MM442 - Introducao aos SistemasDinamicos

Segundo semestre de 2020Turmas D/E

Ricardo M. Martinsrmiranda@unicamp.brhttp://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 1: Introducao

Acoes

G grupo, X conjunto. Uma acao (a esquerda) de G em X e uma

funcao

↵ : G ⇥ X ! X ,

escrita ↵(g , x), gx ou g ⇥ x , satisfazendo duas propriedades:

# ex = x ,

# g(hx) = (gh)x ,

onde g , h 2 G e x 2 X . Dizemos que o grupo G age em X .

A orbita de x 2 X pela acao de G e o conjunto

Gx = {gx , g 2 G}.

0-00rsrs@← f

- (a.µ 1-↳⇐ã*÷:*?

Acoes

O conjunto das orbitas forma uma particao do conjunto X , e

podemos definir a relacao de equivalencia x ⇠ y se e so se existe

g 2 G com gx = y .

As orbitas sao as classes de equivalencia desta relacao.

A acao de grupo e transitiva se existe somente uma orbita, ou seja,

existe x 2 X tal que Gx = X .

Exemplo

Se G e um grupo, G age em G por multiplicacao: G ⇥ G ! G ,

(g , x) 7! gx . Subexemplo: acao de S1 em S1.

-O ã =X

c-a -aÉl ¥

.

51×51 → se

Gx X → ×

( g. a )= çiloxt)

g= çio gxqpo.itmeio #É

Acoes

Exemplo

G : grupo de matrizes da forma cos(⇡/2) � sin(⇡/2)

sin(⇡/2) cos(⇡/2)

!=

0 �1

1 0

!

acao: G ⇥ S1 ! S1

Quais sao as orbitas?

G = {Id , Rir? . . . . }

R =

O rei : :X: :L:p:pRY:*:*riso::) :c: "R": Id

f- ( ;-

j) EG Hosoi ex .- s'

rail : :÷t÷mc : :X:):c::)ir :c :-# E::) "Mi:o)

Acoes

Exemplo

G : grupo de matrizes da forma cos(✓) � sin(✓)

sin(✓) cos(✓)

!, ✓ 2 R

acao: G ⇥ S1 ! S1

Quais sao as orbitas?

O

"# :*.

Acoes

Exemplo

G : R, X = T = S1 ⇥ S1 (toro)

acao: fixe !1,!2 2 R e faca

(t, (x , y)) 7! (x + !1t, y + !2t) mod 1

Quais sao as orbitas?

Oxldx →µ

-0- ---

T'xd

[oidxlo.BA/4o)nCa.ag• -i: - - - • ( o.hn/1iy)a-

THI• Ii e a :

t.EE?. ÷.• wolw , ¢ QEm

Difeomorfismos e fluxos

f : M ! M difeomorfismo.

acao: Z⇥M ! M, (n, x) 7! f (n)(x).

A orbita de um ponto x0 2 M e a sequencia obtida pela aplicacao

sucessiva de f em x0:

x0,

x1 = f (x0),

x2 = f (x1) = f (f (x0)),...

xn = f (n)(x0),...

Notacao: f 2(x) = f (2)(x) = f (f (x)).

-→

a :-

. A a)

↳Slash - ê④ao

Difeomorfismos e fluxos

Um ponto x⇤ e chamado de ponto fixo de f se f m(x⇤) = x⇤ para

todo m 2 Z.

Um ponto x⇤ e chamado de ponto periodico se f T (x⇤) = x⇤ para

algum inteiro T � 1.

O menor valor de T que satifaz a igualdade anterior e chamado de

perıodo de x⇤. Neste caso, a orbita de x⇤ e o conjunto

{x⇤, f (x⇤), . . . , f T�1(x⇤)},

chamado as vezes de T -ciclo.

Pontos fixos sao periodicos de perıodo 1.

Todos os pontos na orbita de um ponto T -periodico sao

T -periodicos.

OFÃ-o

0-teO

← FH¥Çc-a

Difeomorfismos e fluxos

Exemplo

Seja

R =

0 �1

1 0

!

e considere R : S1 ! S1. Entao todos os pontos de S1 sao

4-periodicos.

O

p:S" "

%#

Difeomorfismos e fluxos

Exemplo

Seja

R =1

2

0 �1

1 0

!

e considere R : R2 ! R2. Nenhum ponto e periodico, e a origem

e um ponto fixo.

O←

Nm : Eli :X;) III:# -

- ftp.t#

Fluxos

Um fluxo em M e uma funcao “boa” (pelo menos C r)

' : R⇥M ! M tal que para cada t 2 R, temos que

'(t, ·) = 't(·) satisfaz

# '0 = Id e

# 't � 's = 't+s .

A segunda condicao implica que '�1t existe e e dada por

'�1t = '�t , logo 't : M ! M e difeomorfismo, para todo t 2 R.

Oco

-

O 4 : R x m→n

£ keiler

④Êi.im4ft , 4IsMY 4 l a)

Fluxos

A orbita ou trajetoria de x⇤ por ' e o conjunto

{'t(x⇤), t 2 R}

com orientacao positiva de t.

Por cada ponto de x 2 M passa somente uma trajetoria.

Se 't(x⇤) = x⇤ para todo t, diremos que x⇤ e um ponto fixo do

fluxo.

A orbita de pontos fixos e composta somente pelo ponto, e se x⇤

nao e ponto fixo, sua orbita e uma curva orientada em M.

ao

g-

Fluxos

Se a orbita passando por x⇤ for uma curva fechada (que nao e um

ponto fixo), entao dizemos que e uma orbita fechada (ou orbita

periodica) do fluxo '. Note que para isto deve existir T > 0 tal

que 'T (x⇤) = x⇤. O numero T > 0 e o perıodo da orbita.

O conjunto de todas as trajetorias do fluxo e chamado de retrato

de fase.

Modelo basico para fluxos: solucao de EDOs.

-- o_O

""→

x e R"

f :vcRiff

Ü÷¥i

:

""

Proxima aula: Difeomorfismos do cırculo, conjuntosinvariantes.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.