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COLÉGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDÃO CORREIA
Curso - FORMAÇÃO GERAL (Ensino Médio)
Educador e Professor - Itamar S. Nascimento / Disciplina - Matemática Financeira
Data: ____ /05 / 2009
Aluno (a): ________________________________________________Série / Turma: 3____ Turno_____
LISTA 2 (Números Racionais, Equações Exponenciais, Definições de Razão e Proporção)
ATIVIDADE PROGRAMADA PARA A SEMANA DE 18 A 22 DE MAIO DE 2009
Obs.: Nesta lista não há qualquer pontuação ou nota. Entretanto lembre-se que precisaremos desta revisão para andarmos no nosso curso de Matemática Financeira. A nota é a sua aprendizagem e posterior aprovação ao término do ano letivo! Estude de fato!!!
ESTE ANO SERÁ UM SUCESSO SE...
Este ano será um sucesso se...houver um sorriso de otimismo,um sonho de beleza em seu coração epoesia nas pequenas coisas: na simplicidade da flor,na inocência das crianças, no silêncio interior,na amizade, no momento presente,na oportunidade de ser bom, ser amigo e compreensivo;sensível ao sofrimento alheio,grato ao passa que lhe proporcionou experiências para o futuro.
Este ano será um sucesso se...você for franco sem ferir,tiver fé em si, no próximo e em Deus e,acima de tudo, expressar o que pensa do outrocom uma palavra de carinho, de apoio,de reconhecimento, de bondade e encorajamento.
Este ano será um sucesso se...você souber vencer a preguiça, o orgulho,a indiferença ao sofredor, a tentação da riqueza, da intriga e da inveja,da intolerância ao ignorante, ao que tem idéias diferentes das suas, ao menos inteligente, ao egoísta, ao mesquinho.
Este ano será um sucesso se...você socorrer a quem precisa, aconselhando-o,
estendendo-lhe a mão, dando-lhe ajuda no momento certo, economizando bens materiais,esbanjando amor e solidariedade,entendendo a criança e o idoso,o adulto que não teve infância e aquele que não sabe amar.
Este ano será um sucesso se...você der um “bom dia” de coração e enfrentar com esportividade as desventuras, semear a paz e o amorvibrar com a felicidade alheia, com a beleza do sol acordando o dia,com a gota de orvalho na flor.
Este ano será um sucesso se ...você valorizar cada vitória e o mundo de oportunidadesque se abrirem diante de você e,começar cada dia com Deus!
Se você for sensível a tudo isso,então este ano será um sucesso para você epara os que viverem ao seu redor!
Que texto lindo reflexivo, não é mesmo?
Você gostou dele? É um presente pra você do
Colégio Estadual Edvaldo Brandão Correia, Grupo
Gestor, Coordenadores e funcionários diversos e é
claro, de nós seus Professores!
_______________________________________________________________________Professor Itamar S Nascimento MATEMÁTICA FINANCEIRA _ ano MMIX
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CÁLCULOS DIVERSOS
Quantas moedas de R$ 0,50, R$ 0,25, R$
0,10, R$ 0,05 e R$ 0,01 respectivamente podem
destrocar o montante de R$ 100,00? E de R$
155,50?
Esta simples pergunta acima induz a
reflexões sobre como calcular o que é solicitado,
não é verdade? A propósito que conta aritmética
você usaria para responder? Sabe calcular com
números racionais decimais? Especificamente, sabe
você operacionalizar as seis operações aritméticas
com os números decimais que a maioria das
pessoas chama-os de “quebrado”? Lembra-se de
quais são as seis contas aritméticas? Vamos
relembrar alguns pontos importantes? Preparado
ou preparada? Vamos lá então!
Os números decimais exatos são uma
subcategoria do Conjunto dos Números Racionais
(Q ). Veja:
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q )
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:
Em forma de fração ordinária:♦ ; ; e
todos os seus opostos.
Esses números tem a forma ab
com a , b Z e b ≠
0.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
Esses números têm a forma ab
com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas
simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que
podem ser escritas na forma ab
: com a, b Z e b ≠
0.
► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = {x = ab
, com aZ e b Z¿}
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Q={−∞,…−52
,−2 ,−32
,−1 ,0 ,+1 ,+ 32
,+52
,+3 , ..+∞}Conjunto dos Números Racionais
Outros subconjuntos dos Números Racionais ► (Q )
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. São eles:
Q¿={−∞ ,…−52
,−2,−32
,−1 ,+1 ,32
,52
,3 ,..+∞}Conjunto dos Números Racionais Não Nulos
Q+¿¿ ¿ {0 ,+1 ,32
,52
,3 ,3 ,2 , ...+∞}Conjunto dos Números Racionais Não Negativos
Q−¿ ¿ ¿ {−∞ ,…−52
,−2 ,−32
,−1,0}Conjunto dos Números Racionais Não Positivos
Q+¿ ¿¿ ¿ {1,32
,52
,3 ,3 ,2 ..+∞}Conjunto dos Números Racionais Positivos
Q+¿ ¿={−∞, …−
52
,−2 ,−32
,−1}¿
Conjunto dos Números Racionais Negativos
► Representação Geométrica
NOTA IMPORTANTE: Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO
a¿ 12+ 2
3=3+2
6=5
6(forma fracionária)
b¿1,25+0,025+32,566¿( formadecimal exata)
c ¿0 ,6ou0,666…=(dízima periódica)QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL)
UM
C D U , d c m
1 , 2 5
0 , 0 2 5
3 2 , 5 6 6
3 3 , 8 4 1
Como se lê o numeral 33, 841? ____________________________________________________________________________________________________
Agora calcule:
c ¿ 25+ 5
7+ 1
2=¿
d ¿ 35+0 ,7+0,25=¿
e ¿ 3√64+ 23+0,32+0 ,1=¿
SUBTRAÇÃO
f ¿1−0,25=1− 25100
=1−14=4−1
4=3
4=¿
¿0,75(Setenta e cinco centésimos e NÃO zero vírgula setenta e cinco);
g¿0,75−1= 75100
−1=75−100100
=−25100
=¿
¿−0,25 (Vinte e cinco centésimos negativos);
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h¿1,2 5−0,6−12+√121=1+ 2
10+ 5
90− 6
10−¿
−12
+11=10+18+5−54−45+99090
=¿
¿(10+18+5+990 )−(54+45 )
90=¿
¿ 1023−9990
=92490
=15415
≅ 10,26
Agora é sua vez de calcular:i ¿1,36−0,89−0,11=¿
j ¿0,77…−0 ,25− 3√5832=¿
l ¿ 32−15
2−5
3−0,4=¿
MULTIPLICAÇÃO
Quanto dará 0 ,25 ∙1 ,715 ∙0 ,3? Você
sabe? Todavia não vale efetuar o cálculo com
nenhuma calculadora! Imagine-se num escritório ou
noutro local desprovido de uma calculadora e você
tenha que operacionalizar tal conta aritmética.
Você tem duas saídas básicas. São elas:
1) Transformar todos os decimais em frações
ordinárias e operá-los:
OU2) Observar e contar quantas casas decimais
tem cada numeral. Depois anotar isso por
escrito ou na mente e daí multiplicar os
numerais sem apresentarem a tal vírgula, o
que chamo de “separador de mundos” em
nossas aulas de Matemática Financeira,
lembram-se? Vamos lá!
Resolvendo:Procedimento 1
0,25= 25100
= 14
1,715=17151000
=343200
0,3= 310
Logo teremos:
0 ,25 ∙1 ,715 ∙0 ,3=14
∙343200
∙3
10=1029
8000¿0,128625
Procedimento 2
25∙1715 ∙31000000
= 1286251000000
=0,128625
Treine agora você! Você é capaz! Desafie a si
mesmo (a):
m ¿0,35∙1,27 ∙25,36=¿
n¿5% ∙15
∙1,36 ∙0,08 ∙1% ∙ 3√0,008=¿
o¿7% ∙ √24
∙3√125
4∙0,01 %=¿
DIVISÃO
Lembra da pergunta na primeira página, ou
seja, quantas moedas de R$ 0,50, R$ 0,25, R$ 0,10,
R$ 0,05 e R$ 0,01 respectivamente caberão em R$
100,00? E em R$ 155,50?
