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METODOLOGIA PARA A MODELAGEM SISMICA UTILIZANDO FUNCOES
DE BASE RADIAL
Israel Nunes de Almeida Junior
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Programa de Pos-graduacao em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre
em Engenharia Civil.
Orientadores: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Rio de Janeiro
Julho de 2012
METODOLOGIA PARA A MODELAGEM SISMICA UTILIZANDO FUNCOES
DE BASE RADIAL
Israel Nunes de Almeida Junior
DISSERTACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A
OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA
CIVIL.
Examinada por:
Prof. Webe Joao Mansur, Ph.D
Dr. Cleberson Dors, D.Sc.
Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.
Dr. Cid da Silva Garcia Monteiro, D.Sc.
Dr. Josias Jose da Silva, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JULHO DE 2012
iii
Se te fatigas correndo com
homens que vao a pe, entao
como poderas competir com os
que vao a cavalo? Se em terras
de paz nao te sentes seguro, que
faras na floresta do Jordao?
Jeremias 12.5
iv
Agradecimentos
A DEUS por todo seu amor, por todas as coisas que vivi e por cada etapa
concluıda e pelas que virao.
Aos meus pais Israel Nunes de Almeida e Idarcy Pedro de Menezes pelo amor
incondicional, carinho, paciencia e influencia. Chegar ate aqui so foi possıvel por
que voces sempre alimentaram os meus sonhos.
Aos meus orientadores Webe Joao Mansur por acreditar em mim e no meu po-
tencial e ao Cleberson Dors, pela amizade, dedicacao e entusiasmo neste trabalho.
Ensinamentos que obtive de voces vao alem de fundamentos tecnicos e teoricos.
Ao professor e amigo Cosme Ferreira da Ponte Neto que muito contribuiu para
minha formacao com seus conselhos e ensinamentos.
A todos os meus familiares.
Aos meus excelentes amigos. Especialmente a Domingos Marcelus, Diego Bar-
bosa, Edivaldo Junior, Franciane Peters, Leandro Di Bartolo, Denise Costa, Wilson
Duarte, Viviane Ferreira, Elias da Conceicao, Wilian Jeronimo, Pablo Oyarzun,
Cid Monteiro, Gilmar Teixeira, Raphael Correa, Dimas Rambo, Alvaro Neto, Ana
Carolina, Thiago Lacerda, Ana Beatriz, Edmundo Costa, Wellington Pereira, Jorge
Rebelo e todos do LAMEC (Laboratorio de Mecanica Computacional) e LAMEMO-
GC (Laboratorio de Metodos de Modelagem e Geofısica Computacional).
A Ivone, por todo suporte.
A todos os professores da pos-graduacao da UFRJ-COPPE/PEC.
Meu muito obrigado e minha sincera gratidao a minha noiva Nathaly Bastos,
pelo amor, carinho, ajuda, compreensao, zelo e amizade em todos os momentos.
A CAPES, pelo apoio financeiro.
v
Resumo da Dissertacao apresentado a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessarios para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M.Sc.)
METODOLOGIA PARA A MODELAGEM SISMICA UTILIZANDO FUNCOES
DE BASE RADIAL
Israel Nunes de Almeida Junior
Julho/2012
Orientadores: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Programa: Engenharia Civil
Neste trabalho, foi desenvolvido a solucao no tempo da equacao da onda acustica,
para meios homogeneos e heterogeneos unidimensionais utilizando discretizacoes es-
paciais com Funcoes de Base Radial (FBR).
Como vantagem principal da utilizacao das FBR, comparativamente ao metodo
das diferencas finitas (MDF) para a solucao da equacao da onda acustica, pode-
se citar a possibilidade de utilizacao de espacamentos variaveis para as malhas de
pontos interpoladores nas FBR, o que permite otimizar a quantidade de pontos
reduzindo o custo computacional das analises com relacao ao MDF.
Para garantir a precisao e convergencia das aproximacoes com FBR, foi reali-
zado um estudo detalhado do chamado parametro livre, presente nestas funcoes, o
que resulta em uma metodologia para o calculo de tal parametro em problemas de
modelagem.
Foi demonstrado que utilizando tal metodologia foi possıvel minimizar o erro
associado ao calculo das derivadas espaciais utilizando as FBR resultando em um
metodo de marcha no tempo estavel e preciso.
A precisao da solucao no tempo com FBR, foi comprovada atraves de compara-
coes dos resultados para modelos simples, contemplando espacamentos regulares e
variaveis. Algumas estrategias foram avaliadas afim de otimizar a quantidade de
pontos do grid nas modelagens por FBR, o que resultou em reducao significativa do
custo computacional comparada ao MDF.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
METODOLOGY FOR SEISMIC MODELING USING RADIAL BASIS
FUNCTIONS
Israel Nunes de Almeida Junior
July/2012
Advisors: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Department: Civil Engineering
In this work, the solution was developed at the time of Acoustic Wave Equation
for heterogeneous media using unidimensional spatial discretizations with radial ba-
sis functions (FBR).In this work, the solution was developed at the time of Acoustic
Wave Equation for heterogeneous media using unidimensional spatial discretizations
with radial basis functions (FBR).
The main advantage of using FBR, as compared to the Finite Difference Method
(MDF) for the solution of the acoustic wave equation, is that we can cite the possi-
bility of using variable spacing for the grid of interpolator points in the FBR, which
allows optimization of the quantity of points, and thus reducing the computational
cost analysis with respect to the MDF.
In order to ensure accuracy and convergence of approaches to the FBR, a de-
tailed study of the named free parameter which is present in these functions, was
conducted. This resulted in a methodology for the calculation of this parameter in
model problems.
It was shown that in using this methodology, it was possible to minimize the
error associated with calculating spatial derivatives using the FBR, resulting in a
method of running time being stable and precise.
The accuracy of the solution in time with FBR, was confirmed through making
comparison of the results for simple models considering regular variable spacings.
Some strategies were evaluated in order to optimize the amount of points in the grid
on the FBR models, which resulted in significant reduction in computational cost
as compared to MDF.
vii
Sumario
Agradecimentos v
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xii
1 Introducao 1
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Objetivo e Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Modelagem de Ondas Acusticas e Formulacao Numerica por Dife-
rencas Finitas 9
2.1 Equacao da Onda Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Operadores Espaciais e Temporais do MDF . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Equacao da Onda Discretizada pelo Metodo das Diferencas
Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Estabilidade e Dispersao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Termo Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Modelagem de Ondas Acusticas com Funcoes de Base Radial 18
3.1 Conceitos Basicos de Funcoes de Base Radial (FBR) . . . . . . . . . 18
3.2 Formulacao Matematica das FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Principais FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Solucao da Equacao da Onda por FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Estabilidade e Convergencia Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Condicoes de Contorno para FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Metodologia para Calculo do Parametro Otimo das FBR 30
4.1 Metodologia para Determinacao do Parametro Livre . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Funcional Para Funcao de Base Radial Gaussiana . . . . . . . 33
4.1.2 Definicao do Suporte Para FBR Gaussiana . . . . . . . . . . . 35
viii
4.1.3 Calculo do Parametro Livre Otimo . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.4 Intervalo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.5 Intervalo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.6 Intervalo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Equacao Discretizada para Marcha no Tempo . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Condicoes de Contorno Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Exemplos e Discussoes 44
5.1 Meio Homogeneo com Grid Equiespacado . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.2 Parametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.3 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Meio Homogeneo com Grid Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 Parametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.3 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Meio Heterogeneo com 3 Camadas e Grid Equiespacado . . . . . . . . 53
5.3.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 Parametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Meio Heterogeneo com 3 Camadas com Grid Irregular Otimizado . . 56
5.4.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.2 Parametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.3 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Conclusoes 64
6.1 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Referencias Bibliograficas 66
A Operadores de Diferencas Finitas 71
B Formulacao da Equacao da Onda Acustica em termos de Pressao 74
ix
Lista de Figuras
1.1 Representacao de topografia irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Malha regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Malha irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Representacao do suporte local adotado pelas FBR . . . . . . . . . . 8
2.1 Representacao do operador de segunda ordem no espaco e tempo . . . 12
2.2 Representacao da fonte sısmica, propagacao da onda no meio e regis-
tro das informacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 a - Funcao fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana para
fcorte = 30Hz, b - Fonte sısmica no domınio da frequencia. . . . . . . . 17
3.1 Representacao do centro da funcao de base radial . . . . . . . . . . . 19
3.2 Funcoes de Base Radial Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Funcoes de base radial quadratica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Funcoes de Base Radial Multiquadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Funcoes de base radial inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Funcoes de base radial spline de placas finas . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1 Suporte com 3 pontos do grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Grafico de c x τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Grafico de c x τ intervalo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Grafico de c x τ intervalo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Grafico de c x τ intervalo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Suporte para condicao de contorno natural, 2 pontos . . . . . . . . . 41
5.1 Modelo Homogeneo - Espacamentos Iguais . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125) 47
5.3 (a)-Janela dos instantes de tempo (0-1,5) segundos. (b)-Janela dos
instantes de tempo (8,8-10) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Snapshot no tempo 0.4s utilizando FBR com parametro de
FASSHAUER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
x
5.5 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [2000m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 (a) - Snapshot no tempo 8,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [400m,1200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 Modelo Homogeneo - Espacamento Randomico . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125) 51
5.9 (a)-Analise no intervalo (0,0-1,8) segundos. (b) - Analise no intervalo
(8.8-10,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.10 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [2000m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.11 (a) - Snapshot no tempo 8,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [400m,1200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.12 Modelo Heterogeneo com 3 camadas e Grid equiespacado . . . . . . . 53
5.13 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125) 54
5.14 (a)-Analise nos intervalos (0,0-2,0) segundos. (b) - Analise nos inter-
valos (7,0-9,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.15 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [2600m,3200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.16 (a) - Snapshot no tempo 4,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [3600m,4800m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.17 Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao brusca no espacamento 59
5.18 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 900m (NX=100) 59
5.19 (a)-Analise nos intervalos (1,0-2,5) segundos. (b) - Analise nos inter-
valos (6,0-10,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.20 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [800m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.21 (a) - Snapshot no tempo 4,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [2800m,4400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.22 Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao suave no espacamento 61
5.23 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 900m (NX=100) 61
5.24 (a)-Analise nos intervalos (1-2.5) segundos. (b) - Analise nos interva-
los (6-10) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.25 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [800m, 2000m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.26 (a) - Snapshot no tempo 1,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda
no intervalo [200m, 1000m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
xi
Lista de Tabelas
4.1 Expressoes para o Calculo do Parametro Livre c . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Parametros do Modelo Homogeneo com Grid Irregular . . . . . . . . 50
xii
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Motivacao
O fenomeno da propagacao de ondas e um tema de interesse em diversas areas da
ciencia e industria, como a Geofısica de Exploracao, na qual as ondas sısmicas sao
utilizadas para obter informacoes geologicas de sub-superfıcie, auxiliando na busca
por hidrocarbonetos.
Alem da aplicacao na industria do petroleo, que e o interesse do presente trabalho,
pode-se mencionar outras areas onde o fenomeno de propagacao de ondas e igual-
mente importante. Tais como, Medicina, onde deseja-se imagear o corpo humano
atraves de ondas ultra-sonicas, em Engenharia de Telecomunicacoes onde faz-se a
transmicao de informacoes atraves ondas de radio pelo ar, em Meio Ambiente, em
Acustica Submarina entre outras.
No caso da geofısica de exploracao, os dados obtidos atraves de levantamentos
sısmicos sao analisados atraves de uma sequencia de procedimentos, que envolvem
desde o processamento no tempo ou em profundidade, atenuacao de ruıdos, correcao
e analises de velocidades, etc, e por fim a migracao com o objetivo de encontrar a
posicao de refletores, ou a inversao para obtencao de propriedades do meio.
Do ponto de vista computacional, existem diversos metodos numericos empre-
gados com objetivo de realizar a modelagem computacional do fenomeno de propa-
gacao de ondas, dentre eles: Metodo dos Elementos Finitos (MEF) (BATHE (1996)),
Metodo das Diferencas Finitas (MDF) (MITCHELL (1969)), Metodo dos Elementos
de Contorno (MEC) (MANSUR (1983)), entre outros.
