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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
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Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonom étricas
1) Calcule a integral. a) ( )2sen 3cosx x dx+∫
( )2sen 3cos 2sen 3cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫
( )2sen 3cos 2 sen 3 cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫
( )2sen 3cos 2cos 3senx x dx x x C+ = − + +∫
b) ( )1 cossec cotgt t dt−∫
( ) ( )1 cossec cotg cossec cotgt t dt dt t t dt− = −∫ ∫ ∫
( ) ( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = − +∫
( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = + +∫
c) ( )2cossec cos d−∫ θ θ θ
( )2 2cossec cos cossec cosd d d− = −∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
( )2cossec cos cotg send C− = − − +∫ θ θ θ θ θ
d) sen2x dx∫
1
sen2 2 sen22
x dx x dx= ⋅∫ ∫
2 2u x du dx= ⇒ =
1
sen2 sen2
x dx u du=∫ ∫
( )1sen2 cos
2x dx u C= − +∫
1sen2 cos2
2x dx x C= − +∫
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e) 2xcosx dx∫
2 21
xcos 2xcos2
x dx x dx=∫ ∫
2 2u x du xdx= ⇒ =
2 1
xcos cos2
x dx udu=∫ ∫
2 1xcos sen
2x dx u C= +∫
2 21xcos sen
2x dx x C= +∫
f) 2sec2x
dx∫
2 21
sec 2 sec2 2 2x x
dx dx=∫ ∫
1
2 2x
u du dx= ⇒ =
2 2sec 2 sec2x
dx u du=∫ ∫
2sec 2tg2x
dx u C= +∫
2sec 2tg2 2x x
dx C = +
∫
g) tg3x dx∫
1
tg3 3tg33
x dx x dx=∫ ∫
3 3u x du dx= ⇒ =
1
tg3 tg3
x dx u du=∫ ∫
1tg3 ln cos
3x dx u C= − +∫
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1tg3 ln cos3
3x dx x C= − +∫
h) 3 2tg secx x dx∫
2tg secu x du x dx= ⇒ =
3 2 3tg sec ux x dx du=∫ ∫
43 2 u
tg sec4
x x dx C= +∫
43 2 tg
tg sec4
xx x dx C= +∫
i) cotg x dx∫ π
( ) ( )1cotg cotgx dx x dx=∫ ∫π π π
π
u x du dx= ⇒ =π π
( ) 1cotg cotgx dx u du=∫ ∫π
π
( ) 1cotg ln senx dx u C= +∫ π
π
( ) ( )1cotg ln senx dx x C= +∫ π π
π
j) cossec 2x dx∫
1
cossec 2 2cossec 22
x dx x dx=∫ ∫
2 2u x du dx= ⇒ =
1
cossec 2 cossec2
x dx u du=∫ ∫
1cossec 2 ln cossec cotg
2x dx u u C= − +∫
1cossec 2 ln cossec 2 cotg2
2x dx x x C= − +∫
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k) 2sec 2
tg 2x
dxx∫
2 2sec 2 1 2sec 2
tg 2 2 tg 2x x
dx dxx x
=∫ ∫
2tg 2 2sec 2u x du x dx= ⇒ =
2sec 2 1
tg 2 2x du
dxx u
=∫ ∫
2sec 2 1ln
tg 2 2x
dx u Cx
= +∫
2sec 2 1ln tg 2
tg 2 2x
dx x Cx
= +∫
l) sec tgsec 1
x xdx
x −∫
sec 1 sec tgu x du x x dx= − ⇒ =
sec tgsec 1
x x dudx
x u=
−∫ ∫
sec tgln
sec 1x x
dx u Cx
= +−∫
sec tgln sec 1
sec 1x x
dx x Cx
= − +−∫
m) sen
1 cosx
dxx+∫
sen sen
1 cos 1 cosx x
dx dxx x
−= −+ +∫ ∫
1 cos senu x du x dx= + ⇒ = −
sen
1 cosx du
dxx u
= −+∫ ∫
senln
1 cosx
dx u Cx
= − ++∫
