Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Civil

Método dos Elementos FinitosProf.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.

2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2222 MÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETO2222

2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D

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2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D

u =1

x

kf

HIPÓTESES BÁSICAS Material elástico-linear

(Lei de Hooke: f=k.u);

Carregamento axial;

Massa desprezível.

kfukf =⇒⋅=1

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2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez

UNIDADES CONSISTENTES (SI)f: força Newton (N)u: deslocamento metro (m)k: rigidez N/m

ukf ⋅= RIGIDEZ

é a força necessária para produzirum deslocamento unitário.

f

f

u

u

α

k=tg α=

comportamentoelástico-linear

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2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidezdo elemento de molado elemento de molado elemento de molado elemento de mola

u1 u2

k

2 GRAUS DELIBERDADE:

u , u1 2

k =

2x2

matriz de rigidez de umelemento de mola 1-D

mola

1-D

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2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)

k

−k

1

2Forças necessárias para produzir um

eimpedir o deslocamento do ponto (2)deslocamento unitário no ponto (1)

u1=1 u2=0

x

f =k1 f =k2

1 2

Interpretação física dos

da matriz de rigidez doelemento de mola

coeficientes da 1 colunaa

k =mola

1-D

k

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2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)

k

−k 1

2Forças necessárias para produzir um

eimpedir o deslocamento do ponto (1)deslocamento unitário no ponto (2)

u1=0 u2=1

x

f =k1 f =k2

1 2

Interpretação física dos

da matriz de rigidez doelemento de mola

coeficientes da 2 colunaa

k =mola

1-D

k

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2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)

k

−k 1

2

x

1 2

k =mola

1-D

k

−k

Características: Quadrada;

Simétrica;

Singular (det k=0);

Diagonal positiva.

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2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura

x

1 2 3 NN-1

k k k

1

1 2 3 N-1 N

3

N

2

N-1

k =

Características: Quadrada;

Simétrica;

Singular (det k=0);

Diagonal positiva;

Bandeada;

Esparsa.

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2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático

1 2 3 4k=10000 N/m 2k k

f=450N

Três molas hookeanas ligadas em série, cujas constantes elásticassão apresentadas na ilustração abaixo. Uma força estática f=450Né aplicada no ponto (2), sendo que os pontos (1) e (4) estãoimpedidos de se deslocarem. Para este problema hiperestáticodeterminar as reações de apoio nos pontos (1) e (4) e osdeslocamentos dos pontos (2) e (3).

Ref: http://femur.wpi.edu/Learning-Modules/Stress-Analysis

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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)

2k kk

f =450N2 f =03

k 2k k

k 2k k−k −2k −k

−k −2k −kk = k = k =

mola mola mola

A B C

mola A mola B mola C

u1=0 u4=0u2 u3

f =R1 1 f =R4 4

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2k kk

f =450N2 f =03mola A mola B mola C

u1=0 u4=0u2 u3

f =R1 1 f =R4 4

k =

k 0

0

0 0

0

0−k 3k

3k

−2k

−k

−2k

k−k

−k

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)

2k kk

f =450N2 f =03mola A mola B mola C

u1=0 u4=0u2 u3

f =R1 1 f =R4 4

f = u == =

f1 u1R1

f2 u2 u2450

f3 u3 u30

0

0

f4 u4R4

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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)

ukf ⋅=

=

1

10000 .

R1

u2450

u30

0

0

R4

0

0

0 0

0

0−1 3

3

−2

−1

−2

1−1

−1

. incógnitasincógnitas

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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)

Reorganizando-se o sistema de equações algébricas,chega-se a solução:

R1= 270 N −

R4= 180 N −

u2= 0,027 m +

u3= 0,018 m +

2k kk270N 180N

u2=0,027m u3=0,018m

Obs: De acordo com a convenção de sinais, as forçase deslocamentos são positivos se estiverem orientadossegundo o sentido positivo do eixo x.

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2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação

Recalcular o problema didático considerando-se as rigidezesindicadas na ilustração abaixo.

2k kk=10000 N/m

f =450N2

Resposta:u2= 0,018 m +

u3= 0,009 m +

R1= 360 N −

R4= 90 N −