Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4

J.A.T.B. NAL-4.13

Exemplo 3 [4.5]: Considere as transformações lineares →� �3 2 : R ,

→� �2 3 : S e →� �

3 3 : T , que possuem as representações matriciais

−

= = −

1 0 1( )

1 1 1m RR ,

−

= =

1 1

( ) 1 2

2 1

m SS e

= =

1 0 1

( ) 0 1 1

1 0 0

m TT

em relação às bases canónicas { }=� � �

3E , ,i j k e { } { }= =� �

2 1 1E , (1,0),(0,1)i j

para os espaços lineares �3 e �2 , respectivamente. Seja ainda a base ordenada para �3

{ } { }= =� � �

1 2 3V , , (1,0,1),(1,1,0),(1,0,2)v v v

Determine as seguintes representações matriciais:

a) =2 2V,E V,E( )m RR , que representa R em relação às bases ordenadas V

e 2E .

b) =2 2E ,V E ,V( )m SS , que representa S em relação às bases ordenadas 2E

e V.

c) =3 3V,E V,E( )m TT , que representa T em relação às bases ordenadas V e

3E .

d) =3 3E ,V E ,V( )m TT , que representa T em relação às bases ordenadas 3E

e V.

e) +2

V( )m SR T , que representa +2SR T em relação à base ordenada V e

recorrendo às matrizes obtidas nas alíneas anteriores.

f) +2

V( )m SR T a partir, neste caso, da sua representação matricial em

relação à base canónica 3E .

Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4

J.A.T.B. NAL-4.14

Solução:

a) A matriz =2 2V,E V,E( )m RR é

− = =

3

2

2

EV,E V

V,E

0 1 1

0 0 1R R M

onde 3EVM é a matriz mudança de base de V para 3E , definida por

−

= = = =

3E 13 3V

1 1 1

0 1 0

1 0 2

M E V I V V

b) A matriz =2 2E ,V E ,V( )m SS é

( )−

− −

= =

3

2

2

1E

E ,V V

E ,V

6 3

1 2

4 2

S M S

em que

( ) [ ]−

−

− −

= = = −

31 TE 1

V

2 2 11

0 1 0

1 1 1

M V Cof VV

c) A matriz =3 3V,E V,E( )m TT é

= =

3

3

3

EV,E V

V,E

2 1 3

1 1 2

1 1 1

T T M

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J.A.T.B. NAL-4.15

d) A matriz =

3 3E ,V E ,V( )m TT é

( )−

−

= =

3

3

3

1E

E ,V V

E ,V

1 2 0

0 1 1

0 1 0

T M T

e) A matriz +2

V( )m SR T é

−

+ = + =

2 2V V V

V

0 7 2

( ) ( ) ( ) 2 3 4

1 5 0

m SR T m SR m T

em que

−

= = −

2 2V E ,V V,E

V

0 6 3

( ) 0 1 1

0 4 2

m SR S R

− −

= =

3 3

2V E ,V V,E

V

0 1 1

( ) 2 2 3

1 1 2

m T T T

f) A representação matricial de +2SR T em relação à base canónica 3E é

+ = + =

2 2

0 1 3

( ) ( ) ( ) 0 3 2

2 1 0

m SR T m SR m T

em que

−

= = − −

2 1 2

( ) 1 2 1

1 1 1

m SR S R

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J.A.T.B. NAL-4.16

= =

2

2 0 1

( ) 1 1 1

1 0 1

m T T T

Assim, a matriz +2

V( )m SR T é obtida, neste caso, a partir da relação

matricial

( )−

−

+ = + =

3 31

E E2 2V V V

V

0 7 2

( ) ( ) 2 3 4

1 5 0

m SR T m SR TM M