Pois é, ela remete-nos à divisão não é
verdade? Pense por um segundo: Você precisa
destrocar os valores respectivos a R$ 100,00 e R$
155,50 em unidades monetárias de moedas cujos
valores são respectivamente iguais a R$ 0,50, R$
0,25, R$ 0,10, R$ 0,05 e R$ 0,01.
Perceba a ordem das contas então:
1¿ 1000,5
,1000,25
,1000,1
,1000,05
e1000,01
;
2¿ 155,50,5
,155,50,25
,155,5
0,1,155,50,05
e155,50,01
.
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Um leve apertar no teclado duma
calculadora resolveria tais problemas não é
mesmo? Mas como surgiram as calculadoras? Não
foi a partir do raciocínio lógico humano
conglomerado às pesquisas científicas? Então,
porque deixar seu cérebro ocioso? Vai dar teia de
aranha, viu? Vamos aumentar as sinapses entre os
neurônios por pensar? Vamos lá!
Já se sabe que a Divisão é irmã afiliada da
Multiplicação, não é mesmo? Visto posto podemos
transformar divisões em multiplicações e vice-versa
ao sabor da imaginação e problemas propostos. No
nosso caso temos as seguintes frações ou divisões:
1000,5
=1005
10
=100 ∙105
=100∙2=200
1000,25
= 10025
100
=100 ∙10025
=100 ∙4=400
1000,1
=1001
10
=100 ∙101
=1000
1000,05
= 1005
100
=100 ∙100
5=100 ∙20=2000
1000,01
= 1001
100
=100∙100
1=100 ∙100=104=¿
¿10 000.
A quais conclusões chegamos?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Já matou a charada não é? Percebeu que eu
primeiramente transformei cada decimal em fração
não foi? E depois? Lembra-se da “decoreba” de há
muito tempo, “conserva a primeira fração e
multiplica-se pelo inverso da segunda?” Pois é,
fizemos exatamente isso. Por quê? Por que a
multiplicação é inversa a divisão!
Ainda não entendeu? Okay vou esclarecer-
te!
Pense em um pacote contendo um
quilograma de feijão (1Kg). Sua mãe grita:
- Henrique Pedro divida o pacote de feijão ao meio
e cate a outra metade e bote no fogo.
Você retado da vida, pois guarda o preceito
popular de que isso é serviço pra menina obedece
pois foi sua mãe quem pediu, não é mesmo?
Kkkk ...kkk!
Materialize a situação com os desenhos
abaixo:
Pelo desenho esboçado está correto afirmar que
2 ∙12
Kg=1 Kg .Não é verdade?
Assim multiplicar por 1/2 é o mesmo que dividir por
2 e vice-versa! Esqueça o decoreba viu? Raciocine!
Agora é sua vez de treinar!Calcule:
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155,50,5
=¿
155,50,25
=¿
155,50,1
=¿
155,50,05
=¿
155,50,01
=¿
POTENCIAÇÃO
[ (0,2 )3 ]2 ∙ ( 0,1 )3=[ 0,2 ]6∙( 110 )
3
=[ 15 ]
6
∙( 110 )
3
=¿
¿ 115625.
∙1
1000= 1
15625000=0,000000064ou
6,4 ∙10−8 (emnotação científica ) .
Você vai arrancar os cabelos porque não
compreendeu esse cálculo acima? Antes de fazer
isso e xingar os professores de Matemática de
quaisquer nomes menos o de santo ou pior ainda,
dizer que vai matar quem inventou a Matemática,
que no caso foi o Criador de todo Universo, leia a
revisão logo em seguida sobre Potenciação e
Radiciação cuidadosamente explicadas que produzi
pra você! Depois aqueça as turbinas fazendo cada
atividade proposta, certo? E é claro deixe os cabelos
em paz!!!
Potenciação é uma multiplicação de fatores
(numerais) iguais. Observe:
2 ∙2 ∙2ou23=8
Note que 23 é a expressão concisa do
produto de 2 x 2 x 2, ou seja, 3 fatores iguais a 2. Ela
representa uma potência na qual o número 2 é
denominado base e 3, o expoente.
