Post on 08-Nov-2018
Máquinas Elétricas 1
Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
alvaroaugusto@utfpr.edu.br
Capítulo 1 – Circuitos Magnéticos
Sumário
Sumário do Capítulo 1
Introdução
Revisão de eletromagnetismo
Materiais ferromagnéticos
Problemas de circuitos magnéticos
Superposição em circuitos magnéticos
Uma aplicação da força magnética: relés
Ensaios de laboratório
Exercícios
Referências
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Sumário
Introdução
Estes slides foram preparados como parte do conteúdo da disciplina de
Máquinas Elétricas 1 dos cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia de
Controle e Automação da UTFPR, campus Curitiba.
Esperamos que este material possa servir também como uma pequena
apostila, além de material a ser exibido em sala de aula. Daí a maior
quantidade de texto.
Todas as ilustrações, exceto menção em contrário, foram confeccionadas
pelo autor por meio do GIMP 2.8.18, GNU Image Manipulation Program.
As fotografias foram pesquisadas por meio do Google e, quando a fonte
não foi encontrada, foram consideradas de domínio comum. Caso não
seja este o caso, basta entrar em contato e solicitar a retirada.
E-mail: alvaroaugusto@utfpr.edu.br.
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Sumário
Lei de Ampère (1)
As grandezas mais importantes no estudo de circuitos magnéticos são:
Intensidade de campo magnético 𝐻 (medida em ampere-espiras por metro,
Ae/m).
Densidade de corrente elétrica Ԧ𝐽 (medida em amperes por metro quadrado,
A/m2).
Fluxo magnético 𝜙 (medido em webers, Wb).
Campo elétrico 𝐸 (medido em volts por metro, V/m).
Três dessas grandezas se relacionam por meio da Lei de Ampère:
ර
𝐶
𝐻. 𝑑ℓ = ඵ
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑 Ԧ𝑆 +𝑑
𝑑𝑡ඵ
𝑆
𝜖𝐸. 𝑑 Ԧ𝑆 (1.1)
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Sumário
Lei de Ampère (2)
A Lei de Ampère nos diz que existem duas formas de produzirmos campos
magnéticos:
Por meio de correntes AC ou DC de densidade Ԧ𝐽.
Por meio de campos elétricos 𝐸 variáveis no tempo.
Em dispositivos operando nas frequências de 50Hz ou 60Hz a derivada de 𝐸em relação ao tempo é aproximadamente nula e o regime de operação
é então denominado “quase estático”. A Lei de Ampère pode então ser
escrita como abaixo.
ර
𝐶
𝐻. 𝑑ℓ = ඵ
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑𝑨 (1.2)
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Sumário
Lei de Ampère Aplicada a um Toroide
Considere agora o toroide mostrado
na Figura (1.1), de comprimento mé-dio ℓ, área da seção reta 𝐴 e envolto
por uma bobina de N espiras através da qual circula uma corrente I.
Vamos aplicar a Lei de Ampère aqui,
desprezando a derivada do campo elétrico.
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Figura (1.1)
Sumário
Lei de Ampère Aplicada a um Toroide
No toroide representado o elemento de área 𝑑𝑨 é paralelo ao elemento
de linha 𝑑ℓ em todos os pontos do caminho, assim como é paralelo a Ԧ𝐽. Assim, podemos escrever:
Devemos agora lembrar que a corrente 𝐼 passa 𝑁 vezes pela bobina.
Logo, a equação (1.3) deve ser escrita como:
ඵ
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑𝑨 = Ԧ𝐽ඵ
𝑆
𝑑𝑨 = 𝐽. 𝐴 (1.3)
ඵ
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑𝑨 = 𝑁𝐼 (1.4)
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Sumário
Lei de Ampère Aplicada a um Toroide
Substituindo (1.4) em (1.1), vem agora:
A equação (1.5) deixa claro que,
quanto maior a corrente elétrica e
maior o número de espiras da bobina,
maior o campo magnético produzido.
