Post on 22-Aug-2020
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
MAC 5796. Aula 8
Walter Mascarenhas
15/04/2011
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Resumo
1 Stops para o passeio aleatório
2 Relação de recorrência
3 Análise da solução
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
np0
p0 + vτ Ganho = e−ρn (p0 + vτ)
τ = tick.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Visão Formal:
Tv
Ω
v v +2 v +4 v +6 v +8 v +10
A′ = { subconjuntos que dependem de finitas coordenadas }
Exemplo Cv ,n = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = n} ∈ A′.
A= σ(A′)
= menor σ − algebra contendo A′.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Visão Formal:
Note que para decidirmos se ω ∈ Cv ,n = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = n}precisamos apenas decidir se
sk =k
∑j=1
ωj < v para 0≤ k < n e sn =n
∑j=1
ωj = v .
Ou seja, precisamos analisar apenas ωN = {ω1, . . . ,ωN } ∈ ΩN .Logo, podemos atribuir probabilidade a Cv ,n de acordo com oraciocínio para ΩN .
Isto define uma medida de probabilidade P em A′.
Há uma extensão natural de P para A.
Com isto definimos nosso espaço de probabilidade (Ω,A,P).Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
TUDO nesta formalização faz um (bom) sentido.
Por exemplo: porque usar A ao invés de A′?
Resposta: o conjunto Cv ,∞ = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = ∞} não estáem A′, pois precisamos considerar infinitas coordenadas ωk paradecidir se ω ∈ Cv ,∞. Porém
Cv ,∞ =
(Ω−
∪n∈N
Cv ,n
)∈ A.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Voltando ao valor esperado do ganho com o stop:
E(G ) =∞
∑n=1
P(Tv = n)e−ρn (p0 + vτ) =∞
∑n=1
P(Cv ,n)e−ρn (p0 + vτ) ,
onde
Cv ,n = {ω ∈ Ω tal que sk(ω) < v para 0≤ k < n e sn(ω) = v }.
Logo, para calcular E(G ) devemos avaliar P(Cv ,n).
Esta é a nossa tarefa agora.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Calculando P(Cv ,n) em casos fáceis.
Cv ,n = {ω ∈ Ω tal que sk(ω) < v para 0≤ k < n e sn(ω) = v }.
Como não é possível subir mais que n em n passos,
v > n⇒ P(Cv ,n) = 0.
Para atingir v em v passos devemos subir em todos eles, logo
P(Cn,n) = pn.
Se v < 0 então p0(ω) = 0< v para todo ω ∈ Ω, logo
v < 0⇒ Cv ,n = /0⇒ P(Cv ,n) = 0.
Pelo mesmo argumento, n ≥ 1⇒ C0,n = /0. Logo,
v = 0,n ≥ 0⇒ P(Cv ,n) = 0.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
-n
6v
������������
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓ ✓ ✓ ✓q
q
q
q
q
q
q
q q q q q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
n
v
p
q
v −1
n−1
v +1
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
0≤ v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
-n
6v
��������
q
q
q
q
q
q q q q
@@I
a
@@I
@@Ia
a
@@I
@@I
@@I
a
a
a
��
��
��
a
a
a
��
��a
a
��
a
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
P(Cn,n) = pn e P(C0,n) = 0.
Indução mostra que, para 0≤ v ≤ n,
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
v = n:nn
(n0
)pn = pn✓
v = 0:0n
(nn2
)p
n2 q
n2 = 0✓
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Queremos usar
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
para provar que
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
Indução:
P(Cv ,n) = pv −1n−1
(n−1n+v−2
2
)p
n+v−22 q
n−v2 +q
v +1n−1
(n−1n+v
2
)p
n+v2 q
n−v−22
=
((v −1)
(n−1n+v−2
2
)+ (v +1)
(n−1n+v
2
))p
n+v2 q
n−v2
n−1.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
((v −1)
(n−1n+v−2
2
)+ (v +1)
(n−1n+v
2
))
= (n−1)!
(v −1(n−v
2
)!(n+v−2
2
)!
+v +1(n−v−2
2
)!(n+v
2
)!
)
=(n−1)!(n−v
2
)!(n+v
2
)!
((v −1)
n + v2
+ (v +1)n− v2
)
=1n
(n
n+v2
)(nv − v)
= (n−1)vn
(n
n+v2
).
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Combinando as últimas equações dos dois slides anteriores obtemos
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
c.q.d.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Da última equação concluímos que
E(G ) =∞
∑n=v
vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 e−ρn (p0 + vτ)
Bom, mas e dai? O que significa isto?
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
E(G ) =∞
∑n=v
vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 e−ρn (p0 + vτ)
Fazendo a mudança de variável n = v +2k obtemos
E(G ) = v (p0 + vτ)e−ρvpv∞
∑k=0
ak
para
ak =(v +2k−1)!
4kk! (v +k)!θ
k
θ = 4pqe−2ρ
Quais os valores razoáveis para ρ , p e q?