A potência 23 pode ser assim lida:
Dois elevado ao cubo;
Dois elevado a terceira potência;
Cubo de dois.
23
∙23=4
9 ou ( 23 )
2
=22
32 =49
Aqui, ( 23 )
2
também representa uma
potência, sendo lida como: dois terços elevado à
segunda potência ou um terço elevado ao
quadrado.
De modo geral, sendo a um número real e n
um número natural, com n≥2, definimos:
an=a ∙a ∙a ∙a…∙a⏟n fatores
Podemos observar que os símbolos a1 e a0
não se encaixam na definição acima, pois não tem
sentido falar em multiplicação com um só fator ou,
ainda, com nenhum fator.
No entanto, é conveniente estender a
definição de potência para esses dois casos, de
modo a preservar as propriedades das potências.
ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
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Qual será o valor da expressão [ (0,2 )3 ]2 ∙ ( 0,1 )3=¿?
Você precisará utilizar as propriedades das potências que você vem aprendendo desde a 5.ª série do Ensino Fundamental até aqui. Então não custa nada revisá-las não é mesmo?A resposta é:
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01an=b { a⟶é aBASE
n⟶é o EXPOENTEb⟶é a POT ÊNCIA
Nomenclatura básica da Potenciação.
02 a1=a Toda base elevada a UM resulta nela mesma.
03 a0=1(a≠0) Toda base elevada a ZERO resulta em UM.
04 am∙ an=am+n Na MULTIPLICAÇÃO de BASES IGUAIS conserva-se aBASE e somam-se os expoentes.
05 am÷an=am−n Na DIVISÃO utilizando-se BASES IGUAIS conserva-se a BASE e somam-se os expoentes.
06 {[ (a )n ]p}w=an ∙ p ⋅w Na POTÊNCIA DE POTÊNCIA conserva-se a base e MULTIPLICA-SE os expoentes.
07 (a ⋅b )n=an⋅ bn Na POTÊNCIA DE UM PRODUTO COM BASES DIFERENTES elevadas ao MESMO EXPOENTE eleva-se cada base ao expoente dado.
08 ( ab )n
=an
bn
Na POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES DIFERENTES eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.
09a−n= 1
an
Uma BASE qualquer elevada a um EXPOENTE NEGATIVO reescreve-se a mesma colocando UM sobre a BASE elevada ao EXPOENTE POSITIVO.
10 ( ab )−n
=( ba )n Na POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES DIFERENTES elevadas a um
EXPOENTE NEGATIVO invertem-se ou trocam-se numerador e denominador ficando a potência elevada ao EPOENTE POSITIVO.
11ank
=an repertir−se−á K vezes⏞nn
Ex.: 523
=52∙ 2∙ 2=58
Está é a propriedade POTÊNCIA SOBRE POTÊNCIA.
12a
nm=
m√an
Ex.: 323=
3√32
Potência com EXPOENTE FRACIONÁRIO.
Agora é hora de você exercitar essas regras não é mesmo? Então responda, adequadamente, as questões
seguintes, utilizando as propriedades das potências já estudadas e agora revisadas. Bons estudos !!!
1. Considere a igualdade 25=32.
a) Como se chama o número 2? ______________________________________
b) Como se chama o número 5? ______________________________________
c) Como se chama o número 32? _____________________________________
2. Calcule:
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a¿82=¿
b¿2¿3=¿
c ¿7¿3=¿
d ¿ (−4 )2=¿
e ¿18¿0=¿
f ¿ (−8 )¿2=¿
g¿ (−2 )3=¿
h¿ (−1 ) ¿5=¿
i ¿−(−2 )3=¿
j ¿−351=¿
k ¿10¿x=100 000
l ¿10¿x=0,00001
m ¿20¿15−3 x=1
n¿2¿2+2−2=¿
o¿52 ∙10−2 ∙( 12 )
−2
=¿
p¿ 92 ∙273
2432 =¿
q¿ 210 ∙24
29 =¿
r ¿( 13 )¿23
=¿
s¿8¿0 , 3=¿
t ¿ (0,444 …) ¿0,5=¿
RADICIAÇÃO
Definição: Dados um número real a e um número inteiro, n>1 ; define-se raiz n-ésima de a sendo o
número x, cuja potência n-ésima seja igual a a.