ර
𝐶
𝐻. 𝑑ℓ = 𝑁𝐼 (1.5)
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Sumário
Forças Eletromotriz e Magnetomotriz
A equação (1.5) guarda uma relação formal com a Lei de Faraday:
Como sabemos, a quantidade “𝑒” é denominada “força eletromotriz”
(f.e.m.). Por analogia, a integral do campo 𝐻 na equação (1.2) será denominada “força magnetomotriz” (f.m.m.) e denotada por ℱ:
𝑒 = ර
𝐶
𝐸. 𝑑ℓ = −𝑑𝜙
𝑑𝑡(1.6)
ℱ = ර
𝐶
𝐻. 𝑑ℓ (1.7)
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Sumário
Forças Eletromotriz e Magnetomotriz
Em núcleos de material ferromagnético, sem entreferro, o fluxo magnético
está confinado no interior do núcleo, ou seja, a dispersão e o
espraiamento são desprezíveis.
Além disso, o campo magnético é tangencial ao caminho magnético e é
aproximadamente uniforme. Podemos então escrever:
A equação (1.7) pode ser agora simplificada:
ර
𝐶
𝐻. 𝑑ℓ = 𝐻ර
𝐶
𝑑ℓ = 𝐻ℓ (1.8)
ℱ = 𝐻ℓ = 𝑁𝐼 (1.9)
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Sumário
Lei de Hopkinson
A analogia entre as leis de Ampère e de Faraday permite o entendimento
da corrente elétrica 𝐼 em um circuito elétrico como análoga ao fluxo
magnético 𝜙 em um núcleo ferromagnético.
A Lei de Ohm tem também uma análoga magnética, denominada Lei de
Hopkinson, escrita como:
ℛ é uma grandeza análoga à resistência elétrica, denominada relutância
magnética.
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ℱ = ℛ𝜙 (1.10)
Sumário
Indução e Permeabilidade Magnéticas
A indução magnética, ou densidade de
fluxo magnético (medida em teslas, T), é
obtida por meio da relação constitutiva do material:
A permeabilidade magnética 𝜇 é uma função de H para os materiais ferromag-
néticos. Por esta razão, a curva 𝐵 = 𝑓(𝐻), denominada curva de magnetização, é
linear apenas no trecho inicial.
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𝐵 = 𝜇(𝐻)𝐻 (1.13)
Sumário
Sumário
Relutância Magnética
A partir da Lei de Hopkinson e da definição de f.m.m. a relutância pode
ser escrita como
O fluxo magnético pode ser escrito como 𝜙 = 𝐵𝐴, onde 𝐵 é a densidade
de fluxo magnético (ou indução magnética) e 𝐴 é a área da seção reta.
Assim:
Finalmente:
ℛ =ℱ
𝜙=𝐻ℓ
𝜙(1.11)
ℛ =𝐻ℓ
𝐵𝐴=
𝐻ℓ
𝜇𝐻𝐴
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ℛ =ℓ
𝜇𝐴(1.12)
Analogia Eletro-Magnética
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Grandezas Elétricas Grandezas Magnéticas
Corrente Elétrica 𝐼 Fluxo Magnético 𝜙
Força Eletromotriz 𝑒 Força Magnetomotriz ℱ
Resistência Elétrica 𝑅 Relutância Magnética ℛ
Condutância Elétrica 𝐺 Permeância Magnética (𝒫)
Condutividade Elétrica 𝜎 Permeabilidade Magnética 𝜇
Campo Elétrico 𝐸 Campo Magnético 𝐻
Densidade de Fluxo Elétrico 𝐷 = 𝜎𝐸 Densidade de Fluxo Magnético 𝐵=𝜇𝐻
Lei de Ohm 𝑒 = 𝑅𝐼 Lei de Hopkinson ℱ = ℛ𝜙
Sumário
Sumário
Exemplo 1.1
Considere o circuito magnético
da Figura (1.2). O comprimento
médio do núcleo é 0,4 m e a espessura do entreferro é 1,0 mm.
As demais dimensões do núcleo
são: a=5 cm e b=10 cm. O fluxo
magnético dentro do núcleo é 4
mWb, não há espraiamento de
fluxo e a permeabilidade relativa
é 500. O número de espiras é 100.