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senln 1 cos
1 cosx
dx x Cx
= − + ++∫
n) 2
3
cosseccotg
xdx
x∫
Resolução 1:
2 2
33
3
1cossec sen
coscotgsen
x xdx dxxxx
=∫ ∫
2 3
3 2 3
cossec 1 sencotg sen cos
x xdx dx
x x x= ⋅∫ ∫
2
3 3
cossec sencotg cos
x xdx dx
x x=∫ ∫
2
3 3
cossec sencotg cos
x xdx dx
x x−= −∫ ∫
cos senu x du x dx= ⇒ = −
2
3 3
cosseccotg u
x dudx
x= −∫ ∫
23
3
cosseccotg
xdx u du
x−= −∫ ∫
2 2
3
cosseccotg 2
x udx C
x
−
= − +−∫
2
3 2
cossec 1cotg 2
xdx C
x u= +∫
2
3 2
cossec 1cotg 2cos
xdx C
x x= +∫
Resolução 2:
2 2
33
3
1cossec sen
coscotgsen
x xdx dxxxx
=∫ ∫
2 3
3 2 3
cossec 1 sencotg sen cos
x xdx dx
x x x= ⋅∫ ∫
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2
3 3
cossec sencotg cos
x xdx dx
x x=∫ ∫
2
3 2
cossec sen 1cotg cos cos
x xdx dx
x x x= ⋅∫ ∫
22
3
cossectg sec
cotgx
dx x x dxx
= ⋅∫ ∫
2tg secu x du x dx= ⇒ =
2
3
cosseccotg
xdx u du
x=∫ ∫
2 2
3
cosseccotg 2
x udx C
x= +∫
2 2
3
cossec tgcotg 2
x xdx C
x= +∫
o) ( )sen ex xe dx∫
x xu e du e dx= ⇒ =
( )sen e senx xe dx u du=∫ ∫
( )sen e cosx xe dx u C= − +∫
( ) ( )sen e cos ex x xe dx C= − +∫
p) ( )tg ex xe dx− −∫
( ) ( )tg e tg ex x x xe dx e dx− − − −= − −∫ ∫
x xu e du e dx− −= ⇒ = −
( )tg e tgx xe dx u du− − = −∫ ∫
( )tg e ln cosx xe dx u C− − = +∫
( ) ( )tg e ln cos ex x xe dx C− − −= +∫
q) ( )2
sen2 cos2x x dx+∫
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( ) ( )2 2 2sen2 cos2 sen 2 2sen2 cos2 cos 2x x dx x x x x dx+ = + +∫ ∫
( ) ( )2sen2 cos2 1 sen4x x dx x dx+ = +∫ ∫
( )2sen2 cos2 sen4x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫
( )2 1sen2 cos2 4sen4
4x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫
4 4u x du dx= ⇒ =
( )2 1sen2 cos2 sen
4x x dx dx u du+ = +∫ ∫ ∫
( )2 1sen2 cos2 cos
4x x dx x u C+ = − +∫
( )2 1sen2 cos2 cos4
4x x dx x x C+ = − +∫
r) cosxx dx∫
u dv uv v du= −∫ ∫
cos sendv xdx v x= ⇒ =
u x du dx= ⇒ =
cosx sen senxx dx x x dx= −∫ ∫
cosx sen cosx dx x x x C= + +∫
s) 2sec xx dx∫
u dv uv v du= −∫ ∫
2sec tgdv xdx v x= ⇒ =
u x du dx= ⇒ =
2sec x tg tgx dx x x x dx= −∫ ∫ 2sec x tg ln cosx dx x x x C= + +∫
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2) Calcule a integral definida
a) 4
0
4xcos
3dx∫
π
4x 3 4 4x
cos cos3 4 3 3
dx dx=∫ ∫
4x 43 3
u du dx= ⇒ =
4x 3
cos cos3 4
dx u du=∫ ∫
4x 3cos sen
3 4dx u C= +∫
4x 3 4cos sen
3 4 3x
dx C= +∫
4 4
0 0
4x 3 4cos sen
3 4 3x
dx =
∫
π π
4
0
4x 3 4 4cos sen sen 0
3 4 3 4 3dx
= ⋅ − ⋅
∫π
π
4
0
4x 3cos sen sen0
3 4 3dx = −
∫
ππ
4
0
4x 3 3cos
3 4 2dx = ⋅∫
π
4
0
4x 3 3cos
3 8dx =∫
π
b)
23
2
2
xsec
2dx∫
π
π
2 2x 1 x
sec 2 sec2 2 2
dx dx=∫ ∫
x 12 2
u du dx= ⇒ =
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2 2xsec 2 sec
2dx u du=∫ ∫
