Ejemplo 10.2, 3ra. Ed. Rashid (5.4, 2da. Ed.)

RECTIFICADOR CONTROLADO 1ϕ DE COMPLETO CON CARGA "RLE" "muy inductiva"

Valor medio de la tension cd depende del ángulo de disparo α

vs t( ) Vm sin ω t( )=

π α

Vcd

α

T

2α

t2

Tvs t( )

d=2Vm

2 πcos ω t( )( )=

α

Así, Vcd (2*Vm/π - 2*Vm/π) con α (0 - π)

Vcd

2Vm

πcos α( )=

el valor máximo de Vcd, cuando α=0Vcdmax

2Vm

π=

Normalizando la tensión cd de salida en relación al valor máximo Vcdn

Vcd

Vcdmax=

resulta Vcdn cos α( )=

α 0 0.1 3.142

0 0.785 1.571 2.357 3.1421

0.5

0

0.5

1

cos α( )

α

Tensión y frecuencia de la fuente Vs 120 V f 60 Hz

relación de vueltas del transformador N1

N21=

Determinar:

A) Expresar la corriente de entrada en la serie Fourier

El Factor armónico de la corriente HF

El factor de desplazamiento DF

El factor de potencia FP

B) para α=π/3 , 120 V y 60 Hz, Factor de desplazamiento DF

Factor de potencia FP Solucion :

El circuito de carga es altamente inductivo y actua como filtro que reduce el rizo decorriente a cero. La tension y la corriente del secundario es alterno pero la corriente esonda cuadrada.

La corriente del secundario (de entrada) es alterna de forma rectangular, puede serexpresada como series Fourier, con términos cos (nωt) y sen(nωt) impares, todos losdemas son iguales a cero.

Frecuencia y velocidad angular de la tension (corriente) ca f 60 Hz

ω 2 π f rad/s

Periódo de onda alternadaT

1

f T 0.017 s

serie Fourier

i t( ) a0

1.2...

∞

n

an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )

=

donde a0

1

2 πα

2 π αω t( )i1 t( )

d=1

2 πα

π αω t( )Ia

d

π α

2π αω t( )Ia

d

= 0=

an1

πα

2 π αω t( )i1 t( ) cos n ω t( )

d=

an1

πα

π αω t( )Ia cos n ω t( )

d

α

2π αω t( )Ia cos n ω t( )

d

=

an 4Ia

n π sin n α( )= para n 1= 3 5 ...

an 0= para n 2= 4 6 ...

bn1

πα

2 π αω t( )i1 t( ) sin n ω t( )

d=

bn1

πα

π αω t( )Ia sin n ω t( )

d

α

2π αω t( )Ia sin n ω t( )

d

= 0=

bn 4Ia

n π cos n α( )= para n 1= 3 5 ...

bn 0= para n 2= 4 6 ...

Cálculo de las constantes ao, an, bn: Ia 1 A is t( ) Ia

Ángulo de disparo απ

3

tdispα

ω tdisp 2.778 10

3 s

ao1

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( )

d

tdisp

T

2tdisp

t( )is t( )

d

ao 0 A

n 1

a12

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

a1 1.098 A

ó

a1

4 Ia

n πsin n α( ) a1 1.103 A

n 3

a32

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

a3 8.871 103

A

ó

a3

4 Ia

n πsin n α( ) a3 0 A

n 5

a52

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

a5 0.224 A

ó a5

4 Ia

n πsin n α( ) a5 0.221 A

n 7

a72

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) cos n ω t( )

d

a7 0.153 A

ó

a7

4 Ia

n πsin n α( ) a7 0.158 A

n 1

b12

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

b1 0.644 A

ó b1

4 Ia

n πcos n α( )

b1 0.637 A

n 3

b32

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

b3 0.424 A

ó

b3

4 Ia

n πcos n α( )

b3 0.424 A

n 5

b52

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

b5 0.119 A

ó

b5

4 Ia

n πcos n α( )

b5 0.127 A

n 7

b72

Ttdisp

T

2tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

π tdisp

T tdisp

t( )is t( ) sin n ω t( )

d

b7 0.098 A

ó

b7

4 Ia

n πcos n α( )

b7 0.091 A

subtityendo valores de a0, an y bn en la serie Fourier, se obtiene la expresión

is t( ) 0

1.3...

