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Matemática / Estatística Matemática / Estatística
REDE DOCTUM DE ENSINO
CURSO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS
Prof. REGINALDO NASCIMENTO ROCHA
www.professorreginaldo.com
Matemática / Estatística Matemática / Estatística EXERCÍCIOS DE REVISÃO
a) 15.( 5 ) b) 150÷30 c) Raiz quadrada de 81 d) (- 12).(- 3) e) (-5).( 30) f) 4. (-15) g) (-10) ÷ (2) h) 25 ÷ (-5) i) (-100) ÷ (-20) j) 12 . (- 5) . (-3) k) (15 ÷ 3) . (- 2) - 20 + 10 L) 2 . 4 - 10 - 38 m) (23 -30) . (0) n) (0) ÷ 100 0) 25 ÷ 0
p) Um menino tinha 100 bolinhas. Ele decidiu fazer as seguintes operações: vendeu 1/4 do total de 100 bolinhas; deu de presente 1/5 do total de 100 bolinhas ao seu irmão. Após essas operações, ele decidiu ficar com 28 bolinhas e dividir o restante entre três amigos. Com quantas bolinhas cada amigo ficou?
q) Uma caixa d'água de 5.000 litros foi preenchida com 2/3 de água. Uma outra caixa d'água de 10.000 litros foi preenchida com 3/5 de água. Qual a quantidade total de água usada nas duas caixas?
r) Quanto vale 20% de 100? s) Quanto vale 35% de 160?
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Chamamos equação do 1º grau toda equação do tipo: ax + b = 0 , em que “x” é a variável e “a” e “b” são coeficientes reais.
Exemplo: Na equação de 1º Grau -2x + 3 = 0, o valor do coeficiente “a” será sempre aquele que acompanha o “X”, e o valor do coeficiente “b” será o número que aparece sozinho. Quando não existir esse número sozinho é porque ele vale “zero”. Assim, no exemplo dado:
a = - 2 e b = 3
Exercícios: Identifique os coeficientes a e b das equações abaixo:
a) 8x – 240 = 0 b) 5x + 10 = 0 c) - 3x = 0 d) x + 12 = 0
RAIZ DA EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Considere a equação do 1º grau 6x - 72 = 0. Vejamos o que acontece quando substituímos a variável “x” pelos valores 2, 10, e 12:X = 2 => 6x - 72 = 0 => 6. 2 - 72 = 0 => 12 – 72 = 0 = > - 60 = 0 (falso)X = 10 => 6x - 72 = 0 => 6. 10 - 72 = 0 => 60 – 72 = 0 = > – 12 = 0 (falso)X = 12 => 6x - 72 = 0 => 6. 12 - 72 = 0 => 72 – 72 = 0 = > 0 = 0 (verdadeiro) Note que, para x = 12 a equação transforma-se numa sentença verdadeira. O valor 12 é chamado raiz da equação. Logo, Raiz de uma equação de 1º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira.
Exercícios: Ache as raízes das equações seguintes: a) x – 6 = 0 b) 5x + 20 = 0 c) – 6x + 30 = 0 d) x + 6 = - 2x e) 21x - 42 = 0 f) 7x + 12 = x + 24 g) - 6x + 6 = - 5x h) x – 6 = - 3x + 2 i) x – 2 = - 2 j) 8x + 12 = 12
FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Chama-se Função de 1º grau toda função do tipo f(x) = ax + b . A nomenclatura f(x) é comumente chamada de “y”. O gráfico de uma função de 1º grau é uma reta. Veja o seguinte exemplo: sabe-se que uma bactéria, ao entrar no organismo humano, se multiplica segundo a seguinte fórmula: y = 2x + 1. Sendo “y” o número de bactérias e “x” o número de dias em que ela, e sua descendência, permanece no organismo. Pede-se:a)No décimo dia, quantas bactérias existirão?b) Construa o gráfico da evolução da quantidade de bactérias.