2 xsec 2tg
2dx u C= +∫
2 xsec 2tg
2 2x
dx C = +
∫
2 2
3 32
22
xsec 2 tg
2 2x
dx =
∫π π
ππ
23
2
2
x 1 2 1sec 2 tg tg
2 2 3 2 2dx
= ⋅ − ⋅
∫π
π
π π
23
2
2
xsec 2 tg tg
2 3 4dx = −
∫π
π
π π
( )2
32
2
xsec 2 3 1
2dx = −∫
π
π
c) ( )1
0
tg 1 x dx−∫
( ) ( )tg 1 tg 1x dx x dx− = − − −∫ ∫
1u x du dx= − ⇒ = −
( )tg 1 tgx dx u du− = −∫ ∫
( )tg 1 ln cosx dx u C− = +∫
( ) ( )tg 1 ln cos 1x dx x C− = − +∫
( ) ( )1
1
00
tg 1 ln cos 1x dx x − = − ∫
( ) ( ) ( )1
0
tg 1 ln cos 1 1 ln cos 1 0x dx − = − − − ∫
( )1
0
tg 1 ln cos0 ln cos1x dx − = − ∫
( )1
0
tg 1 ln1 ln cos1x dx − = − ∫
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( )1
0
tg 1 ln cos1x dx− = −∫
3) Determine o volume do sólido gerado pela rotação , em torno do
eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
sec , 0, 0, 4
y x y x x= = = = π
1sec
cosy x y
x= ⇒ =
[ ]2Volume ( )
b
a
f x dx= ∫π
42
0
Volume sec x dx= ∫π
π
[ ] 40
Volume tgx=π
π
Volume tg tg04
= −
ππ
[ ]Volume 1 0= −π
Volume = π
4) Aproxime a integral definida
2
0
sen, 0
f(x) , ( ) 1, 0
xx
dx f x xx
>= =
∫π
tomando 4n = e aplicando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de Simpson.
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a) Regra do Trapézio
024 8
b ax
n
−−∆ = = =π π
0 1 2 3 4
30, , , ,
8 4 8 2x x x x x= = = = =π π π π
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1( ) 2 22
b
n na
b af x dx f x f x f x f x
n −−
≈ + + + + ∫ …
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0 1 2 3 40
sen2 2 2
16x
dx f x f x f x f x f xx
≈ + + + + ∫π
π
[ ]2
0
sen1,0000 1,9490 1,8006 1,5684 0,6366
16x
dxx
≈ + + + +∫π
π
2
0
sen1,3655
xdx
x≈∫
π
b) Regra de Simpson
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1( ) 4 2 4 43
b
n na
b af x dx f x f x f x f x f x f x
n −−
≈ + + + + + + ∫ …
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0 1 2 3 40
sen4 2 4
24x
dx f x f x f x f x f xx
≈ + + + + ∫π
π
[ ]2
0
sen1,0000 3,8980 1,8006 3,1369 0,6366
24x
dxx
≈ + + + +∫π
π
2
0
sen1,3708
xdx
x≈∫
π
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5) Calcule a integral. a) 3 2sen cosx x dx∫
3 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫
( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫
( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫
cos senu x du xdx= ⇒ = −
( )3 2 2 2sen cos 1 u ux x dx du= − −∫ ∫
( )3 2 2 4sen cos u ux x dx du= − −∫ ∫ 3 5
3 2 u usen cos
3 5x x dx C= − + +∫
5 33 2 u u
sen cos5 3
x x dx C= − +∫
3 2 5 31 1sen cos cos cos
5 3x x dx x x C= − +∫
b)
34
5 3
2
sen cosx x dx∫π
π
5 3 5 2sen cos sen cos cosx x dx x x x dx=∫ ∫
( )5 3 5 2sen cos sen 1 sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫
sen cosu x du xdx= ⇒ =
( )5 3 5 2sen cos u 1 ux x dx du= −∫ ∫
( )5 3 5 7sen cos u ux x dx du= −∫ ∫
5 3 6 81 1sen cos u u
6 8x x dx C= − +∫
5 3 6 81 1sen cos sen x sen x
6 8x x dx C= − +∫
3 3
4 45 3 6 8
22
1 1sen cos sen x sen x
6 8x x dx = −
∫π π
ππ
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5 3 6 8 6 8
2
1 3 1 3 1 1sen cos sen sen sen sen
6 4 8 4 6 2 8 2x xdx
= − − −
∫π
π
π π π π
3 6 84
5 3 6 8
2
1 2 1 2 1 1sen cos 1 1
6 2 8 2 6 8x x dx
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ∫π
π
34
5 3
2
1 1 1 1 1 1sen cos
6 8 8 16 6 8x x dx
= ⋅ − ⋅ − −
∫π
π
34
5 3
2
1 1 1 1sen cos
48 128 6 8x x dx = − − +∫
π
π
34
5 3
2
8 3 64 48sen cos
384x x dx
− − +=∫π
π
34
5 3
2
11sen cos
384x x dx = −∫
π
π
c) 2cos d∫ θ θ
( )2 1cos cos2 1
2= +θ θ
( )2 1cos cos2 1
2d d= +∫ ∫θ θ θ θ
( )2 1cos cos2 1
2d d= +∫ ∫θ θ θ θ
2 1 1cos cos2
2 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ
2 1 1cos 2cos2
4 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ
2 1cos sen2
4d C= + +∫ θ θ θ θ
d) ( )4
0
sen 3t dt∫π
( ) ( ) 24 2sen 3 sen 3t dt t dt = ∫ ∫
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( )2 1sen 1 cos 2
2t t = −
( ) ( )2 1sen 3 1 cos 6
2t t = −
( ) ( )2
4 1sen 3 1 cos 6
2t dt t dt
= − ∫ ∫
( ) ( ) 24 1sen 3 1 cos 6
4t dt t dt = − ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 21sen 3 1 2cos 6 cos 6
4t dt t t dt = − + ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 21 1 1sen 3 2cos 6 cos 6
4 4 4t dt dt t dt t dt= − +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 1
4 12 4 2t dt dt t dt t dt = − + +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 1
4 12 8t dt dt t dt t dt= − + +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos 12
4 12 8 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 12cos 12
4 12 96 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 sen 6 sen 12
4 12 96 8t dt t t t t C= − + + +∫
( ) ( ) ( )4 3 1 1sen 3 sen 6 sen 12
8 12 96t dt t t t C= − + +∫
( ) ( ) ( )4
00
3 1 1sen 3 sen 6 sen 12
8 12 96t dt t t t = − +
∫
ππ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
0
3 1 1 3 1 1sen 3 sen 6 sen 12 0 sen 6 0 sen 12 0
8 12 96 8 12 96t dt = − + − ⋅ − ⋅ + ⋅
∫π
π π π
( ) [ ]4
0
3sen 3 0 0 0 0 0
8t dt = − + − − +
∫π
π
( )4
0
3sen 3
8t dt =∫
π
π
e) ( )2
1 cos d+∫ θ θ
( ) ( )2 21 cos 1 2cos cosd d+ = + +∫ ∫θ θ θ θ θ
( )2 21 cos 2cos cosd d d d+ = + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
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( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos2
2d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos2
2d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
