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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARABA
PR-REITORIA DE PS-GRADUAO E PESQUISA
CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CINCIAS E MATEMTICA
HLDER ALVES DE OLIVEIRA
PLANILHA ELETRNICA EXCEL E A MATEMTICA
DESENVOLMENTO DE APLICATIVO PARA O ENSINO DE MATRIZES
Campina Grande, PB
2011
Hlder Alves de Oliveira
PLANILHA ELETRNICA EXCEL E A MATEMTICA
DESENVOLMENTO DE APLICATIVO PARA O ENSINO DE MATRIZES
Dissertao apresentada ao Programa de
Ps Graduao Stricto Sensu em Ensino de Cincias e Matemtica da Universidade
Estadual da Paraba Linha de pesquisa Metodologia e Didtica no Ensino das Cincias e na Educao Matemtica como requisito para obter o titulo de Mestre
em educao matemtica.
Orientador(a): Prof. Dr. Filomena Maria
Gonalves da Silva Cordeiro Moita
Campina Grande 2011
AGRADECIMENTO
A Deus, pela sua infinita sabedoria, fortaleza e misericrdia, que me encorajou nos dias
difceis, mostrando-me que a aurora de uma nova manh traria uma sol irradiante e com
ele a certeza da vitria pelas mos do seu filho amado Jesus.
A toda a minha famlia, pelo apoio e por estar sempre presente em minha vida.
Aos meus companheiros do mestrado pelo esprito de unio e pelas contribuies e
colaboraes durante todo o perodo do curso.
Aos meus mestres Prof. Dr. Rmulo Marinho do Rego e Prof Dr. Maria G. da S.
Cordeiro Moita, por compartilharem comigo seus ensinamentos, e em especial minha
orientadora pelos incentivos e por sua pacincia nas orientaes.
Ao meu fiel amigo e companheiro Joseildo por compartilhar tantos momentos difceis
ajudando-me a super-los.
Aos meus amigos Carlos Henrique e Jos Neto por me acolher em seus lares, sempre
prontos a me ajudar nas horas em que mais precisei.
Aos irmos em cristo da igreja Cristo Maranata de Campina Grande por tantas
assistncias que me deram durante o curso.
DEDICATRIA
Dedico este trabalho a minha famlia, a
minha esposa Tereza Cristina e a minha
Filha Ana Vitria, que so as pessoas em
que eu sempre me apoiei e que estiveram
ao meu lado, lutando contra as
adversidades da vida e festejando as
vitrias conquistadas.
O desafio que os educadores enfrentam est relacionado aplicao prtica do
computador, como elemento integrador no processo de ensino-aprendizagem, e no,
como uma simples ferramenta que facilita ou automatiza clculos.
STIELLER E FERREIRA
FICHA CATALOGRAFICA
expressamente proibida a comercializao deste documento, tanto na sua forma impressa como
eletrnica. Sua reproduo total ou parcial permitida exclusivamente para fins acadmicos e
cientficos, desde que na reproduo figure a identificao do autor, ttulo, instituio e ano da
dissertao
FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL-UEPB
O48p Oliveira, Hlder Alves de.
Planilha eletrnica Excel e a matemtica [manuscrito]:
Desenvolvimento de aplicativo para o ensino de matriz / Hlder Alves
de Oliveira. 2011. 119 f.
Digitado.
Dissertao (Mestrado Profissional em Ensino de Cincias e
Matemtica), Centro de Cincias e Tecnologia, Universidade Estadual
da Paraba, 2011.
Orientao: Profa. Dra. Filomena Maria Gonalves da Silva Cordeiro Moita, Departamento de Matemtica.