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FUNÇÃO DE 1º GRAU: Para se fazer o gráfico de uma função de 1º Grau siga as seguintes dicas: 1) Deve-se escolher valores para “x”2) Depois substituir os valores escolhidos para “x” na função y = 2x + 13) Para cada “x” escolhido será achado um “y” correspondente, formando “pontos” de um gráfico.4) Esses pontos “x” e “y” devem ser marcados e interligados no gráfico, onde “x” é a abscissa (linha horizontal) e “y” é a ordenada (linha vertical).
- EXERCÍCIOS: FAÇA O GRÁFICO DAS FUNÇÕES DE 1º GRAU SEGUINTES: a) y = x + 3 b) y = 3x c) y = x - RESOLVA OS PROBLEMAS SOBRE FUNÇÃO DE 1º GRAU:
- Uma árvore cresce segundo a função de 1º grau seguinte: y = 2x, onde “y” representa o tamanho (altura) da árvore em metros e “x” representa o tempo em anos. Pede-se: a) Qual será o tamanho da árvore após 12 anos? b) Depois de quantos anos a árvore terá atingido 30 metros de altura? - Um vírus, ao se infiltrar no corpo humano, se multiplica com alta velocidade, segundo a fórmula y = 4x + 1. Sendo “y” o número de vírus e “x” o número de dias que o vírus permanece no organismo, Pede-se: a)Qual a quantidade de vírus estará presente no organismo após 75 dias?b) Após 1 ano (365 dias), qual a quantidade de vírus no organismo?
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos equação do 2º grau toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0 , em que “x” é a variável e “a”, “b” e “c” são coeficientes reais, com a # 0. Exercícios: Identifique os coeficientes “a”, “b” e “c” das equações abaixo: a) x2 + 8x – 240 = 0 b) 3x2 + 5x + 10 = 0 c) - 3x2 - 2x = 0 d) 5x2 + 12 = 0 RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Raiz de uma equação de 2º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira. Mas como achar essas raízes?-Segue a fórmula de Bhaskara: ∆= b2 - 4ac -Seguem as fórmulas para achar as raízes:
REGRAS:Se ∆ > 0, então existem duas raízes para o problema.Se ∆ = 0, então existe apenas uma raiz para o problema.Se ∆ < 0, então não existem raízes para o problema.
Exercícios: Ache as raízes das equações de 2º grau seguintes: a) x² + x – 6 = 0 b) 2x² + 5x + 2 = 0 c) x² – 6x + 5 = 0 d) 5x² + 6 = 0 e) X² + 8x + 12= 0
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Os testes estatísticos são utilizados para:
¤ Comparar amostras(saber se houve modificação dos grupos inicialmentesemelhantes após o início da intervenção)
¤ Detectar variáveis interferentes
¤ Analisar se o tratamento depende de outras variáveis (peso, idade, sexo)
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A ciência não é um conhecimento definitivo sobre a realidade, mas é um conhecimento hipotético que
pode ser questionado e corrigido.
Ensinar ciências não significa apenas descrever fatos, anunciar leis e apresentar novas descobertas, mas
Maneira crítica e racional de buscar conhecimento: Método
Indutivo; Dedutivo; Descritivo.
Vieira S., 1991.
Ensinar o método científico
- Variáveis (dados):- Qualitativas :(diferentes categorias sem valores numéricos):
- Quantitativos ou Contínuos: (dados expressos por nº): idade, altura, peso, renda familiar
- População e Amostra:- População: Conj. de elementos com determinada
característica- Amostra: Subconjunto com menor nº de elementos
- Independentes: grupo selecionados com tratamento distinto- Dependentes: para cada elemento do grupo tratado existe
um grupo controle semelhante (sexo, idade, etc)
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Nascidos vivos na Maternidade “X” segundo o ano de registro
Título
Cabeçalho (separado do corpo por um traço horizontal)
Ano de RegistroAno de Registro FreqüênciaFreqüência Freqüência relativaFreqüência relativa1998 (1)1998 (1) 83288328 32,88 32,88 (8828/25494)
1999 (1)1999 (1) 82148214 32,2232,22
2000 (1)2000 (1) 88988898 34,9034,90
Coluna indicadora
TotalTotal 2549425494 100100
Fonte: Margotto, PR (2001)Fonte: Margotto, PR (2001)Nota: dados retirados do livro da sala de parto Nota: dados retirados do livro da sala de parto (1): os RN < 500g não foram incluídos(1): os RN < 500g não foram incluídos.