Calcule AFe, Ag, ℛ, ℱ, 𝐻, 𝐵 e 𝐼.
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Figura (1.2)
Sumário
Exemplo 1.1 – Solução (1)
O fato de que não há espraiamento no entreferro significa que AFe = Ag.
Tais áreas podem ser calculadas em função das dimensões do núcleo:
A indução magnética é a mesma no núcleo e no entreferro:
As relutâncias são calculadas em função das características magnéticas e
geométricas do núcleo. A relutância do núcleo é:
𝐴 = 𝑎 × 𝑏 = 5 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚
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𝐴 = 50𝑐𝑚2
𝐵 =𝜙
𝐴=
4 × 10−3
50 × 10−4𝐵 = 0,8 𝑇
ℛ𝐹𝑒 =ℓ𝐹𝑒𝜇𝐹𝑒𝐴
=ℓ𝐹𝑒
𝜇𝑟𝜇0𝐴=
0,4
500 × 4𝜋 × 10−7 × 50 × 10−4 ℛ𝐹𝑒 = 127,32 𝑘𝐴𝑒/𝑊𝑏
Sumário
Exemplo 1.1 – Solução (2)
A relutância do entreferro é:
A relutância total é:
A f.m.m. pode ser calculada a partir da Lei de Hopkinson:
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ℛ𝑔 = 795,78 𝑘𝐴𝑒/𝑊𝑏ℛ𝑔 =𝑔
𝜇0𝐴=
5 × 10−3
4𝜋 × 10−7 × 50 × 10−4
ℛ𝑇 = 923,10 𝑘𝐴𝑒/𝑊𝑏ℛ𝑇 = ℛ𝐹𝑒 + ℛ𝑔
ℱ = 3.692,4 𝐴𝑒ℱ = 𝜙 × ℛ𝑇
Sumário
Exemplo 1.1 – Solução (3)
A corrente necessária para produzir o fluxo magnético é:
Finalmente, as intensidade de campo magnético são:
𝐼 =ℱ
𝑁=641,71
100
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𝐻𝐹𝑒 = 1,27 𝑘𝐴𝑒/𝑚
𝐼 = 6,42 𝐴
𝐻𝐹𝑒 =𝐵
𝜇𝑟𝜇0=
0,8
500 × 4𝜋 × 10−7
𝐻𝑔 = 636,62 𝑘𝐴𝑒/𝑚𝐻𝑔 =𝐵
𝜇0=
0,8
4𝜋 × 10−7
Sumário
Espraiamento no Entreferro
No Exemplo 1.1 a desconsideração do espraiamento no entreferro só foi possível porque a espessura do entreferro era pequena em comparação ao comprimento médio do núcleo.
Quando a dispersão não for desprezível, como na Figura (1.3), devemos considerar que as áreas do ferro AFe e do entreferro Ag se relacionam por meio de um fator de dispersão fd, cujo valor mínimo é 1,0 e corresponde ao caso sem dispersão:
Todas as grandezas que dependem da área , como a indução magnética e a relutância, se alteram, mas o fluxo permanece o mesmo no ferro e no entreferro.
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𝐴𝑔 = 𝑓𝑑 × 𝐴𝐹𝑒 (1.13)
Sumário
Figura (1.3)
Sumário
Casos de Entreferro:
Flyback
O princípio operacional dos flybacks, transformadores usados em fontes chave-adas, é mais semelhante ao dos indutores armazenadores de energia do que dos transformadores convencionais.
A energia é inicialmente armazenada no campo magnético no primeiro ciclo e transmitida para o secundário somente no segundo ciclo. Uma maneira usual de se armazenar a energia é por meio de um entreferro.
Sendo usados em frequências elevadas, os núcleos dos flybacks são usualmente construídos de ferrite, material de elevada permeabilidade mesmo em altas frequên-cias.
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Figura (1.4)
Sumário
Casos de Entreferro:
Máquinas Girantes
Máquinas girantes, como motores e
geradores, têm um estator e um rotor
separados por um entreferro.
Em um Motor de Indução Trifásico (MIT),
como aquele mostrado na Figura (1.5), o
campo eletromagnético produzido no
estator atravessa o entreferro e induz um campo eletromagnético no secundário.
