Introdução aos Derivativos ExóticosCentro Educacional BM&FBOVESPAJosé Augusto Carvalho FilhoJulho 2012

Derivativos:

Listados versus OTC

Racional de um produto Exótico

O problema de Apreçamento

Opções vanila em apenas 1 minuto

Opções Exóticas

Derivativos:Listados versusOTC

Particularidades do Mercado de Swaps

Fonte: Série Introdutória Mercado de Derivativos. Disponível em:http://www.bmfbovespa.com.br/pt-br/educacional/download/serie-introdutoria_mercados-derivativos.pdf

O mercado costuma dividir os

produtos financeiros em duas

categorias:

Produtos Listados

Produtos de OTC (Over-the-

counter) ou Balcão

Produtos Listados - Produtos padronizados

negociados em Bolsa de Valores.

Características Típicas:

• Modelagem relativamente consensual

• Apreçamento não complexo

• Preços e Volatilidades implícitas cotadas por bolsas,

corretoras e banco de investimentos.

Produtos OTC – Por definição, produtos não

padronizados negociados em sistemas de de registro.

Características Típicas:

• Produtos cuja a modelagem não é, necessariamente,

consensual.

• Apreçamento complexo.

• Preços e Volatilidades implícitas não informadas por bolsas,

corretoras e banco de investimentos.

Produtos OTC – Por definição, produtos não

padronizados negociados em sistemas de de registro.Sistemas de Registro:

Brazil

• BM&FBVOESPA

• CETIP

Exterior

• DTCC

• LCH.Clearnet

• Ice Clearing – The Clearing Corporation

fonte: http://www.bis.org/statistics/derstats.htm

(I)Racional de um Produto Exótico

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Exercício antecipado

• Dependência de Caminho Fraca

• Dependência de Caminho Forte

• Dependência Temporal

• Dimensionalidade

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Exercício antecipado

Ex: Opções Americanas , Títulos Conversíveis, etc.

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Dependência de Caminho Fraca

Ex: Opções com Barreira (Knock-in, Knock-out)

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Dependência de Caminho Forte

Ex: Opções Asiáticas

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Dependência Temporal

Ex: Opções das Bermudas

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• Dimensionalidade

Ex: Opções de mais de um ativo-objeto

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos

• OrdemEx: • Opção de Compra de uma opção de venda• Opção de Compra de Ação• Copção de Venda de Futuro de ççnao

Problema do Apreçamento

Se não houvesse risco no preço de um ativo, poderíamos escrever que:

,

cuja solução é uma exponencial.

Modelando o Preço

Se no caso de um ativo de risco, como podemos escrever o modelo de preço?

Modelando o Preço

A parte puramente

determinística do

retorno é

semelhante ao

rendimento da

conta bancária.

A componente

estocástica do

retorno é

representada por

um movimento

browniano

Variação do Preço possui duas componentes: determinística e aleatória.

Portanto, quando se fala de ativo de risco, o modelo de preço padrão adotado é o seguinte:

onde:µ = taxa de retorno esperada,σ = volatilidade.

Modelando o Preço

Considere a ação da Petrobrás com volatilidade de 30% (a.a.) e retorno esperado de 15% a.a.

Como poderíamos representar o processo estocástico do preço da Petrobrás ?

Modelando o PreçoExemplo

Considere a ação da Petrobrás com volatilidade de 30% (a.a.) e retorno esperado de 15% a.a.

O processo estocástico do preço dessa ação seria modelado da seguinte forma:

Fazendo a ‘tradução’ para o mundo discreto, temos:

,

onde z é uma variável aleatória contínua distribuída de acordo com uma normal de média ZERO e desvio UM.

Modelando o PreçoExemplo

Atenção para a a unidade de tempo.

Considerando o valor inicial da ação como sendo 100 e o intervalo de tempo igual a 1 dia, temos Δt=1/252, tem-se:

Lembrando: z é distribuída de acordo com uma normal de média ZERO e desvio UM.

Modelando o PreçoExemplo

Opções vanila em apenas 1 minuto

OpçãoRepresentando os Payoffs

OpçãoComprado (Longo) em Call

OpçãoComprado (Long) em Call

OpçãoVendido (Short) em Call

OpçãoVendido (Short) em Call

OpçãoComprado (Long) em Put

OpçãoComprado (Long) em Put

OpçãoVendido (Short) em Put

OpçãoVendido (Short) em Put

OpçãoRepresentando os Payoffs

Comprado(long)

Vendido(short)

Call Put

Opções Exóticas

• Opções Americanas Exóticas

• Opção a Termo

• Opção de Opção (Compound Option)

• Opção Com Barreira

• Opção Asiática

• Opção de Escolha

Opções Exóticas Básicas

Normalmente tais opções possuem algumas características as quais

transferem o termo Exótico:

• Exercício antecipado restrito a algumas datas específicas (Opções das

Bermudas)

• Exercício antecipado permitido em apenas uma parte da vigência do

contrato de opção. Nesse caso, o período proibido é chamado de “Lock

out”.