1. Ensino de matemtica. 2. lgebra. 3. Excel. 4. Aprendizagem.
I. Ttulo.
21. ed. CDD 510
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo apresentar os resultados de uma pesquisa qualitativa,
voltada para a modalidade estudo de caso, na qual foram utilizadas as TICs, seguindo
pressupostos da Teoria Construcionista criada por Seymuor Papert, com a finalidade de
introduzir os conceitos bsicos da lgebra de matrizes por meio da utilizao do
software Planilha Eletrnica Excel desenvolvido pela Microsoft Corporation. Para a
realizao da pesquisa utilizamos o OA (Objeto de Aprendizagem) e um minicurso,
procurando introduzir os conceitos de soma, multiplicao e clculo da matriz inversa
de uma matriz dada, para que os discentes pudessem observar suas aplicaes na
resoluo de problemas contextualizados e lanar mo desse recurso para resolver
sistemas de equaes lineares. A posteriori, fizemos uma anlise atravs de um
questionrio, o mesmo revelou que a maioria dos discentes, cerca de setenta por cento,
considerou atraente a proposta metodolgica, demonstrando um interesse satisfatrio
pelos contedos apresentados por meio da tecnologia. Neste trabalho, inferimos uma
proposta metodolgica para utilizar o Software Excel no ensino da lgebra de matrizes.
Palavras-chave: Estudo de caso. TICs. Teoria Construcionista. lgebra de matrizes.
Planilha Eletrnica Excel. OA.
ABSTRACT
This paper aims to present the results of a qualitative research focused on the case study
method, in which TICs have been used, following the assumptions of constructivist
theory created by Seymuor Papert, in order to introduce the basic concepts of matrix
algebra by using the Excel Spreadsheet software developed by Microsoft Corporation.
To conduct the survey used the OA (Learning Objects) and a short course, and to
introduce the concepts of addition, multiplication, and calculating the inverse of a given
matrix, so that students could observe their applications in solving problems in context
and launch hand this feature to solve systems of linear equations. Subsequently, we
analyzed through a questionnaire, it showed that the majority of students, about seventy
percent, considered attractive methodological proposal, demonstrating an interest in
satisfying the content presented through technology. In this work, we infer a
methodology for using Excel software in the teaching of matrix algebra.
Keywords: Case study. TICs. Constructivist theory. Matrix algebra. Excel Spreadsheet.
OA.
SUMRIO
INTRODUO ............................................................................................................ 11
1 PANORAMA GERAL DA PESQUISA ................................................................. 13
1.1 Pontos de partida ................................................................................................ 13
1.2 A experincia que deu origem ao trabalho ....................................................... 18
1.3 A Matemtica no ensino mdio: uma abordagem tradicional ........................ 19
1.4 Problemtica ........................................................................................................ 22
2 FUNDAMENTAO TERICA ........................................................................... 26
2.1 Pesquisa: outros olhares ..................................................................................... 26
2.2 O caminhar pela teoria ....................................................................................... 29
2.3 Seymour Papert: a aprendizagem em um pressuposto construcionista ........ 32
2.4 Intrucionismo versus Construcionismo ............................................................ 34
2.5 As tecnologias na Educao ............................................................................... 35
2.6 Matrizes: um passeio pela histria .................................................................... 38
2.7 lgebra das matrizes .......................................................................................... 45
3 UTILIZANDO A PLANILHA EXCEL PARA ENSINAR MATRIZES ............. 46
3. 1 Nossa percepo ................................................................................................. 46
3.2 Abordagem dos livros didticos para o clculo da matriz inversa ................. 54
3.3 Funo MATRIZ.INVERSO: clculo da matriz inversa no Excel ................ 58
3.4 Problemas contextualizados: multiplicao de matrizes ................................. 60
3.5 Aplicao do clculo da matriz inversa ............................................................ 64
4 METODOLOGIA ..................................................................................................... 69
5 OBJETOS DE APRENDIZAGEM .......................................................................... 72
5.1 Elaborao do OA ............................................................................................... 73
5.2 Universo da pesquisa .......................................................................................... 76
5.3 Sujeitos da pesquisa ............................................................................................ 76
5.4 Instrumentos da pesquisa ................................................................................... 76
6 ANLISE DOS DADOS ........................................................................................... 78
6.1 Etapas desenvolvidas .......................................................................................... 78
7 CONSIDERAES FINAIS ................................................................................... 81
APNDICE ................................................................................................................... 89
11
INTRODUO
Meu interesse em realizar uma pesquisa em educao matemtica surgiu a partir
do momento em que percebi, em minha prtica profissional, o desgaste de uma
metodologia tradicional de ensino que utilizei durante anos e que, a cada dia, ia se
tornando mais cansativa. Talvez por ser muito cmoda e fcil de realizar, as aulas que
ministrava no causavam nenhum impacto nos aprendizes, e aquela postura passiva que
eles assumiam me deixava saturado daquela rotina de trabalho.