Classicamente, o metodo mais utilizado para simular a propagacao de onda e
MDF pela sua robustez, facilidade de implementacao e principalmente eficiencia
computacional. Por outro lado, uma das grandes dificuldades que existe no MDF e
que o metodo depende de um grid regular equiespacado e retangular em seu contorno
1
pela forma como o operador de diferencas finitas e tradicionalmente apresentado.
Isso causa algumas limitacoes, como por exemplo em levantamentos de transicao, os
quais apresentam topografia irregular ao longo da aquisicao conforme ilustrado na
figura 1.1. ou em regioes onde existe a necessidade de refinamento da informacao
em profundidade.
Figura 1.1: Representacao de topografia irregular
Alem disso, o MDF nao permite explorar adequadamente o conceito de refina-
mento de grid, uma vez que, o grid no MDF e equiespacado. Assim, mesmo sabendo
que o refinamento do grid e diretamente relacionado com a velocidade de propa-
gacao da onda localmente, ou seja, quanto maior a velocidade maior pode ser o
espacamento do grid, no MDF nao se pode classicamente tirar proveito disto.
Dentro desse contexto, explorar uma tecnica que possibilite utilizar grids nao
equiespacados e inclusive permita modelar meios com topografia de contorno irre-
gular seria de grande importancia para contornar esta limitacao do MDF.
Este e o caso dos metodos baseados nas chamadas Radial Basis Function (RBF)
ou Funcoes de Base Radial (FBR), que podem ser utilizados para a interpolacao de
grids irregulares.
Classicamente, as FBR sao utilizadas principalmente para interpolacao de dados,
sendo que as mesmas ganharam visibilidade a partir do trabalho de FRANKE (1982)
onde sao revistos varios algoritmos de interpretacao de dados dispersos. KANSA e
HON (2000) apresentaram uma solucao da equacao diferencial com base nas FBR e
KOWALCZYK e MROZOWSKI (2005) aplicaram as FBR na resolucao da equacao
de Helmholtz.
Dentre as aplicacoes nas quais as FBR tem demonstrado grande utilidade,
destacam-se:
• Construcao de Superfıcies Bidimensionais (BERTOLANI et al. (2010));
2
• Correcoes Topograficas (HAYASHI e DURNS (1999));
• Fenomeno de Gibbs (FORNBERG e FLYER (2006));
• Imagens Tomograficas (BREVE (2006));
• Modelagem de Superfıcie (SAVCHENKO et al. (1995));
• Processamento de Imagens (PARARI (2004));
• Propagacao de Ondas (GODINHO e TADEU (2009), ALHURI et al. (2009),
WONG et al. (2002), LI et al. (2010));
• Reconstrucao de Imagens (CARR e FRIGHT (1997), CARR et al. (2001));
• Redes Neurais (FERNANDES et al. (1999));
• Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais Parciais (NARDINI e BREBBIA
(1982));
Ressalta-se que a utilizacao de metodos baseados em Funcoes de Base Radial
geralmente requer o desenvolvimento de estrategias para a escolha do chamado
parametro livre, que e inerente a maioria destas funcoes, alem do tratamento ade-
quado do domınio do problema a ser resolvido, no que diz respeito a quantidade de
pontos (Suporte) relacionados ao calculo das FBR.
Como motivacao, e importante destacar que as FBR constituem-se em um
metodo sem malha, nao dependente de conectividades, o que e vantajoso em re-
lacao a metodos como o Metodo dos Elementos Finitos e Metodo dos Elementos de
Contorno. Adicionalmente, a distribuicao de pontos em um domınio interpolado por
FBR pode assumir configuracaoes / distribuicoes irregulares de pontos, o que e um
ganho tambem em relacao ao Metodo das Diferencas Finitas. Desta forma, aplicar
as FBR para modelagem de ondas pode melhorar o desempenho computacional,
alem de permitir discretizar contornos irregulares com maior eficiencia do que uma
adaptacao utilizando variantes das formulacoes classicas do MDF.
3
1.2 Revisao Bibliografica
Nesta secao, apresenta-se uma revisao dos trabalhos encontrados na literatura consi-
derados os mais relevantes para a area de pesquisa abordada e para o desenvolvi-
mento dessa dissertacao de mestrado.
Entre os primeiros trabalhos a serem utilizados envolvendo o metodo das dife-
rencas finitas para modelagem de ondas acusticas em geofısica, podem-se citar
MITCHELL (1969), BOOR (1972) e ALFORD et al. (1974), os quais observaram
que o MDF mostrou-se suficientemente confiavel para representar de forma coerente
o fenomeno de propagacao de ondas sısmicas. Diversos outros trabalhos sobre o
assunto foram desenvolvidos como por exemplo COHEN e JOLY (1990), VIRIEUX
(1986), BARTOLO (2010) e etc, utilizando inclusive malhas intercaladas, mas man-
tendo espacamentos constantes.
Nos ultimos anos, os chamados metodos sem malhas ganharam destaque
na comunidade cientıfica em areas de modelagem de problemas fısicos
(DA CUNHA ROQUE (2007)). Como exemplo de trabalhos nesta area pode-se
citar o Metodo das Solucoes Fundamentais (FAIRWEATHER e KARAGEORGHIS
(1998)) no qual buscou-se solucoes fundamentais para subdomınios com objetivo
de analisar respostas nas regioes de bordas de problemas fısicos. Tambem pode-se
citar o trabalho de KANSA e HON (2000) o qual obteve uma solucao de equacoes
diferenciais com base nas FBR.
Atualmente, as Funcoes de Base Radial sao umas das tecnicas mais usadas para
aproximar dados dispersos, sendo que isto se deve a facilidade de implementa-las
e aos bons resultados apresentados ao longo do tempo em diversos trabalhos da
literatura. Segundo BUHMANN (2003), a interpolacao por FBR mostrou-se eficiente
com dados igualmente espacados e espalhados em um determinado domınio.
O primeiro trabalho sobre FBR a ter visibilidade e forte aplicacao em interpo-
lacao e atribuıdo a HARDY (1971), onde as funcoes de base radial foram utilizadas
para interpolar superfıcies de dados geograficos. FRANKE (1982) fez uma revisao
e comparacao entre varios metodos de interpolacao baseada nos seguintes criterios:
exatidao, facilidade de implementacao, tempo de execucao e esforco computacional e
classificou a aplicacao proposta por HARDY como uma das melhores e mais precisas
dentre as abordadas.
Em modelagem de fenomenos astrofısicos, um dos primeiros trabalhos foi o
de LUCY (1977) relativo ao metodo hidrodinamico de partıculas suavizadas. As
primeiras aplicacoes usando FBR em solucao de sistemas de equacoes diferenciais
foram realizadas por NARDINI e BREBBIA (1982), que utilizaram a funcao de base
radial na solucao de certos problemas modelados com o Metodo dos Elementos de
4
Contorno (MEC), visando a eliminacao de integrais de domınio.
STEAD (1984) examinou varios metodos para estimativa de derivadas parciais
com dados dispersos e concluiu que as FBR apresentaram resultados satisfatorios
em interpolacao de dados provenientes da modelagem de superfıcies.
Nos anos 90 surge o trabalho de KANSA (1990), que aplicaram as FBR para a
determinacao de solucoes aproximadas de equacoes diferenciais de derivadas parciais,
trabalho este que ficou conhecido como o metodo da colocacao assimetrica de Kansa.
Devido ao trabalho proposto por Kansa, KOWALCZYK e MROZOWSKI (2005)
utilizaram as FBR com malha variavel para resolver a equacao de Helmholtz em
Eletromagnetismo, assim como ROCCA et al. (2005) apresentaram uma solucao
dependente do tempo em problemas de conveccao-difusao.
Nas FBR, um parametro importante que surge na maior parte das funcoes e o
chamado parametro livre, que desempenha um papel fundamental para a precisao
das interpolacoes atraves destas. A escolha deste parametro e um fator decisivo,
pois controla o quanto “achatadas” as FBR podem ser, sendo que quanto maior o
achatamento, mais suaves sao as suas interpolacoes.
Na maioria dos trabalhos encontrados na literatura, os autores escolhem o
parametro livre por tentativa e erro ou por alguma equacao empırica como, por exem-
plo, aquelas apresentadas por HARDY (1971), FRANKE (1982), KANSA (1990),
FASSHAUER (2002) e MOUAT (2002). Um metodo muito utilizado na litera-
tura para a obtencao do parametro livre e o metodo da validacao cruzada que e a
base do algoritmo para a escolha do valor otimo deste parametro, o qual foi pro-
posto por RIPPA (1999) no cenario de interpolacao de dados dispersos com FBR
(FASSHAUER e ZHAN (2000)).
JIANGANG et al. (2008) apresentaram uma abordagem atraves da combinacao
da funcao de base radial com o Metodo dos Elementos Finitos, formulacao de
Galerkin. Uma importante aplicacao foi realizada por YEI-XING et al. (2009)
onde foi dado grande destaque para as funcoes Multiquadricas (MQ), sendo que
constatou-se a influencia do parametro livre na precisao das FBR para aproximacoes
em sistemas nao-lineares.
Uma classificacao que pode ser criada no ambito das FBR diz respeito a su-
portes, sendo que elas podem ser classificadas como globais (suporte global) ou
locais (suporte compacto ou local) quando estao definidas em todo o domınio ou
apenas em parte deste, respectivamente. BUHMANN (2000) explora as FBR com
suporte global e compacto para interpolacao de dados.
MORSE et al. (2001) abordaram a interpolacao de superfıcies com dados dis-
persos usando FBR com suporte compacto, objetivando torna-las adequadas para
5
sistemas com um grande numero de pontos espalhados na superfıcie do modelo.
Com o mesmo objetivo, LIN e YUAN (2006) aplicaram as propriedades do metodo
estatıstico de regularizacao atraves das FBR com suporte global e local, e analisaram
o tempo de processamento e a taxa de convergencia para cada suporte, extraindo o
tempo para o suporte local.
Na linha de propagacao de ondas, que e o foco deste trabalho, WONG et al.
aplicaram as FBR com suporte compacto na solucao de um sistema de equacoes de
hidrodinamica para aguas rasas. Alem disso, o referido autor realizou uma compara-
cao afim de verificar a eficiencia computacional entre a analise com suporte global
e local. ALHURI et al. (2009) fez uso das FBR tanto com suporte global como
local para resolver um sistema de aguas rasas em um modelo hidrodinamico para
ambientes marinhos, observando a eficiencia e a precisao do metodo ao comparar a
solucao analıtica e a solucao numerica.
Como trabalhos mais recentes envolvendo FBR para a modelagem de ondas acus-
ticas em meios homogeneos e heterogeneos, incluem LI et al. (2010) que aplicaram
FBR para a propagacao de ondas 3D e DEHGHAN e SHOKRI (2009) que pro-
puseram utilizar as funcoes de base radial para a solucao numerica da equacao de
onda unidimensional com uma condicao integral.
E oportuno citar tambem GODINHO e TADEU (2009) que aplicaram o metodo
das FBR em conjunto com o Metodo dos Elementos de Contorno para a modelagem
da propagacao de ondas acusticas em meios com variacoes espaciais de propriedades.
GODINHO et al. (2010) utilizaram tambem as FBR para a modelagem de ondas
em meios acusticos, com adocao de malhas irregulares e uma abordagem numerica
eficiente e precisa em relacao ao calculo do parametro livre, baseado no tipo de
funcao radial escolhida de modo a minimizar o erro associado a interpolacao.
6
1.3 Objetivo e Estrutura da Tese
O objetivo principal desse trabalho e a solucao da equacao acustica da onda, para
meios homogeneos e heterogeneos, utilizando Funcoes de Base Radial. Trata-se de
um metodo de implementacao relativamente simples e que ja mostrou ser excelente
para a resolucao de equacoes diferenciais (KANSA (1990)), mas que ainda e pouco
explorado em Geofısica.
Sera abordada a propagacao de ondas acusticas unidimenscionais em dis-
tribuicoes de domınio regulares, figura 1.2 e irregulares, figura 1.3, utilizando as
Funcoes de Base Radial para a interpolacao espacial do meio e o Metodo das Dife-
rencas Finitas para interpolacao temporal.
