FÁCIL

ANTÔNIO ARNOT CRESPO

MATEMÁTICAFINANCEIRA

MATEM

ÁTIC

A FIN

AN

CEIR

A FÁ

CIL

Seguindo a proposta da já consagrada Série Fácil de tratar os temas de

forma didática e gradual, a 14a edição de Matemática fi nanceira fácil chega

totalmente reformulada, com atualização de textos e de assuntos.

Voltada para alunos de cursos técnicos e de cursos superiores que neces-

sitam de um estudo introdutório da Matemática Financeira, a obra apre-

senta os principais tópicos da matéria dentro de um esquema de ensino

prático e objetivo, sem fugir ao necessário rigor matemático.

Além disso, há uma grande quantidade de exercícios, colocados em

pontos estratégicos de cada capítulo, que procuram trazer situações práticas,

o que facilita o aprendizado por parte do aluno e facilita a fi xação do tema.

Essencial para todos os que necessitam de conhecimentos de Matemá-

tica Financeira, a 14a edição consolida o sucesso alcançado não só pela

obra, mas também pela Série Fácil.

Aplicação

Este livro pode ser utilizado por alunos de cursos técnicos e superiores,

além de profi ssionais de diversas áreas que necessitam de conhecimentos

em Matemática fi nanceira.

14a ediçãoAtualizada

Conheça o site do livro e as demais novidades do nosso catálogo no endereço:

www.saraivauni.com.br

A Série Fácil, criada com o objetivo de facilitar o aprendizado da Contabilidade, tem como prin-cipal característica a linguagem clara e acessível.

Os assuntos são tratados sempre de forma gradual, no momento adequado e seguindo uma seqüência lógica, partindo de situações mais fáceis para as me-nos fáceis, permitindo ao estudante familiarizar-se com a matéria de maneira natural e intuitiva.

O programa desenvolvido pela Série atende ao conteúdo programático dos cursos de nível técnico e de nível superior de Contabilidade, além de servir como instrumento de consulta e orientação para to-dos os profi ssionais, tanto da área de Contabilidade quanto de outras áreas, inclusive para os que preten-dem se preparar para concursos públicos.

Antônio Arnot Crespo é bacharel em Ciências Econômicas pela Faculdade de Ciências Econô-micas de Andradina; licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofi a, Ciências e Letras Rui Barbosa, de Andradina, e licenciado em Pedago-gia pela Faculdade de Educação, Ciências e Letras Urubupungá, de Pereira Barreto.

É professor efetivo de Matemática, por concurso público, da rede pública de ensino do Estado de São Paulo.

Contato com autor:crespo@editorasaraiva.com.br

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www.saraivauni.com.br9 7 8 8 5 0 2 0 8 3 4 8 6 >

ISBN 8978 5-- 02- 08348-6

ERJ_Capa_mat com fin.indd 1ERJ_Capa_mat com fin.indd 1 15/6/2009 16:29:4215/6/2009 16:29:42

www.saraivauni.com.br

MateMática Financeira FáciL

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Matem_financeira.indb 2 22.06.09 14:53:52

14a ediçãoAtualizada

Antônio Arnot Crespo

MateMática Financeira FáciL

Matem_financeira.indb 3 22.06.09 14:53:54

Rua Henrique Schaumann, 270 — CEP: 05413-010Pinheiros — Tel.: PABX (0XX11) 3613-3000Fax: (11) 3611-3308 — Televendas: (0XX11) 3613-3344Fax Vendas: (0XX11) 3611-3268 — São Paulo - SPEndereço Internet: http://www.editorasaraiva.com.br

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CEARÁ/PIAUÍ/MARANHÃOAv. Filomeno Gomes, 670 — JacarecangaFone: (0XX85) 3238-2323 / 3238-1331 — Fortaleza

DISTRITO FEDERALSIG Sul Qd. 3 — Bl. B — Loja 97 — Setor Industrial GráficoFone: (0XX61) 3344-2920 / 3344-2951 / 3344-1709 — Brasília

GOIÁS/TOCANTINSAv. Independência, 5330 — Setor AeroportoFone: (0XX62) 3225-2882 / 3212-2806 / 3224-3016 — Goiânia

MATO GROSSO DO SUL/MATO GROSSORua 14 de Julho, 3148 — CentroFone: (0XX67) 3382-3682 / 3382-0112 — Campo Grande

MINAS GERAISRua Além Paraíba, 449 — LagoinhaFone: (0XX31) 3429-8300 — Belo Horizonte

PARÁ/AMAPÁTravessa Apinagés, 186 — Batista CamposFone: (0XX91) 3222-9034 / 3224-9038 / 3241-0499 — Belém