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Tabela de Contingência ou de Dupla Entrada(cada entrada é relativa a um dos fatores)
Gestantes sem pré-natal/gestantes com pré-natal e mortalidade perinatal
FatorFator Mortalidade PerinatalMortalidade Perinatal TotalTotal
Sim NãoSim Não
Gestantes sem pré-natal Gestantes sem pré-natal
55 83355 833 938938
Gestantes com pré-natal Gestantes com pré-natal 156 6720156 6720 68766876
Permite calcular o risco, a freqüência (incidência) entre expostos e não
expostos a um determinado fator (será discutido adiante).
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 05
COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:
COLETACOLETA OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO
DIRETADIRETA
INDIRETAINDIRETA
APURAÇÃO EAPURAÇÃO E
APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO
TABELASTABELAS
GRÁFICOSGRÁFICOS
Exportações bras ileiras
03/95
SP 1344
MG 542
RS 332
ES 285
PN 250
SC 202
Fonte: SECEX
Ex p o r ta ç õ e s b r a s ile ir a s
0 3 /9 5
0
500
1000
1500
SP MG RS E S P N SC
Es tad o
US
$ m
ilh
õe
s
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 06
GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:
A M O S T R A N º 2 0D E F E IT O S F R E Q U Ê N C IA
A 2 8B 2 0C 1 4D 1 3E 1 0F 5
C Q - 0 1 /0 2 / 99
C O L UNA S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
DEFEIT O S
FR
EQ
UÊ
NC
IA
B A R R A S
0 1 0 2 0 3 0
A
B
C
D
E
F
DE
FE
ITO
S
F REQ U Ê NC IA
L IN H A S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
D EF EIT O S
FR
EQ
UÊ
NC
IA
P IZ Z A
A31 %
B22 %
C16 %
D14 %
E11 %
F6 %
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08
A Distribuição de freqüência compreende um
arranjo tabular dos dados por classes, juntamente
com suas freqüências correspondentes.
Dados Brutos e Rol:
Intervalos de variação de uma variável.
li Li
AMOSTRAS10831575191812
AMOSTRAS35781012151819
AMOSTRAS
00 |---------- 05
05 |---------- 10
10 |---------- 15
15 |---------- 20
ClassesClasses
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 10
Tipos de freqüências:
Freqüência absoluta ( fi ) são os valores
que realmente representam o número de
dados de uma classe.
Freqüência relativa ( fri ) são os valores
das razões entre as freqüências simples e
a freqüência total.
Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da
das freqüências de todos os valores infe-
riores ao limite superior do intervalo de
uma dada classe.
Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é
a freqüência acumulada da classe, divi-
dida pela freqüência total.
nfi
fi
fifri
fiFi
fi
FiFri
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 11
Regras gerais de uma distribuição de freqüências:
1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-
minar o maior e menor número e, então, calcular a
amplitude total do rol ( R );
2 - Definir o número de classes ( K );
3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).
Exemplo:
i ESTATURAS xi fi fri FI Fri
[ cm ]
1 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067
2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200
3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433
4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733
5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900
6 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000
30 1,000
ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]
155 158 162 164 165 166 167 168 168 170
170 171 172 173 174 174 175 176 176 177
178 178 180 183 183 184 184 185 188 190
UFES
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 12
Histogramas:
Polígonos:
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FR
EQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FR
EQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FR
EQ
.
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
FR
EQ
.
