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Lista de Exercícios N°01 / 2012 CDI 2 Fev/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
MENSAGEM : “ Melhore sua Qualidade de Vida mudando a si Próprio e seu Mundo”.
Defina um RESULTADO (é mais que uma META)
JORNADA
Realização de Tarefas
utilizando diversos RECURSOS
Estado Atual : Onde está Estado Pretendido (RESULTADO) :
Atualmente (Fev/2012) Onde deseja chegar (Dez/2012)
1)Determinar o domínio da função: z = ℓn(1 - 4
Resp. : D = (
2)Determinar o domínio da função: z = √
Resp.: D = (
3)Obtenha a equação do mapa de contorno da função : f(x , y) =
Resp.:
(√ )
(√
)
4)Descreva as superfícies de nível da função: V(x , y , z) =
Resp.;
, k ≤ - 1 ou k> 0
Ponto O(0 , 0 , 0) se k = - 1 e Superfície esférica de
Centro O(0 , 0, 0) e raio = √
se k < - 1 ou k > 0.
“ O maior pecado do ser humano é ignorar suas forças interiores, seus poderes
criadores e sua herança divina.
- - - ESTUDA – TE....
Vê quanta coisa és capaz de fazer!”
O.S.Marden
Lista de Exercícios N°02 / 2012 CDI 2 Fev/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Realização da JORNADA
RECURSOS: Capital Humano , Competências ,Crenças ,
Estados Emocionais , Estratégias , Fisiologia ,
Níveis Comportamentais , Tempo , Valores.
Início da JORNADA Fim da JORNADA.
1)Determine as derivadas parciais de 1ª.ordem da função: u = t
Resp. :
(
) ;
2)Determine as derivadas parciais de 1ª.ordem da função: z = sen(xy) cos(x + y)
Resp.:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3)Calcule as derivadas parciais de 1ª.ordem da função: V = √
Resp.:
( )
√( ) ;
√( ) ;
( )
√( )
4)A Lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T ,
pressão P e o volume V é : PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre
que : (
) (
) (
)
“Quando uma pessoa se decide a melhorar
suas condições de vida e sabe disciplinar sua mente,
com vontade inabalável em direção ao seu objetivo,
tudo de bom e oportuno virá ao seu encontro:
bons livros , bons amigos , criaturas simpáticas e outros
meios que lhe ajudarão a realizar seus justos desejos.”
JAMES ALLEN
Lista de Exercícios N°03 / 2012 CDI 2 Fev/2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
FATORES INDIVIDUAIS que contribuirão de maneira EFICIENTE e EFICAZ na
realização da JORNADA : Atitude , Bom senso , Competência , Concentração ,
Controle , Dedicação , Determinação , Discernimento , Disciplina , Habilidade ,
Perseverança , Racionalidade , Responsabilidade .
1)Determinar as derivadas parciais indicadas: V =
,
,
Resp. :
,
2)Utilize a Regra da Cadeia para determinar
e
z = sen , ,
Resp. :
3)Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas
R = ℓn( , u = x + 2y , v = 2x – y ,
,
quando x = y = 1
Resp.:
,
4)Utilize a Equação 6 da página 861 do livro Cálculo (James Stewart) , vol. 2 – 6ªed.
para determinar
da função cos(x – y) = x
Resp.:
[ ]
[ ]
“Cada obstáculo vencido é uma vitória que conquistamos
e um maior merecimento que temos.
É uma lei da Natureza que ninguém pode receber
Senão aquilo que merece.”
F.R.C.