( )2 1 11 cos 2 cos cos2
2 2d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ
( )2 1 11 cos 2 cos 2cos2
2 4d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ
( )2 1 11 cos 2sen sen2
2 4d C+ = + + + +∫ θ θ θ θ θ θ
( )2 3 11 cos 2sen sen2
2 4d C+ = + + +∫ θ θ θ θ θ
f) 4
4 2
0
sen cosx x dx∫π
4 2 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫
( )24 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫
( )2
4 2 1 1sen cos 1 cos2 sen2
2 2x x dx x x dx = −
∫ ∫
( )4 2 21sen cos 1 cos2 sen 2
8x x dx x x dx= −∫ ∫
4 2 2 21 1sen cos sen 2 sen 2 cos2
8 8x x dx x dx x x dx= −∫ ∫ ∫
( )2 1sen 1 cos 2
2x x = − sen2u x=
( )2 1sen 2 1 cos 4
2x x = − 2cos2du x dx=
( )4 2 21 1 1sen cos 1 cos4 2sen 2 cos2
8 2 16x x dx x dx x x dx= − −∫ ∫ ∫
( )4 2 21 1sen cos 1 cos4
16 16x x dx x dx u du= − −∫ ∫ ∫
34 2 1 1 1
sen cos cos416 16 16 3
ux x dx dx x dx= − − ⋅∫ ∫ ∫
34 2 1 1
sen cos 4cos416 64 48
ux x dx dx x dx= − −∫ ∫ ∫
34 2 sen4 sen 2
sen cos16 64 48x x x
x x dx C= − − +∫
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34 2 1 sen4 sen 2
sen cos16 4 3
x xx x dx x C
= − − +
∫
3 44
4 2
0 0
1 sen4 sen 2sen cos
16 4 3x x
x x dx x
= − −
∫ππ
44 2 3 3
0
1 1 1 1 1sen cos sen sen 0 sen0 sen 0
16 4 4 3 2 4 3x xdx
= − − − − −
∫π
π ππ
( )4
4 2
0
1 1sen cos 0 0 0 0
16 4 3x x dx
= − − − − −
∫π
π
44 2
0
1 1sen cos
16 4 3x x dx = −
∫
ππ
44 2
0
1 3 4sen cos
16 12x x dx
−= ⋅∫π
π
( )4
4 2
0
1sen cos 3 4
192x x dx = −∫
π
π
g) 3sen cosx x dx∫
3 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫
( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫
cosx senu du xdx= ⇒ = −
( )( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫
( )3 2sen cos 1 ux x dx u du= − −∫ ∫
( ) 13 2 2sen cos u 1x x dx u du= −∫ ∫
( )5 13 2 2sen cos ux x dx u du= −∫ ∫
372 2
3 u usen cos
7 32 2
x x dx C= − +∫
373 2 22 2sen cos u u
7 3x x dx C= − +∫
13 32 2 2sen cos u u
7 3x x dx u C = − +
∫
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3 32 2sen cos cos cosx cos
7 3x x dx x x C = − +
∫
h) 2 3cos tgx x dx∫
3
2 3 23
sencos tg cos
cosx
x x dx x dxx
=∫ ∫
32 3 sen
cos tgcos
xx x dx dx
x=∫ ∫
22 3 sen sen
cos tgcosx x
x x dx dxx
⋅=∫ ∫
( )2
2 31 cos sen
cos tgcos
x xx x dx dx
x
− ⋅=∫ ∫
cosx senu du xdx= ⇒ = −
( ) ( )2
2 31 cos sen
cos tgcos
x xx x dx dx
x
− ⋅ −= −∫ ∫
( ) ( )2
2 3cos 1 sen
cos tgcos
x xx x dx dx
x
− ⋅ −=∫ ∫
22 3 u 1
cos tgx x dx duu−=∫ ∫
2 3 1cos tgx x dx u du
u = −
∫ ∫
2 3 1cos tgx x dx u du du
u= −∫ ∫ ∫
2 3 21cos tg ln
2x x dx u u C= − +∫
2 3 21cos tg cos ln cos
2x x dx x x C= − +∫
i) 1 sen
cosx
dxx
−∫
1 sen 1 sen 1 sen
cos cos 1 senx x x
dx dxx x x
− − += ⋅+∫ ∫
( )21 sen 1 sen