Ressalta-se que o foco principal do trabalho sera o desenvolvimento de uma
metodologia de solucao eficiente, voltada a modelagem de problemas geofısicos.
Para tal, sera utilizada como referencia a solucao da equacao da onda pelo MDF,
buscando-se avaliar comparativamente a precisao e desempenho computacional.
Figura 1.2: Malha regular
Figura 1.3: Malha irregular
Como alguns dos problemas principais apresentados pelas interpolacoes com FBR
originaram-se da escolha inadequada do parametro livre, objetiva-se tambem neste
trabalho realizar um estudo detalhado em relacao ao mesmo, visto que, este tem
influencia e importancia na convergencia das FBR. Desta forma, atencao especial
sera dada ao metodo de calculo do parametro livre, seguindo a metodologia proposta
por GODINHO et al. (2010), aplicada para funcoes radiais do tipo Gaussianas.
Para gerar uma metodologia eficiente computacionalmente, sera adotado uma
configuracao de suporte local para as FBR, ou seja, por subdominios, conforme
ilustrado na figura 1.4, permitindo utilizar tanto distribuicoes regulares quanto irre-
gulares de pontos.
A fim de proporcionar um melhor entendimento e apreciacao da proposta central
deste trabalho e de fundamental importancia destacar a estrutura e organizacao do
7
Figura 1.4: Representacao do suporte local adotado pelas FBR
conteudo. O conteudo desta dissertacao e estruturado em 6 capıtulos, conforme
descrito a seguir.
Capıtulo 1: apresenta-se a motivacao principal desse trabalho, seguida da revisao
bibliografica e objetivos.
No Capıtulo 2: Sao apresentados os principais conceitos da equacao da onda
acustica, assim como sua solucao numerica pelo MDF. Questoes relevantes relativas
a estabilidade numerica do MDF e ao termo fonte utilizado para simular problemas
geofısicos sao obordadas.
No Capıtulo 3: introduz-se as Funcoes de Base Radial, bem como os con-
ceitos basicos, tipos de funcoes mais utilizadas na literatura e detalhes relevantes.
Apresenta-se a formulacao matematica das FBR que sera utilizada posteriormente
na equacao da onda acustica bem como a solucao da equacao da onda acustica por
FBR.
No Capıtulo 4: faz-se o estudo detalhado sobre o parametro livre relativamente
a metodologia utilizada neste trabalho para calcula-lo, voltada para as FBR Gaus-
sianas. Em seguida, apresenta-se as curvas obtidas para o parametro otimo atraves
de ajustes polinomiais dos valores discretos obtidos com a metodologia proposta.
No Capıtulo 5: apresentam-se os resultados da aplicacao das FBR na equacao da
onda acustica; analisam-se diferentes tipos de modelos geofısicos, diferentes domınios
comparando a precisao e eficiencia computacional das mesmas com relacao ao MDF.
No Capıtulo 6: apresentam-se as conclusoes e sugestoes para trabalhos futuros.
8
Capıtulo 2
Modelagem de Ondas Acusticas e
Formulacao Numerica por
Diferencas Finitas
2.1 Equacao da Onda Acustica
Em problemas geofısicos, principalmente os de propagacao de ondas, pode-se
assumir que a propagacao de ondas no meio fısico seja regido pela Equacao Acustica
da Onda. Nesta dissertacao, sera utilizada a Equacao da Onda Acustica em termos
do campo de pressoes 2.1 sendo que tal equacao e dada, conforme detalhada no
apendice B, por
∇2 p(x, y, z, t) −1
v2(x, y, z)∂2 p(x, y, z, t)
∂t2 = f (x, y, z, t) (2.1)
onde f (x,t) e a forca externa aplicada e 52 e o operador Laplaciano. Na representacao
1D, tem-se:
∂2 p(x, t)∂x2 −
1v2(x)
∂2 p(x, t)∂t2 = f (x, t) (2.2)
Onde p(x,t) e referente ao campo de pressoes no ponto x para um instante de
tempo t, v(x) e a velocidade de propagacao da onda acustica do meio. Sendo os
termos
∂2 p(x, t)∂x2 ;
∂2 p(x, t)∂t2
respectivamente, as derivadas de segunda ordem em relacao ao eixo x e ao tempo
t.
Segundo ROSA (2010), a equacao da onda 2.2 estabelece a forma como a pressao,
9
localizada em uma certa posicao x e no tempo t se relaciona com as medidas de
pressoes em pontos vizinhos.
Para que a equacao 2.2 apresente uma solucao unica em um determinado domınio
e necessario definir tambem condicoes iniciais e condicoes de contorno para este
domınio. As condicoes iniciais para o problema de ondas correspondem a prescricao
do campo de pressoes e suas derivadas temporais para todo o domınio, da seguinte
forma:
p(x, t = 0) = p0 (2.3)
∂p(x, t = 0)∂t
= p0 (2.4)
onde p0 e p0 sao os valores da pressao e sua primeira derivada temporal, prescritas
no domınio para todo o instante inicial da analise. Observa-se no caso da geofısica
que as condicoes iniciais sao tomadas como nulas, uma vez que o meio e considerado
em repouso antes da aplicacao da fonte sısmica.
Em relacao as condicoes de contorno, classicamente existem dois tipos de
condicoes de contorno a serem prescritas, as condicoes essenciais (Dirichlet) e as
condicoes naturais (Neumann), ou seja:
p = p em Γp (2.5)
∂p(x)∂n
= k.q em Γq (2.6)
onde p e q sao respectivamente os valores de pressao e fluxo prescritos nos contornos
Γp e Γq, respectivamente, sendo n o vetor normal ao contorno Γq, Destacando-se que
o contorno completo do domınio e dado por Γ = ΓpUΓq.
Com relacao ao termo fonte f (x,t), no caso de simulacoes sısmicas, o mesmo deve
ser escolhido de tal forma a representar um pulso sısmico real. Para isso, utiliza-se
uma fonte impulsiva f(t)δ(x− x f ) na equacao 2.2. A equacao da onda com a presenca
do termo referente a fonte sısmica, fica:
∂2 p(x, t)∂x2 −
1v2(x)
∂2 p(x, t)∂t2 = f (t)δ(x − x f ) (2.7)
onde a posicao da fonte e representada por x f e a funcao delta de Dirac δ(x − x f ) e
justamente uma funcao impulsiva na posicao de aplicacao da fonte.
Na literatura existe uma grande variedade de metodos numericos para a solucao
da equacao (2.7), contudo, como ja foi mencionado nessa dissertacao sera utilizado
10
o MDF como solucao de referencia numerica, devido a sua ja conhecida precisao
em modelagens sısmicas. O MDF e obtido atraves de combinacoes e truncamen-
tos da serie de Taylor (ZIENKIEWICZ e MORGAN (1983)) aplicadas diretamente
nas derivadas a serem aproximadas. Na pratica substituem-se as derivadas parciais
com a qual o problema e aproximado por aproximacoes truncadas. Certamente, e
o metodo mais simples de ser aplicado em malhas uniformes. Cabe destacar que
o MDF e amplamente utilizado para modelagem de ondas em geofısica, apresen-
tando baixo custo computacional quando comparado com outros a metodos como
por exemplo o Metodo dos Elementos Finitos (MEF).
Para realizar a modelagem numerica da equacao da onda 1D via MDF, utiliza-
se um grid numerico com espacamentos iguais a ∆x (na direcao x, com pontos i =
1, 2, 3, ...,Nx para representar o meio contınuo e uma discretizacao temporal com
incremento ∆t para representar os pontos no tempo, nos quais deseja-se obter a
solucao. A partir desta notacao, o modelo contınuo e transformado em um meio
discreto, possuindo Nx pontos na direcao x.
A seguir, apresenta-se a notacao indicial adotada para as discretizacoes numericas
da equacao da onda acustica:
x −→ i∆x; i = 1, 2, ...,Nx
t −→ n∆t; n = 1, 2, ...,Nt
Sendo assim, quanto a notacao das variaveis descritas, torna-se possıvel reescre-
ver o campo de pressao e a fonte impulsiva em uma notacao em termos discretos:
p(x, t) −→ pni (2.8)
f (t) −→ f n
11
2.1.1 Operadores Espaciais e Temporais do MDF
O MDF possibilita obter diferentes expressoes para a aproximacao das derivadas,
de acordo com a ordem do erro cometido por essas aproximacoes. A discretizacao es-
colhida para essa dissertacao e a de segunda ordem para ambas as derivadas espacial
e temporal, como ilustrado pela Figura 2.1.
Figura 2.1: Representacao do operador de segunda ordem no espaco e tempo
Sendo assim, para obter a equacao discreta de equilıbrio dinamico em um tempo t
qualquer, utilizam-se as seguintes aproximacoes para as derivadas espacial e tempo-
ral em termos do campo de pressoes p:
∂2 p(x, t)∂x2 =
1(∆x)2 [pn
i−1 − 2pni + pn
i+1] (2.9)
∂2 p(x, t)∂t2 =
1(∆t)2 [pi
n−1 − 2pni + pi
n+1] (2.10)
12
2.1.2 Equacao da Onda Discretizada pelo Metodo das Dife-
rencas Finitas
Para obter a equacao da onda discretizada pelo MDF substitui-se os operadores
das equacoes 2.9 e 2.10 na equacao 2.7 a fim com o objetivo de obter o operador
acustico em termos de pressoes no tempo n+1.
pin+1 =
(v(x).∆t)2
(∆h)2 [pni−1 − 2pn
i + pi+1n] − pi
n−1 + 2pni + f nδi (2.11)
A equacao 2.11 fornece o valor do campo de pressao no ponto i, para o tempo n+1,
em funcao dos valores das pressoes na vizinhanca deste ponto nos tempos anteriores
n e n-1, acrescido da fonte f n nos pontos ela e aplicado. Assim, considerando-se
esta expressao para os Nx pontos do grid, obtem-se um sistema de equacoes para a
marcha do tempo, que permite obter a solucao no domınio ao longo do tempo de
analise.
13
2.1.3 Estabilidade e Dispersao Numerica
Um metodo numerico estavel e aquele no qual quaisquer perturbacoes ou erros
na solucao nao sao amplificados. Os exemplos mais diretos para essas perturbacoes
e erros sao condicoes de fronteira ou iniciais aproximadas de forma incorreta, e o
acumulo de erros de arredondamento cometidos pelo computador durante os calculos.
O primeiro exemplo e evitado com uma correta discretizacao das condicoes auxi-
liares; o segundo nao pode ser evitado, devendo, portanto, ser controlado. Os erros
de arredondamento nao devem crescer sem limites, a ponto de influir desastrosa-
mente na solucao numerica. O acumulo desses erros pode ser evitado seguindo os
criterios de estabilidade dos metodos numericos((FORTUNA, 2000)).
A condicao geral de estabilidade para o MDF e dada pela expressao (FARIA
(1986))
∆t ≤∆xµvmax
(2.12)
onde µ e a constante que depende do operador de diferencas finitas adotado e do
numero de dimensoes do modelo, sendo que, na pratica a literatura indica que o valor
adequado para esta constante e 10 no caso de aproximacoes com erro detruncamneto
de 2a ordem no espaco; ∆t e o incremento de tempo, ∆x o espacamento do grid e
vmax e a maior velocidade do meio.
Por outro lado, para controlar a chamada dispersao numerica, deve-se limitar o
espacamento entre os pontos do grid, pois quanto maior a separacao entre os pontos
da malha, maior sera a dispersao das frentes de onda relacionadas a cada frequencia
que compoem o espectro do sinal.
A expressao que fornece os valores limites para espacamentos de grid para o MDF
e dada por (FARIA (1986)):
∆x ≤vmin
α fcorte(2.13)
sendo vmin e a menor velocidade de propagacao do modelo adotado, fcorte e a fre-
quencia de corte ou frequencia maxima utilizada pelas fontes aplicadas ao meio, e
α representa o numero mınimo de amostras necessario por comprimento de onda,
relativo a frequencia maxima, na pratica adotado como 5.