A radiciação é uma operação unária oposta à potenciação (ou exponenciação).
Para um número real a, a expressão representa o único número real x que verifica xn=a e tem o
mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 o símbolo de radical refere-se à raiz
quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a radical.
Assim temos: n√a=x⟺ xn=a
Daí temos a seguinte Nomenclatura da Radiciação: { né o Í ndicexé araiz
aé oradicandoO sí mbolo √❑é oradical
Não se esqueça que por nomenclatura entendem-se as partes que compõem alguma coisa. No caso
as partes da conta aritmética dada.
√25=5 , pois52=25
3√−8=−2 pois−23=−8
REGRAS GERAIS DA RADICIAÇÃO
Considerando ae b∈R¿ positivos temos:
Então, estude a regra à esquerda e então discrimine-a à direita com suas próprias palavras. Mãos à obra!
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ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA
RADICIAÇÃO01 n√ab=n√a n√b
02 n√ ab=
n√an√b
03 n√am=( n√a )m=amn
04 m√ n√a=m∙ n√a
05
( n√a )m= n√am
06a
mn=
n√am
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07a
−mn = 1
n√am
08 n√an
092√a±❑√b=
2√ (a+❑√a2−b )2
±2√ (a−❑√a2−b )
2
Racionalização
Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização da fração.
Exemplos:
1¿ a❑√b
= a❑√b
∙❑√b❑√b
=a❑√bb
2¿ 1(❑√a+❑√b )
=1 ∙ (❑√a−❑√b )
(❑√a+❑√b ) ∙ (❑√a−❑√b )=
❑√a−❑√b
(❑√a )2− (❑√b )2=
❑√a−❑√ba−b
3¿4
5√72=
45√72
∙5√73
5√73=
45√73
5√75
4 ¿3−❑√53+❑√5
=(3−❑√5 )(3+❑√5 )
∙(3−❑√5 )(3−❑√5 )
=(3−❑√5 )2
(3 )2−(❑√5 )2=¿
(3 )2−2∙3 ∙❑√5+(❑√5 )2
9−5=
9−6❑√5+54
=¿
¿ 14−6❑√54
.
Conseguiu perceber as regras envolvidas?
Nos exemplos dados, você observou que a racionalização do denominador da expressão dada é feita
multiplicando-se o seu numerador e o seu denominador por uma expressão conveniente, chamada de fator
racionalizante.
O fator racionalizante de alguns caos pode ser obtido de acordo com a tabela abaixo.
NOTA IMPORTANTE: Para efetuar a radiciação no MS Excel é necessário entender um conceito simples. Explico
assim: a raiz W de um número Y ( ), é igual a Y elevado à 1 dividido por X ( ). Em fórmula ficaria assim: " =
radicando ^ (1/índice) ". Ex: raíz cúbica de 8 ( ) ficaria " = 8 ^ (1/3)".EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
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TIPO DE DENOMINADOR
√a
(coma≥0 )
n√am
(coma>0 )
√a+√b
(coma>0 eb>0 )
√a−√b
(coma>0 eb>0 )
FATOR RACIONALIZANTE √a n√an−m √a−√b √a−√b
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Chama-se Equação Exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Assim, são equações
exponenciais, por exemplo: 2x=16 ;3x−1+3x−2=9 ;3x−1=27 ;10 ∙22x−5 ∙22x−1=0
Exemplo: Calcular o valor de xna equação 27x+1=9x
27x+1=9x
33 ( x+1 )=32x
3 ( x+1 )=2 x
3 x+3=2 x
3 x−2 x=−3
x=−3
S= {−3 }
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Note que:
32=25⟺ log2 32=5
25=52⟺ log525=2
27=33⟺ log3 27=3
Deduzimos que:
A operação por meio da qual obtemos x é chamada de LOGARITMAÇÃO.