cos cos 1 senx x
dx dxx x x
− −=+∫ ∫
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( )21 sen cos
cos cos 1 senx x
dx dxx x x
− =+∫ ∫
1 sen coscos 1 sen
x xdx dx
x x− =
+∫ ∫
1 senx cosu du xdx= + ⇒ =
1 sen
cosx du
dxx u
− =∫ ∫
1 senln
cosx
dx u Cx
− = +∫
1 senln 1 senx
cosx
dx Cx
− = + +∫
j) 2sec tgx x dx∫
Resolução 1:
2tg secu x du xdx= ⇒ =
2sec tgx x dx udu=∫ ∫
2 21sec tg
2x x dx u C= +∫
2 21sec tg tg
2x x dx x C= +∫
Resolução 2:
2sec tg sec sec tgx x dx x x xdx=∫ ∫
sec sec tgu x du x x dx= ⇒ =
2sec tgx x dx udu=∫ ∫
2 21sec tg
2x x dx u C= +∫
2 21sec tg sec
2x x dx x C= +∫
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k) 6sec t dt∫
6 4 2sec sec sect dt t t dt=∫ ∫
( )26 4 2sec sec tg 1t dt t t dt= +∫ ∫
2tg secu t du t dt= ⇒ =
( )26 2sec u 1t dt du= +∫ ∫
( )6 4 2sec u 2u 1t dt du= + +∫ ∫
6 5 31 1sec u 2 u
5 3t dt u C= + + +∫
6 5 31 2sec tg tg tg
5 3t dt t t t C= + + +∫
l) 3
5 4
0
tg secx x dx∫π
5 4 5 2 2tg sec tg sec secx x dx x x x dx=∫ ∫
( )5 4 5 2 2tg sec tg 1 tg secx x dx x x x dx= +∫ ∫
2tg secu x du xdx= ⇒ =
( )5 4 5 2tg sec u 1 ux x dx du= +∫ ∫
( )5 4 5 7tg sec u ux x dx du= +∫ ∫
5 4 6 81 1tg sec u u
6 8x x dx C= + +∫
5 4 6 81 1tg sec tg tg
6 8x x dx x x C= + +∫
3 3
5 4 6 8
00
1 1tg sec tg tg
6 8x x dx x x = +
∫
π π
35 4 6 8 6 8
0
1 1 1 1tg sec tg tg tg 0 tg 0
6 3 8 3 6 8x x dx
= + − +
∫π
π π
( ) ( )3 6 8
5 4
0
1 1 1 1tg sec 3 3 0 0
6 8 6 8x x dx
= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
∫π
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( )3
5 4
0
1 1tg sec 27 81 0 0
6 8x x dx
= ⋅ + ⋅ − +
∫π
35 4
0
9 81tg sec
2 8x x dx = +∫
π
35 4
0
36 81tg sec
8 8x x dx = +∫
π
35 4
0
117tg sec
8x x dx =∫
π
m) 3tg secx x dx∫
3 2tg sec tg tg secx x dx x x x dx=∫ ∫
( )3 2tg sec sec 1 tg secx x dx x x x dx= −∫ ∫
sec sec tgu x du x xdx= ⇒ =
( )3 2tg sec u 1x x dx du= −∫ ∫
3 31tg sec u
3x x dx u C= − +∫
3 31tg sec sec sec
3x x dx x x C= − +∫
n) 5tg x dx∫
( )25 2tg tg tgx dx x x dx=∫ ∫
( )25 2tg sec 1 tgx dx x x dx= −∫ ∫
( )5 4 2tg sec 2sec 1 tgx dx x x x dx= − +∫ ∫ 5 4 2tg sec tg 2sec tg tgx dx x x dx x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫ 5 3tg sec sec tg 2 sec sec tg tgx dx x x x dx x x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫
sec sec tgu x du x x dx= ⇒ =
5 3tg u 2 tgx dx du u du x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫
5 4 21 1tg u 2 u ln sec
4 2x dx x C= − ⋅ + +∫
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5 4 21tg sec sec ln sec
4x dx x x x C= − + +∫
o) 3
4
tgcos
d∫θ θθ
3
3 44
tgtg sec
cosd d=∫ ∫
θ θ θ θ θθ
33 2 2
4
tgtg sec sec
cosd d=∫ ∫
θ θ θ θ θ θθ
( )3
3 2 24
tgtg 1 tg sec
cosd d= +∫ ∫
θ θ θ θ θ θθ
