Post on 07-Aug-2020
II-MapasBidimensionais
Referência:Chaos,K.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke;Springer(1997).
1-NovasCaracterísMcasDinâmicas
• Alémdepontosfixos,hápontosdeselas.• Pontodesela:contraçãoemumadireçãoeexpansãona
outra.
• MapadePoincarébidimensionaldeumaórbitatridimensional.
(Alligood et al. Chaos...)
Atratores, Repulsores e Pontos de Sela
2-MapadeHénon
Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa (xn+1, yn+1) = f (xn, yn ) = (a - x2 + b y, x)a, b : parâmetros de controle
Para a = 1,28 e b = -0,3 e (x0, y0 ) = (0, 0),trajetória converge para órbita com período 2
Os pontos iniciais convergem para essa orbita ou para x →∞
Bacias de atração variam com a, bPara a = 1,28 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é contínuaPara a = 1,40 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é fractal
Mapa de Hénon b = -0.3
(Alligood et al. Chaos...)
a = 1.28 a= 1.4
{ }
)p(N)v(f lim )p(Nv que tal0 serepulsorum ép
p)v(f lim )p(Nv que tal0 seatratorum ép
:Definiçõesp )p( f fixo, ponto um p,Rem mapa umf Seja
εp-v:Rv:)p(N é çãA vizinhan
.yxu é R em y) (x, u
vetor um de o)(euclidian ocompriment O : Definição
εk
kε
k
kε
2
2ε
222
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!
!!!!
!!
⊄⇒⊂>∃
=⇒⊂>∃
=
<∈
+==
∞→
∞→
ε
ε
4 - Definições de Atratores e Repulsores
Alligood Chaos
Atrator e Ponto de Sela no Mapa de Hénon
a = 0 b = 0.4
Bacias de atração para o Mapa de Hénon
Alligood Chaos
Trator Caótico para o Mapa de Hénon
Alligood Chaos
5-MapasLineares
A xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
a11 a12
a21 a22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
a11 x + a12 ya21 x + a22 y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
!V≡
xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
Definição: A é linear se A(a!v + b !w) = a A (!v) +b A !w( )
λ é um auto-valor da matriz A se (para !v≠ !0)
A !v=λ !v
!vn+1=A !vn ⇒!vn+1=λ
n+1 !v0
vetor-auto10
evalor-auto éb10
bb0
10
b 00 a
vetor-auto01
evalor-auto éa01
a00
1b 00 a
b 00 a
A matriz a Para
Exemplo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
a
y. embe x direção naa eixos-semi com elípse uma em
mapeados são unitário raio de disco um em iniciais Pontos
10
bb0
10
b00a
01
a0a
01
b00a
b 00a
A iteraçõesn Para
nn
nnn
nn
n
n
n
n
nn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Expansão e Contração no Mapeamento de Um Disco de Pontos Iniciais
y direção na atração1b
xdireção na repulsão1a
bea eixos-semi com elípse uma se-torná
0), (0,Ppontodo)0,0(N ça vizinhanna
e., i. , raio de disco Um
nn
⇒<
⇒>
εε
ε
ε
!
Alligood Chaos
)vv(A v)v(A geral, Em
25,0x4x
A;5,0x2x
A
xe
0,5002
A :Exemplo
0
0
0
02
0
0
0
0
0
0
!!
!!=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yyyy
y
Alligood Chaos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=+=
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
±±
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
θθ
θθ
θ
θθ
θ
sencoscos-sen
bar
ar
br
b-r
arA
baarctg,bar
rcosb,senra çãoTransformai
1 vetores-autobia valores-Auto
r de dilata e de gira iterado pontoabb-a
A:Exemplo
22
222
r de )(contração dilatação e de Rotaçãosenxcosx
r0x
cossensen-cos
r 0x
A0
000
θ
θ
θ
θθ
θθ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
7–MatrizJacobiana
( ) ( ) ( )
( )( ) repulsor um é p1pf
atrator um é p1pf
pfh p fh p f(p), f p fixo ponto um com dimensão, uma Em
⇒>ʹ
⇒<ʹ
ʹ+≅+
=
sela. de ponto um ép 1, quemenor outro o e 1 quemaior for valor -auto um Se :Definição
repulsor. um é p 1, que maiores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 2
atrator. um é p 1, que menores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 1
:Teorema
h)p(f Dph)p(f D)p(f)hp( f
)p(fp fixo ponto um com dimensões, duas Em
!
!!!!