14
2.1.4 Termo Fonte
Na secao 2.1 foi considerado um termo fonte na equacao da onda acustica, com o
objetivo de simular problemas geofısicos. Desta forma, a funcao adotada para o
termo fonte deve atender a algumas caracterısticas para representar corretamente
uma fonte real, ou seja, uma fonte sısmica no tempo.
Figura 2.2: Representacao da fonte sısmica, propagacao da onda no meio e registrodas informacoes
Em geofısica, geralmente a fonte sısmica representa uma perturbacao sobre o
domınio fısico ilustrado conforme a figura 2.2, dentro do qual a repentina liberacao
de energia, representada por uma onda de pressao que se propaga atraves do meio,
produz uma variacao nos valores de pressao p. As propriedades mais importantes
de uma fonte sısmica sao:
• Energia;
• Conteudo de Frequencias;
• Forma da onda de saida da fonte;
• Repetibilidade;
• Aspecto de Resolucao;
• Custo e uso no campo.
Existe uma variedade de fontes sısmicas com diferentes nıveis de energia e fre-
quencia, embora a energia esteja frequentemente concentrada em uma banda limi-
tada de frequencias. Dentre os dispositivos que podem ser empregados na industria
para gerar uma fonte sısmica, lista-se abaixo os principais equipamentos utilizados
em um levantamento:
15
• Caminhoes contendo massa vibrante, Vibroseis;
• Canhao de agua, Water gun;
• Canhao de ar, Air gun;
• Centelhadores, Enegia Eletrica-Acustica;
• Fontes Explosivas em terra;
• Percussores de queda livre, como por exemplo Marretas ;
Em termos praticos, em aplicacoes Geofısicas diversos fatores definem o tipo de
fonte a ser utilizada, como por exemplo: o tipo de geologia da area a ser analisada, a
proximidade de regioes habitadas, a profundidade que se deseja que o sinal sısmico
alcance, ente outros fatores.
Nas modelagens numericas o termo fonte da equacao da onda empregado para
simular as fontes sısmicas utilizadas pela Geofısica, e uma funcao matematica que
possui uma determinada variacao ao longo do tempo. Diferentes tipos de funcoes
matematicas podem ser utilizadas para tal fim, embora seja conveniente que tais
funcoes possuam certas caracterısticas especiais descritas a seguir.
A funcao matematica utilizada como termo fonte deve preferencialmente ser limi-
tada, tanto no domınio do tempo quanto da frequencia. Uma funcao matematica
limitada e aquela que possui valores nao nulos apenas em um determinado intervalo
do seu domınio.
A funcao dever ser limitada no domınio do tempo a fim de simular uma fonte
sısmica do tipo explosiva. Ja no domınio da frequencia, esta caracterıstica faz com
que se tenha um controle sobre a frequencia maxima ao qual o modelo numerico esta
submetido, denominada frequencia de corte fcorte. Tal frequencia influencia o grau
de refinamento da discretizacao empregado para a simulacao numerica, conforme
item 2.1.3.
Neste contexto, a fonte sısmica a ser associada com a equacao 2.7 e empregada
nas simulacoes numericas realizadas ao longo desta dissertacao e a derivada segunda
da Gaussiana (CUNHA, 1997), dada pela seguinte equacao:
f (t) =[1 − 2π (π fctd)2
]e−π(π fctd)2
(2.14)
onde
td = n∆t − t f (2.15)
16
corresponde ao tempo defasado, responsavel pela translacao temporal da fonte no
tempo, n e o numero de passos de tempo transcorridos e a variavel t f corresponde
ao perıodo da funcao Gaussiana, dado como:
t f =2√π
fcorte(2.16)
sendo fc a frequencia central da fonte, dada por:
fc =fcorte
3√π
(2.17)
onde fcorte e a frequencia de corte da fonte.
A seguir e ilustrado o comportamento no tempo na frequencia da fonte sısmica
para uma frequencia de corte de 30Hz. Na figura (2.3-a), e apresentado o grafico
descrevendo o comportamento da fonte ao longo do tempo, enquanto que na figura
(2.3-b) esta representado o modulo da transformada de Fourier para o domınio da
frequencia da fonte sısmica.
Figura 2.3: a - Funcao fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana para fcorte =
30Hz, b - Fonte sısmica no domınio da frequencia.
O conhecimento e controle destes parametros e importante ja que o grau de
refinamento da discretizacao do modelo e influenciado pelo espectro de frequencia
aplicado no modelo.
17
Capıtulo 3
Modelagem de Ondas Acusticas
com Funcoes de Base Radial
3.1 Conceitos Basicos de Funcoes de Base Radial
(FBR)
As FBR enquadram-se nos chamados metodos sem malha, alem disso, quando
tratam-se de distribuicoes de pontos posicionados arbitrariamente, ou seja, corres-
pondentes a uma malha irregular, o metodo mais utilizado nos ultimos anos, e o
baseado nas FBR por apresentar excelentes propriedades interpoladoras.
As FBR representam uma classe de funcoes especiais, cujo nome funcao radial
sugere que os valores sao obtidos pela diferenca ou distancia r = ||x − xi|| entre
as coordenadas do ponto onde a funcao deve ser avaliada, ponto central x, e as
coordenadas dos pontos genericos xi conforme ilustra a figura 3.1. Essas funcoes sao
nao-linerares e os seus respectivos valores tendem a aumentar ou diminuir de acordo
com a simetria radial, dependendo diretamente da distancia (MARK (1996)). Uma
funcao radial e representada pela seguinte notacao:
ϕ(r) = ϕ(||x − xi||) (3.1)
onde r = (||x − xi||) denota a norma euclidiana entre dois pontos isso quer dizer que
o valor da funcao ϕ(||x − xi||) em um ponto somente depende da norma de r.
Alem disso, algumas propriedades que garantem a potencialidade das FBR sao
notorias, tais como: Dependencia radial, que e uma observacao muito importante,
pois o valor da funcao depende somente da distancia do ponto central a um ponto
generico; alem desta podem-se citar tambem o decaimento e suavidade de algumas
funcoes radiais que desempenham papel importante na precisao das interpolacoes.
18
Figura 3.1: Representacao do centro da funcao de base radial
3.2 Formulacao Matematica das FBR
A formulacao matematica das funcoes de base radial e simples. No contexto
de aproximacoes de funcoes, tem sua origem na teoria da interpolacao de dados.
A solucao do problema de interpolacao e obtida atraves de uma combinacao linear
de translacoes de uma funcao de base radial escolhida, conforme apresentado por
WONG et al. (2002). Suponha inicialmente que:
W = [(x1, f1), (x2, f2), ..., (xn, fN)] (3.2)
seja um conjunto de pontos, onde fi ∈ R corresponde ao valor de uma funcao f no
ponto xi ∈ R, para i=1, 2, 3, ...,N. Ressalta-se, que os pontos xi sao distintos, isto e
xi , x j, para i , j.
Uma interpolacao numerica e o processo de determinar uma funcao f capaz de
estimar o valor da funcao f em posicoes arbitrarias x ∈ R a partir do conjunto de
pontos e valores de W. Neste caso, os valores estimados pela funcao f , nas posicoes
xi, i=1, 2, 3, ...,N, devem ser iguais aos valores conhecidos fi.
Um outro aspecto e que, quando os dados estao arbitrariamente posicionados,
isto e, irregulamente espacados, e necessario adotar metodos de interpolacao que
lidem com esta questao, sendo que um metodo muito utilizado e o metodo baseado
nas Funcoes de Base Radial, formalizado pela seguinte equacao:
P(x, t) =
N∑j=1
ϕ j(x j, x)A j (3.3)
Sendo:
• P - funcao a ser interpolada;
• A j - pesos da interpolacao;
• ϕ j - funcao radial;
19
• N - numero total de pontos da interpolacao com FBR.
Lembrando que r = (||x − xi||) denota a norma euclidiana entre dois pontos, isso
quer dizer que o valor da funcao ϕ(||x− xi||) em um ponto somente depende da norma
de r. E por essa caracterıstica, que a funcao radial nao tem orientacao preferencial
e, o valor da funcao e igual para todos os pontos que possuem a mesma distancia
do ponto central que esta sendo analisado.
Uma vez escolhidas as funcoes radiais ϕ j(x j, x) podem-se determinar os valores
de amplitude A j com a seguinte operacao matematica:
P(xi, t) = fi, i = 1, 2, 3, ..N, (3.4)
Da equacao 3.4 resultara em um sistema de equacoes lineares segundo a equacao
3.3.
f (x1)f (x2)...
f (xN)
=
ϕ1(x1, x1) ϕ2(x2, x1) ... ϕ j(xN , x1)ϕ1(x2, x1) ϕ2(x2, x2) ... ϕ j(xN , x2)
... ... . ...
ϕ1(xN , x1) ϕ2(xN , x2) ... ϕ j(xN , xN)
A1
A2
...
AN
Dessa forma, o problema de determinar esses coeficientes A j e resolvido atraves
da solucao de um sistema de equacoes lineares, que na forma matricial e reescrito
como:
Φ ·A = P (3.5)
onde:
Φ =
ϕ1(x1, x1) . . . ϕN(xN , x1)
.... . .
...
ϕ1(x1, xN) · · · ϕN(xN , xN)
A =
A1...
AN
; P =
p1...
pN
Sendo assim, Φ(nxn) e a matriz simetrica da funcao de base radial composta
por todas as medidas em funcao da distancia Euclidiana r tanto para suporte
global como para suporte local; Φk representa a linha k da matriz Φ, ou seja,
[ϕ1(x1, xk), ϕ2(x2, xk) . . . ϕN(xN , xK)] e A e o vetor dos pesos.
Com o objetivo de resolver e determinar os valores do vetor dos pesos A, faz-se
20
necessario a seguinte manipulacao matematica:
A = Φ−1 P (3.6)
Apos obter os valores de A, pode-se obter as interpolacoes para pontos de inter-
esse dentro do intervalo contınuo [x1, xn].
21
3.3 Principais FBR
As Funcoes de Base Radial utilizam uma funcao base que recebe como parametro
de entrada a distancia Euclidiana r = ||x− xi||, e adicionalmente algumas das funcoes
radiais sao dependentes tambem de um parametro livre c.
Na literatura, encontra-se uma variedade de funcoes de base radial, sendo que, a
seguir sao apresentados as principais funcoes encontradas na literatura, descrevendo
os respectivos detalhes relativos ao seu comportamento.
1. Funcao de base radial gaussiana
As funcoes de base radial Gaussianas desrito pela equacao 3.7 sao funcoes
locais, e que apresentam regioes de influencia restrita com decaimento expo-
nencial com a distancia radial quando r cresce, o parametro livre c determina
a taxa de decaimento e regula a abertura da funcao. Como exemplo mostra-se
na figura 3.2 o comportamento para alguns valores do parametro livre.
ϕ(r) = exp(−cr2); c > 0 (3.7)
Figura 3.2: Funcoes de Base Radial Gaussianas
22
2. Funcao de Base Radial Quadratica Inversa
As funcoes de base radial Quadraticas Inversas tambem dependem do
parametro livre c conforme apresentado na equacao 3.8, possuindo caracterıs-
ticas similares as da funcao Gaussiana. Apresentam porem uma singularidade
r=0, exigindo portanto um tratamento especial em aplicacoes numericas.
ϕ(r) =1
(cr)2 ; c > 0 (3.8)
Figura 3.3: Funcoes de base radial quadratica inversa
23
3. Funcao de Base Radial Multiquadratica
As funcoes de base radial Multiquadraticas sao funcoes que crescem ao infinito
a medida que cresce a distancia radial r podendo por outro lado, tender a zero
se o raio tender a zero conforme a equacao 3.9. A funcao propriamente nao e
singular, mas as suas respectivas derivadas tendem a ser singulares quando r
ou parametro livre c tenderem a zero.
ϕ(r) =√
r2 + c2; c > 0 (3.9)
Figura 3.4: Funcoes de Base Radial Multiquadraticas
24
4. Funcao de Base Radial Multiquadratica Inversa
A Funcao de Base Radial Multiquadratica Inversa apresenta comportamento
similar ao da funcao Gaussiana. Contudo, pode ser uma funcao singular se c
for igual a 0.