PARANÁ/SANTA CATARINARua Conselheiro Laurindo, 2895 — Prado VelhoFone: (0XX41) 3332-4894 — Curitiba

PERNAMBUCO/ALAGOAS/PARAÍBA/R. G. DO NORTERua Corredor do Bispo, 185 — Boa VistaFone: (0XX81) 3421-4246 / 3421-4510 — Recife

RIBEIRÃO PRETO/SÃO PAULOAv. Francisco Junqueira, 1255 — CentroFone: (0XX16) 3610-5843 / 3610-8284 — Ribeirão Preto

RIO DE JANEIRO/ESPÍRITO SANTORua Visconde de Santa Isabel, 113 a 119 — Vila IsabelFone: (0XX21) 2577-9494 / 2577-8867 / 2577-9565 — Rio de Janeiro

RIO GRANDE DO SULAv. A. J. Renner, 231 — FarraposFone/Fax: (0XX51) 3371-4001 / 3371-1467 / 3371-1567Porto Alegre

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SÃO JOSÉ DOS CAMPOS/SÃO PAULO(sala dos professores)Rua Santa Luzia, 106 — Jd. Santa MadalenaFone: (0XX12) 3921-0732 — São José dos Campos

SÃO PAULOAv. Marquês de São Vicente, 1697 — Barra FundaFone: PABX (0XX11) 3613-3000 / 3611-3308 — São Paulo

ISBN 978-85-02-08348-6

CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ.

C94m14.ed.Crespo, Antônio Arnot

Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva, 2009.

Contém exercíciosISBN 978-85-02-08348-6

1. Matemática financeira. I. Título.

09-2315. CDD: 650.01513CDU: 51-07

Copyright © Antônio Arnot Crespo2009 Editora SaraivaTodos os direitos reservados.

Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves BravinGerente editorial: Marcio CoelhoEditoras: Rita de Cássia da Silva

Juliana Rodrigues de QueirozProdução editorial: Viviane Rodrigues NepomucenoSuporte editorial: Rosana Peroni FazolariMarketing editorial: Nathalia SetriniAquisições: Gisele Folha MósArte, Produção e Capa: Casa de Idéias

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva.A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei no 9.610/1998 e punido pelo artigo 184 do Código Penal.

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apresentação

Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Se-

cretariado etc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo

introdutório de Matemática Financeira.

Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino

particular e oficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino

objetivo e prático, sem fugir ao necessário rigor matemático.

Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação,

que resultou na atualização do texto e dos assuntos.

No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária

e os vários Planos Econômicos.

O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos

trabalhar com situações práticas.

Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divi-

didos em três seções:

Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado;

Resolva — exercícios de aprendizagem imediata;

Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos.

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MateMática financeira fácilVi

No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática,

onde apresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da

Matemática Financeira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da

necessidade do aluno. Há também uma seção com Tábuas Financeiras e de Logarit-

mos e tabela para contagem de dias.

Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para

o aprendizado da Matemática Financeira.

Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, uti-

lizando este livro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportu-

nidade de melhorá-lo.

Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste

trabalho.

O autor

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suMário

Capítulo 1 – proporções1.1 Introdução .......................................................................................................................................11.2 Razões .............................................................................................................................................1

1.2.1 razão de dois números ............................................................................................................................................. 11.2.2 razão de duas grandezas .......................................................................................................................................... 3

1.3 Proporções .......................................................................................................................................41.3.1 Definição .................................................................................................................................................................. 41.3.2 elementos................................................................................................................................................................. 41.3.3 Propriedade fundamental ........................................................................................................................................ 51.3.4 cálculo de um termo desconhecido .......................................................................................................................... 61.3.5 recíproca da propriedade fundamental .................................................................................................................... 81.3.6 transformações ....................................................................................................................................................... 10

1.4 Série de razões iguais ......................................................................................................................111.4.1 Propriedade fundamental ...................................................................................................................................... 11

Capítulo 2 – Grandezas proporCionais2.1 Introdução .....................................................................................................................................172.2 Grandezas diretamente proporcionais .............................................................................................17

2.2.1 Definição ................................................................................................................................................................ 172.2.2 Gráfico .................................................................................................................................................................... 182.2.3 Propriedade característica ...................................................................................................................................... 192.2.4 números diretamente proporcionais ...................................................................................................................... 192.2.5 Propriedade dos números proporcionais ................................................................................................................. 21

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MateMática financeira fácilViii