Um MIT de alto rendimento, portanto, deve
ter o entreferro uniforme e tão estreito
quanto possível, de o fluxo espraiado no entreferro seja mínimo..
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Figura (1.5)
Sumário
Indução e Relutância com Espraiamento
Quando consideramos o espraiamento no entreferro no Exemplo 1.1 as
induções e relutâncias devem ser escritas respectivamente como:
Note que em um circuito em série, como no do Exemplo 1.1, o fluxo é o
mesmo dentro ou fora do entreferro, descontando-se a dispersão.
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𝑅𝐹𝑒 =ℓ𝐹𝑒
𝜇𝐹𝑒𝐴𝐹𝑒(1.16) 𝑅𝑔 =
𝑔
𝜇0𝐴𝑔(1.17)
𝐵𝐹𝑒 =𝜙
𝐴𝐹𝑒(1.14) 𝐵𝑔 =
𝜙
𝐴𝑔(1.15)
SumárioSumário
Diamagnéticos e
Paramagnéticos
Os materiais encontrados na natureza ou fabricados se dividem em três grupos: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos.
Os dois primeiros não são capazes de reter o magnetismo.
Os paramagnéticos (a) aproximam um pouco as linhas de fluxo, enquanto os diamagnéticos (b) afastam um pouco as linhas.
Esse efeito de afastamento ou aproximação é muito fraco nesses materiais e desaparece quando o campo externo é removido.
Por esse motivo tais materiais não são usados na construção de transformadores e máquinas elétricas.
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Figura (1.6)
Sumário
Ferromagnéticos
Os materiais ferromagnéticos, por outro lado, respondem fortemente à aplicação de campos externos, resultando em permeabilidades centenas ou mesmo milhares de vezes maiores do que a do ar.
Na natureza existem seis elementos ferromagnéticos, conforme tabela ao lado.
Apenas o ferro, o níquel e o cobalto são utilizados na fabricação de ligas para transformadores e máquinas elétricas.
A temperatura Curie é aquela na qual o elemento perde duas propriedades ferromagnéticas.
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Temperatura Curie ⇒ Kelvin Celsius
Cobalto 1.388 1.114,85
Ferro 1.043 769,85
Níquel 627 353,85
Gadolinio 292 18,85
Térbio 219 -54,15
Disprósio 88 -185,15
Sumário
Sumário
Domínios Magnéticos
Uma característica importante dos materiais ferromagnéticos é a
presença de domínios magnéticos, pequenas regiões onde a
magnetização é aproximadamente uniforme.
Quando os domínios estão desalinhados (a) o material está desmag-
netizado. À medida em que os domínios vão se alinhando ( b até d) o
material vai se magnetizando.
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Figura (1.7)
SumárioSumário
Curva de Magnetização
A curva de magnetização B=f(H) pode ser dividida
em quatro regiões:
(a) região inicial, na qual os domínios começam a se
alinhar.
(b) região de magnetização, aproximadamente linear.
(c) região do “cotovelo”, na qual muitos dos domínios
já se alinharam.
(d) região de saturação, na qual grandes aumentos
do campo H produzem aumentos reduzidos da indu-
ção magnética B, pois todos ou quase todos os
domínios já estão alinhados.
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Figura (1.8)
Sumário
Curvas de
Magnetização
As curvas ao lado podem
ser usadas para a resolução
de circuitos magnéticos dos tipos 1 e 2.
Curvas semelhantes podem
ser obtidas junto aos
fabricantes para outros materiais.
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Figura (1.9),Fonte: SMITH, R.J.
Sumário
Ligas Amorfas
Pol Duwez, Caltech, 1959.
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Sumário
Compósitos Magnéticos Doces
SMC: Soft Magnetic Composite.
Pó de ferro puro com adição de resinas.
Pós sinterizados baseados em resinas.
Pó de ferro puro com adição de carbono e estearato de zinco.
Ligas de ferro em pó e outros elementos como níquel, cobalto e silício.
Pó de ferro microencapsulado.
