Medidas e Erros - ft.unicamp.brlfavila/TT113EB104/medidas_erros... · 1 2 2 2 r r N i i p x r i i L...
Transcript of Medidas e Erros - ft.unicamp.brlfavila/TT113EB104/medidas_erros... · 1 2 2 2 r r N i i p x r i i L...
Tópicos
• Medidas
– Medidas e Medições
• Tipos de Medições
– Diretas.
– Indiretas.– Indiretas.
• Dados e Resultados Experimentais
• Erros
– Tipos de Erros.
• Algarismos Significativos
• Arredondamento de números
• Parâmetros Estatísticos
– Média
“Eu frequentemente digo que quando se podemedir aquilo sobre o que se está falando eexpressá-lo em números, você sabe algo sobreele; mas quando não se sabe medi-lo, quandonão se pode expressá-lo em números, seuconhecimento é incompleto e insatisfatório;conhecimento é incompleto e insatisfatório;pode ser o inicio do conhecimento, mas seuspensamentos quase não avançam para alcançaro estágio de ciência, qualquer que seja oassunto.”
Lord Kelvin
Medição e Medida
• Medição
Ato ou efeito de medir.
• Medida• Medida
Termo usado para se referir ao valor numérico
(e unidade) resultante de uma medição.
Medições Diretas
Resulta da comparação direta de uma
quantidade física de natureza desconhecida
com uma quantidade conhecida ou
padronizada da mesma natureza.padronizada da mesma natureza.
� Medida da velocidade do carro através do velocímetro;
� Medida do tempo com um cronometro;
� Medida da massa com uma balança;
� Medida da corrente elétrica com um amperímetro;
∂
OBS: Medição direta é feita utilizando uminstrumento.
Dados e Resultados Experimentais
• Dados Experimentais
Valores obtidos em repetidas medições diretas
de uma ou mais grandezas em um
experimento.experimento.
• Resultados Experimentais
Valores geralmente obtidos após serem
realizados cálculos com os dados
experimentais.
“Não se pode medir uma grandeza física com
precisão absoluta.”
“Qualquer medição, por mais bem feita que seja,“Qualquer medição, por mais bem feita que seja,
é sempre uma aproximação.”
Resultado=(grandeza ≤ incerteza) (unidade)
Tipos de erros
• Erros sistemáticos.
–Erros sistemáticos instrumentais;
–Erros sistemáticos teóricos;–Erros sistemáticos teóricos;
–Erros sistemáticos ambientais;
–Erros sistemáticos observacionais.
• Erros aleatórios.
Tipos de erros
• Erros sistemáticos instrumentais
Erros que resultam da calibração do instrumento
de medição.
OBS: Os erros sistemáticos instrumentais podem
ser eliminados quase por completo através de
novas calibrações e aferições dos
instrumentos.
Tipos de erros
• Erros sistemáticos teóricos
Erros que resultam do uso de formulas teóricasaproximadas ou uso de valores aproximados paraeventuais constantes físicas que sejam utilizadas.
Tipos de erros
• Erros sistemáticos ambientais
Erro devido a efeitos do ambiente sobre oexperimento.
– A medida do campo magnético de um imã pode ser– A medida do campo magnético de um imã pode serinfluenciada pelo campo magnético da Terra.
– Medições da intensidade da luz em experimentos defotoluminescência é afetada pela luz ambiente.
– Outros efeitos ambientais como temperatura,umidade, pressão, ondas eletromagnéticas, entreoutros podem introduzir erros.
Tipos de erros
• Erros sistemáticos observacionais
Erro devido a falhas ou limitações do próprio
observador.
– Efeito da paralaxe na leitura de escalas instrumentais.– Efeito da paralaxe na leitura de escalas instrumentais.
– Disparar um cronometro manualmente.
Tipos de erros
• Erros aleatórios
Erros que resultam de variações aleatórias novalor medido de uma grandeza, devido afatores que não podem ser controlados ou porfatores que não podem ser controlados ou porqualquer motivo não são controlados.
Algarismos Significativos
Algarismo significativo em um número pode
ser entendido como cada algarismo que
individualmente tem algum significado,
quando é escrito na forma decimal.quando é escrito na forma decimal.
0,000 XY....ZW ABCD.......
não
significativo
significativo não
significativo
Algarismos Significativos
2 algarismos significativos - 6 certeza, 5 duvidoso
3 algarismos significativos - 6 e 7 certeza, 3 duvidoso
Operações com algarismos
significativos
•Soma
mm 83,52mm 83.4mm 83L ++=
mm 250LResultado
mm 249,92L
mm 83,52mm 83.4mm 83L
=→
=
++=
Operações com algarismos
significativos
•Multiplicação
3mm 83,52 83.4 83V ××=
35
33
mm 105,8VResultado
mm 10288,765V
×=→
×=
OBS: O número de algarismos significativos do produto de dois ou
mais números (medidas) será igual ao número de algarismos
significativos do fator menos preciso.
