Post on 27-Feb-2021
MM442 - Introducao aos SistemasDinamicos
Segundo semestre de 2020Turmas D/E
Ricardo M. Martinsrmiranda@unicamp.brhttp://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 1: Introducao
Acoes
G grupo, X conjunto. Uma acao (a esquerda) de G em X e uma
funcao
↵ : G ⇥ X ! X ,
escrita ↵(g , x), gx ou g ⇥ x , satisfazendo duas propriedades:
# ex = x ,
# g(hx) = (gh)x ,
onde g , h 2 G e x 2 X . Dizemos que o grupo G age em X .
A orbita de x 2 X pela acao de G e o conjunto
Gx = {gx , g 2 G}.
0-00rsrs@← f
- (a.µ 1-↳⇐ã*÷:*?
Acoes
O conjunto das orbitas forma uma particao do conjunto X , e
podemos definir a relacao de equivalencia x ⇠ y se e so se existe
g 2 G com gx = y .
As orbitas sao as classes de equivalencia desta relacao.
A acao de grupo e transitiva se existe somente uma orbita, ou seja,
existe x 2 X tal que Gx = X .
Exemplo
Se G e um grupo, G age em G por multiplicacao: G ⇥ G ! G ,
(g , x) 7! gx . Subexemplo: acao de S1 em S1.
-O ã =X
c-a -aÉl ¥
.
51×51 → se
Gx X → ×
( g. a )= çiloxt)
g= çio gxqpo.itmeio #É
Acoes
Exemplo
G : grupo de matrizes da forma cos(⇡/2) � sin(⇡/2)
sin(⇡/2) cos(⇡/2)
!=
0 �1
1 0
!
acao: G ⇥ S1 ! S1
Quais sao as orbitas?
G = {Id , Rir? . . . . }
R =
O rei : :X: :L:p:pRY:*:*riso::) :c: "R": Id
f- ( ;-
j) EG Hosoi ex .- s'
rail : :÷t÷mc : :X:):c::)ir :c :-# E::) "Mi:o)
Acoes
Exemplo
G : grupo de matrizes da forma cos(✓) � sin(✓)
sin(✓) cos(✓)
!, ✓ 2 R
acao: G ⇥ S1 ! S1
Quais sao as orbitas?
O
"# :*.
Acoes
Exemplo
G : R, X = T = S1 ⇥ S1 (toro)
acao: fixe !1,!2 2 R e faca
(t, (x , y)) 7! (x + !1t, y + !2t) mod 1
Quais sao as orbitas?
Oxldx →µ
-0- ---
T'xd
[oidxlo.BA/4o)nCa.ag• -i: - - - • ( o.hn/1iy)a-
THI• Ii e a :
t.EE?. ÷.• wolw , ¢ QEm
Difeomorfismos e fluxos
f : M ! M difeomorfismo.
acao: Z⇥M ! M, (n, x) 7! f (n)(x).
A orbita de um ponto x0 2 M e a sequencia obtida pela aplicacao
sucessiva de f em x0:
x0,
x1 = f (x0),
x2 = f (x1) = f (f (x0)),...
xn = f (n)(x0),...
Notacao: f 2(x) = f (2)(x) = f (f (x)).
-→
a :-
. A a)
↳Slash - ê④ao
Difeomorfismos e fluxos
Um ponto x⇤ e chamado de ponto fixo de f se f m(x⇤) = x⇤ para
todo m 2 Z.
Um ponto x⇤ e chamado de ponto periodico se f T (x⇤) = x⇤ para
algum inteiro T � 1.
O menor valor de T que satifaz a igualdade anterior e chamado de
perıodo de x⇤. Neste caso, a orbita de x⇤ e o conjunto
{x⇤, f (x⇤), . . . , f T�1(x⇤)},
chamado as vezes de T -ciclo.
Pontos fixos sao periodicos de perıodo 1.
Todos os pontos na orbita de um ponto T -periodico sao
T -periodicos.
OFÃ-o
0-teO
← FH¥Çc-a
Difeomorfismos e fluxos
Exemplo
Seja
R =
0 �1
1 0
!
e considere R : S1 ! S1. Entao todos os pontos de S1 sao
4-periodicos.
O
p:S" "
%#
Difeomorfismos e fluxos
Exemplo
Seja
R =1
2
0 �1
1 0
!
e considere R : R2 ! R2. Nenhum ponto e periodico, e a origem
e um ponto fixo.
O←
Nm : Eli :X;) III:# -
- ftp.t#
Fluxos
Um fluxo em M e uma funcao “boa” (pelo menos C r)
' : R⇥M ! M tal que para cada t 2 R, temos que
'(t, ·) = 't(·) satisfaz
# '0 = Id e
# 't � 's = 't+s .
A segunda condicao implica que '�1t existe e e dada por
'�1t = '�t , logo 't : M ! M e difeomorfismo, para todo t 2 R.
Oco
-
O 4 : R x m→n
£ keiler
④Êi.im4ft , 4IsMY 4 l a)
Fluxos
A orbita ou trajetoria de x⇤ por ' e o conjunto
{'t(x⇤), t 2 R}
com orientacao positiva de t.
Por cada ponto de x 2 M passa somente uma trajetoria.
Se 't(x⇤) = x⇤ para todo t, diremos que x⇤ e um ponto fixo do
fluxo.
A orbita de pontos fixos e composta somente pelo ponto, e se x⇤
nao e ponto fixo, sua orbita e uma curva orientada em M.
ao
g-
Fluxos
Se a orbita passando por x⇤ for uma curva fechada (que nao e um
ponto fixo), entao dizemos que e uma orbita fechada (ou orbita
periodica) do fluxo '. Note que para isto deve existir T > 0 tal
que 'T (x⇤) = x⇤. O numero T > 0 e o perıodo da orbita.
O conjunto de todas as trajetorias do fluxo e chamado de retrato
de fase.
Modelo basico para fluxos: solucao de EDOs.
-- o_O
""→
x e R"
f :vcRiff
Ü÷¥i
:
""
Proxima aula: Difeomorfismos do cırculo, conjuntosinvariantes.
Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.
Fique em casa.