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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 5

23 de março de 2012

Aula 5 Matemática Básica 1

Números

O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números

naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números

naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

......

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

......

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

Sucessor de n é n ∪ {n}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Escrita Cuneiforme Babilônica

Escrita Maia

Escrita Chinesa

Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M

Escrita Egípcia

Escrita Braille

Números naturais como números cardinais

Apresentaremos os números naturais como números cardinaisdepois de estudarmos funções!

O Princípio da Indução Finita

O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Moral:

O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!

Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Exemplo

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Onde está o erro?

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