Arredondamento de números
Regra Prática
• Algarismos 1, 2, 3 e 4 são arredondado para baixo.
Exs:
3.14 =3.1 3.14 =3.1
2.73=2.7
• Algarismos 6, 7, 8 e 9 são arredondados para cima.
•Exs:
3.16=3.2
2.78=2.8
Arredondamento de números
Regra Prática
•Algarismo 55 é arredondado para baixo sempre que o algarismo
precedente for par .
5 é arredondado para baixo sempre que o algarismo
precedente for par .
Ex: 4.65=4.6 3,325=3,32
5 é arredondado para cima sempre que o algarismo
precedente for ímpar.
Ex: 4.75=4.8 9,475=9,48
Parâmetros Estatísticos
• Média Aritmética – Conjunto de valores típicos
ou representativo de um conjunto de dados.
N medidas de Conjunto
N
x
N
N
i
i∑==
+++++=
=
1
N4321
N4321
x
xxxxxx
}xx,x,x,{xN
L
L
Parâmetros Estatísticos
• Média Aritmética – Conjunto de valores típicos
ou representativo de um conjunto de dados.
N medidas de Conjunto
N
x
NN
i
i∑==
+++++=
=
1
N4321
N4321
x
xxxxxx
}xx,x,x,{xN
L
L
Parâmetros Estatísticos
• Desvio padrão da média
)( 2−
=∑=
xxN
i
σ)1(
1x
−=∑=
NN
iσ
(unidade) )σx(X x±=
OBS: Ausência de erros sistemáticos
Parâmetros Estatísticos
• Desvio padrão
222
rxp σσσ +=
)(Erro de Limite ao oRelacioand
ResidualErro
r
r
L
⇒σ
Parâmetros Estatísticos
• Estimativa do Limite de Erro
– Leitura direta em escala -Instrumentos Analógicos
leituraMenor ou divisãoMenorLr ⇒
2
rr
L=σ
Parâmetros Estatísticos
• Estimativa do Limite de Erro
– Leitura direta em escala- Instrumentos Digitais
Lr=σ
2
L
2
minmaxr
r
AA
Lr
+=
=σ
Amax e Amin são os algarismos que representam as flutuações
Parâmetros Estatísticos• Resultado Final
(unidade) )σx(X p±=
N
∑
3ou
2)1(
)(
x
rr1
2
x
2221
rr
N
i
i
rxp
N
i
i
LL
NN
xx
N
x
==−
−
=
+==
∑
∑
=
=
σσσ
σσσ
Exemplos
1. Em um experimento de física obteve-se os seguintes valores para aaceleração da gravidade,
N={9.90;9.68;9.57;9.72;9.80} m/s2
Qual é a estimativa e a respectivaincerteza no valor esperado?
Resolução: )( ggg σ±=
)1(
)(1
2
−
−
==∑∑=
NN
gg
N
g
g
N
i
i
g
N
i
i
σ
222222
m/s05.0)15(5
)80.973.9()72.973.9()87.973.9()68.973.9()90.973.9(=
−
−+−+−+−+−=gσ
2m/s)05.073.9( ±=g
2m/s73.95
9.809.729.579.689.90=
++++=g
Exemplos
2. A força eletromotriz (f.e.m) de uma pilha foi
medida 6 vezes, com um multímetro digital,
obtendo-se os resultados mostrados na tabela.
A acurácia do voltímetro na escala utilizada é
de 0.5%, conforme indicação do fabricante.de 0.5%, conforme indicação do fabricante.
Determine o valor da f.e.m da pilha.
N 1 2 3 4 5 6
V (Volts) 1.572 1.568 1.586 1.573 1.578 1.581
Resolução: )( pσ±= VV
2)1(
)(
V 1
2
222 rr
N
i
i
VrVp
N
i
iL
NN
VV
N
V
=−
−
=+==∑∑= σσσσσ
2)1(NNN −
6
581.1578.1573.1586.1568.1572.1 +++++=V
Volts5763.1=V
)16(6
)581.15763.1()573.15763.1()573.15763.1()586.15763.1()568.15763.1()572.15763.1( 222222
−
−+−+−+−+−+−=
Vσ
Volts0027.0=V
σ
Volts008.05763.1100
5.0==rL
Volts004.02== r
r
Lσ Volts004.0
2==rσ
22222 )004.0()0027.0( +=+= prVp σσσσ
Volts0048.0=pσ
Volts)005.0576.1(ouVolts)0048.05763.1( ±=±= VV
Exemplos
3. Foi realizada a medição da tensão nos
terminais de uma pilha comum com um
voltímetro digital de 5 ½ dígitos com acurácia
de 0.05% mais 1 digito. Verificou-se que o
último dígito flutuava, proporcionando leiturasúltimo dígito flutuava, proporcionando leituras
tais como mostradas na tabela. Determine o
valor do resultado final da medição.