Lista de Exercícios N°04 / 2012 CDI 2 Mar/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Acompanhamento / Controle da JORNADA
Fim da
Início da JORNADA
JORNADA
Para ter sucesso na JORNADA deverá fazer o Acompanhamento/ Controle dos
seguintes itens:
a)Em que direção estou indo? (Na direção do resultado)
b)Porquê estou indo nesta direção? (São guiados pelos Valores)
c)Como vou atingir o RESULTADO? (É a Estratégia para a JORNADA)
d)E se houver algum desvio na JORNADA? (Precisa ter um Planejamento de
Contingências)
1)Calcular o Gradiente de V(x, y, z) = xℓny + yℓnz + zℓnx
Resp.: ( ) [
] [
] [
]
2)Dada a função: V(x, y) = 5x
a)Determinar o Gradiente de V ; b)Calcular o Gradiente de V no ponto P(1, 2) ;
c)Determinar a taxa de variação de V em P na direção do vetor: =
Resp.: a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ; c) ( )
( )
3)Determinar a derivada direcional da função V(x, y, z) = √ no
ponto P(1, 2, - 2) na direção do vetor: = - 6 . Resp.: ( )
4)Determinar a taxa de variação máxima de V(x, y, z) = no ponto P(2, 1, 1)
e a direção em que isso ocorre.
Resp. : | ( ) | Direção de : =
“Os homens destituídos de planos estão à mercê
dos ventos errantes da sorte...
Aqueles que têm plano e determinação para seguir,
têm o controle do destino.
Os prêmios mais ambicionados que a vida pode oferecer,
Estão nas mãos daqueles que planejam e agerm.
--- As sobras ficam para os que não têm ideal.”
JOSÉ INGENIEROS.
Lista de Exercícios N°05 / 2012 CDI 2 Mar/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Processo envolvido no Acompanhamento / Controle
Estado Atual
(Onde está atualmente)
Realimentação
Ação
DECISÃO
Estado Pretendido
(Onde deseja chegar)
1)Determinar a derivada direcional da função V(x, y) = no ponto
P(2, 1) na direção do versor dado pelo ângulo .
Resp.: ( ) √
2)Calcular a derivada direcional de V = x no ponto P(2, ) na direção do
vetor : = < 5, 1 > Resp.: ( )
( )
√
3)Determinar a direção onde V(x, y) = decresce mais rapidamente
no ponto P(2, -3) Resp.: - ( )
4)A temperatura T do ar é dada pela função: T(x, y, z) = e um
mosquito está localizado no ponto P(1, 2, 1). Em que direção o mosquito deve
voar para esfriar o mais rápido possível? Resp.: - ( )
5)O potencial elétrico V em um ponto P (x, y, z) é dado por: V = .
a)Calcular a taxa de variação de V no ponto P(2, - 1, 3) na direção de P para a
origem. Resp.: ( )
( ) √
b)Calcular a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P .
Resp.: ( )
“A VIDA É EXPANSÃO...
Procure ampliar seus planos e suas aspirações. Alargue sua mente e sua visão..
Expanda-se ... Reanime-se ... Movimente-se ...
A fé , a confiança, a sensação de progresso , nos libertam das angústias e nos
preparam para bens vindouros.” THOMÁS STEFANIDI
Lista de Exercícios N°06 / 2012 CDI 2 Mar/2012.
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Zona de APRENDIZAGEM
Na sala de aula(independentemente da disciplina ministrada pelo(a) professor(a))
tente situar se na Zona de APRENDIZAGEM , controlando o seu estado emocional.
Nesta situação , você notará que a APRENDIZAGEM será bastante agradável ,
eficaz , proveitosa , recompensadora e salutar.
Dificuldade da
Tarefa a realizar
Zona de Zona de
Ansiedade APRENDIZAGEM
Zona de Tédio
0 Recursos Disponíveis
1)Calcular o Gradiente de V = ℓn Resp.: (
) (
)
2)Dada a função potencial V =
, em coordenada esférica , onde K é uma
constante . Calcular o vetor campo elétrico correspondente.
Dado: (onde é o vetor campo elétrico).
Resp.:
3)Dada a função potencial V =
, em coordenada cilíndrica , onde a é uma
constante. Calcular o campo vetorial correspondente.