∞

n

an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )

=

Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s

Vm 1 V

La función de la tensión de entrada vs t( ) Vm sin ω t( )

is t( ) a1 cos ω t( ) a3 cos 3ω t( ) a5 cos 5ω t( ) b1 sin ω t( ) b3 sin 3ω t( ) b5 sin 5ω t( )

0 5 103 0.01 0.015 0.02

2

1

0

1

2

is t( )

vs t( )

t

Grafico de la corrientes armónicas 1,3,5 y 7:

Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s

Grafico de las componentes armónicas de la corriente secundaria por separado:

ia1 t( ) a1 cos 1ω t( ) ia5 t( ) a5 cos 5ω t( )

ia3 t( ) a3 cos 3ω t( ) ia7 t( ) a7 cos 7ω t( )

ib1 t( ) b1 sin 1ω t( ) ib5 t( ) b5 sin 5ω t( )

ib3 t( ) b3 sin 3ω t( ) ib7 t( ) b7 sin 7ω t( )

0 5 103 0.01 0.015 0.02

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

ia1 t( )

ia3 t( )

ia5 t( )

ia7 t( )

ib1 t( )

ib3 t( )

ib5 t( )

ib7 t( )

t

Suma de las armonicas de corrientes:

is t( ) ia1 t( ) ia3 t( ) ia5 t( ) ia7 t( ) ib1 t( ) ib3 t( ) ib5 t( ) ib7 t( )

0 5 103 0.01 0.015 0.02

2

1

0

1

2

is t( )

vs t( )

t

Otro forma de expresar la serie Fourier

iss t( )ao

21.3.5...

∞

n

Cn sin n ω t ϕn

=

donde

ao 0=

Cn an2

bn2

=

Ángulo de desfase de armonica correspondiente ϕn atanan

bn

= n α=

C1 a12

b12

C1 1.273 A

ϕ1 atana1

b1

ϕ1 1.047 rad

ϕ1o

ϕ1 180

π ϕ1o 60 grados

C3 a32

b32

C3 0.424 A

ϕ3 atana3

b3

ϕ3 0 rad

ϕ3o

ϕ3 180

π ϕ3o 7.016 10

15 grados

C5 a52

b52

C5 0.255 A

ϕ5 atana5

b5

ϕ5 1.047 rad

ϕ5o

ϕ5 180

π ϕ5o 60 grados

C7 a72

b72

C7 0.182 A

ϕ7 atana7

b7

ϕ7 1.047 rad

ϕ7o

ϕ7 180

π ϕ7o 60 grados

Graficas de las armonicas de corriente por separado y comparado con vs(t)

is1 t( ) C1 sin 1 ω t ϕ1 is5 t( ) C5 sin 5 ω t ϕ5

is3 t( ) C3 sin 3 ω t ϕ3 is7 t( ) C7 sin 7 ω t ϕ7

0 5 103 0.01 0.015 0.02

2

1

0

1

2

is1 t( )

is3 t( )

is5 t( )

is7 t( )

t

Suma de armónicos

iss t( ) is1 t( ) is3 t( ) is5 t( ) is7 t( )

0 5 103 0.01 0.015 0.02

2

1

0

1

2

iss t( )

vs t( )

t

Valor eficaz de corriente de entrada de la armónica correspondiente

Isn1

2an

2bn

2=

4 Ia

2 n π=

2 2 Ia

n π=

si n 1Is1

1

2a1

2b1

2 Is1 0.9 A

Is1

2 2 Ia

n π Is1 0.9 A

n 3

Is3

2 2 Ia

n π Is3 0.3 A

n 5

Is5

2 2 Ia

n π Is5 0.18 A

n 7

Is7

2 2 Ia

n π Is7 0.129 A

el valor eficaz de corriente de entrada:

Is_rms Is12

Is32

Is52

Is72

Is_rms 0.974

Cálculo del valor eficaz de la serie armónica de la corriente secundaria???

Isrms 2

tdisp

T

2tdisp

t1

Tiss t( )

2

d Isrms 1.378 A

ó

Is

4 Ia

π 21

1

3

2

1

5

2

1

7

2

1

2

Is 0.974 A

cálculo del valor eficaz de la corriente fundamental

Isrms1 2

T

4

T

4

t2

Tia1 t( )

2

d Isrms1 1.559 A

ó

Is1

4 Ia

π 2 Is1 0.9 A

El factor armonico

HFIs

2Is1

2

Is12

0.5

=Is

2

Is12

1

0.5

=

ó

THD HFIs

2

Is12

1

0.5

HF 0.414

b) el angulo de desplazamento ϕ ϕ α DF cos ϕ( )= cos( )=

factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5

factor de potencia PFIs1

Is

cos α( ) PF 0.462

B) si el α=π/3, y 120 V y 60 Hz Vs 120 V

Vm 2 Vs Vm 169.706 V

Vcd

2 Vm

πcos α( ) Vcd 54.019 V

y tensió normalizada Vcdn 0.5 p.u.

Is1

2 2 Ia

π

Is1 0.9 A

factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5

factor de potencia PFIs1

Is

cos α( ) PF 0.462