ϕ(r) =1
√r2 + c2
; c > 0 (3.10)
Figura 3.5: Funcoes de base radial inversas
25
5. Funcao de Base Radial Spline de Placas Finas
As Funcoes de Base Radial Spline de Placas Finas sao funcoes limitadas e nao-
diferenciaveis. Estas funcoes tem como principal caracterıstica nao apresentar
dependencia do parametro livre c.
ϕ(r) = r2 ln(|r|) (3.11)
Figura 3.6: Funcoes de base radial spline de placas finas
As Funcoes de Base Radial Spline de Placas Finas sao funcoes limitadas e nao-
diferenciaveis. Estas funcoes tem como principal caracterıstica nao apresentar
dependencia do parametro livre c.
Claramente, pode-se testar varias funcoes de base radial. Nesse trabalho optou-
se por utilizar a funcao Gaussiana em conjunto com suas repectivas derivadas. Outro
item a ser destacado e que a funcao nao apresenta singularidade e segundo o trabalho
proposto por GODINHO e TADEU (2009) apresentou resultados interessantes para
aguas rasas, o que e um indicativo de seu potencial para aplicacoes em sısmica.
26
3.4 Solucao da Equacao da Onda por FBR
A discretizacao da equacao da onda por FBR tem a mesma estrutura daquela
desenvolvida para o MDF, conforme foi desenvolvido no apendice A e apresentado
no capıtulo 2. A equacao 2.1 utilizada para modelar a propagacao de ondas acusticas
em geofısica e representada pela seguinte expressao:
∇2 p(x, t) −1
v2(x)∂2 p(x, t)∂t2 = 0 (3.12)
Com o intuito de obter a solucao da propagacao de onda por FBR, a equacao
3.12 sera separada em duas partes. O primeira parte, vinculada ao operador espacial
∇2 p(x, t), sera discretizada por funcoes de base radial. A segunda, vinculada a parcela
temporal ∂2 p(x,t)∂t2 continua a ser discretizada pelos operadores de diferencas finitas de
segunda ordem.
Desta forma, para o operador temporal, conforme desenvolvido no apendice A,
adota-se a seguinte aproximacao:
∂2 p(x, t)∂t2 =
pn−1i − 2pn
i + pn+1i
∆t2 (3.13)
Para a outra parcela, referente ao operador espacial, adota-se a aproximacao
representada pela equacao matricial 3.3, resultando em:
∇2 p(x, t) = ∇2ΦkA (3.14)
Aplicando-se entao a equacao 3.6 para calcular o vetor dos pesos A, tem-se:
∇2Φk A = ∇2Φk Φk−1 P (3.15)
Definindo-se agora um novo operador, pode-se escrever 3.15, como:
∇2(Φk)A = BkP (3.16)
onde
Bk = ∇2(Φk) Φk−1 (3.17)
Substituindo (3.16) e (3.13) na equacao (3.12), tem-se:
27
BkP −1
v(x)2
pn−1i − 2pn
i + pn+1i
∆t2 = 0 (3.18)
Finalmente, isolando o termo correspondente ao campo de pressao no passo de
tempo (n+1 ) p(x, ti+1), pode-se definir a expressao de marcha no tempo para propa-
gacao de ondas acusticas por FBR:
pn+1i = (∆t.v(x))2(Bk P) − pn−1
i + 2pni (3.19)
28
3.5 Estabilidade e Convergencia Numerica
As Funcoes de Base Radial a priori nao tem uma demonstracao fechada para a
convergencia e estalidade numerica. A proposta realizada nessa dissertacao com o
objetivo de delinear as questoes de convergencia numerica, tem relacao direta com a
Funcao de Base Radial que esta sendo adotada e com o a metodologia utlizada para
encontrar o parametro livre c que e apresentado e discutido com maiores detalhes
no capıtulo 4.
Acrescentando, vale lembrar que na literatura existem varios trabalhos com as
Funcoes de Base Radial que mesmo sem uma prova fechada de convergencia e esta-
bilidade, apresentam resultados satisfatorios e consistentes.
3.6 Condicoes de Contorno para FBR
Nesta secao sao apresentadas as condicoes de contorno para o problema unidi-
mensional utilizando as Funcoes de Base Radial.
No caso da condicao de contorno Essencial ou condicao de contorno de Dirichlet,
apresentada no capıtulo 2, equacao 2.5, pode-se prescrever seus valores diretamente
nos pontos dos bordos, de forma simples e direta.
Ja as condicoes de contorno Naturais merecem atencao especial, por envolverem
derivadas em relacao a normal ao contorno (conforme visto na equacao 3.4), o que
exige uma aproximacao por FBR.
Assim, utilizando a equacao 2.6, associada a equacao 3.6 dos pesos de A e ao
valor de p dada pela equacao 3.5, chega-se a:
∂Φk
∂ηΦk−1 P = kq (3.20)
Definindo-se entao um novo operador:
Dk =∂Φk
∂ηΦk−1 (3.21)
Resulta em:
DkP = kq (3.22)
No capıtulo 4 sera apresentado a discretizacao do termo DkP pela FBR Gaussi-
ana, apos a definicao do suporte para esta funcao.
29
Capıtulo 4
Metodologia para Calculo do
Parametro Otimo das FBR
4.1 Metodologia para Determinacao do
Parametro Livre
No capıtulo 3, secao 3.3 foram apresentadas algumas Funcoes de Base Radial.
Observou-se que grande parte delas e composta por um parametro livre c na sua
equacao, e que este desempenha um papel importante para a precisao do metodo
interpolador.
Na literatura existem diversas equacoes utilizadas para calcular os valores deste
parametro. No entanto, nenhuma delas tem um embasamento matematico em ter-
mos de precisao numerica, uma vez que sao formulacoes que foram obtidas atraves
de exaustivos testes e estudos empıricos.
Na tabela 4.1, apresentam-se as principais equacoes utilizadas na literatura para
calcular o parametro livre c.
30
Tabela 4.1: Expressoes para o Calculo do Parametro Livre c
Referencia Parametro c Observacoesd distancia radial
HARDY (1971) c = 0, 815d
D distancia radial
FRANKE (1982) c = 1, 25D/√
N N numero total de pontosdo modelo.
cmax e cmin
KANSA (1990) c2 = c2min(c2
max/c2min)( j−1)/(N−1) valores empıricos.
j=1,2,...N N numero totalde pontos do modelo.
FASSHAUER (2002) c = 2/√
N N numero totalde pontos do modelo.
MOUAT (2002) c < 2/√
N N numero totalde pontos do modelo.
Como ja mencionado, uma das vantagens das FBR e sua elevada precisao para
interpolacao de funcoes. Contudo, nesse trabalho as FBR sao utilizadas para in-
terpolar tanto a funcao base (campo de pressao p) como suas derivadas primeira e
segunda, conforme visto na equacao da onda. Portanto, obter bons valores da in-
terpolacao do campo p, pode nao ser garantia de precisao em propagacao de ondas,
uma vez que e necessario tambem uma boa interpolacao das derivadas deste campo.
No presente trabalho, a estrategia adotada para contornar este problema e criar
uma relacao entre o parametro otimo c e parametros da malha que busquem mini-
mizar os erros de forma a melhorar a precisao da resposta para as derivadas do campo
de pressao p, presente na equacao da onda. Com o objetivo de obter o menor erro
possıvel destas derivadas do campo p, a seguinte estrategia e utilizada: minimizar
o erro cometido entre o calculo da derivada segunda espacial da equacao da onda
3.4 em relacao a derivada segunda de uma funcao analıtica conhecida, neste caso,
o pulso de Ricker, equacao 4.6 apresentado aseguir, de modo a obter uma relacao
entre o parametro livre otimo c e os parametros da malha. Para tanto, define-se um
funcional associado a este erro, conforme sera descrito a frente.
Apresenta-se abaixo todo o desenvolvimento para o calculo do parametro livre
otimo c.
31
O calculo do funcional a ser minimizado com o intuito de encontrar o menor erro
possıvel e descrito pela seguinte relacao:
E(c) =| Λ(Q(x j)) − Λ
Nn∑j=1
ϕ j(x j, x)A j
| (4.1)
onde,
Λ = ∇2 e o operador Laplaciano e Q(x j) uma funcao analıtica conhecida.
Como mencionado, utiliza-se como base o pulso de Ricker em funcao do tempo,
ou seja:
p(τ) = (1 − 2τ2)e−τ2
(4.2)
sendo
τ =t − ts
t0(4.3)
onde
t0 =1π f0
(4.4)
Sendo ts o tempo referente ao valor de pico do pulso e f0 a frequencia central
deste pulso. Realiza-se uma transformacao na equacao 4.2, utilizando-se a seguinte
relacao cinematica:
τ =d(x)v(x)
(4.5)
onde v(x) e d sao respectivamente a velocidade no ponto e o espacamento radial
entre os pontos. Com isto chega-se a:
Q(x) =
1 − 2(π f0d(x)
v(x)
)2 e−(π f0d(x)
v(x)
)2
(4.6)
Assim, a equacao 4.6 permitira obter uma referencia para minimizar o funcional
4.1, conforme sera apresentado adiante.
32
4.1.1 Funcional Para Funcao de Base Radial Gaussiana
Desenvolve-se agora os procedimentos em termos da funcao Gaussiana para en-
contrar o parametro otimo c. Inicialmente, redefine-se a funcao Gaussiana, equacao
3.3 de forma adimensional, como segue:
ϕ(x) = e−c′r2
h2 ; c′ = ch2 (4.7)
Com o objetivo de apresentar os resultados do parametro otimo de forma uni-
versal em termos adimensionais, escreve-se o parametro r da seguinte maneira:
r = (x − x0)h (4.8)
onde x − x0 sao distancias adimensionais, h e o fator de correcao para unidades
utilizadas no grid. x0 o ponto fixo da posicao das FBR e x a posicao ate os pontos
vizinhos que compoem o suporte radial.
Reescrevendo o parametro temporal adimensional τ, tem-se
τ =πh f0
v0(4.9)
sendo v0 a velocidade de propagacao da onda no ponto x0. E importante salientar
que em Geofısica existe uma restricao fısica, para os valores de τ relativa as questoes
de estabilidade numerica. Sendo assim, pode-se estabelecer os limites mınimo e
maximo para o parametro τ com o intuito de reduzir a dispersao numerica, o que
implica em h ≤ λn , onde λ e o comprimento de onda da frequencia de corte e n o
numero minimo de pontos por comprimento de onda.
Lembrando que
v = λf (4.10)
Entao, a relacao entre h e τ, torna:
τ ≤π
n(4.11)
Na pratica, valendo-se da experiencia obtida em metodos ja consagrados como
o MDF para as questoes de estabilidade, pode-se adotar valores de n entre 5 e 10.
Assim, para englobar com folga a respectiva faixa de variacao de τ, definem-se como
limites:
π
50≤ τ ≤ π (4.12)
33
Explicitando-se h na equacao do raio, equacao 4.8, ou seja, tornando r dimen-
sional, tem-se:
rh = x − x0 (4.13)
Com isto, a funcao analıtica Q(x), passa a ser:
Q(x) = (1 − 2(τrh)2)e−(τrh)2(4.14)
ou
Q(x) = (1 − 2(τ(x − x0))2)e−(τ(x−x0))2(4.15)
Explicitando agora h na equacao gaussiana, tem-se:
ϕ(x) = e−c′(x−x0)2(4.16)
Para calcular o erro relativo ao funcional, dado pela equacao 4.1, deve-se inicial-
mente calcular o valor analıtico das derivadas segundas da funcao Q(x) em relacao
a x, no ponto central do subdomınio, ou seja:
d2
dx2 Q(x) = −2τ2e−τ2(x−x0)2
(3 − 12τ2x2 + 24τ2xx0 − 12τ2x02 + 4τ4x4 (4.17)
−16τ4x3x0 + 24τ4x2x20 − 16τ4xx3
0 + 4τ4x40)
que avaliada para o ponto central x = x0, resulta em:
d2
dx2 Q(x) = −6τ2 (4.18)
Com isto, basta agora definir o suporte a ser adotado para a funcao radial, para
que se possa minimizar o funcional, definido na equacao 4.1, e obter os valores otimos
para o parametro livre na faixa de valores de τ dados pela equacao 4.12.