2tg secu du d= ⇒ =θ θ θ
( )3
3 24
tgu 1 u
cosd du= +∫ ∫
θ θθ
( )3
3 54
tgu u
cosd du= +∫ ∫
θ θθ
34 6
4
tg 1 1u u
cos 4 6d C= + +∫
θ θθ
34 6
4
tg 1 1tg tg
cos 4 6d C= + +∫
θ θ θ θθ
p) 3 3cotg cossec d∫ α α α
3 3 2 2cotg cossec cotg cossec cotg cossecd d=∫ ∫α α α α α α α α
( )3 3 2 2cotg cossec cossec 1 cossec cotg cossecd d= −∫ ∫α α α α α α α α
cossec cossec cotgu du d= ⇒ = −α α α α
( ) ( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= − −∫ ∫α α α
( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= −∫ ∫α α α
( )3 3 2 4cotg cossec d u u du= −∫ ∫α α α
3 3 3 51 1cotg cossec
3 5d u u C= − +∫ α α α
3 3 3 51 1cotg cossec cossec cossec
3 5d C= − +∫ α α α α α
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q) cossec x dx∫
cossec cotg
cossec cosseccossec cotg
x xx dx x dx
x x−= ⋅−∫ ∫
cossec cotgu x x= −
( )2cossec cotg cossecdu x x x dx= − +
2cossec cossec cotg
cosseccossec cotg
x x xx dx dx
x x−=
−∫ ∫
cossecdu
x dxu
=∫ ∫
cossec lnx dx u C= +∫
cossec ln cossec cotgx dx x x C= − +∫
r) sen 5 sen 2x x dx∫
( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 5 2 cos 5 2
2x x dx x x x x dx = − − + ∫ ∫
( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 3 cos 7
2x x dx x x dx = − ∫ ∫
( ) ( )1 1sen 5 sen 2 cos 3 cos 7
2 2x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫
( ) ( )1 1sen 5 sen 2 3cos 3 7cos 7
6 14x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫
1 1sen 5 sen 2 sen3 sen7
6 14x x dx x x C= − +∫
s) cos 7 cos 5 d∫ θ θ θ
( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 7 5 cos 7 5
2d d = − + + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ
( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 2 cos 12
2d d = + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ
( ) ( )1 1cos 7 cos 5 cos 2 cos 12
2 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
( ) ( )1 1cos 7 cos 5 2cos 2 12cos 12
4 24d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ
1 1cos 7 cos 5 sen2 sen12
4 24d C= + +∫ θ θ θ θ θ
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6) Calcule sen cosx x dx∫ por quatro métodos: (a) a substituição
cosu x= , (b) a substituição senu x= , (c) a identidade sen2 2sen cosx x x= e (d) integração por partes. a) sen cosx x dx∫
sen cos sen cosx x dx x x dx= − −∫ ∫
cos senu x du x dx= ⇒ = −
sen cosx x dx u du= −∫ ∫
21
1sen cos
2x x dx u C= − +∫
21
1sen cos cos
2x x dx x C= − +∫
b) sen cosx x dx∫
sen cosu x du x dx= ⇒ =
sen cosx x dx u du=∫ ∫
22
1sen cos
2x x dx u C= +∫
22
1sen cos sen
2x x dx x C= +∫
c) sen cosx x dx∫
1
sen cos 2sen cos2
x x dx x x dx=∫ ∫
1sen cos sen2
2x x dx x dx=∫ ∫
1sen cos 2sen2
4x x dx x dx=∫ ∫
