O clculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular importante para ajudar aO clculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular importante para ajudar asolucionar uma srie problemas, por exemplo, a computao grfica, na resoluo deproblemas de posicionamento de juntas articuladas e nas mesmas proposiesalgbricas j citadas no tpico de determinantesalgbricas j citadas no tpico de determinantes.

Podemos utilizar o clculo do determinante para nos auxiliar a encontrar a inversa deuma matriz, como veremos seguir.

Caractersticas das matrizes inversas

Dada uma matriz quadrada A se existir outra matriz B da mesma ordem queDada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que verifique:

A B = B A = I( I a matriz identidade )( I a matriz identidade ).

Dizemos que B a matriz inversa de A e representamos por A-1. Portanto:A A1 = (A1)A = IA A = (A )A = I

Algumas propriedades das matrizes inversas(A1)1 = A(

(AB)1 = B1 A1 (A inversa da multiplicao de duas matrizes inversveis A e B = multiplicao das inversas de A e B

(AT)1 = (A1)T

Nem toda matriz quadrada tem inversaNem toda matriz quadrada tem inversa.

Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A inversvel ou regular ou no-singularno singular.

Caso contrrio, dizemos que a matriz A singular. Podemos aplicar a regra 2 do clculo do determinante de uma matriz (se det(A)0, ento A inversvel).clculo do determinante de uma matriz (se det(A)0, ento A inversvel).

Quando que uma matriz A tem inversa?

Uma matriz A de ordem mxn (m linhas e n colunas de mesma quantidade) tem inversa quando seu determinante diferente de zero ou tambm quando seu posto m, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com a quantidade de linhas da matriz quadrada A.

*** CLCULO DA MATRIZ INVERSA NO SCILAB ***

No SciLab, temos duas maneiras diretas de encontrar a inversa de uma matriz ,quadrada:1. Utilizando a funo inv(matriz). Ex: inv(A) retorna o inverso da matriz A2. Elevando a matriz original por -1. Ex: A^-1.Outra maneira (indireta) pode ser feita pela funo rref(), utilizada no mtodo das matrizes escalonadas, estudado no tpico Sistemas de Equaes Lineares. Mais frente veremos como aplicar tal mtodo na resoluo das matrizes inversas.

Exerccios no SciLab:Dada as matrizes A e B: 5312

a) Verifique pelo determinante que as matriz so no singulares (possuem inversa)

=

=

1253

3012

BA

a) Verifique, pelo determinante, que as matriz so no-singulares (possuem inversa).b) Encontre a inversa das matrizes, pelas formas vistas nos tpicos 1 e 2 deste slide.c) Prove que:

A A1 = (A1)A = I. Faa o mesmo para a matriz B(A1)1 = A Faa o mesmo para a matriz B(A ) A . Faa o mesmo para a matriz B (AB)1 = B1 A1

(AT)1 = (A1)T . Faa o mesmo para a matriz B

Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Jordan1: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]escalonada E [ A|I ]2: Aplica-se, agora, Gauss. Se necessrio, continuamos aplicando Jordan. Ao final, a poro da matriz E, equivalente matriz A deve gerar a matriz identidade (I) e a poro que antes era a matriz I ser, ento, a matriz inversa de A. Caso isso no tenha que antes era a matriz I ser, ento, a matriz inversa de A. Caso isso no tenha ocorrido, implica dizer que a matriz A singular e, consequentemente, no possui inversa.

DICA: Se achar mais fcil, verifique primeiro o determinante da matriz A. Se det(A)0, ento a matriz A inversvel.

53Exemplo 1: Dada a matriz A:Encontre, se existir a inversa desta matriz.

= 1253

A

Resoluo: Como a matriz A no-singular (det(A) = -13), prosseguimos o clculo de sua inversa:

Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Jordan1: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]:escalonada E [ A|I ]:

= 1012

0153E

2: Aplica-se, agora, Gauss:

0153

E11

lll

=> > 2033,067,11 lllE

=1012

E31

1ll => =>

= 122 21012 lllE

>033,067,11 2llE GfiE

033,067,11

como ainda no zeramos todos os elementos acima dos pivs, continuamos com

=> =

34,410122

2lE GaussfimE =

23,015,010

Jordan:

=> 211 67,1 lll JordanfimE =38,008,001> 211 67,1 lll JordanfimE 23,015,010

Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-JordanNotamos que a poro de E, antes ocupada pela matriz A, gera a matriz identidade (I) e a poro que antes era a matriz I ento a matriz inversa de A:e a poro que antes era a matriz I , ento, a matriz inversa de A:

= 23,015,010

38,008,001E

Ento:

38,008,01A

=23,015,0

1A

Se quisermos comprovar, basta aplicarmos as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente.

Exemplo 2: Dada a matriz A:Exemplo 2: Dada a matriz A:

= 212321

A

Encontre, se existir a inversa desta matriz.

210

Encontre, se existir a inversa desta matriz.

Resoluo: Como a matriz A no-singular (det(A) = -2), prosseguimos o clculo de sua inversa:1: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]:

010212001321

E

=100210010212E

2: Aplica-se, agora, Gauss:

=>

= 001321010212

1llE=>

= 010212001321

llE =>

=2

100210001321 1lE=>

= 21100210010212 llE

Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Jordan (continuao)Continuao do passo 2:

=>

= 122

10021000132105,0015,01

lllE

=

10021005,0125,1005,0015,01

E5,12

2

22

ll

ll

=> 100210 100210 ,

> 033067033110

05,0015,01lllE >

03306703311005,0015,01

3llE=>

= 233100210033,067,033,110 lllE =>

=67,0

133,067,067,000033,067,033,110 33lE

05,0015,01GaussfimE

=

5,15,01100033,067,033,110

,,

como ainda no zeramos todos os elementos acima dos pivs, continuamos com Jordan:

05,0015,01

331 lll 5,10105,01

=5,15,01100033,067,033,110E

311

322 33,1lll

lll

=> =>

= 211 5,05,15,01100212010 lllE

Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo mtodo de Gauss-Jordan

5,05,00001

JordanfimE

=5,15,01100212010

Ento:

5,05,00

=5,15,012121A

Aplicar as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente, para comprovao.

OBS: Para o clculo da inversa de matrizes de ordem superior a 3x3, o clculo dever ser feito pelo SciLab, visto que o esforo algbrico mais complexo de ser feito manualmente. Para encontrar, no SciLab, a inversa de qualquer matriz quadrada, b t tili f i ( t i ) A^ 1 f(E) j i t t i t Nbasta utilizar a funo inv(matriz), A^-1 ou rref(E), j vistas anteriormente. Na multiplicao de A por A-1, o SciLab poder dar um valor aproximado de 0 ou 1, o que deveremos entender tratar-se da matriz identidade (I).

FIM DA PARTE 5 FAZER LISTA DE EXERCCIOS 5FIM DA PARTE 5 FAZER LISTA DE EXERCCIOS 5 (PRXIMO SLIDE)

Utilizar o SciLab para conferir as respostasUtilizar o SciLab para conferir as respostas

1 Baseado nos itens da questo de 1 da lista de exerccios 4, calcule a inversa das matrizes no-singulares.

2 Baseado nas matrizes da questo 3 da lista de exerccios 4, calcule a inversa das matrizes no-singulares

3 Baseado na questo 2, utilize o SCILab para provar que:

C C1 = (C1)C = I. (D1)1 = D . (AC)1 = C1 A1

(DT)1 = (D1)T .

UNIDADE IIntroduo Matrizes

FIM