N 1 2 3 4 5 6 7
V (Volts) 1.4435 1.4438 1.4434 1.4436 1.4432 1.4433 1.4437
Resolução: )( pσ±= VV
2)1(
)(
V 1
2
222 rr
N
i
i
VrVp
N
i
iL
NN
VV
N
V
=−
−
=+==∑∑= σσσσσ
2)1(NNN −
Volts4435.1=V
Volts001.0=V
σ
Volts0008.00001.04435.1100
05.0=+=rL
Volts0004.02
0008.0
2=== r
r
Lσ
22222 +=+= σσσσ 22222 )0004.0()0001.0( +=+= prVp σσσσ
Volts004.0=pσ
Volts)0004.04435.1( ±=V
• Histogramas
Representação gráfica de
Apresentação de
dados experimentais
Idade (anos) No de alunos
17-18 2
18-19 9
19-20 15
20-21 14
21-22 12
22-23 5
23-24 2
24-25 2
25-26 5
Representação gráfica de
uma distribuição de
frequências.
25-26 5
26-27 1
27-28 1
29-30 0
30-31 0
31-32 0
32-33 1
34-35 1
35-36 0
36-37 0
37-38 2
Propagação de erros
Como determinar o valor médio e
a respectiva incerteza da área (A) e
da área total (A ) após variasda área total (Atotal) após varias
medições de x e y?
Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas adição e subtração
),(
byaxu
yxfu
±=
=
2222
yxu ba
ybxau
byaxu
σσσ +=
±=
±=
OBS: Erros nas variáveis x e y independentes
Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas multiplicação e divisão
),(
==
=
y
xauouaxyu
yxfu
22
+
=
=
yxu
yxau
y
yxuσσσ
OBS: Erros nas variáveis x e y independentes
Propagação de erros
Como determinar o valor médio e
a respectiva incerteza da área (A) e
da área total (A ) após variasda área total (Atotal) após varias
medições de x e y?
Propagação de erros
• Grandezas que envolvem apenas adição e subtração
),(
byaxu
yxfu
±=
=
2222
yxu ba
ybxau
byaxu
σσσ +=
±=
±=
OBS: Erros nas variáveis x e y independentes
Propagação de erros
• Grandezas que envolvem apenas multiplicação e divisão
),(
==
=
y
xauouaxyu
yxfu
22
+
=
=
yxu
yxau
y
yxuσσσ
OBS: Erros nas variáveis x e y independentes
Propagação de erros
• Erros que envolvem varias grandezas – Expressão Geral
zyxfu
zyxfu
.......),,(
.......),,(
=
=
unidadeuu
z
u
y
u
x
u
u
zyxu
)(
....2
2
2
2
2
2
σ
σσσσ
±=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Propagação de erros
1.Utilizando a expressão geral para o desvio padrão
da propagação de erro mostre que
Se
=),(= yxfu
Se
2222
),(
yxu ba
ybxau
byaxu
yxfu
σσσ +=
±=
±=
=
22
),(
+
=
=
==
=
yxu
yxau
y
xauouaxyu
yxfu
yxuσσσ
Propagação de erros
2. Suponha que você realizou uma série de
medições do diâmetro de uma esfera e
obteve o valor final D=(18,31≤0.02)cm. Você
deseja calcular o valor do volume da esferadeseja calcular o valor do volume da esfera
usando o valor do diâmetro medido. Qual o
valor obtido?
Propagação de erros
3. Considerando, que durante a medição do
volume de um cilindro regular, fazemos as
medidas do diâmetro da área da secção reta
e da altura do cilindro, cujos resultados dase da altura do cilindro, cujos resultados das
medições foram os seguintes:
D=(5.34≤0.03)cm
H=(10.35≤0.05)cm
Determine o volume do cilindro e sua
respectiva incerteza.
Gráficos4. Para um gás a volume constante foram
realizadas medições da pressão e
temperatura, os dados obtidos são
mostrados na tabela.
P (mmHg) T(∞C)a) Represente os dados
P (mmHg) T(∞C)
45 -96,5
50 -77,5
65 -20
75 17
85 42
95 84
a) Represente os dados
experimentais em um
gráfico T versus P.
b) Determine o valor da
temperatura quando a
pressão for nula.
Método dos mínimos Quadrados
Melhor Reta
baxy +=
Coeficientes da melhor reta
∑
∑
=
=
−
−
=
−=
N
i
i
N
i
ii
xx
xxy
b
xbya
1
2
1
)(
)(
Coeficientes da melhor reta