Resp.:
4)Sabendo que V = V(x, y, z) , mostrar que :
a) (
)
b)
“Ser hoje , melhor do que ontem ;
E , amanhã , melhor do que hoje.
Eis o grande objetivo da vida.”
CONSTÂNCIO C. VIGIL
Lista de Exercícios N°07 / 2012 CDI 2 Mar/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Caminhos da APRENDIZAGEM
O caminho normal da APRENDIZAGEM tradicional pode ser dividido em 5 níveis:
1°. Nível : Incompetência Inconsciente.
Você está diante da seguinte situação: “ Você não sabe e não sabe que não sabe .”
Pense que agora você está resolvendo corretamente a equação diferencial de 1ªordem.
Até o estágio anterior você nada sabia sobre o assunto e nem sequer tinha consciência
disto.
1)Determinar a ordem da equação diferencial e verificar se é Linear (L) ou Não Linear
(NL) em y :
a) xy’ = ( x - y Resp.: 1ª.ordem ; L
b) 2xyy’ + Resp.: 1ª.ordem ; NL
c) y
Resp.: 2ª.ordem ; NL
d) (1 – x)y” – 4xy’ + 7y = senx Resp.: 2ª.ordem ; L
2)Verificar se a função dada é uma solução para a equação diferencial :
a) (
)
; V = C Resp.: É solução
b) y’ =
; y = ℓn( Resp.: É solução
c) xy” – 2y’ = 0 ; y = A + Bx Resp.: Não é solução
onde A e B são constantes.
d) ; y = - 1/ Resp.: Não é solução
3)Para quais valores não nulos de k a função y = sen(kt) satisfaz a equação
diferencial : y” + 9y = 0 ? Resp.: k =
“Dentro de você mesmo está a habilidade e o poder
de fazer tudo que precisa para ser feliz.
Este poder estará à sua disposição a partir do momento
em que você mudar as convicções derrotistas
e se desipnotizar de idéias como “não posso”
“não valho nada” “não mereço” e outras convicções
limitadoras.”
MAXWELL MALTZ.
Lista de Exercícios N°08 / 2012 CDI 2 Mar/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Caminhos da APRENDIZAGEM
2°.Nível :Incompetência Consciente.
Neste nível obtém resultados imediatos. Consiste no treinamento da HABILIDADE
para resolver problemas , utilizando a equação diferencial de 1ª.ordem , mas não é
muito bom nela. Entretanto, tem a vantagem de aprender rápido, porque quanto menos
sabe , o espaço para melhoria é bem maior e bastante perceptível.
1) Em teoria de aprendizagem , a taxa à qual um assunto vai ser memorizado é
proporcional à quantidade ainda a ser memorizada . Se Q representa a quantidade
total a ser memorizada e M(t) a quantidade memorizada no instante t , determinar
a equação diferencial para M(t).
Resp.: dM(t)/dt = k [Q – M(t)] , onde k é uma constante.
2)Determinar as equações diferenciais da família de curvas ( C , são constantes)
a) y = ( ) ( ) Resp.: y” + 4y = 0
b) y = C – (1/4) Resp.: y’ – 4y = 1
c) y = x ℓn(Cx) Resp.: xy’ – y = x
3)Resolver as equações diferenciais (variáveis separáveis) :
a) (1 + tgy)y’ = + 1 Resp.: y + ℓn| |
b) dP/dt = P - Resp. : P = C ( )
c) (x + 2)y’ = x + 8 Resp.: y = x + 6 ℓn(x + 2) + C
d) dy/dx = Resp.: - 3
e) ( ) ( ) Resp.:
f) dy/dx =
Resp.:
“ TUDO É POSSÍVEL …
Acredite que há sempre uma solução para qualquer problema,
por mais complexo e difícil que nos pareça”.
C. TORRES PASTORINO.
Lista de Exercícios N°09 / 2012 CDI 2 Abr/2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. : Takahashi
Caminhos da APRENDIZAGEM
3°. Nível: Competência Consciente.