Em alguns momentos, percebi que era em vo repetir uma srie de exerccios
que seguiam a mesma linha de raciocnio, que fazia numa tentativa frustrada, para eles
entenderem algo que existia apenas dentro da minha cabea. Algumas vezes, chegava a
desistir de ministrar aulas empregando aquela metodologia, pensando que o tempo
pudesse sanar o problema que, depois de muitas reflexes, entendia que no era dos
alunos, mas meu, por cair num tradicionalismo que, como professor, recebera como
herana de outras geraes. Por causa isso, decidi mudar minha postura pedaggica. No
entanto, promover essa mudana na minha prtica de ensino no foi fcil, devido a um
conjunto de fatores externos que eram verdadeiros obstculos, tais como: o tempo que
tinha para pesquisar e elaborar aulas mais criativas e atraentes no era suficiente, uma
vez que lecionava em trs escolas diferentes, cada uma em um turno.
Outro fator de suma relevncia foi identificar meus erros e procurar um caminho
novo para seguir, de forma que pudesse super-los; buscar em mim humildade
suficiente para aceitar crticas e sugestes vindas de discentes. Dessa forma, senti que
estava na hora de parar e investir mais na minha capacitao profissional. Tal
aprimoramento na minha prtica de ensino comeou com este trabalho de pesquisa, cujo
foco principal utilizar a tecnologia para lecionar o contedo de matrizes por meio do
software Excel.
Iniciamos com esse contedo e utilizando o referido programa de computador
por dois motivos singulares: atualmente, o computador faz parte da rotina de trabalho
em diversos setores da sociedade; o software, Planilha Eletrnica Excel, alm de ser
similar a outras planilhas de clculo, tem uma srie de funes matemticas que fazem
parte do currculo do ensino mdio, tais como: o clculo do determinante de uma
matriz; o clculo da matriz inversa; o produto de matrizes etc. Assim, buscamos, com
12
este trabalho, promover sugestes que tragam melhorias para o ensino. Nesse trabalho,
ainda, segue em anexo um tutorial do Excel para o professor.
13
1 PANORAMA GERAL DA PESQUISA
1.1 Pontos de partida
A premissa que deu origem a este trabalho de pesquisa surgiu quando, em certa
ocasio, levamos para a sala de aula um notebook e um data-show, para uma aula de
matemtica que ministraramos sobre geometria analtica, numa turma de 3 ano do
ensino mdio, em uma Escola da Rede Estadual de Ensino da cidade de Joo Pessoa. O
objetivo era de mostrar aos discentes uma planilha eletrnica com a qual podamos
calcular a distncia entre dois pontos quaisquer, no plano cartesiano, e expor sua
condio de alinhamento. Foi quando percebemos o entusiasmo e o interesse dos alunos
em descobrir como desenvolvemos tal modelo matemtico a partir do aplicativo, uma
planilha eletrnica Excel. Depois da exposio, comearam a surgir muitos
questionamentos vindos dos discentes. A partir de ento, comeou a nascer um desejo
maior pelas aulas, e a frequncia e a participao dos discentes aumentaram
consideravelmente. A cada aula que ministrvamos, surgia um elemento novo, um olhar
diferente, uma ateno mais rigorosa, e, assim apresentamos outros aplicativos com
contedos que j haviam sido ministrados, s que, dessa vez, com a planilha eletrnica
Excel.
Percebemos que a utilizao do recurso tecnolgico poderia nos auxiliar no
processo de ensino. Iniciamos a investigao procurando respaldo terico-metodolgico
em artigos, peridicos ou bibliografias que nos apoiassem na idia que estava
amadurecendo utilizar o computador como ferramenta para ensinar contedos
matemticos.