2 2u x du dx= ⇒ =
1
sen cos sen4
x x dx u du=∫ ∫
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3
1sen cos cos
4x x dx u C= − +∫
3
1sen cos cos2
4x x dx x C= − +∫
d) sen cosx x dx∫
sen cosu x du x dx= ⇒ =
cos sendv xdx v x= ⇒ =
sen cos sen sen sen cosx x dx x x x x dx= ⋅ −∫ ∫ 2sen cos sen cos senx x dx x x dx x+ =∫ ∫
22 sen cos senx x dx x=∫
24
1sen cos sen
2x x dx x C= +∫
7) Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
3sen , sen , 0, 2y x y x x x= = = = π
[ ]Área ( ) ( )b
a
f x g x dx= −∫
( )2
3
0
Área sen senx x dx= −∫π
( )2
2
0
Área sen 1 senx x dx= −∫π
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22
0
Área sen cosx x dx= ∫π
22
0
Área sen cosx x dx= − −∫π
cos senu x du x dx= ⇒ = −
cos 0 1 e cos 02
a b= = = =π
0
2
1
Área u du= −∫
03
1
1Área
3u = −
3 31Área 0 1
3 = − −
1Área
3=
8) Determine o volume obtido pela rotação da região limitada pelas
curvas dadas ao redor dos eixos especificados. a) sen , , , 02y x x x y= = = =π π ; ao redor do eixo x .
[ ]2Volume ( )
b
a
f x dx= ∫π
( )2
2
Volume sen x dx= ∫π
π
π
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2
Volume sen x dx= ∫π
π
π
( )2
1Volume 1 cos2
2x dx= −∫
π
π
π
2
1Volume sen2
2 2x x = −
π
π
π
1 1Volume sen2 sen
2 2 2 2 = − − −
π ππ π π
( )Volume 0 02 2 = − − −
π ππ
Volume2 2 = −
π ππ
Volume2 2
= ⋅π π
2
Volume4
= π
b) cos , 0, 0, 2y x y x x= = = = π , ao redor do eixo 1y = − .
[ ] [ ]( )2 2Volume ( ) ( )
b
a
f x g x dx= −∫π
( )2
2 2
0
Volume 1 cos 1x dx = + − ∫
π
π
( )2
2
0
Volume 1 2cos cos 1x x dx= + + −∫π
π
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( )2
2
0
Volume 2cos cosx x dx= +∫π
π
2 22
0 0
Volume 2cos cosx dx x dx= +∫ ∫π π
π π
( )2 2
0 0
1Volume 2 cos 1 cos2
2x dx x dx= + +∫ ∫
π π
π π
( )2 2
0 0
Volume 2 cos 1 cos22
x dx x dx= + +∫ ∫π π
ππ
2 2 2
0 0 0
Volume 2 cos cos22 2
x dx dx x dx= + +∫ ∫ ∫π π π
π ππ
[ ] [ ] [ ]2 2 20 0 0
Volume 2 sen sen22 4
x x x= + +π π ππ ππ
[ ]Volume 2 sen sen0 0 sen sen02 2 2 4
= − + − + −
π π π ππ π
2
Volume 24
= + ππ
9) Uma partícula se move em uma linha reta com a fu nção velocidade
2( ) sen cosv t t t= ω ω . Determine sua função de posição ( )s f t= se (0) 0f = .
2( ) sen cosv t t t= ω ω
2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω
( )cos sen senu t du t dt t dt= ⇒ = − = −ω ω ω ω ω
2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω
21( ) sen coss t t t dt= − −∫ ω ω ω
ω
21( )s t u du= − ∫ω
31 1( )
3s t u C= − ⋅ +
ω
31( ) cos
3s t t C= − +ω
ω
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(0) 0s =
( )31(0) cos 0 0
3s C= − × + =ω
ω
10
3C− + =
ω
13
C =ω
Portanto:
31 1( ) cos
3 3s t t= − +ω
ω ω
( )31( ) 1 cos
3s t t= − ω
ω