Matemática / EstatísticaMatemática / Estatística
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- Tabelas de distribuição de freqüências:Peso ao nascer de nascidos vivos, em Kg
2,5222,522 3,2003,200 1,9001,900 4,1004,100 4,6004,600 3,4003,400
2,7202,720 3,7203,720 3,6003,600 2,4002,400 1,7201,720 3,4003,400
3,1253,125 2,8002,800 3,2003,200 2,7002,700 2,7502,750 1,5701,570
2,2502,250 2,9002,900 3,3003,300 2,4502,450 4,2004,200 3,8003,800
3,2203,220 2,9502,950 2,9002,900 3,4003,400 2,1002,100 2,7002,700
3,0003,000 2,4802,480 2,5002,500 2,4002,400 4,4504,450 2,9002,900
3,7253,725 3,8003,800 3,6003,600 3,1203,120 2,9002,900 3,7003,700
2,8902,890 2,5002,500 2,5002,500 3,4003,400 2,9202,920 2,1202,120
3,1103,110 3,5503,550 2,3002,300 3,2003,200 2,7202,720 3,1503,150
3,5203,520 3,0003,000 2,9502,950 2,7002,700 2,9002,900 2,4002,400
3,1003,100 4,1004,100 3,0003,000 3,1503,150 2,0002,000 3,4503,450
3,2003,200 3,2003,200 3,7503,750 2,8002,800 2,7202,720 3,1203,120
2,7802,780 3,4503,450 3,1503,150 2,7002,700 2,4802,480 2,1202,120
3,1553,155 3,1003,100 3,2003,200 3,3003,300 3,9003,900 2,4502,450
2,1502,150 3,1503,150 2,5002,500 3,2003,200 2,5002,500 2,7002,700
3,3003,300 2,8002,800 2,9002,900 3,2003,200 2,4802,480 --
3,2503,250 2,9002,900 3,2003,200 2,8002,800 2,4502,450 --
Como transformar está tabela em uma Tabela de Distribuição de Freqüência ?
Menor peso: 1570g
Maior peso: 4600g
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- Tabela de distribuição de freqüências- Definir as faixas de peso (Classes em Kg):
PESOSPESOS Ponto MédioPonto Médio FreqüênciaFreqüência
1,51,5ΙΙ— 2,0— 2,0 1,751,75 33
2,02,0Ι—Ι— 2,5 2,5 2,252,25 1616
2,52,5Ι—Ι— 3,0 3,0 2,752,75 3131
3,03,0Ι—Ι— 3,5 3,5 3,253,25 3434
3,53,5Ι—Ι— 4,0 4,0 3,753,75 1111
4,0 4,0 Ι—Ι— 4,5 4,5 4,254,25 44
4,54,5Ι—Ι— 5,0 5,0 4,754,75 11
- Cálculo do R (Amplitude Total = maior valor - menor valor).-N º de classes: K = Raiz de n (<100) ou K = 1+ 3,222 log n (≥ 100) no exemplo: K = 1 + 3,222 log 100 = 7,444 (7 ou 8 classes)- Intervalo de classe (h) = R / K- Extremos da classe: limites inferior (1,5) e limite superior (2,0) Obs: pertencem à 1ª classe os Valores 1,5 e inferiores à 2,0 Kg.
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Medidas de Tendência Central
MÉDIA / MODA / MEDIANA
•Para dados não agrupados(quando se tem uma quantidade pequena de dados)
Peso ao nascer em Kg de 12 RNPeso ao nascer em Kg de 12 RN
2,52,5 2,02,0 3,03,0 4,04,0
3,03,0 1,01,0 1,51,5 2,52,5
3,53,5 1,51,5 2,52,5 1,01,0
Obs: coloque sempre os dados na ordem crescente.A média: X = 1,0+1,0+1,5+ ... 4,0 = 2,3 ….e a Moda e Mediana?
