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Um método fácil e rápido é escrever onúmero com uma barra ao lado dele efazer as divisões por 2,3,5,etc.
Logo, 24 = 2x2x2x3
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MMCMMCMínimo Múltiplo Comum. É o menor valor comum que
aparece no conjunto dos múltiplos de dois ou maisnúmeros.
Mmc (6,9) = ?
M (6) = {6,12,18,24, ...}
M (9) = {9,18,27, ... }
Logo, Mmc (6,9) = 18
Obs: Para o mmc não se conta o ZERO, pois casocontrário ele seria o mmc de quaisquer números!
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Se os números forem grandes, o método mais
fácil seria a fatoração simultânea dos números.Se ambos dividem por um mesmo número, façaao mesmo tempo. Se apenas um divide pelonúmero em questão, copie o outro. Até chegar
no 1.
mmc (6,9) = 2x3x3 = 18
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O mmc é mais utilizado para somar fraçõescom denominadores diferentes e emproblemas que envolvam a repetição de
ciclos.Exemplo: Uma companhia de ônibus tem
horários de 15 em 15 minutos para a cidadeA e 40 em 40 minutos para a cidade B. Se às6h00 partem juntos um ônibus para cadacidade, qual será o próximo horário em queeles partirão juntos?
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mmc (15, 40) = 2x2x2x3x5 = 120
Então, após 120 minutos eles partirão juntos novamente. 6h + 2h = 8 horas.
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MDCMDC
Máximo divisor comum. É o maior divisorcomum a dois ou mais números.
Mdc (18, 24) =
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Logo, mdc (18,24) = 6
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Outra maneira para o cálculo do mdc éfatorar simultaneamente os números. Éparecida com o cálculo do mmc, porém
quando não houver mais divisores emcomum, paramos a conta.
Mdc(18,24) = 2x3 = 6
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O mdc é utilizado em problemas que sequeiram fazer a divisão de valores e queessa divisão tenha o mesmo número de
objetos, pessoas, etc.
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Exemplo: Em uma turma há 48 meninos e 36 meninas.Deseja-se dividi-los em grupos com o mesmo número
de alunos e que cada grupo tenha apenas crianças domesmo sexo. Quantos alunos estarão no maior grupoque é possível formar e quantos grupos de cada sexoserá formado?
Mdc (36, 48) = 2x2x3 = 12
Então, o maior número de alunos em cada
grupo será 12. Com as meninas formam-se
36:12 = 3 e com os meninos formam-se 48:12
= 4 grupos.
Resposta: 3 grupos de meninas e 4 grupos
de meninos (7 grupos no total) com 12 alunos
cada.