2.3 Grandezas inversamente proporcionais ...........................................................................................222.3.1 Definição ................................................................................................................................................................ 222.3.2 Gráfico .................................................................................................................................................................... 232.3.3 Propriedade característica ...................................................................................................................................... 242.3.4 números inversamente proporcionais .................................................................................................................... 24

2.4 Grandezas proporcionais a várias outras ..........................................................................................262.4.1 Definição ................................................................................................................................................................ 262.4.2 Propriedade ............................................................................................................................................................ 26

Capítulo 3 – divisão proporCional – reGra de soCiedade3.1 Divisão proporcional .......................................................................................................................29

3.1.1 introdução .............................................................................................................................................................. 293.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais......................................................................................................... 303.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais ....................................................................................................... 333.1.4 Divisão proporcional composta ............................................................................................................................... 34

3.2 Regra de sociedade .........................................................................................................................37

Capítulo 4 – reGra de três4.1 Definição ........................................................................................................................................414.2 Regra de três simples ......................................................................................................................414.3 Regra de três composta...................................................................................................................44

Capítulo 5 – perCentaGem5.1 Introdução .....................................................................................................................................485.2 Taxa percentual ..............................................................................................................................485.3 Elementos do cálculo percentual .....................................................................................................505.4 Problemas de percentagem ............................................................................................................505.5 Taxa unitária ..................................................................................................................................525.6 Fórmula para o cálculo percentual ...................................................................................................54

Capítulo 6 – operações sobre merCadorias6.1 Introdução .....................................................................................................................................586.2 Vendas com lucro ............................................................................................................................58

6.2.1 Sobre o preço de custo ............................................................................................................................................ 596.2.2 Sobre o preço de venda ........................................................................................................................................... 60

6.3 Vendas com prejuízo .......................................................................................................................616.3.1 Sobre o preço de custo ............................................................................................................................................ 616.3.2 Sobre o preço de venda ........................................................................................................................................... 62

6.4 Abatimentos sucessivos ..................................................................................................................666.4.1 fórmula do valor líquido ......................................................................................................................................... 66

Capítulo 7 – operações sobre merCadorias7.1 Correção monetária ........................................................................................................................71

7.1.1 Moeda .................................................................................................................................................................... 717.1.2 inflação .................................................................................................................................................................. 72

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iXSuMário

7.1.3 correção monetária ................................................................................................................................................ 72

7.2 Os vários planos econômicos ...........................................................................................................737.2.1 o Plano cruzado ..................................................................................................................................................... 737.2.2 o Plano cruzado novo ou Plano Verão .................................................................................................................... 737.2.3 o Plano collor ......................................................................................................................................................... 737.2.4 o Plano real ........................................................................................................................................................... 73

7.3 Câmbio ...........................................................................................................................................747.3.1 taxa de câmbio ....................................................................................................................................................... 747.3.2 tabela de taxas de câmbio ...................................................................................................................................... 747.3.3 conversão de moedas ............................................................................................................................................. 757.3.4 operação cambial ................................................................................................................................................... 76

Capítulo 8 – Juro simples8.1 Introdução .....................................................................................................................................798.2 Juro – capital – taxa .......................................................................................................................798.3 Regimes de capitalização ................................................................................................................808.4 Juro simples ...................................................................................................................................818.5 Cálculo do juro simples ...................................................................................................................818.6 Taxas proporcionais ........................................................................................................................838.7 Taxas equivalentes .........................................................................................................................858.8 Juro comercial e juro exato ..............................................................................................................878.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas .................................................................888.10 Montante .....................................................................................................................................95

Capítulo 9 – desConto simples9.1 Introdução ...................................................................................................................................1029.2 Títulos de crédito ..........................................................................................................................1029.3 Desconto ......................................................................................................................................1039.4 Desconto comercial .......................................................................................................................104

9.4.1. Definição ............................................................................................................................................................. 1049.4.2 Valor do desconto comercial ................................................................................................................................. 1049.4.3 Valor atual comercial ............................................................................................................................................ 1049.4.4 taxa de juro efetiva ............................................................................................................................................... 106

9.5 Equivalência de capitais ................................................................................................................1089.6 Desconto racional .........................................................................................................................111

9.6.1 Definição .............................................................................................................................................................. 1119.6.2 Valor do desconto racional .................................................................................................................................... 1119.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal ....................................................................................... 1129.6.4 Valor atual racional ............................................................................................................................................... 112

Capítulo 10 – Juro Composto10.1 Introdução .................................................................................................................................11710.2 Juro composto ............................................................................................................................11810.3 Cálculo do montante ...................................................................................................................118

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MateMática financeira fácilX