Neste nível você adquiriu a HABILIDADE para resolver problemas envolvendo
equações diferenciais de 1ª.ordem , entretanto não é habitual e consistente . É
necessária muita concentração . Quanto melhor for o aprendizado , maior será
o esforço requerido para obter uma agregação de conhecimento perceptível.
1)Resolver a equação diferencial (variáveis separáveis) com a condição inicial:
a) y’ = y senx ; y(0) = 1 Resp.: y =
b) (dx/dy) = 4 ( ) ; x ( ) = 1 Resp.: x = tg[ (
)]
c) (x ) ( ) ; y(0) = 1 Resp. : ( )( )
d) dx/dy = ( ) ( ) ; y(2) = 2 Resp.:
e) ( ) ( ) ; y(0) = 0 Resp.: ( )( )
2)Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas ( k é constante):
a) y = 1/ℓn(kx) Resp.: 2
b)
Resp.:
c) Resp.: y = C
3)A análise do ar em uma certa região indica que daqui a t anos a concentração de CO
(monóxido de carbono) no ar estará variando à taxa de (0,1 t + 0,1) ppm (parte por
milhão) por ano. Qual será a variação da concentração de monóxido de carbono
durante os próximos três anos ? Resp. : CO(3) – CO(0) = 0,75ppm.
“Sou muito grato às adversidades que apareceram
na minha vida ; pois elas me ensinaram a tolerância ,
a simpatia , o auto-controle , a perseverança e outras
qualidades que , sem essas adversidades , eu jamais conheceria.”
NAPOLEON HILL
Lista de Exercícios N°10 / 2012 CDI 2 Abr/2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. : Takahashi
Caminhos da APRENDIZAGEM
4°. Nível : Competência Inconsciente:
Neste nível sua HABILIDADE para resolver a equação diferencial de 1ª.ordem, já é
habitual e consistente , praticamente tudo passa a ser automática . Assim , sua mente
consciente estará livre para realizar outra atividade . ( Estágio correspondente ao de
dirigir um veículo e ao mesmo tempo conversar com alguém e ouvir rádio).
1)Uma força eletromotriz de E Volts é aplicada a um circuito RC em série no qual a
resistência é R Ohms e a capacitância C Farads . Determinar:
a) a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 ; Resp.: q(t) = EC ( )
b) a corrente i(t) . Resp. : i(t) = (E/R)
Utilizando os valores dados: E = 600 V , R = 200 Ω , C = F , calcular:
c) a carga q(t) Resp.: q(t) = 0,6 ( )
d) a corrente i(t) Resp.: i(t) = 3
2)A população P(t) de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de
pessoas presentes em qualquer instante t . Se a população duplicar em 5 anos ,
quando ela quadruplicará ? Resp. : t = 10 anos .
3)Após o lançamento de uma campanha publicitária , um provedor da Internet
estimou que o número N de novos assinantes aumentará a uma taxa de
( ) assinantes por mês, onde t é o número de meses decorridos
desde o início da campanha. Quantos novos assinantes são esperados para 8
meses após o início da campanha? Resp. : N = 3253 .
4)Resolver a equação diferencial EXATA:
a) (
) Resp. : x + y ℓnx + C = 0
b) ( ) Resp. :
“Os homens fariam maiores coisas , se não julgassem tantas coisas impossíveis”.
MALESHERBES
Lista de Exercícios N°11 / 2012 CDI 2 Abr/2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN /2BERN / 2CEMN Prof. : Takahashi
Caminhos da APRENDIZAGEM
5°. Nível : Maestria
É um nível que vai além da Competência Inconsciente. Neste nível tudo acontecerá
naturalmente num fluxo constante . Para atingir este nível é preciso muito tempo e
bastante concentração , dedicação e esforço.