!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
⋅+=⋅+≅+
=
)p(f D)p(f D)p(f D dimensões, duas Em
)(p f)(p f)p(f dimensão, uma Em
1002
1002
!!!!!!=
ʹʹ=ʹ
sela de ponto1272,0;1472,10-0 1
b -1,2
0 10,4 1,2
0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(
J
0,6)- (-0,6, fixo Ponto
atrator14,00-0 1
b -0
0 10,4 0
0 1b 0
0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(
J
0) (0, fixo Ponto0,4- be0 a x) y, b x- (a y) (x, f Hénon de Mapa :Exemplo
21
x
2y
2x
x
2y
2x
2
⇒<−=>=⇒=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂+∂=
⇒<±=⇒=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂+∂=
==+=
λλλ
λ
λλ
λ
xx
xx
y
y
Alligood Chaos
Esqema Dinâmico de um Ponto de Sela
Alligood Chaos
Órbitas Próximas de Um Ponto de Sela
atrator140.00.30 i 26.004.04.1008.012.0
4.04.1008.012.0
0 10.4 2(0.7)-
0 10.4 2(-0.1)-
JJJ
0.7) (-0.1, 0,1)- (0.7, : 2 período de Órbita0,4 b 0,43 a x)y, b x- (a y) (x, fHénon de Mapa : Exemplo
2
2
<=⇒±=⇒=−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
⇔
==+=
λλλ
λ
Alligood Chaos
Mudançã de Atratores do Mapa de Hénon
Alligood Chaos
Diagrama de Bifurcação do Mapa de Hénon
Alligood Chaos
Mudança de atratores com a, para b=0.4
VariedadesEstáveiseInstáveis
Variedade estável: conjunto dos pontos iniciais que convergem para um ponto de sela. Variedade instável: variedade estável da transformação inversa
DefiniçõesdasVariedades
0P)(f - )v(flim
que talv pontos de conjunto o é U(P),P, de instável deA varieda
0P)(f - )v(flim
que talv pontos de conjunto o é S(P), P, de estável deA varieda
n-n-
n
nn
n
→
→
∞→
∞→
!
!
!
!
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+=
21
321
2
1152
5 2-
11
5.011
2
1152
5 2-
21
e 11
vetores-auto e 3 e 0.5 valores-auto com
0) (0, em sela de ponto um tem
y)211 x 5,y2
5 (-2x y) (x, flinear mapa O : Exemplo
instável. e variedada constituem pontos Esses iteração. cada a 3fator um de
acréscimo um sofrem,21
vetor -auto do direção na linha
, x 2 y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada
estável. e variedada constituem pontos Essesiteração. cada a 0.5fator um de
decréscimo um sofrem,11
vetor -auto do direção na linha
, x y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
Alligood Chaos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
1-2
e01
:vetores-Auto
0,5- 2, : valores-Auto)int( alternado sela de Ponto
y) 0.5- y, 5 x (2 : y) (x, f com Mapa : Exemploposaddleflip
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Alligood Chaos
BaciasdeAtraçãoeAtratorCaóMconoPênduloForçado
Periódicamente
(Alligood et al. Chaos...)
Pêndulo Forçado
( )
instáveis fixos pontos 5 ainda Há
fractais. são órbitas trêsdessas bacias das fronteiras As2. período de órbitas duas e fixo ponto 1 há , 1,66 ; 0,2 c Para
. N 2 t instantes nos variáveisdas valoresosanotar e movimento de equação aintegrar vamosPortanto,
... 3, 2, 1, 0, N soluções, sãoN) 2(t e
tsensen c - :movimento de Equação
==
=
=+
+−=•••
ρ
π
πθθ
ρθθθ
t
Alligood et al. Chaos...)
Bacias de Atração de 1 Ponto Fixo e 2 Órbitas Periódicas
c = 0.2 ρ = 1.66
(Alligood et al. Chaos...)
Ampliações das Três Bacias
(Alligood et al. Chaos...)
Órbita Caótica do Pêndulo Forçado
c = 0.05 ρ = 2.5
Alligood Chaos
Alligood Chaos
ÓrbitasPlanetáriasCaóMcas
MovimentodeTrêsCorposRestrito(NumPlano)
nal.bidimensio é mapa EstePoincaré. de mapa no )x (x, pontos os são
,cte H e 0 y com o, y plano no órbita da esintersecçõ As
),,x (x, : fase de espaço no bitaÓr.
•
•
••
=>=
yy
Dois corpos pesados descrevem círculos ao redor do centro de massa. Uma partícula leve de massa m descreve a trajetória mostrada na figura (sem influenciar o movimento dos dois corpos pesados).
Método de análise introduzido por Poincaré
Trajetória de Uma Massa Leve no Sistema de Três Corpos
(Alligood et al. Chaos...)
Mapa de Poincaré Bidimensional
(Alligood et al. Chaos...)
Órbita tridimensional
CaosnoSistemaSolar
Prêmio do rei Oscar da Suécia em 1889 para trabalho sobre a estabilidade do sistema solar. Poincaré mostrou que as trajetórias de 3 corpos que se atraem (Terra, Sol e Jupiter) são sensíveis às condições iniciais se ocorrerem cruzamentos homoclínicos. Sussman, Wisdom, Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic, Science 241, 433 (1988)
Sussman,Wisdom,Numericalevidencethatthemo3on
ofPlutoischao3c,Science241,433(1988)
Integração das equações do movimento de Plutão para um intervalo de 845 milhões de anos. Computador construido para essa investigação: Digital Orrey. Em exposição no Smithsonin Institution em Washington, D.C.
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Inclinação do eixo de rotação de Marte (em relação ao plano do sistema solar)
Transições abruptas