12
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 19
Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:
1º - Sem intervalo de classe:
2º - Com intervalo de classe:
COMPOSIÇÃO FAMILIAR
Nº DE MENINOS fi xi fi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
34 78
ES T A T U R A D E A L UN O S
i ES T A T U R AS [ c m ] x i f i x if i
1 1 50 | --- -- 1 54 1 52 4 6 08
2 1 54 | --- -- 1 58 1 56 9 14 04
3 1 58 | --- -- 1 62 1 60 11 17 60
4 1 62 | --- -- 1 66 1 64 8 13 12
5 1 66 | --- -- 1 70 1 68 5 8 40
6 1 70 | --- -- 1 74 1 72 3 5 16
40 64 40
29,234
78
i
ii
f
fxX
16140
6440
i
ii
f
fxX
MEDIDAS DE POSIÇÃO 26
Relações entre a Média, Moda e Mediana:
Assimetria Positiva ou à direitaAssimetria Positiva ou à direita
MoMo MdMd MédiaMédia
MédiaMédia = = MdMd = = MoMo
SimetriaSimetria
MédiaMédia MdMd MoMo
Assimetria Negativa ou à esquerdaAssimetria Negativa ou à esquerda
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 22
Exemplo de Moda para dados agrupados:
ES T A T U R A D E A L UN O S
i ES T A T U R AS [ c m ] x i f i x if i
1 1 50 | --- -- 1 54 1 52 4 6 08
2 1 54 | --- -- 1 58 1 56 9 14 04
3 1 58 | --- -- 1 62 1 60 11 17 60
4 1 62 | --- -- 1 66 1 64 8 13 12
5 1 66 | --- -- 1 70 1 68 5 8 40
6 1 70 | --- -- 1 74 1 72 3 5 16
40 64 40
6,159432
2158
3811
2911
)(*
2
)(*
1
*
21
1*
Mo
ffD
ffD
hDD
DlMo
post
ant
MEDIDAS DE POSIÇÃO 21
A Moda para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Ex.:
Mo = 2
2º Caso: Com intervalos de classe
CO MPO SIÇÃO FAMILIAR
M ENIN OS fi
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
*
21
1*
**
2
hDD
DlMo
LlMobruta
)(*
2
)(*
1
post
ant
ffD
ffD
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 25
Exemplo de Mediana para dados agrupados:
Md
i E S T A T U R A S x i f i F I
[ c m ]
1 1 5 0 | - - - -- 1 5 4 1 5 2 4 4
2 1 5 4 | - - - -- 1 5 8 1 5 6 9 1 3
3 1 5 8 | - - - -- 1 6 2 1 6 0 1 1 2 4
4 1 6 2 | - - - -- 1 6 6 1 6 4 8 3 2
5 1 6 6 | - - - -- 1 7 0 1 6 8 5 3 7
6 1 7 0 | - - - -- 1 7 4 1 7 2 3 4 0
4 0
cmMd
Md
f
hFfi
lMdant
5,160
11
4132
40
158
2*
*)(
*
MEDIDAS DE POSIÇÃO 24
A Mediana para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Exemplo.:
2º Caso: Com intervalos de classe
COMPO SIÇÃO FAMILIAR
M ENINOS fi
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
2
ª3
5,122
25
2
Md
classe
fi
*
*)(
* 2
f
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Matemática / EstatísticaMatemática / Estatística
Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br
As medidas de Dispersão ou Variabilidade
descrevem a diversificação dos valores de uma
variável em torno de um valor de tendência
central tomado como ponto de comparação.
Sejam os Conjuntos:
A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )
B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )
C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )
Como representar uma população, amostra
ou conjunto de dados ?
As medidas de dispersão são:
- Amplitude Total. - Variância.
- Desvio Médio. - Desvio Quartílico.
- Desvio Padrão. - Desvio Percentílico.
- Coeficiente de Variação.
MEDIDAS DE DISPERSÃO 29
70x
MEDIDAS DE DISPERSÃO 31
Desvio-padrão ( S ):
Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios
tomados em relação à média.
Obs.: n - 1 graus de liberdade.
Quando n > 30 , usar somente n no denominador,
ao invés de n-1.
Exemplo:
1
agrupados-nãoDados
2
n
xxS i
1
agrupadosDados
2
n
xxfS ii
67,35,134
54
4
2540916
15
)611()68()66()63()62(
65/)118632()11,8,6,3,2(
22222
S
S
xA