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Sumário
Pó de Ferro Microencapsulado
Micropartículas de ferro, com
diâmetro da ordem de 100 m.
Recobertas por uma camada
fina de dielétrico, que pode ser
orgânico ou inorgânico.
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38
Sumário
Tipos de Circuitos Magnéticos
Os circuitos magnéticos podem ser divididos em três tipos, para fins de cálculo:
Tipo 1: Circuito Linear. a permeabilidade magnética é constante e conhecida. O fluxo magnético 𝜙 é conhecido e queremos 𝐻, ou, então, temos 𝐻 e queremos 𝜙. Outra possibilidade é 𝜙 e 𝐻 serem conhecidos e querermos 𝐵 e 𝐼. A problemática é a mesma.
Tipo 2: Circuito não Linear Direto. a permeabilidade é desconhecida e temos a curva de magnetização. Temos 𝜙 e queremos 𝐻. A solução é direta, como no Tipo 1.
Tipo 3: Circuito não Linear Indireto. a permeabilidade é desconhecida e temos a curva de magnetização. Temos 𝐻 ou 𝐼 e queremos 𝐵 ou 𝜙. O problema é que precisamos da indução magnética 𝐵, para calcular 𝜙, e da permeabilidade, para calcular as relutâncias. Entretanto, tudo o que temos é a relação constitutiva 𝐵 = 𝜇𝐻, que contém simultaneamente 𝐵 e 𝜇. Nesse caso o circuito deve ser resolvido de forma iterativa ou gráfica.
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Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Linear (1)
As dimensões do núcleo ilustrado na Figura 1.2 são: a=8cm, b=20 cm e
g=0,5 mm. A espessura é 8 cm em todos os segmentos, o núcleo é magne-
tizado por meio de uma bobina de 200 espiras e o campo magnético é 520 Ae/m. Deseja-se produzir 8,0 mWb na perna circundada pelas espirais.
Pede-se:
(a) desenhe o circuito magnético equivalente;
(b) a densidade de indução magnética;
(c) a relutância magnética de cada segmento relevante;
(d) o fluxo magnético em cada perna do circuito;
(e) a corrente necessária para produzir o fluxo desejado.
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Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Tipo 1 (1)
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Figura (1.10)
Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Tipo 1 (2)
A figura abaixo mostra o circuito magnético abstraído da figura anterior.
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Figura (1.11)
Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Tipo 1 (3)
O primeiro passo é calcular os comprimentos dos caminhos ℓ1, ℓ2 e ℓ3:
O próximo passo é calcular a permeabilidade do material:
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ℓ1 = ℓ3 = ℛ𝐹𝑒 = 3𝑏 +6𝑎
2= 3 × 20 +
6 × 8
2= 84 𝑐𝑚.
ℓ2 = 𝑏 + 2 ×𝑎
2= 20 + 2 ×
8
2= 28 𝑐𝑚.
𝐵 = Τ𝜙 𝐴 = Τ8 × 10−3 64 × 10−4 = 1,25 𝑇.
𝐴 = 8 × 10−2 2 = 64 × 10−4 𝑚2.
𝜇 = Τ𝐵 𝐻 = Τ1,25 520 = 2,4 × 10−3 𝐻/𝑚.
Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Tipo 1 (4)
As relutâncias podem ser calculadas a partir de ℓ1, ℓ2 , ℓ3 e g:
A relutância total é:
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ℛ1 = ℛ3 =ℓ1𝜇𝐴
=84 × 10−2
2,4 × 10−3 × 64 × 10−4= 54,6 𝑘𝐻−1.
ℛ2 =ℓ2𝜇𝐴
=28 × 10−2
2,4 × 10−3 × 64 × 10−4= 18,2 𝑘𝐻−1.
ℛ𝑔 =𝑔
𝜇0𝐴=
0,5 × 10−3
4𝜋 × 10−7 × 64 × 10−4= 62,2 𝑘𝐻−1.
ℛ𝑇 = ℛ1 + ℛ3 ∕∕ ℛ2 +ℛ𝑔 = 87,1 𝑘𝐻−1.