1)Calcular o Divergente do campo se:
a) ( ) Resp. :
b) Resp. :
c) (
) (
) (
) Resp. : (
) (
) (
)
d) Resp. :
e) (
) Resp. :
2)Mostrar que : ( ) ( ) ( ) ( )
3)Uma esfera dielétrica (permissividade ) apresenta se eletrizada em cada ponto com
densidade volumétrica de carga ,função somente da distância r, do ponto ao centro
C da esfera . Obter esta função ( ), de tal modo que o campo eletrostático no
interior da esfera tenha intensidade constante E.
Dado : Resp. : ( ) ( )
4)Calcular o Divergente do campo esférico : , onde k é constante.
Resp. : ( )
5)Calcular o Divergente do campo central : , onde k é constante.
Resp. :
“As portas da oportunidades são amplas.
Não digas que não pudeste entrar por elas,
Se nada fizeste para isso”.
O.S.MARDEN
Lista de Exercícios N°.12 /2012 CDI 2 Mai / 2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Uma pausa para REFLEXÃO
Será que estou indo no caminho certo (Planejado) ? Resultado
(Dez / 2012)
Caminho
Planejado
Fazer a correção
Início da da rota(caminho)
JORNADA
(Fev/2012)
Caminho
Alternativo
Situação Atual
(Mai/2012)
Não estou no
Caminho
Planejado
1)Resolver as equações diferenciais lineares de 1ª.ordem:
a) x(dy/dx) + (3x + 1)y = Resp.: y = [
]
b) (cosx)y’ + y senx = 1 Resp. : y = senx + C cosx
c) (x + 1) y’ + y - ℓnx = 0 Resp. : y = [ ( ) ] ( )
d) (dT/dt) = k(T – 10) Resp. : T = 10 + C
e) xy’ + y = √ Resp. : y =
√
2)Resolver as equações diferenciais lineares de 1ª.ordem com as condições
iniciais indicadas:
a) x(dy/dx) + y - = 0 ; y(1) = 2 Resp. : y = ( )
b) xy’ = y + ; y( ) = 0 Resp. : y = - xcosx – x
c) (dy/dx) + (tgx)y = ; y(0) = - 1 Resp. : y = cosx (senx – 1)
d) t
, com t > 0 ; y(1) = 0 Resp. : y =
(
)
“O sucesso consegue-se com decisão , confiança , persistência;
e não , com desânimo , indecisão , lamúrias... “
SANSON ALHADEF
Lista de Exercícios N°13 / 2012 CDI 2 Mai/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Uma Pausa para AUTO-ANÁLISE
Como fazer a correção da rota para atingir o RESULTADO estabelecido?
Fazer uma auto-análise : onde estão as maiores dificuldades ?
Em primeiro lugar : fazer um DIAGNÓSTICO e começar enumerando os
problemas do MAIS PRIORITÁRIO para o MENOS PRIORITÁRIO e
posteriormente utilizar se da seguinte “Ferramenta” : Gráfico de Pareto .