• O preço de exercício pode mudar ao longo da vigência do contrato.

Apreçamento: Árvore binomial.

Opções Americanas Exóticas

• Opções cujo início da vigência inicia-se numa data futura T.

• Opções Executivas podem ser entendidas como opções a termo.

Apreçamento:

Suponha opção de compra a termo com início em T1 e vencimento em T2.

Essa opção será sempre iniciada “no dinheiro”. O valor do ativo-objeto é S0 e

S1 nas datas T0 e T1 , respectivamente e c é o prêmio da opção de duração

(T2 –T1) e vencimento em T2.

Opções a Termo

Exemplo: https://www.cetip.com.br/informacao_tecnica/regulamento_e_manuais/manuais_de_operacoes/Swap/Cetip_WebHelp/Exercicio_Opcao.htm

Calcule o preço de uma opção a termo de ação da Petrobrás com início em 2

meses e vencimento em 10 meses sabendo-se que, o preço da opção à vista

com mesmo prazo (8 meses) é de R$ 2,30 e a taxa de dividendos da ação é

de 3,5% a.a (continuamente composta).

Opções a TermoResolução

Calcule o preço de uma opção a termo de ação da Petrobrás com início em 2

meses e vencimento em 10 meses sabendo-se que, o preço da opção à vista

com mesmo prazo (8 meses) é de R$ 2,30 e a taxa de dividendos da ação é

de 3,5% a.a. Se a taxa informada não é continuamente composta basta usar

a capitaização composta.

Opções a TermoResolução:

• Possíveis combinações:

• Opção de Compra sobre opção de Compra

• Opção de Compra sobre opção de Venda

• Opção de Venda sobre opção de Compra

• Opção de Venda sobre opção de Venda

• Possuem 2 preços de exercícios e 2 vencimentos

• Preço da opção extremante baixo quando comparado com a opção

convencional.

Opções sobre Opção compound option

Apreçamento:

Suponha uma call sobre call cujo primeiro e segundo vencimento é T1 e T2, e

preços de exercício, K1 e K2, respectivamente. No primeiro vencimento, o titular

tem o direito de pagar K1 pela opção. Caso exerça tal direito, o titular passa a ter

uma opção sobre um ativo-objeto que vence em T2 cujo preço de exercício é K2.

Opções sobre Opção compound option

onde:

• t0 = data de cálculo do preço da opção sobre opção,

• S0 = preço do ativo-objeto na data de cálculo do preço da opção sobre opção,

• r = taxa de juros livre de risco,

• q = taxa de dividendos do ativo-objeto (no caso de ação),

• σ = volatilidade do ativo-objeto.

• K1 = preço de exercício (1º strike) da opção sobre opção,

• K2 = preço de exercício (2º strike) da opção,

• T1 = vencimento do (1º vencimento) da opção sobre opção,

• T2 = vencimento do (2º vencimento) da opção .

Opções sobre Opção compound option

onde:

• M(a,b,c) = distribuição acumulada bivariada normal com coeficiente de

correlação “c”. Para calcular essa distribuição bivariada, utilize a planilha

<bivar.xls> disponibilizada na biblioteca eletrônica.

• S* = Preço do ativo-objeto na data T1 tal que o preço da opção na data T1 seja

igual a K1.

Seguindo esse racional, tem-se ainda as expressões para as outras 3

combinações de opções sobre opções:

Put sobre uma Call

Call sobre uma Put

Put sobre uma Put

Seja uma Call sobre Call de ação, que não paga dividendos, com preços de

exercício R$3 e R$ 25 e vencimentos em 2 e 6 meses, respectivamente. O preço

do ativo-objeto é R$ 22. Assumindo que a volatilidade é de 20% e a taxa de juros

livre de risco é 10% a.a., calcule o preço teórico dessa opção.

Opções sobre Opção Ex:

Seja uma Call sobre Call de ação, que não paga dividendos, com preços de

exercício R$3 e R$ 25 e vencimentos em 2 e 6 meses, respectivamente. O preço

do ativo-objeto é R$ 22. Assumindo que a volatilidade é de 20% e a taxa de juros

livre de risco é 10% a.a., calcule o preço teórico dessa opção.

Opções sobre Opção Resolução:

InputOpção de Compra sobre Opção de Compra1a data Exercício T1 (meses) 21o Preço Exercício K1 R$3.00 Ativo-Objeto (Call) 2a data Exercício T2 (meses) 62o Preço Exercício K2 R$25.00 Preço Ativo-Objeto em t0 22Vol 20%r(a.a.) 10%q 0%

Seja uma Call sobre Call de ação, que não paga dividendos, com preços de

exercício R$3 e R$ 25 e vencimentos em 2 e 6 meses, respectivamente. O preço

do ativo-objeto é R$ 22. Assumindo que a volatilidade é de 20% e a taxa de juros

livre de risco é 10% a.a., calcule o preço teórico dessa opção.