OperaçãoElementos
Potenciação Logaritmação
a Base Base do Logaritmo
b Potência Logaritmando ou Antilogaritmo
x Expoente Logaritmo
Definição: O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x, ao qual se deve elevar a para se obter b. Assim:
b=ax⟺ loga b
Sistema de Logaritmo
a) Sistema de Logaritmos Decimais - é o sistema e base 10 ou sistema de Briggs.
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b) Sistema de Logaritmos Neperianos - é o sistema de base e ou sistema de logaritmos naturais. Indica-se:
log e xou ln x onde e=2,718… (nº irracional).
Condição de existência
log ab⟹ {logaritmando positivobase positiv a
base diferentede1 ou log ab⟹ { b>0
a>0 ea≠1
A este conjunto de condições chamamos de CAMPO DE EXISTÊNCIA ou DOMÍNIO DOS LOGARITMOS.
Exemplos:
1) Determinar o domínio da função f ( x )=log3 (x−5 )
CE { x−5>0x>5
D( f )={x∈R; x>5}
2) Determinar o Campo de Existência de y=logm−27
CE { m−2>0e m−2≠1m>2m≠3
D(f )={x∈R ; x>2e x≠3 }
3) Determinar o domínio de y=logx +1 x2+3x−18
Obs.: Será feito em sala de aula.
Conseqüências da Definição
1) log a1=02) log aa=13) log aam=m4) a logab=b5) log ab=loga c⟺b=c .
Equações Logarítmicas
Procedemos do seguinte modo para resolvermos:
1º) Indicaremos as condições de existência;
2º) Resolveremos a equação;
3º) Faremos a verificação com as soluções da equação nas condições de existência.
Dado log 4 x=2CE {x>0
log 4 x=2⟹ x=42 ∴ x=16
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Verificação: x>0⟹16>0 (Verdadeiro )
S= {16 } .
Propriedades dos Logaritmos
1) LOGARITMO DE UM PRODUTOO LOGARITMO DE UM PRODUTO É IGUAL À SOMA DOS LOGARITMOS DOS FATORES, TOMADOS NA MESMA BASE, ISTO É:
log b ( a∙ c )=logb a+ logbc , coma>0 , c>0e b≠1eb>0.
2) LOGARITMO DE UM QUOCIENTEO LOGARITMO DE UM QUOCIENTE É IGUAL AO LOGARITMO DO DIVIDENDO MENOS O LOGARITMO DO DIVISOR,TOMADOS NA MESMA BASE, ISTO É:
log bac=logb a−logb c , coma>0 ,c>0 , b≠1eb>0.
3) LOGARITMO DE UMA POTÊNCIAO LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA É IGUAL AO PRODUTO DOS EXPOENTE PELO LOGARITMO DA BASE DA POTÊNCIA, ISTO É:
log ban=n ∙ logb a , coma>0 ,1≠b>0e n∈ R
4) MUDANÇA DE BASE
log ab=logc b
logc a,comb>0 ,0<a≠1e 0<c ≠1
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Resolva as expressões numéricas seguintes:
a¿ [ (−47 )∙ (−4 )10∙ (−4 ) ] : [ (−4 )8 ]2=¿
b¿ [ (−2 )6 ]2: [ (−2 )6 ∙ (−2 )12∙ (−2 ) ]=¿
c ¿ 1
3−√3+ 1
3+√3=¿
d ¿√6+ 2
√6=¿
e ¿ √3+1√3−1
=¿
f ¿ 0,05 ∙10−2 ∙0,4 ∙10−1 ∙0,082 ∙10−4 =¿
g¿ 3√375=¿
h¿x2−(− y2
x2 )(√x+√ y )2−2√ xy
=¿
i ¿ 2√2+√3+√2−√3√3
=¿
j ¿3 3√x+5 3√ x−12 3√ y−3√x+10 3√ y=¿
k ¿ √75+√12√588
=¿
l ¿ 6√75:3√72=¿
m ¿ (3+2√5 )2−√720−18=¿
n¿(1−1
2 )2
34
+
15
(1−45 )
2 =¿
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o¿ 1
2+1
2+1
10
=¿
p¿5√31+
6√10−√83−√4=¿
q¿ ( 3√ 6√29)4
