Post on 27-Dec-2018
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEARProf.ª Chiara Maria S. L. Dias
3ª fase
Licenciatura em Matemática
PLANO DE ENSINO:
1. EMENTA:
Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Espaços Vetoriais
2. CARGA HORÁRIA:
60 h/a
PLANO DE ENSINO
3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. Matrizes
1.1 Matrizes
1.1.1 Definição de Matriz
1.1.2 Matrizes Usuais
1.2 Operações com Matrizes
1.2.1 Adição
1.2.2 Multiplicação de um Número
Real por uma Matriz
1.2.3 Multiplicação de Matrizes
PLANO DE ENSINO:
1.3.1 Matriz Transposta
1.3.2 Matriz Simétrica
1.3.3 Matriz Inversa
2. Sistemas de Equações Lineares:
2.1 Equações Lineares
2.2 Sistemas Lineares e Solubilidade
2.3 Escalonamento
2.4 Sistemas Lineares Homogêneos
PLANO DE ENSINO
2.5 Resultados sobre Invertibilidade e Resolução de Sistemas
2.6 Discussão de um Sistema Linear
3. Determinantes:
3.1 A Função Determinantes
3.2 Propriedades
3.3 Regra de Sarrus e Laplace
3.4. Regra de Cramer
PLANO DE ENSINO
4. ESPAÇOS VETORIAIS:
4.1 Espaços e Subespaços Vetoriais
4.2 Combinação Linear
4.3 Dependência e Independência Linear
4.4 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial
PLANO DE ENSINO
4. OBJETIVOS:
4.1 RECONHECER OS CONCEITOS CLÁSSICOS EM ÁLGEBRA LINEAR COMO, BEMCOMO, ENTENDER SUAS PROPRIEDADES.
4.2 PROPORCIONAR SUBSÍDIOS PARA O PROSSEGUIMENTO NOS ESTUDOSRELACIONADOS AO CURSO.
PLANO DE ENSINO
5. METODOLOGIA:
OS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS SERÃO ABORDADOS POR MEIO DE
AULAS EXPOSITIVAS E DIALOGADAS COM UTILIZAÇÃO DO QUADRO E PROJETOR.
SERÃO REALIZADAS RESOLUÇÕES DE LISTAS DE EXERCÍCIOS.
PLANO DE ENSINO 5. PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO:
SERÃO REALIZADAS DUAS AVALIAÇÕES ESCRITAS E UMA ATIVIDADE. SENDO ASSIM,
TEREMOS 03 NOTAS E O RESULTADO SEMESTRAL DO ALUNO SERÁ A MÉDIA ARITMÉTICA
DESTAS TRÊS NOTAS.
1ª NOTA: AVALIAÇÃO ESCRITA NO DIA 26 DE ABRIL DE 2018
2ª NOTA: AVALIAÇÃO ESCRITA NO DIA 14 DE JUNHO DE 2018
3ª NOTA: ATIVIDADE QUE CONSISTE EM AO FINAL DE CADA AULA (ENCONTRO), O
ALUNO DEVERÁ ENTREGAR UM EXERCÍCIO QUE SERÁ SOLICITADO. CADA EXERCÍCIO POR
AULA VALERÁ 1.0 PONTO.
PLANO DE ENSINO
6. BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
- ANTON, H. e RORRES, C., Álgebra Linear com Aplicações / Anton Howard e ChisRorres; trad. Claus Ivo Doering. - 8ª Edição – Porto Alegre: Bookman, 2001.
-BOLDRINI, J. L. [Et al]. Álgebra Linear. 3. Ed.. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1980.
- CABRAL, M. A. P. e GOLDFELD, P. Curso de Álgebra Linear: Fundamentos eAplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro, 2012;
- STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. Ed. McGraw-Hill. São Paulo,1987.
MATRIZES
Definição: Uma matriz do tipo 𝑚 × 𝑛 com coeficientes reais é toda tabelaretangular constituída por números reais distribuídos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas.
Para identificar a posição ocupada por um número real em uma matriz, podemosindicar cada um de seus elementos por meio de uma representação genérica, comosegue:
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
21
22221
11211
MATRIZESDeste modo, podemos denotar a matriz 𝐴 por (𝑎𝑖𝑗) , o que
significa que o termo 𝑎𝑖𝑗 é uma representação geral de cada
elemento que constitui a matriz 𝐴, onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Isto nos diz que 𝑎𝑖𝑗 representa o elemento de 𝐴 que está
localizado na 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna.
Exemplo: 𝐴 =10
Τ3 4
23
−1é uma matriz do tipo 2x3 (lê-se 2
por 3)
Neste exemplo, temos que:
𝑎11 = 1, 𝑎12 = Τ3 4 , 𝑎13 = 3, 𝑎21 = 0, 𝑎22 = 2 e 𝑎23 = −1.
ATIVIDADE 1
Determine a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) do tipo 3x2, na qual
𝑏𝑖𝑗 = 2 + 𝑖 + 𝑗.
ATIVIDADE 2
Apresente a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4×3, em que:
𝑎𝑖𝑗 = ቊ𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
ATIVIDADE 3 O esquema abaixo apresenta três torres repetidoras de telefonia celular que
permitem a comunicação entre as regiões R1, R2 e R3. O sentido de cada setaindica que a torre de uma região transmite sinal para outra.
Apresente 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 a matriz que descreve as transmissões de sinais
apresentadas no esquema, sendo que:
𝑎𝑖𝑗 = 1 significa que há transmissão de sinal da torre repetidora da
região i para a torre repetidora da região j;
𝑎𝑖𝑗 = 0 significa que não há transmissão de sinal da torre repetidora
da região i para a torre repetidora da região j.
Considere que uma torre repetidora não transmite sinal para ela
mesma.
ATIVIDADE 4
Em um final de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeramcompras em uma padaria, bem coo o período (manhã, tarde ou noite) da
visita. Na matriz a seguir, o elemento 𝑎𝑖𝑗 indica o número de fregueses que
foram à padaria no dia 𝑖 e no período 𝑗:
64 90 4282 55 38
ATIVIDADE 5
NOTAÇÃO
MATRIZ QUADRADA
Uma matriz é chamada Matriz Quadrada quando 𝑚 = 𝑛. Neste
caso, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑚.
Exemplo:
205
625
021
C
MATRIZ IDENTIDADEChamamos de Matriz Identidade de ordem 𝑛 a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) cujos elementos são
dados da seguinte maneira:
𝑎𝑖𝑗 = ቊ1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
Exemplos:
MATRIZ NULA
Chamamos de Matriz Nula a toda matriz cujos coeficientes são todos iguais a zero.
Exemplos:
MATRIZ DIAGONAL
É todo matriz quadrada (𝑚 = 𝑛) onde 𝑎𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 ≠ 𝑗,isto é, os elementos que não estão na diagonal principal sãonulos.
Exemplos:
MATRIZ COLUNA
É toda matriz que possui uma única coluna (𝑛 = 1).
Exemplos:
MATRIZ LINHA
É toda matriz que possui uma única linha (𝑚 = 1).
Exemplo:
TRAÇO DE UMA MATRIZ
MATRIZ TRANSPOSTA
MATRIZ SIMÉTRICA E ANTI-SIMÉTRICA
OPERAÇÕES MATRICIAIS
- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO;
- MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR;
- PRODUTO DE MATRIZES
1. ADIÇÃO (OU SOMA) DE MATRIZES
1. ADIÇÃO (OU SOMA) DE MATRIZES
2. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
2. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
3. PRODUTO DE MATRIZES