34
4.1.2 Definicao do Suporte Para FBR Gaussiana
O suporte escolhido para essa dissertacao envolve 3 pontos de grid, visando
realizar comparacoes com os resultados gerados pelo MDF de 2a ordem no espaco,
conforme ilustrado na figura 4.1.
Figura 4.1: Suporte com 3 pontos do grid
Levando a configuracao do suporte escolhido na equacao 3.15, tem-se primeira-
mente o termo:
∇2(φi, j) =
φ′′
11 φ′′
12 φ′′
13
φ′′
21 φ′′
22 φ′′
23
φ′′
31 φ′′
32 φ′′
33
e
φ−1i, j =
φ−1
11 φ−112 φ−1
13
φ−121 φ−1
22 φ−123
φ−131 φ−1
32 φ−133
P =
Pi−1
Pi
Pi+1
Fazendo agora o produto matricial de
∇2(φi, j) φi, j−1 (4.19)
Chega-se finalmente a
φ′′
11φ−111 + φ
′′
12φ−121 + φ
′′
13φ−131 φ
′′
11φ−112 + φ
′′
12φ−122 + φ
′′
13φ−132 φ
′′
11φ−113 + φ
′′
12φ−123 + φ
′′
13φ−133
φ′′
21φ−111 + φ
′′
22φ−121 + φ
′′
23φ−131 φ
′′
21φ−112 + φ
′′
22φ−122 + φ
′′
23φ−132 φ
′′
21φ−113 + φ
′′
22φ−123 + φ
′′
23φ−133
φ′′
31φ−111 + φ
′′
32φ−121 + φ
′′
33φ−131 φ
′′
31φ−112 + φ
′′
32φ−122 + φ
′′
33φ−132 φ
′′
31φ−113 + φ
′′
32φ−123 + φ
′′
33φ−133
Nomeando os termos da matriz acima, resulta em:
35
α4 α5 α6
α1 α2 α3
α7 α8 α9
Onde os parametros α1, α2, α3, sao os parametros de interesse para avaliar a
FBR no ponto i, dados por:
α1 = φ′′
21φ−111 + φ
′′
22φ−121 + φ
′′
23φ−131 (4.20)
α2 = φ′′
21φ−112 + φ
′′
22φ−122 + φ
′′
23φ−132 (4.21)
α3 = φ′′
21φ−113 + φ
′′
22φ−123 + φ
′′
23φ−133 (4.22)
Desta forma, obtendo-se os valores para α1, α2, α3 em cada pondo do grid, e
possivel realizar a marcha temporal usando a equacao 3.19.
36
4.1.3 Calculo do Parametro Livre Otimo
Apos a escolha do suporte, pode-se finalmente obter os valores do parametro
livre otimo em funcao do parametro τ atraves da minimizacao do funcional abaixo,
para cada valor de τ desejado.
E(c) =2
e−4c − 2e−2c + 1(ce−4c − 3τ2e−4c − 2c + 6e−2cτ2 (4.23)
+4c2e−2c − 4c2e−c−τ2+ 8c2e−c−τ2
τ2 + c − 3τ2)
Para resolver a funcao 4.23 escolheu-se o Metodo da Bissecao de modo a obter
as raizes do parametro otimo c. Este metodo consiste em percorrer o intervalo
referente a τ, equacao 4.12, utilizando o incremento de τ/100, de modo a obter a
curva apresentada pela figura 4.2.
Figura 4.2: Grafico de c x τ
A partir deste grafico gerou-se um polinomio interpolador, otimizado, para tornar
possıvel obter qualquer valor de c otimo no intervalo de τ definido pela equacao 4.12
com erro menor que 1, 0x10−3.
Para isto, foi necessario dividir o intervalo de τ em subintervalos para os quais
este limite de erro foi atendido com polinomios de grau ≤ 5, conforme segue:
37
4.1.4 Intervalo 1
O primeiro intervalo compreende os valores entre 0,0 e 0,6.
Figura 4.3: Grafico de c x τ intervalo 1
Neste intervalo, de acordo com a figura 4.3, o polinomio que melhor representou
os dados com restrincao de erro 0,001 foi:
c(τ) = −0, 000213359+0, 00645448τ+0, 931671τ2+0, 330507τ3−0, 438701τ4+0, 786846τ5
(4.24)
4.1.5 Intervalo 2
O segundo intervalo compreende os valores entre 0,6 e 1,2.
Figura 4.4: Grafico de c x τ intervalo 2
38
Neste intervalo, de acordo com a figura 4.4, o polinomio que melhor representou
os dados com restrincao de erro 0,001 foi:
c(τ) = −3, 98727 + 17, 2817τ − 24, 505τ2 + 13, 4241τ3 − 0, 420037τ4 (4.25)
4.1.6 Intervalo 3
Finalmente, o terceiro intervalo compreende os valore entre 1,2 e 3,0.
Figura 4.5: Grafico de c x τ intervalo 3
Neste intervalo, de acordo com a figura 4.5, o polinomio que melhor representou
os dados com restrincao de erro 0,001 foi:
c(τ) = −3, 98727 + 17.2817τ − 25, 505τ2 + 13, 4241τ3 − 0, 420037τ4 (4.26)
39
4.2 Equacao Discretizada para Marcha no Tempo
A expressao final para a equacao da onda acustica discretizada, em funcao dos
parametros α′s apresentados na secao 4.1.2, e dada por:
pn+1i = (∆t.v(x))2(α2 pn
i+1 + α1 pni + α3 pn
i−1) + 2pni − pn−1
i (4.27)
onde
α1 =−2c(400ce
200ch2 + (e
200ch2 − 1)
2h2)
(e200ch2 − 1)
2h4
(4.28)
α2 =400c2e
300ch2
(e200ch2 − 1)
2h4
(4.29)
α3 =400c2e
300ch2
(e200ch2 − 1)
2h4
(4.30)
Observa-se que os valores de α1, α2 e α3 sao obtidos atraves das propriedades dos
pontos do grid, calculando-se o valor de τ para cada ponto do grid e utilizando-se
entao as expressoes dos polinomios 4.24, 4.25 e 4.26 para obter o valor otimo do
parametro livre c necessario para avaliar as equacoes 4.28, 4.29 e 4.30.
40
4.3 Condicoes de Contorno
4.3.1 Condicoes de Contorno Naturais
Apresenta-se agora as condicoes de contorno em termos discretizados, uma vez
que no capıtulo 3, item 3.6 apresentou-se a formulacao matematica para as condicoes
de contorno utilizando as FBR.
Para as condicoes de contorno naturais, foi utilizado um suporte de dois pontos,
conforme a figura abaixo.
Figura 4.6: Suporte para condicao de contorno natural, 2 pontos
Portanto, da equacao 3.20, tem-se na forma discreta que:
∂Φ
∂x· Φ −1P = kq (4.31)
Sendo que, na forma matricial, a derivada primeira da funcao Φ, e expressa por:
ϕ′11 ϕ′
12
ϕ′
21 ϕ′
22
Na matriz acima, a primeira linha esta relacionada com o bordo esquerdo e a
segunda linha com o bordo direito, sendo assim, pode-se escrever.
Para o bordo esquerdo:
[ϕ′
11 ϕ′
12
]· Φ −1P = kq
e para o bordo direito:
[ϕ′
21 ϕ′
22
]· Φ −1P = kq
Resolvendo primeiramente para o bordo esquerdo, realiza-se as operacoes acima
em termos matriciais, o que resulta em:
(ϕ′
11ϕ−111 + ϕ
′
12ϕ−121 )pn
1 + (ϕ′
11ϕ−112 + ϕ
′
12ϕ−122 )pn
2 = kq (4.32)
41
Renomeando os coeficientes, tem-se:
β1E = ϕ′
11ϕ−111 + ϕ
′
12ϕ−121
e
β2E = ϕ′
11ϕ−112 + ϕ
′
12ϕ−122
o que transforma a equacao 4.32, em:
β1E · pn1 + β2E · pn
2 = kq (4.33)
Isolando o termo pn1, tem-se:
pn1 =
kq − β2E · pn2
β1E(4.34)
Realizando-se toda manipulacao algebrica, da mesma forma feita para α1, α2 e
α3 obtem-se por fim as seguintes expressoes para os coeficientes β1E e β2E da equacao
discretizada 4.33.
β1E =2c′(x0 − x)
(−1 + e2c′(x0−x)2
h2 )h2(4.35)
β2E = −2c′(x0 − x)e
c′(x0−x)2
h2
(−1 + e2c′(x0−x)2
h2 )h2(4.36)
Para o bordo direito considerando-se o mesmo procedimento matematico, tem-se
que:
βNx−1D · pnNx−1 + βNx D · pn
Nx= kq (4.37)
e isolando o termo pnNx
, tem-se:
pnNx
=kq − βnD · p
Nx−1n
βn+1D(4.38)
Apos toda manipulacao algebrica, obtem-se as seguintes expressoes para os coe-
42
ficientes βNx−1D e βNx D da equacao discretizada 4.38.
βNx−1D = −2c′(x0 − x)e
c′(x0−x)2
h2
(−1 + e2c′(x0−x)2
h2 )h2(4.39)
βNx D =2c′(x0 − x)
(−1 + e2c′(x0−x)2
h2 )h2(4.40)
43
Capıtulo 5
Exemplos e Discussoes
Neste capıtulo sao apresentados alguns exemplos utilizando a equacao da onda
acustica discretizada pelas Funcoes de Base Radial e o Metodo das Diferencas Fini-
tas. O principal objetivo e analisar o comportamento da propagacao de ondas em
modelos unidimensionais utilizando a formulacao por FBR, juntamente com a analise
do parametro c e comparar com os resultados com os obtidos com o MDF.
As condicoes de contorno utilizadas para o exemplos rodados foram a condicao
de contorno de Dirichlet ou condicao de contorno Essecial para o bordo esquerdo a
condicao de contorno Natural para o bordo direito.
E importante observar que para todos os exemplos analisados foram feitos testes
de convergencia para o MDF, atraves da adocao de incremento de tempo 10 vezes
menor que o apresentados, de modo a assegurar que as solucoes de referencia destes
estavam adequadas.
Primeiramente, testa-se a propagacao de ondas em um meio homogeneo uti-
lizando um parametro livre de acordo com a formulacao proposta por FASSHAUER
(2002), conforme descrito na tabela 4.1. O objetivo e avaliar detalhadamente a in-
fluencia do parametro livre e destacar a sua importancia comparando os resultados
com o obtido no MDF.
Posteriormente, sao apresentadas as primeiras solucoes com o valor do parametro
livre proposto conforme o capıtulo 4. Sao apresentados modelos homogeneos e het-
erogeneos com espacamentos iguais, todos eles comparados com os resultados obti-
dos pelo MDF. Por fim, apresenta-se um exemplo para modelos com espacamentos
variaveis e espacamentos calculados randomicamente.
Observa-se que em todos os graficos e snapshots apresentados nos exemplos, as
curvas na cor vermelho representam os resultados obtidos com o MDF e as curvas
na cor preta representam os resultados obtidos com a FBR utilizando a metodologia
proposta. O computador usado para gerar os resultados foi um INTEL CORE II
44
DUO 2.1GHz, com 4Gbytes de memoria RAM.
45
5.1 Meio Homogeneo com Grid Equiespacado
5.1.1 Objetivo
O objetivo desse primeiro exemplo e comparar a modelagem sısmica em um meio
homogeneo, utilizando FBR com o parametro livre de FASSHAUER (2002) com as
FBR utilizando o parametro livre proposto e tendo como referencia o MDF.
5.1.2 Parametros do Modelo
A tabela (5.1), descreve os parametros empregados na modelagem. Observa-se
que para ambos os modelos foram utilizados os mesmos parametros.