∙( 6√ 3√29 )4=¿2) As equações exponenciais aparecem em alguns
cálculos de Matemática Financeira associadas aos
Logaritmos. A guisa de exemplo, Juro Composto,
definido num período maior ou igual a 2 meses
(t ≥2 ). Assim é pertinente e necessário revisar tais
conteúdos. Calcule as equações exponenciais:
a¿ 4x−2x−2=0
b¿9x+3x=90
c ¿4x−20 ∙2x+64=0
d ¿4x+4=5 ∙2x
e ¿9x+3x+1=4
f ¿52 x+5x+6=0
g¿22x+2x +1=80
h¿102x−1−11 ∙10x−1+1=0
i ¿4x+1+43− x=257
j ¿5 ∙22 x−42x−1
2−8=0
k ¿25√ x−124 ∙5√x=125
l ¿3x− 15
3x−1+3x−3= 23
3x−2
m ¿2x+1+2x−2− 3
2x−1− 3
2x−1=30
2x
n¿( 23 )
x
=2,25
o¿8x= 132
p¿ (√3 )x= 3√81
q¿100x=0,001
r ¿162 x+3−162 x+1=28 x+12−26x +5
s¿4x+6x=2 ∙9x
3) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
a¿ log√8 4=¿
b¿ log250,2=¿
c ¿ log23√64=¿
d ¿ log16 32=¿
e ¿ log5 0,000064=¿
f ¿ log91=¿
g¿ log 17
1=¿
h¿ log 88=¿
i ¿ log6 62=¿¿
j ¿5log4 3 ∙ log5 4=¿
k ¿2−log3 8 ∙ log2 3=¿
l ¿4log4 16
2 =¿
RAZÃO
Definição: é o quociente, se tomado dois números, do
primeiro pelo segundo, com o segundo número
diferente de zero.
Exemplo:
A razão de 3 para 5 é 35
.
A razão de 14
para23
é
1423
. que é iguala38
.
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Temos de uma Razão
Os termos de uma razão recebem nomes especiais:
Na razão
47 { Onú mero4 é c hamado ANTECEDENTE.
Onúmero7 é c hamadoCONSEQ Ü ENTE .
PROPORÇÃO
I) Definição: é a igualdade entre duas razões.
II) Termos da proporção
Representamos por :
ab= c
dou a: b=c :d
Lemos: a está para b assim como c está para d.
Os termos a e d são chamados extremos da
proporção.
Os termos b e c são chamados meios da
proporção.
III) Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Exemplo: Sejam as proporções:
I ¿ 35= 6
10 { 5 x 6=303x 10=30
II ¿ 23=4
6 {2 x6=123 x4=12
IV) Resolução de uma proporção
Podemos descobrir o valor de um termo
desconhecido numa proporção, aplicando a
propriedade fundamental.
Exemplo 1:
Calcular ovalor x na propor çã ox7= 9
21
Lembre−seque pela teoriaestudada
O produto dos meios é igual ao produt
dos extremos
Assim:
x ∙21=7 ∙9=¿
¿21 x=63
¿ x=6321
=3
x=3
Exemplo 2:
Calcular ovalor x na propor çã ox−212
= x20
Lembre−seque pela teroiaestudada
O produto dosmeios é igualao
produtodos extremos
20 ∙ (x−2 )=12 ∙ x
20 ( x−2 )=12 x
¿20 x−40=12 x
¿20 x−12 x=40
¿8 x=40
x=408
x=5
VAMOS EXERCITAR O QUE ACABAMOS DE APRENDER?
1) Calcule o valor de x nas proporções:
a¿ x10
=75
b¿ 315
= x5
c ¿ 123
=8x
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d ¿ x4=2
7
e ¿ 146
= x9
f ¿ 1560
=60x
g¿ x6= x+3
15
h¿ x−3x
=45
i ¿6 x5
=
2513
j ¿1−1
3x
=75
k ¿ 113+
12
=2x
l ¿2−1
3x
=
54
15
2) Resolva os sistemas:
a¿ {x+ y=14xy=3
4
b¿ {x− y=6xy=10
7
c ¿ {x+ y=40xy=7
3
d ¿ {x− y=15x9= y
4
Note a resolução desses dois problemas
abaixo. Depois resolva os exercícios
solicitados!