Ao analisar os PCN para o Ensino Mdio, encontramos vrias propostas
pedaggicas, quanto ao uso da tecnologia em sala de aula, para facilitar o ensino de
matemtica e desenvolver competncias e habilidades a fim de preparar o cidado e
inseri-lo na sociedade moderna.
O Ensino Mdio no Brasil est mudando. A consolidao do
Estado democrtico, as novas tecnologias e as mudanas na
produo de bens, servios e conhecimentos exigem que a
escola possibilite aos alunos integrarem-se ao mundo
14
contemporneo nas dimenses fundamentais da cidadania e do
trabalho. (PCNEM, 2000, p. 4)1
Nessa afirmao extrada dos PCN2 para o Ensino Mdio, vemos que a escola
precisa adotar novas metodologias de ensino, que sejam capazes de integrar os
aprendizes com a nova realidade social que estamos vivendo e capacit-los para essa
nova realidade, uma vez que a sociedade, a cincia e a tecnologia tm passado por
muitas transformaes, principalmente no campo da tecnologia.
Segundo Monteiro (1995, sp),
[...] preciso ir muito alm do que se faz hoje, utilizando-se o
computador como estratgia de apoio aos contedos curriculares e
como instrumento de estimulao colaborao e a motivao do
aprendiz. preciso que trabalhemos muito para formar pessoas mais
sensveis e capazes de estabelecer novas ticas, altura dos desafios
que nos coloca a nova comunicao.
Como a escola desempenha um papel de grande importncia na formao do
cidado, a possibilidade de lanar mo de um recurso tecnolgico para expor um
determinado contedo, adaptando-o realidade cotidiana do aluno, seria muito
importante, em se tratando da disciplina Matemtica, por ser considerada pelos alunos
como uma matria cujos contedos no so teis para sua rotina diria ou a vida prtica.
Stieller e Ferreira (Apud BORGES NETO, 1998) afirmam que, apesar de o
papel do computador, no ensino de Matemtica, ser o de apresentar uma nova lgica
para problemas antigos, por meio da manipulao e da simulao que a mquina
produz, ele no termina a. Assim, o desafio que os educadores enfrentam est
relacionado aplicao prtica do computador, como elemento integrador do processo
de ensino-aprendizagem, e no, como uma simples ferramenta que facilita ou
automatiza clculos (STIELLER E FERREIRA Apud LVY, 1993).
Ainda segundo os PCN do Ensino Mdio, a nova sociedade que surge
aps a revoluo tecnolgica, assim como seus desdobramentos na produo e na rea
da informao,
[...] apresentam caractersticas possveis de assegurar educao
uma autonomia ainda no alcanada. Isto ocorre na medida em
que o desenvolvimento das competncias cognitivas e culturais
1PCN: Parmetros Curriculares Nacionais
2 PCNs: Parmetros Curriculares Nacionais para o ensino mdio.
15
exigidas para o pleno desenvolvimento humano passa a
coincidir com o que se espera na esfera da produo. (2000,
PCN, p. 11)
O texto citado, implicitamente, quer dizer que o desenvolvimento da sociedade
atual est atrelado aos avanos da tecnologia ocorrido nos ltimos anos, e que a escola
deve dar sua contribuio para o pleno desenvolvimento cognitivo do indivduo, para
que ele possa interferir na formao dessa sociedade e contribuir com ela.
Ponte e Canavarro (1997, p. 24) assim se expressam sobre a necessidade de
mudanas na educao:
A escola corre o srio risco de ser cada vez mais rejeitada pelos
jovens, surgindo lhes como representante de uma cultura de outra
poca, como uma instituio defasada do seu tempo. Para a maioria
dos alunos, os assuntos tratados nas aulas no despertam grande
interesse. Muitas vezes isso no resulta propriamente dos assuntos em
si, mas da forma como so apresentados, de maneira formal, rgida,
como matrias a aceitar e no como problemas a investigar. Os
prprios professores esto presos a uma concepo do saber esttico,
cristalizada, que v o currculo como uma simples sequncia de
tpicos e subtpicos. Uma escola que no proporcione aos seus alunos
e professores a oportunidade de se poderem envolver duma forma
ativa no estudo de novos problemas, no prosseguimento de novos
interesses, na criao de novas atividades e formas de trabalho, em
suma, no desenvolvimento de novas aprendizagens falha
necessariamente nos seus objetivos.