1)Transferência de Calor (Lei de Resfriamento de Newton) : “A taxa de variação da
temperatura T de um objeto em qualquer tempo t é aproximadamente proporcional
à diferença entre sua própria temperatura T e a temperatura do meio ambiente ( )”,
ou seja : dT/dt = - k(T - ). Aplicando esta Lei , resolver o seguinte problema:Uma
viga de alumínio foi trazida do frio externo para dentro de uma sala de máquinas
onde a temperatura era mantida em 65°F . Após 10 minutos a temperatura da viga
chegou a 35°F e ,em mais 10 minutos , atingiu a 50°F Estimar a temperatura inicial
daviga. Resp. : = 5°F
2) Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de
sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A
mistura é drenada a mesma taxa. a) Determinar a quantidade de gramas de sal S(t)
no tanque em qualquer instante; b) Quantos gramas de sal estão presentes depois de
um longo tempo. Resp. : a) S(t) = 1000[
] ; b) S = 1000g
3)Uma força eletromotriz de E Volts é aplicada a um circuito RC em série no qual
a resistência é R Ohms e a capacitância , C Farads . Determinar : a) a carga q(t) no
capacitor se q(0) = 0; b) a corrente i(t).Informações adicionais: a queda de tensão no
capacitor é q/C e i = dq/dt . Resp.: a) q(t) = EC(1 - b) i(t) = (E/R)
4) Curva de Aprendizagem : Gráfico[D(t) , t]: Uma Curva de Aprendizagem é o
gráfico de uma função D(t) , o desempenho de alguma pessoa aprendendo uma
Habilidade como uma função de tempo de treinamento t . A derivada dD(t) / dt
representa a taxa na qual o desempenho melhora . Se M é o nível máximo de
desempenho do aprendiz e k é uma constante positiva , podemos considerar a
equação diferencial : dD( t ) / dt = k (M – D) como um modelo razoável para a
aprendizagem . Determinar: a) uma expressão para D(t) ; b) qual o limite desta
expressão. Resp. : D(t) = M + C ; b ) D = M
“Embora sozinho , continue a caminhada!
Se todos o abandonarem , prossiga sua jornada.
Se as trevas crescerem em seu redor , mais uma razão,
para que você mantenha acesa a pequenina chama de fé.
Não deixe que sua luz se apague , para que você mesmo
não fique em trevas.
Ilumine , com sua luz , as trevas que o circundam”.
C.TORRES PASTORINO
Lista de Exercícios N°14 /2012 CDI 2 Mai/2012
Turmas : 2BEEN / 2BEPN /2BERN / 2CEMN Prof. : Takahashi
Gráfico de Pareto
É uma técnica utilizada para selecionar prioridades (ou a mais importante) quando
está diante de um grande número de problemas.
O Gráfico de Pareto é também conhecido como : Princípio de Pareto , Análise de
Pareto , Regra dos 80 / 20 , ou explicando melhor , 80% das dificuldades (efeitos)
são produzidas por 20 % de causas . Portanto , basta solucionar poucas causas
significativas (20 %) para resolver a maioria dos problemas (80%). Ou resumindo :
20 % das Causas Significativas (Vitais) 80 % dos Efeitos
80 % das Causas Insignificativas (Triviais) 20 % dos Efeitos
1)Resolver a equação de Bernoulli (fazendo a substituição : z = e utilizando o
Fator Integrante) .
a)
Resp. : y(
b) 2xy’ – y =
Resp. :
c) 2xy
- Resp. :
2)Resolver os exercícios acima utilizando a substituição : y = uv
“Quando te encontrares numa situação angustiosa ,
em que tudo pareça conjurar-se contra ti ,
de tal modo que julgues que não poderás
aguentar-te nem mais um minuto ,
NÃO TE RENDAS...
porque será aquele o momento preciso
em que começará o refluxo da maré” .
HENRIQUETA B. STORN
Lista de Exercícios N°15 / 2012 CDI 2 Mai/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. : Takahashi
Representação Gráfica do Gráfico de Pareto
Problemas
Maior Problema Identificado o que causa Maior
Problema no Gráfico de Pareto,
lançar mão da outra “ferramenta”:
Diagrama de Causa e Efeito
Menor Problema
Fatores que causam problemas
1)Determinar se a função dada é homogênea e especificar o grau de homogeneidade:
a) f(x , y) = ( ) ( ) Resp. : Homogênea de grau 2
b) f(x , y) = ℓn ℓny Resp. : Homogênea de grau zero
c) f(x , y) = Resp. : Não é homogênea
2)Resolver a equação diferencial homogênea:
a) 2 (
) Resp. : ( )
b)
(
)ℓn(
) Resp. : y = x
c) ( ) ( ) Resp. : ( )
3)Resolver a equação diferencial homogênea satisfazendo a condição inicial indicada:
xy’ = y + x ; y(1) = 1 Resp. : ℓn x =
“Devemos ter o espírito de luta aliado ao de iniciativa,
assim como o de resignação,aliado ao de renovação;
a fim de melhor nos adaptarmos às circunstâncias
e venceremos as dificuldades que a cada passo
se nos deparam na vida”.