Figura 5.1: Modelo Homogeneo - Espacamentos Iguais
Tabela 5.1: Parametros do Modelo Homogeneo discretizado pelo metodo das Dife-rencas Finitas e Funcoes de Base Radial
Parametros Valor RegiaoTamanho do Modelo 5000 m
Espacameto 10m
Numero de Pontos 501
Velocidade 1500 m/s Meio Homogeneo
Frequencia de Corte 15Hz
Posicao da Fonte 2490m Meio do Modelo
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
46
5.1.3 Resultados Obtidos
A figura 5.2 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m ao longo
do tempo de analise. A figura (5.3) apresenta o detalhamento do traco da figura
5.2, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final da analise.
Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas FBR produz uma
defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo de analise. Ja para as
amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre as FBR e MDF.
Figura 5.2: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125)
Figura 5.3: (a)-Janela dos instantes de tempo (0-1,5) segundos. (b)-Janela dosinstantes de tempo (8,8-10) segundos.
A figura 5.4 mostra o evento instantaneo (snapshot) utilizando as FBR com o
parametro livre de FASSHAUER (2002), onde observa-se que houve instabilidade
47
numerica dos resultados ja para tempos iniciais, conduzindo a valores que tendem
ao infinito. Ressalta-se que foi utilizado o domınio global para gerar os resultados
com o parametro de FASSHAUER.
As figuras 5.5(a) e 5.6(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) dos campos
de pressoes nos tempos 0.4s e 8s obtidas com as FBR e com o MDF, onde observa-se
mais uma vez a defasagem crescente ao longo do tempo de analise. Ressalta-se que
o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,52s e com FBR de 5,58s.
Ao observar as figuras 5.5(b) e 5.6(b) verifica-se a presenca defasagem. Tal
defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
Figura 5.4: Snapshot no tempo 0.4s utilizando FBR com parametro deFASSHAUER.
Figura 5.5: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda nointervalo [2000m,2400m].
48
Figura 5.6: (a) - Snapshot no tempo 8,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda nointervalo [400m,1200m].
49
5.2 Meio Homogeneo com Grid Aleatorio
5.2.1 Objetivo
Neste exemplo, o objetivo e mostrar que as FBR com o parametro livre proposto
apresentam bons resultados para pontos distribuıdos aleatoriamente. Para tal, no-
vamente comparam-se os resultados obtidos com aqueles provenientes do MDF, para
um grid equiespacado.
5.2.2 Parametros do Modelo
Neste segundo exemplo,foram utilizados pontos distribuıdos aleatoriamente para
as FBR e pontos equiespacados para o modelo homogeneo descrito pelo MDF con-
forme a tabela 5.2. Os valores randomicos foram gerados a partir do grid equies-
pacado do MDF, pertubando-se cada ponto em no maximo 1m em torno da posicao
original. A excessao disto foram os pontos de aplicacao da fonte sısmica e de leitura
do traco, que permaneceram em suas posicoes originais.
Figura 5.7: Modelo Homogeneo - Espacamento Randomico
Tabela 5.2: Parametros do Modelo Homogeneo com Grid Irregular
Parametros Valor-FBR Valor-MDF RegiaoTamanho do Modelo 5000 m 5000 m
Espacameto Randomico 10m
Numero de Pontos 501 501
Velocidade 1500 m/s 1500 m/s Meio Homogeneo
Frequencia de Corte 15Hz 15Hz
Posicao da Fonte 2490m 2490m Meio do modelo
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
50
5.2.3 Resultados Obtidos
Neste exemplo, apresenta-se o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m
ao longo do tempo de analise, conforme ilustrado na figura 5.8. Nas figuras 5.9(a) e
5.9(b) apresentam detalhamento do traco sısmico, mostrando o resultado para uma
faixa no inıcio e outra no final da analise. Nesta figuras, nota-se que o resultado
apresentado pelas FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao
longo do tempo de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao iguais entre as
FBR e MDF.
Figura 5.8: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125)
Figura 5.9: (a)-Analise no intervalo (0,0-1,8) segundos. (b) - Analise no intervalo(8.8-10,0) segundos.
As figuras 5.10(a) e 5.11(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) dos cam-
51
pos de pressoes nos tempos 0,4s e 8,0s obtidos em um meio homogeneo com grid
equiespacado para o MDF e para a FBR.
Ao observar as figuras 5.10(b) e 5.11(b) verifica-se a presenca de defasagem. Tal
defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,52s e com
FBR de 4,86s.
Figura 5.10: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [2000m,2400m].
Figura 5.11: (a) - Snapshot no tempo 8,0s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [400m,1200m].
52
5.3 Meio Heterogeneo com 3 Camadas e Grid
Equiespacado
5.3.1 Objetivo
Neste exemplo, o objetivo e avaliar o comportamento da propagacao de ondas
em meios heterogeneos com a formulacao por FBR utilizando o parametro livre
proposto e comparar com a propagacao de onda simulada por MDF.
5.3.2 Parametros do Modelo
Neste exemplo, utilizaram pontos equiespacados para modelo heterogeneo tanto
para FBR como para o MDF conforme indica a tabela 5.3.
Figura 5.12: Modelo Heterogeneo com 3 camadas e Grid equiespacado
Tabela 5.3: Parametros do Modelo Heterogeneo com Grid equiespacado
Parametros Valor MDF|FBR RegiaoTamanho do Modelo 5000 m
Espacameto 10m
Numero de Pontos 501
Velocidade 1 1500 m/s (10-1600)m, ∆x=10m
Velocidade 2 2000 m/s (1610-3200)m, ∆x=10m
Velocidade 3 2500 m/s (3210-5000)m, ∆x=10m
Frequencia de Corte 15Hz
Posicao da Fonte 2490m
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
53
5.3.3 Resultados Obtidos
A figura 5.13 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m ao
longo do tempo de analise. A figura (5.14) apresenta detalhamento do traco da
figura 5.13, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final da
analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas FBR produz
uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo de analise. Ja para
as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre as FBR e MDF.
Figura 5.13: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125)
Figura 5.14: (a)-Analise nos intervalos (0,0-2,0) segundos. (b) - Analise nos inter-valos (7,0-9,0) segundos.
As figuras 5.15(a) e 5.16(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do campo
de pressao nos instantes de tempo 0,4s e 4,0s para um meio heterogeneo com grid
54
equiespacado para a modelagem por MDF e grid para as FBR.
Ao observar as figuras 5.15(b) e 5.16(b) verifica-se a presenca de defasagem. Tal
defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s e com
a FBR de 4,56s.
Figura 5.15: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [2600m,3200m].
Figura 5.16: (a) - Snapshot no tempo 4,0s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [3600m,4800m].
55
5.4 Meio Heterogeneo com 3 Camadas com Grid
Irregular Otimizado
5.4.1 Objetivo
Neste ultimo exemplo, apresenta-se um modelo heterogeneo composto por 3 ca-
madas. O objetivo e utilizar um grid com transicao entre as camadas acontecendo
de forma brusca e outro com espacamento suave do grid para as FBR respeitando
o criterio de estabilidade. Como referencia, usa-se um modelo heterogeneo com
espacamentos iguais para o MDF.
5.4.2 Parametros do Modelo
Para o modelo discretizado pelo MDF utiliza-se um grid equiespacado seguindo
o criterio de estabilidade exposto no capıtulo 2, o que resulta em um espacamento
de 10m.
Para a modelagem utilizando FBR construiu-se um grid irregular, com espaca-
mento entre os pontos de 10m para a regiao com velocidade de 1500m/s, 20m para
a regiao com 3000m/s e 30m para a regiao com 4500m/s.
Duas opcoes foram simuladas para as interfaces entre as camadas: a primeira
com mudanca brusca do espacamento, ou seja, muda-se o espacamento de 10m para
20m na regiao de transicao de velocidade de 1500m/s para 3000m/s e 20m para 30m
na regiao de transicao de velocidade de 3000m/s para 4500m/s. A segunda com um
escalonamento suave (10, 12, 14, 16 ,18 e 20) nas regioes de transicao de velocidade
de 1500m/s para 3000m/s e escalonamento suave (20, 22, 24, 26, 28 e 30) nas regioes
de transicao de velocidade de 3000m/s para 4500m/s conforme esquematizado na
tabela (5.5) e (5.6). A ideia e verificar como se comporta a precisao do metodo para
variacoes brusca de espacamento do grid.
56
Tabela 5.4: Parametros do Modelo Heterogeneo - MDF
Parametros Valor RegiaoTamanho do Modelo 5000 m
Espacameto 10m
Numero de Pontos 501
Velocidade 1 1500 m/s (10-1600)m, ∆x=10m
Velocidade 2 3000 m/s (1610-3200)m, ∆x=10m
Velocidade 3 4500 m/s (3210-5000)m, ∆x=10m
Frequencia de Corte 15Hz
Posicao da Fonte 2490m
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
Tabela 5.5: Parametros do Modelo Heterogeneo da FBR - Grid Irregular Brusco
Parametros Valor RegiaoTamanho do Modelo 5000 m
Espacameto Variavel
Numero de Pontos 261
Velocidade 1 1500 m/s (10 - 1060 )m, ∆x=10m
Velocidade 2 3000 m/s (1080-2480)m, ∆x=20m
Velocidade 3 4500 m/s (3010-5000)m, ∆x=30m
Frequencia de Corte 15Hz
Posicao da Fonte 2490m
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
57
Tabela 5.6: Parametros do Modelo Heterogeneo da FBR - Grid Irregular Otimizado
Parametros Valor RegiaoTamanho do Modelo 5000 m
Espacameto Variavel
Numero de Pontos 258
Velocidade 1 1500 m/s (10 - 1600 )m, ∆x=10m(1612, 1626, 1642, 1660)m
Velocidade 2 3000 m/s (1680-2380)m, ∆x=20m(2402, 2426, 2452, 2480)m
Velocidade 3 4500 m/s (2510-5000)m, ∆x=30m
Frequencia de Corte 15Hz
Posicao da Fonte 2490m
Incremento de Tempo 0,001s
Tempo Total de Analise 10s
58
5.4.3 Resultados Obtidos
• Opcao 1 - Grid Com Variacao Brusca no Espacamento.
Figura 5.17: Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao brusca no espacamento
A figura 5.18 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=100, posicao=900m ao
longo do tempo de analise. A figura (5.19) apresenta o detalhamento do traco
da figura 5.18, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final
da analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas
FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo
de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre
as FBR e MDF.
Figura 5.18: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 900m (NX=100)
As figuras 5.20(a) e 5.21(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do
campo de pressao no tempo 0.4s e 4.0s para um meio heterogeneo com grid
equiespacado para a modelagem por MDF e grid intercalado para as FBR.
Ao observar as figuras 5.20(b) e 5.21(b) verifica-se a presenca defasagem.
Tal defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s
e com FBR de 3,66s.
59
Figura 5.19: (a)-Analise nos intervalos (1,0-2,5) segundos. (b) - Analise nos inter-valos (6,0-10,0) segundos.
Figura 5.20: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [800m,2400m].
Figura 5.21: (a) - Snapshot no tempo 4,0s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [2800m,4400m].
60
• Opcao 2 - Grid com Variacao Suave no Espacamento.
Figura 5.22: Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao suave no espacamento
A figura 5.23 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=100, posicao=900m ao
longo do tempo de analise. As figuras (5.24(a) e (b)) apresentam amplicacoes
do traco da figura 5.23, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra
no final da analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado
pelas FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do
tempo de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais
entre as FBR e MDF.
Figura 5.23: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 900m (NX=100)
As figuras 5.25(a) e 5.26(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do
campo de pressao no tempo 0.4s e 1.0s para um meio heterogeneo com grid
equiespacado para a modelagem por MDF e grid intercalado para as FBR.
Ao observar as figuras 5.25(b) e 5.26(b) verifica-se a presenca defasagem.
Tal defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
Outra observacao importante, e a comparacao entre os resultados da modela-
gem utilizando a opcao 1 (Grid Com Variacao Brusca no Espacamento) com a
opcao 2(Grid com Variacao Suave no Espacamento). Nota-se, que o resultado
61
Figura 5.24: (a)-Analise nos intervalos (1-2.5) segundos. (b) - Analise nos intervalos(6-10) segundos.
foi praticamente o mesmo para ambos os grids apresentando uma leve variacao
entre os modelos quando comparados com o MDF.
Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s
e com FBR de 3,41s.
Figura 5.25: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [800m, 2000m].