Alm das mudanas na forma de ensinar o texto, os autores apontam a
importncia de se usar o computador como ferramenta para obter tais transformaes no
contexto educacional e na formao ideolgica, visando preparar o discente para o
exerccio da atividade profissional. Deparamo-nos, assim, com questes intrigantes, tais
como: Qual seria a melhor forma de utilizarmos aquele recurso tecnolgico para que ele
promova a formao do conhecimento no discente? Como poderamos criar um
ambiente de ensino que nos fosse favorvel?
Foi a partir dessas indagaes que nasceu dentro de mim um sentimento de
empolgao para iniciar um trabalho de pesquisa mais substancial, pois a escola onde
leciono dispunha de alguns recursos tecnolgicos que me auxiliariam na implantao da
nova forma de ensinar contedos matemticos. Nela temos um laboratrio de
informtica com 16 computadores e um data-show, que no so utilizados pelos
docentes e, por esse motivo, j estavam ficando sucateados.
16
Isso nos levou a novas reflexes quanto a nossa prtica docente. Limitados ao
mbito escolar, especificamente em sala de aula, no conseguiramos atingir a nossa
meta. Seria preciso aprofundar os estudos relativos utilizao daquele recurso
didtico, para saber manipul-lo de forma adequada e alcanar os objetivos que
almejvamos.
Quando enveredamos por esse caminho, tnhamos a plena conscincia de que
no bastava utilizar o computador para reproduzir aquilo que j fazamos, pois utilizar
os computadores para auxiliar os aprendizes a realizarem tarefas sem compreender o
que esto fazendo uma mera informatizao do atual processo de ensino e
aprendizagem (VALENTE, 1999).
Ressaltamos que utilizar o computador como suporte para o ensino, a fim de
promover uma metodologia mais atraente, um caminho novo que se inicia para a
construo de uma escola atual. E como a sociedade tem acompanhado os avanos
tecnolgicos, inserindo o computador na rotina cotidiano de vrios profissionais, a
escola no pode deixar de lanar mo desse recurso para retratar a realidade moderna.
Sobre isso, Ponte (1997, p. 30) afirma que
o computador pode ainda ser utilizado como uma ferramenta e
trabalho, aberta e flexvel para o armazenamento e processamento de
informao, em numerosas profisses, tanto de natureza tcnica, como
administrativa, como de investigao cientifica. Diversos programas
utilitrios so de aprendizagem relativamente simples e permitem a
execuo de uma variedade de tarefas. Podem indicar-se em especial,
programas de processamento de texto, desenho livre base de dados,
edio eletrnica, folha de calculo, grfico e tratamento estatstico de
dados... Nessa perspectiva, as novas tecnologias surgem como
instrumentos para serem usados livre e criativamente por professores e
alunos.
Conhecendo os benefcios que as tecnologias podem trazer para a rea
educacional, importante que o professor procure obter as vantagens que o uso
adequado do computador, bem como o de qualquer outro recurso tecnolgico, pode
oferecer aos discentes na sala de aula. Em relao a isso, Ponte e Canavarro (1997)
ressaltam a influncia das tecnologias no processo de ensino, destacando o sucesso de
experincias realizadas com o computador e a calculadora. Essas ferramentas facilitam a
compreenso de clculos e ajudam na manipulao simblica de operaes algbricas
matemticas, uma vez que as mquinas so mais eficientes na realizao dessas tarefas.
Elas incentivam o investimento no desenvolvimento de competncias intelectuais mais
17
avanadas, como o raciocnio lgico dedutivo, a agilidade na resoluo de problemas e
a capacidade crtica, que esto alm da simples compreenso das operaes matemticas
fundamentais. Tambm valorizam o significado da representao grfica e de novas
formas de notaes, permitindo outras abordagens s situaes matemticas, que podem
substituir os processos formais de cunho puramente algbrico ou analtico. Ainda do
margem criao e elaborao de projetos e atividades de modelagem e de
investigao, que os discentes podem explorar para compor sua experincia matemtica.