Sumário
Exemplo 1.2 – Circuito Magnético Tipo 1 (5)
Os fluxos 𝜙2 e 𝜙3 podem ser obtidos por uma técnica análoga à da divisão
de correntes:
Finalmente, a corrente pode ser calculada por meio da Lei de Hopkinson:
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𝜙2 = 𝜙1 ×ℛ3
ℛ2 + ℛ3 + ℛ𝑔= 4,43 𝑚𝑊𝑏.
𝜙3 = 𝜙1 ×ℛ2 + ℛ𝑔
ℛ2 + ℛ3 + ℛ𝑔= 4,76 𝑚𝑊𝑏.
ℱ = 𝑁𝐼 = ℛ𝑇𝜙; 𝐼 =ℛ𝑇𝜙
𝑁=87,1 × 103 × 8 × 10−3
200= 3,48 𝐴
Sumário
Exemplo 1.3 – Circuito
Magnético Tipo 2
O núcleo é o mesmo daquele do
Exemplo 1.2. Deseja-se produzir 8,0
mWb na perna circundada pelas espirais e o material é o aço-silício
da Figura (1.9). Pede-se as mesma
variáveis do Exemplo 1.2.
A indução magnética é 𝐵=1,25 T.
Colocando esse valor na curva
para o aço-silício obtemos 𝐻 ≅ 520
Ae/m. O restante do exercício é
igual ao Exemplo 1.2.
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Figura (1.12),Fonte: SMITH, R.J.
Sumário
Circuito Magnético Tipo 3
Nesse caso temos a corrente I, a geometria do núcleo, a curva de
magnetização e queremos 𝐵 (ou 𝜙) e 𝐻.
Começamos com
Sabendo que o fluxo é o mesmo dentro e fora do entreferro, temos:
Substituindo , a equação da reta de carga é mostrada no
próximo slide.
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𝐻𝑐 =ℱ𝑐ℓ𝑐
=𝑁𝐼 − ℱ𝑔
ℓ𝑐=𝑁𝐼 − 𝜙𝑔ℛ𝑔
ℓ𝑐
𝐻𝑐 =𝑁𝐼 − 𝜙𝑔ℛ𝑔
ℓ𝑐=𝑁𝐼 − 𝜙𝑐ℛ𝑔
ℓ𝑐=𝑁𝐼 − 𝐵𝑐𝐴𝑐ℛ𝑔
ℓ𝑐
ℛ𝑔 = 𝑔/(𝜇0𝐴𝑔)
Sumário
Circuito Magnético Tipo 3
Reta de carga:
Se o espraiamento for desprezível, temos:
Tendo a geometria do núcleo e o número de espiras, a reta de carga
pode ser desenhada em cima da curva de magnetização, determinando-se o ponto de operação (𝐵𝑜𝑝, 𝐻𝑜𝑝).
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𝐻𝑐 =𝑁𝐼
ℓ𝑐− 𝐵𝑐
𝐴𝑐𝑔
𝐴𝑔𝜇0ℓ𝑐(1.18)
𝐻𝑐 =𝑁𝐼
ℓ𝑐− 𝐵𝑐
𝑔
𝜇0ℓ𝑐(1.19)
Sumário
Referências do Capítulo 1
ÁLVAREZ, J. Circuitos magnéticos. 2009. http://goo.gl/Uwtf78
BIN, E. Máquinas elétricas e acionamento. 2009.
CHAPMAN, S.J. Fundamentos de máquinas elétricas, 5ed. 2013.
Encyclopedia Magnetica. http://www.encyclopedia-magnetica.com
FITZGERALD, A.E. et al. Máquinas elétricas – com introdução a eletrônica
de potência, 6ed. 2006
SILVA, S.R. Conceitos básicos em circuitos magnéticos – Parte 1. 2013.
http://goo.gl/jWBXLc
SILVA, S.R. Princípios da conversão eletromecânica de energia – Parte 2.
2013. http://goo.gl/pMhtvn
SILVA, S.R. Introdução às máquinas rotativas – Parte 3. 2013.
http://goo.gl/hyyCtk
WOLSKI, B. Eletromagnetismo para estudantes de engenharia, 2013.
52
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