I) A soma de dois números é 48 e a
razão entre eles é 75
. Calcular
esses números.
Solução:
Se xe y sã oos dois nú meros, ent ã o:
{x+ y=48⟹ y=48−x Ixy=7
5⟹5x=7 y II
Substituindo I em II :5 x=7 ( 48−x )
5 x=336−7 x
5 x+7 x=336
1 x=336
x=33612
x=28
C álculode y :
y=48−x
y=48−28
y=20
Resposta: Os números são 28 e 20.
II) Dividir 60 em partes proporcionais a 5 e 7.
Solução:
Se xe y sã oos dois nú meros, ent ã o:
{ x+ y=60x5= y
7⟹5 y=7 x⟹ y=7 x
5
Substituindo yna1 ª equaçã o : x+ 7 x5
=60
5 x+7 x=300
12 x=300
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x=30012
x=25
Ent ã o : x+ y=60
25+ y=60
y=60−25
y=35
Resposta: OS números são 25 e 35.
QUE TAL EXERCITAR O QUE ACABAMOS DE
APRENDER?
1) Determine dois números cuja razão é 92
e cuja
soma é 55.
2) Determine dois números cuja razão é 32
e cuja
diferença é 17.
3) A soma das idades de dois irmãos é 20 anos e a
razão entre elas é 23
. Calcule as idades.
4) Minha mãe fez uma salada de frutas com
maçãs e mamãos num total de 21 frutas. A
razão do número de maçãs par o número de
mamãos foi de 3 para 4. Quantas maçãs ela
usou na salada?
5) Numa classe de 2 alunos, em cada grupo de 7
alunos, 4 são meninas. Qual o total de
meninos?
6) Dividir 45 em partes proporcionais a 5 e 10.
7) Repartir 63 figurinhas entre Paulo e Ari, de
modo que as quantidades sejam proporcionais
a 3 e 4.
8) Divida R$ 39 000,00 entre duas pessoas de
modo que a primeira e a segunda recebam
quantias proporcionais a 6 e 7.
9) Calcule o valor das proporções:
a¿ 2xx−1
=45
b¿ 3x+24
=5 x7
c ¿
53
3+14
=x35
d ¿x3=
92
2+14
10) Determine dois números cuja razão é 23
e cuja
soma é 75.
11) Determine dois números cuja razão é 52
e cuja
diferença é 42.
12) Repartir 80 laranjas entre dois meninos na
razão 53
.
13) Um pai dividiu R$ 3 000,00 entre dois filhos na
razão de 7 para 8. Quanto recebeu cada filho?
14) Dois sócios entram num negócio com um
capital de R$ 5 000,00 e R$ 3 000,00. No final
obtêm um lucro de R$ 24 000,00. Quanto
receberá cada um?
15) Uma mistura está formada por 4 partes de
álcool e 3 partes de água. Quantos litros de
álcool há em 140 litros dessa mistura?
GABARITO
Questões 1 2 3 4 5 6 7 8
Respostas (45, 10) (51, 34) (8, 12) 9 maçãs 12 meninos (15, 10) (27, 36) R$ 18 000,00_______________________________________________________________________Professor Itamar S Nascimento
MATEMÁTICA FINANCEIRA _ ano MMIX
9 d
e m
aio
de
20
09
R$ 21 000,00
Questões 9 10 11 12 13 14 15
Respostas
a¿−23
, b¿−14
c ¿ 413
, d¿6
(30, 45) (70, 28) (50, 30)R$ 1 400,00
R$ 1 600,00
R$ 15 000,00
R$ 9 000,00
80 litros de
álcool
Não deixe de passar para o caderno somente aquilo que achar importante fixar na mente!Aprender Matemática exige esforço, estudo e principalmente prática.
Educador e Professor Itamar Nascimento
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