Opções sobre Opção Resolução:

• Opção cujo payoff depende se o preço do ativo-objeto atinge um

determinado nível durante um certo período de tempo.

Classificação quanto a vigência:• Knock-in - Opção começa a existir quando o preço do ativo-objeto atinge

atinge a barreira.• Knock-out – Opção deixa de existir quando o preço do ativo-objeto

atinge atinge a barreira.

Classificação quanto a barreira:• Up – Preço atinge a barreira por baixo.• Down – Preço atinge a barreira por cima.

Portanto, há 8 combinações de opções com barreira, 4 Combinações para cada tipo de opção (Call e Put).

Opção com Barreira

Call Down-and-in (Cdi): • É um tipo de opção com Knock-in, ou seja, uma opção que passa a existir

se o preço atinge a barreira (H).Se H ≤K

Call Down-and-out (Cdo): • É um tipo de opção com Knock-Out, ou seja, uma opção que deixa de

existir se o preço atinge a barreira (H), que é menor do que o preço do ativo-objeto S0.

Opção com BarreiraApreçamento

Call Down-and-out (Cdo):

Se H ≥K

Call Down-and-in (Cdi):

Opção com BarreiraApreçamento

Se H ≤KCall Up-and-in (Cui): • É um tipo de opção com Knock-in, ou seja, uma opção que deixa de existir

se o preço atinge a barreira (H), que é maior do que o preço do ativo-objeto S0.

Call Up-and-Out (Cuo): • É um tipo de opção com Knock-Out, ou seja, uma opção que deixa de

existir se o preço atinge a barreira (H).

Opção com BarreiraApreçamento

Se H ≥KCall Up-and-in (Cui):

Call Up-and-Out (Cuo):

Opção com BarreiraApreçamento

• Opção cujo payoff depende da média de preço do ativo-objeto durante

pelo menos alguma parte da vigência da opção.

Payoff Típico

• Payoff da Call = Max(0, Smed-K)

• Payoff da Put = Max(0, K-Smed)

Características• Mais baratas que as opções convencionais.• Seu uso pode evitar que o preço do ativo não seja facilmente

manipulado próximo ao vencimento da opção.• São opções altamente dependentes do “caminho” do preço

do ativo.• Fórmulas analíticas são aproximadas.• Alternativa é abordar o preço através de simulação

Monte Carlo.

Opção Asiática

• Opção cujo titular, após um determinado período, pode escolher se o

derivativo é uma call ou put.

Apreçamento:

Na data de escolha T1 tem-se que o valor da opção é

que consiste em uma carteira de opções com:

• 1 opção de Compra com Strike K e vencimento T2,

• e-q(T2-T1) opções de Venda com Strike Ke-(r-q)(T2-T1) e

vencimento T1.

Opção de Escolha (as you like option)

Put Call

• Opção cujo titular, após um determinado período, pode escolher se o

derivativo é uma call ou put.

Apreçamento:

Na data de escolha T1 tem-se que o valor da opção é

que consiste em uma carteira de opções com:

• 1 opção de Compra com Strike K e vencimento T2,

• e-q(T2-T1) opções de Venda com Strike Ke-(r-q)(T2-T1) e

vencimento T1.Esse tipo de opção é interessante para um investidor fazer um hedge de um evento que pode não acontecer. Investidores aguardam uma decisão do senado que poderá afetar a cotação do dólar, por exemplo.

Opção de Escolha Put Call

Um investidor deseja adquirir uma opção de escolha da Vale do Rio Doce

cujo strike da Put e Call é igual a R$ 57. Sabendo-se que o preço da ação é R$

52, taxa de juros livre de risco 10% a.a. e volatilidade e 20%, calcule o valor

da opção vencimento em 4 meses cuja data de escolhe ocorre aos 2 meses,

considerando a taxa de dividendos igual a 2% a.a.

Opção de Escolha Ex:

Put Call

Um investidor deseja adquirir uma opção de escolha da Vale do Rio Doce cujo strike

da Put e Call é igual a R$ 57. Sabendo-se que o preço da ação é R$ 52, taxa de juros

livre de risco 10% a.a. e volatilidade e 20%, calcule o valor da opção vencimento em 4

meses cuja data de escolhe ocorre aos 2 meses, considerando a taxa de dividendos

igual a 2% a.a.

Nesse caso, basta aplicar o Black-Scholer convencional para avaliar o preço dessa

opção.

Opção de Escolha Resolução:

Put Call

1 unidade de Call com Strike R$57 e Vencimento em 4

meses

0,96 unidade de Put com Strike R$56,25 e

Vencimento em 2 meses

Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives, 6th Edition.

Wilmott, Paul, Quantitative Finance, 2nd Edition.

Carvalho Filho, José Augusto, Modelo Exponencial para a

Distribuição de Retornos do IBOVESPA.

Bank of International Settlements (BIS), http://www.bis.org

Bibliografia