DÉCIO VALENTE
1° 2° 3°
4°
Lista de Exercícios N°16 / 2012 CDI 2 Mai/2012.
Turmas : 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof. Takahashi
Diagrama de Causa e Efeito
O Diagrama de Causa e Efeito também conhecido como Diagrama de Ishikawa ,
Diagrama de Espinha de Peixe (“ Fish Diagram ”) , Diagrama 4M (inicialmente) e
atualmente Diagrama 5M ou 6M ou 7M. É uma técnica utilizada para ORGANIZAR
o RACIOCÍNIO , permitindo assim , determinar quais são as causas que provocam
o EFEITO indesejado ou insatisfatório.
EXEMPLO: Ter Desempenho Insatisfatório numa determinada disciplina (dentre as
várias disciplinas que estão cursando) , ou ter Desempenho Indesejado num tópico
ou tema de uma determinada disciplina.
1)Calcular as integrais duplas:
a) I = ∫ ∫
Resp. : I = 2 + ( )
b) I = ∫ ∫
Resp. : I = e – 2
c) I = ∫ ∫
Resp. : I = e – 1
d) I = ∫ ∫
Resp. : I =
(
)
e) I = 2 ∫ ∫ √ ( )
Resp.: I = 9/2
f) I = ∫ ∫ ( )
Resp. : I =
( )
2)Colocar os limites (extremos) de integração, em uma ou outra ordem , na integral
dupla I = ∬ ( )
, para os campos indicados:
a)D é a região triangular de vértices : O(0 , 0) ; A(1 , 1) e B(2 , 0) .
Resp.: I = ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
b)D é a região do 1°.Quadrante limitada pelas retas: y = x , y = 2x , x = 1 e x = 2.
Resp.: I = ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
“Uma pessoa de fé não sucumbe
quando as dificuldades se apresentam ...
Não desespera quando se acha em perturbação ...
Por mais alcantilado e negro que pareça seu caminho,
olha para a frente à procura de um horizonte mais claro,
vê um destino de descanso e luz mais adiante”.
JAMES ALLEN
Lista de Exercícios Nº17 / 2012 CDI 2 Jun/2012
Turmas: 2BEEN / 2BEPN / 2BERN / 2CEMN Prof.:Takahashi
1)Inverter a ordem de integração na integral dupla: a) I = ∫ ∫ ( )
√
Resp.: I = ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
√
b)I = ∫ ∫ ( )
Resp.: I = ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
2)Utilizando a integral dupla , calcular a ÁREA da região limitada:
a)pela reta y = x + 2 e pela curva x = - Resp. : S = 9/2
b)pela curva y = e as retas y = 0 , x = 0 e x = ℓn2 Resp .: S = 1
c)pela reta y = 2x e pela curva Resp. : S = 1/3
3)Calcular as integrais duplas (Sugestão : Utilizar coordenadas polares):
a)I = ∫ ∫ ( √
) Resp.: I = ( )
b)I = ∫ ∫( )
( √ )
√
Resp.: I = (1 - ℓn2)
c)I = ∬
( ) , onde D é a região limitada por : e
, com 0 < a < b. Resp.: I = ( )
Gráfico de Pareto Diagrama de Causa e Efeito
Problemas
Fatores que causam
problemas
X X X X
Causa 1 Causa 2 E
f
e
i
t
o
Causa 3 Causa 4
“ O ser humano ao nascer, já traz consigo a capacidade
infinita de realizar com êxito , qualquer tarefa ;
bastando para isso pensar , decidir e agir com
auto-confiança.”
JURANDIR ALÉCIO