10.4 Determinação do fator de capitalização .......................................................................................11910.4.1 calculadora eletrônica ...................................................................................................................................... 11910.4.2 tábua financeira ............................................................................................................................................... 12010.4.3 logaritmos ....................................................................................................................................................... 121

10.5 Cálculo do capital........................................................................................................................12510.6 Taxas proporcionais ....................................................................................................................12810.7 Taxas equivalentes ......................................................................................................................12910.8 Cálculo da taxa equivalente ........................................................................................................13010.9 Montante para períodos não-inteiros ..........................................................................................13110.10 Taxa nominal ............................................................................................................................13210.11 Taxa efetiva ..............................................................................................................................13410.12 Taxa real e taxa aparente ..........................................................................................................136

Capítulo 11 – desConto Composto11.1 Introdução .................................................................................................................................14011.2 Cálculo do valor atual ..................................................................................................................14011.3 Equivalência de capitais diferidos ................................................................................................144

Capítulo 12 – Capitalização e amortização Compostas12.1 Introdução .................................................................................................................................14812.2 Rendas .......................................................................................................................................14812.3 Capitalização composta ..............................................................................................................150

12.3.1 renda imediata ................................................................................................................................................ 15012.3.2 renda antecipada ............................................................................................................................................ 156

12.4 Amortização composta ...............................................................................................................16012.4.1 renda imediata ................................................................................................................................................ 16012.4.2 renda antecipada ............................................................................................................................................ 16512.4.3 renda diferida .................................................................................................................................................. 168

Capítulo 13 – empréstimos13.1 Introdução .................................................................................................................................17413.2 Sistema Francês de Amortização .................................................................................................175

13.2.1 Determinação do saldo devedor ....................................................................................................................... 17913.2.2 Sistema francês com prazo de carência ............................................................................................................ 18113.2.3 Sistema Price .................................................................................................................................................... 183

13.3 Sistema de Amortização Constante .............................................................................................18513.3.1 Determinação do saldo devedor ....................................................................................................................... 18813.3.2 Sistema de amortização constante com prazo de carência............................................................................... 189

13.4 Sistema de Amortização Misto ....................................................................................................19113.5 Empréstimo com correção monetária ..........................................................................................193

apêndiCe – Complementos de matemátiCa1. Medidas de tempo ..........................................................................................................................197

1.1 transformação de complexo em não-complexo ....................................................................................................... 198

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XiSuMário

1.2 transformação de não-complexo em complexo ....................................................................................................... 198

2. Potenciação ....................................................................................................................................2002.1 Definição ................................................................................................................................................................. 2002.2 Bases especiais ........................................................................................................................................................ 2002.3 Propriedades ........................................................................................................................................................... 2012.4 expoentes especiais ................................................................................................................................................. 201

3. Funções ..........................................................................................................................................2023.1 função afim ............................................................................................................................................................. 2023.2 função linear ........................................................................................................................................................... 2033.3 função recíproca ...................................................................................................................................................... 2033.4 função exponencial ................................................................................................................................................. 204

4. Progressões ....................................................................................................................................2064.1 Seqüência ................................................................................................................................................................ 2064.2 Progressão aritmética .............................................................................................................................................. 2074.3 Progressão geométrica ............................................................................................................................................ 212

5. Logaritmos decimais .......................................................................................................................2175.1 Definição ................................................................................................................................................................. 2175.2 conseqüências da definição ..................................................................................................................................... 2185.3 Propriedades operacionais dos logaritmos .............................................................................................................. 2195.4 característica e mantissa ......................................................................................................................................... 223

tábuas e tabelas ................................................................................................................. 229

respostas ............................................................................................................................ 247

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1.1 IntroduçãoO conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Ma-

temática, como também no cotidiano.

Freqüentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar

símbolos matemáticos.

Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça

muito grande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a

cabeça pode ser “muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da

cabeça verdadeira; é “muito grande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a se-

rem desenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais.

1.2 Razões1.2.1 razão de dois números

razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

1 proporções

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MateMática financeira fácil2

Indicamos:

a

bou a : b (lemos: para )a b

Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conse-

qüente da razão.

Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é:

3

12

1

4=

2. A razão de 20 para 5 é:

20

54=

3. A razão entre 5 e 1

2 é:

512

= 52

1= 10×

4. A razão entre 21

3+

e 7 é:

2 +13

7=

737

=7

3

1

7=

1

3

1

1

×

resolva

1. Calcule a razão entre os números:

a) 256 e 960 c) 5 e 13

e) 215

   −

e 3

b) 1,25 e 3,75 d) 12

e 0,2

resolva

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