62
Figura 5.26: (a) - Snapshot no tempo 1,0s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [200m, 1000m].
Observa-se no primeiro e segundo exemplos que para um modelo homogeneo com
grid equiespacado e randomico, o tempo de processamento das FRB foi maior do que
o tempo de processamento utilizando o MDF, sendo 21.83% e 7.52% para o primeiro
e segundo exemplos, respectivamente. Verificou-se ainda um pequena defasagem ao
longo de multiplas reflexoes nas bordas do modelo.
O mesmo ocorreu no terceiro exemplo, o qual apresenta modelos heterogeneos
com grid equiespacado, onde tempo de processamento das FBR foi maior que a do
MDF, cerca de 4.34%.
Diferentemente, no quarto exemplo, em que o tempo de processamento das FBR
nos modelos heterogeneos com grid irregular otimizado com espacamento brusco foi
cerca de 16.24% mais rapido e com espacamento suave, 21.96% mais rapido.
Vale destacar que, para esse modelos o numero de pontos do modelo para a FBR
e menor do que a do MDF, conforme as Tabelas do item 5.4. Destaca-se ainda
que a presenca da defasagem foi observada tambem nesses modelos. No entanto,
na otimizacao com grid suave a defasagem foi menor comparado com os demais
exemplos.
63
Capıtulo 6
Conclusoes
Neste trabalho foi desenvolvido a solucao da equacao acustica da onda, para
meios homogeneos e heterogeneos utilizando o Metodo das Diferencas Finitas e as
Funcoes de Base Radial. Todas as equacoes de onda foram derivadas a partir de
aproximacoes desenvolvida em relacao ao campo de pressao de onda P.
Foi desenvolvida a solucao da equacao da onda por FBR, o termo vinculado ao
operador espacial foi discretizado popr funcoes de base radial, enquanto, o operador
temporal foi discretizado pelos operadores de diferencas finitas de 2a ordem.
Os resultados deste estudo demonstraram semelhanca ao MDF, metodo utilizado
como comparacao. Foi observado, ainda, que em todos os exemplos analisados houve
um acrescimo de defasagem entre os resultados do MDF e FBR, o que pode ser
atribuıdo a precisao do calculo dos polinomios que aproximam o parametro otimo
c pelo metodo proposto, uma vez que eles foram utilizados com uma precisao da
ordem 10−3.
As FBR permitiram a criacao de grids com espacamento variavel, que produziram
um ganho no custo computacional em relacao ao MDF para exemplos complexos.
Foi possıvel verificar que tanto utilizando-se aproximacao aleatoria de pontos
como para meio heterogeneo com variacao de propriedades, os resultados apresenta-
ram o mesma diferenca em relacao a fase, mantendo-se a amplitude ao longo
da analise. Alem disso, vale destacar o ganho em relacao numero de pontos no
modelo mais complexo e no tempo de processamento, conforme o exemplo 5.4.3, em
destaque, o grid com variacao suave do espacamento.
Por fim, concluiu-se que a metodologia desenvolvida foi eficiente tanto para
domınios regulares como irregulares para problemas de propagacao de ondas uni-
dimensionais em geofısica.
64
6.1 Trabalhos futuros
Uma vez que a formulacao por FBR obteve bons resultados, pretende-se dar
seguimento as pesquisas efetuadas neste trabalho, principalmente nas seguintes eta-
pas:
• Aprimorar o calculo do parametro otimo melhorando a precisao dos polinomios
interpoladores, com o objetivo de verificar a questao da defasagem;
• Aplicacao para outras funcoes de base radial;
• Aumento da ordem do operador espacial;
• Refinar a malha;
• Problemas 2D e 3D;
• Acoplamento com o MDF.
65
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70
Apendice A
Operadores de Diferencas Finitas
• Expansoes em Serie de Taylor
Apresenta-se de forma simples a Serie de Taylor. Supoem-se que uma funcao
f, definida em um intervalo [a,b] de interesse e que possua derivadas ate ordem n
contınuas no intervalo. Assim, a serie de Taylor permite escrever:
f (x±λ4x) =
∞∑n=0
(±λ4x)n f n(x)n!
(A.1)
considerando λ = 1, tem-se:
f (x − ∆x) = f (x) − ∆xd f (x)
dx+
(∆x)2
2!d2 f (x)
dx2 −(∆x)3
3!d3 f (x)
dx3 + ... − O(∆x)n (A.2)
f (x + ∆x) = f (x) + ∆xd f (x)
dx+
(∆x)2
2!d2 f (x)
dx2 +(∆x)3
3!d3 f (x)
dx3 + ... + O(∆x)n (A.3)
Por outro lado, cosiderando λ = 2:
f (x − 2∆x) = f (x) − 2∆xd f (x)
dx+
(2∆x)2
2!d2 f (x)
dx2 −(2∆x)3
3!d3 f (x)
dx3 + ... − O(∆x)n (A.4)
f (x + 2∆x) = f (x) + 2∆xd f (x)
dx+
(2∆x)2
2!d2 f (x)
dx2 +(2∆x)3
3!d3 f (x)
dx3 + ... + O(∆x)n (A.5)
Onde o O(∆n)n representa a ordem do erro local de truncamento.
• Operadores de Diferencas Finitas
71
O Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e uma das tecnicas mais aplicadas em
modelagem de ondas.
O MDF pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno e valor
inicial, envolvendo equacoes diferenciais ordinarias ou parciais. A tecnica consiste
em discretizar o domınio fısico do problema, utilizando-se um grid ou malha (Nuvem
de Pontos) igualmente espacada sobre este domınio.
O objetivo deste metodo numerico consiste na aproximacao das derivadas da
equacao diferencial governante do problema, atraves da expansao truncada da serie
de Taylor.
O Metodo das Diferencas finitas, de acordo com a expansao em Series de Tay-
lor, para valores proximos a um determinado ponto da malha, podem ser obtidas
as expressoes para aproximacao das respectivas derivadas da equacao que rege o
fenomeno. Os operadores de diferencas finitas tem como base a expansao em serie
de Taylor de uma funcao f e o erro cometido pela aproximacao da ordem O().
Supondo que f seja contınua no intervalo [a, b] de interesse e que possua derivadas
contınuas neste intervalo, o Teorema de Taylor permite escrever:
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x∂ f (x)∂x
+(∆x)2
2!∂2 f (x)∂x2 +
(∆x)3
3!∂3 f (x)∂x3 +
(∆x)4
4!∂4 f (x)∂x4 + · · ·+ O(∆xr)
(A.6)
e
f (x−∆x) = f (x)−∆x∂ f (x)∂x
+(∆x)2
2!∂2 f (x)∂x2 −
(∆x)3
3!∂3 f (x)∂x3 +
(∆x)4
4!∂4 f (x)∂x4 − · · ·+ O(∆xr)
(A.7)
Onde O(∆xr) representa a ordem r do erro local de truncamento das series.
Para obter entao aproximacoes para a derivada primeira de f pode-se por exemplo,
extrair diretamente de (A.6) e (A.7), tal que:
∂ f (x)∂x
=f (x + ∆x) − f (x)
∆x+ O(∆x) (A.8)
e
∂ f (x)∂x
=f (x) − f (x − ∆x)
∆x+ O(∆x) (A.9)
sendo que (A.9) representa o operador de diferencas progressivas (forward differ-
ences) e A.8 diferencas atrasadas (backward diffrerences), ambos com erro de 1o or-
dem. Caso se deseje obter um operador de segunda ordem para a primeira derivada,
72
deve-se combinar as expressoes (A.6) e (A.7) de forma a eliminar a segunda derivada
de f . Bastando para isso subtrair as duas expressoes e explicitar a primeira derivada
omitindo o termo relacionado a ordem do erro. Com isto, chega-se ao seguinte op-
erador de diferencas centrais (central differences):
∂ f (x)∂x
=f (x + ∆x) − f (x − ∆x)
2∆x(A.10)
Ainda utilizando as expansoes (A.6) e (A.7), pode-se combina-las para que a
primeira derivada de f seja eliminada, assim obtendo um operador de segunda or-
dem para a segunda derivada. Esse procedimento e feito de modo semelhante ao
caso anterior, mas somando-se as duas expansoes, chegando-se a:
∂2 f (x)∂x2 =
f (x + ∆x) − 2 f (x) + f (x − ∆x)(∆x)2 (A.11)
Para obter um operador de quarta ordem, basta aplicar a derivada segunda na
expressao (A.11), talque:
∂2
∂x2
(∂2 f (x)∂x2
)=∂2 f (x + ∆x)
∂x2 − 2∂2 f (x)∂x2 +
∂2 f (x − ∆x)∂x2 (A.12)
onde
∂2 f (x + ∆x)∂x2 =
f (x + 2∆x) − 2 f (x + ∆x) + f (x)(∆x)2 (A.13)
∂2 f (x)∂x2 =
f (x + ∆x) − 2 f (x) + f (x − ∆x)(∆x)2 (A.14)
∂2 f (x − ∆x)∂x2 =
f (x) − 2 f (x − ∆x) + f (x − 2∆x)(∆x)2 (A.15)
Substituindo as expressoes (A.13), (A.14) e (A.15) em (A.12) obtem-se o seguinte
operador, de quarta ordem.
∂2 f (x)∂x2 =
112(∆x)2
[f (x + 2∆x) − 16 ( f (x + ∆x) + f (x − ∆x)) − 30 f (x) + f (x − 2∆x)
](A.16)
73
Apendice B
Formulacao da Equacao da Onda
Acustica em termos de Pressao
A equacao acustica da onda pode ser deduzida baseada na teoria acustica, onde a
lei de Hooke estabelece uma relacao entre pressao e variacao volumetrica NUSSEN-
ZVEIG (2005).
P = −k(∇.−→u ) (B.1)
onde P=P(x,z,t) e a variacao da pressao em relacao a pressao ambiente, k=k(x,z)
e o modulo de compressao adiabatico do meio e −→u =−→u (x,z,t) e o vetor deslocamento
das partıculas.
Pode-se relacionar a variacao da pressao com a aceleracao da partıcula atraves
da segunda lei de Newton:
ρ∂2
∂x2−→u = −∇P (B.2)
onde ρ=ρ(x,z,t) e a densidade do meio. Derivando-se a expressao B.2 em relacao
ao tempo, tem-se que:
∂2
∂t2 P = −k[∂2
∂t2 (∇.−→u )] (B.3)
invertendo os operadores de derivacao na equacao B.3, tem-se:
∂2
∂t2 P = −k[∇.(∂2
∂t2−→u )] (B.4)
sendo que, pode-se assumir a segunda lei de Newton, representada pela B.2 na
expressao B.4, obtendo-se:
∂2
∂t2 P = −k[∇.(−1ρ∇ρ)] (B.5)
74
feito isso, pode-se resolve-la em termos do divergente. Atraves destas operacoes,
chega-se a equacao B.6:
∂2
∂t2 P = k[∇(1ρ
).∇P +1ρ∇.∇P] (B.6)
Sendo que, pela lei de Leibnis, o gradiente de 1/ρ e dado pela expressao B.7:
∇1ρ
= −∇ρ
ρ2 (B.7)
Substituindo B.7 em B.6, tem-se que:
∂2
∂t2 P = k[∇ρ
ρ2 .∇P +1ρ∇.∇P] (B.8)
Sabendo que o modulo acustico k=ρc2 e substituindo na equacao B.8, obtem-se
a expressao:
∂2
∂t2 P = ρc2[∇ρ
ρ2 .∇P +1ρ∇.∇P] (B.9)
Eliminando os termos comuns e reorganizando a equacao B.9, tem-se:
1c2
∂2
∂t2 P = [∇ρ
ρ.∇P + ∇.∇P] (B.10)
Sendo que ∇.∇P=∇2P, pode-se substituir na equacao B.10.
∇2P −1ρ∇ρ.∇P =
1c2
∂2P∂t2 (B.11)
Considerando a densidade constante, o segundo termo da equacao B.11 torna-se
nulo. Logo, tem-se que a equacao B.11 transforma-se em:
∇2P =1c2
∂2P∂t2 (B.12)
Que e justamente a Equacao Acustica da Onda com densidade constante em
termos de Pressao.
75