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Estimando ρ :
Dias úteis por ano = 252Minutos por dia = 60×8 = 480.Minutos úteis 480×252 = 120960.Fator da taxa Selic 1.1175e120960ρ = 1.1175
ρ ≈ ln(1.1175)
120960= 9.18436∗10−7 ≈ 10−6
e−2ρ ≈ 1−2ρ = 1−2×10−6.
Em geral, ρ = r/N, onde N é o número de passos por ano, f éo fator correspondente a taxa livre de risco e r = ln(f ).
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Média do aumento do preço em um ano =
δ = N(p−q)τexemplo
= 120960(p−q)τ,
onde τ = tick e δ = alguns por centos do valor do contrato.Exemplo, DOL BM&F:
τ = 1/2 e δ = 10%×1600 = 160.
Logo
2p−1 =δ
Nτ⇒ p =
12
+δ
2Nτ
DOL≈ 1
2+
1756
.
θ = 4pqe−2ρ ≈ 12121 = 1.
θ = 4(12
+µ
2√
N
)(12− µ
2√
N
)e−
2rN =
(1− µ2
N
)e−
2rN
DOL≈ 1−10−5.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Interpretação:
ρ = r/N,
p = 12 + µ
2√
N,
θ =(1− µ2
N
)e−
2rN ,
N = número de passos por ano,
r = taxa anual livre de risco,
µ = δ/σ ,δ = fração esperada de ganho em um ano,σ = desvio padrão anual do preço,τ = σ/
√N.
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Para ter consistência matemática:
ε = 1/√
N,ρ = ε2r ,
p = 12 (1+ εµ) ,
θ =(1− ε2µ2)e−2rε2
= 1−2γε2 +O(ε4),
para γ = r + µ2
2 .
E(G ) = v (p0 + vτ)e(lnp−ρ)v∞
∑k=0
ak .
ak =(v +2k−1)!
4kk! (v +k)!θ
k .
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Fórmulas para analisar E(G ) e ak :
Taylor
∣x ∣< 1/2⇒ ln(1+ x) = x− x2
2+O
(x3)
Stirling
ln(n!) =12ln(2π) +
(n +
12
)ln(n)−n + λn
com1
12n +1< λn <
112n
.
Exemplo:lnp =− ln2+ εµ +O
(ε
2) .Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
E(G ) = v (p0 + vτ)ev(− ln2+µε+O(ε2))∞
∑k=0
ak .
onde
ak =(v +2k−1)!
4kk! (v +k)!θ
k =(v +2k−1)(v +2k−2)
4k (v +k)θak−1 = qkak−1
para
qk =(v +2k−1)(v +2k−2)
4k (v +k)θ
Para avaliar a série ∑∞
k=0 ak é interessante estudar qk , pois
qk > 1⇐⇒ ak+1 > ak
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
qk =(v +2k−1)(v +2k−2)
4k (v +k)θ
O Mathematica mostra que
dqk
dk= θ
6k2− (2k + v)(v2−3v +2
)4k2(k + v)2
que, para v > 2, tem uma raíz positiva
k =16
(2−3v + v2 +
√v4−5v2 +4
)≈ v2
3.
Além disso, a derivada segunda de qk em k é
1296θ(v4−5v2 +4
)(2+ v2 +
√v4−5v2 +4
)(v2−3v +2+
√v4−5v2 +4
)3(v2 +3v +2+
√v4−5v2 +4
)3 > 0
Logo, k é um mínimo global.Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
qk =(v +2k−1)(v +2k−2)
4k (v +k)θ
q1 = θv/4> 1 e limk→∞ qk = θ < 1.
≈ v2/3kθ = v2−3v+26km
q1
qk
1
θ
km =
√φ2 +4φv2−10φ +9+φ (3−2v)−3
4φ≈ v
2ε√
2γ, φ = 1−θ = 2γε
2 +O(
ε4).
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
ak =(v +2k−1)!
4kk! (v +k)!θ
k
kθ = v2−3v+26km
ak
akm
km ≈v
2ε√
2γ, akm ≈ ev(ln2−
√2γε), e k ≥ kθ ⇒ ak < akθ
θk .
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
ak =(v +2k−1)!
4kk! (v +k)!θ
k
Para k = km ≈ v2ε√
2γ≫ v temos
ln(ak) = (v +2k−1/2) ln(v +2k−1)−2k ln2
−(k +1/2) lnk + (v +k +1/2) ln(v +k) +k lnθ +O(1/k) .
= (2k + v −1/2)
(lnk + ln2+ ln
(1+
v −12k
))−2k ln2
−(k +1/2) lnk−(k + v +1/2)(lnk + ln
(1+
vk
))+k lnθ +O(1/k) .
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8
Stops para o passeio aleatórioRelação de recorrência
Análise da solução
Mathematica mostra que
akm ≈ ev(ln2−√
2γε)
Segue que para v enorme
E(G ) < v3 (p0 + vτ)ev((µ−√
2γ)ε+O(ε2))→ 0.
pois µ <√2γ =
√2r + µ2.
Isto implica que existe um v que maximiza E(G ).
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 8