Por fim, possibilitam o engajamento dos discentes em atividades mais profundas e
significativas, porquanto contribuem para o desenvolvimento de atitudes positivas, em
detrimento da disciplina, criam uma viso mais adjacente, no tocante a sua natureza
real, e oferecem oportunidades para que os discentes possam ser mais bem sucedidos na
aprendizagem da matemtica.
Os recursos tecnolgicos surgem como uma ferramenta capaz de superar
obstculos e quebrar paradigmas que esto arraigados na cultura da prtica docente h
anos, em muitas sociedades, em especial, na brasileira, onde, ainda hoje, predomina o
modelo tradicional de ensino, apoiado em um conjunto de tcnicas metdicas seguidas
de uma sequncia de exerccios repetitivos, com a finalidade de que os discentes
memorizem determinados conceitos para reproduzi-los em contextos puramente
abstratos, quase sempre, sem qualquer vnculo com sua realidade.
Diante dessas afirmaes, acreditamos que as tecnologias podem trazer
vantagens que auxiliem no ensino e promovam um processo de aprendizagem mais
atraente para os discentes. Esse o nosso ponto de vista. No entanto, a eficcia de tal
recurso para o ensino de matemtica ser verificada e evidenciada no decorrer deste
trabalho de pesquisa que realizamos. No queremos comprovar tampouco demonstrar
uma teoria, sua eficincia e veracidade. Apenas nos propomos a investigar um modelo
que possa ser utilizado com fins educacionais, visando contribuir para a melhoria da
educao, diante de uma realidade prxima a ns.
18
1.2 A experincia que deu origem ao trabalho
Neste item, descreveremos a experincia feita em sala de aula com alunos do
terceiro ano do ensino mdio de uma Escola Estadual da cidade de Joo Pessoa.
Aps termos ensinado os contedos de distncia entre dois pontos no plano
cartesiano e condio de alinhamento entre trs pontos, ainda no modelo tradicional,
utilizando apenas o quadro e o giz, procuramos mostrar como seria possvel criar uma
planilha de clculo no software Microsoft Excel que nos fornecesse tal informao. Para
isso, desenvolvemos ento a seguinte planilha:
Figura 1 Condio de alinhamento de trs pontos Fonte: Desenvolvida pelo autor (Hlder Alves de Oliveira)
A planilha exibida na Figura 1, que criamos, capaz de verificar se trs pontos
no plano cartesiano so colineares ou se so os vrtices de um tringulo. Essas
condies so verificadas quando digitamos, nas clulas J4, J6, J8, J10, J12 e J14, as
coordenadas dos trs pontos, conforme indicado ao lado, considerando os pontos como
sendo A, B e C.
Ao digitar os valores das coordenadas dos pontos para a funo REP, que
disponibilizada no Excel, construmos o determinante D, indicado ao lado direito da
19
tela. Imediatamente, quando fazemos isso, a clula R8, que est programada com a
funo MATRIZ.DETERM, calcula automaticamente o valor de D. Em seguida, a
clula M14, que est formatada com a funo lgica SE, apresenta o valor
COLINEARES se D=0 e SO VRTICES DE UM TRINGULO, caso contrrio.
Quando criamos essa planilha de clculo na sala de aula, utilizando um notbook
e um data-show, a nossa inteno era apenas de mostrar aos alunos que o conhecimento
de Matemtica que detnhamos, aliado a um pouco do de informtica, poderia
concretizar aquilo que era abstrato e que s existia no nosso pensamento.
Aquela aula causou-nos um impacto inesperado, e o olhar opaco e distante que,
em tantas aulas, vamos nos discentes, transformou-se e surgiu um brilho que outrora
jamais tnhamos visto. A ateno e a curiosidade ficavam cada vez mais intensas, e
medida que amos elaborando cada etapa do experimento, as perguntas a respeito do
software e suas aplicaes perduraram por muitas aulas naquela turma depois daquele
dia. Foi assim que nos sentimos na obrigao de criar um projeto que resgatasse o brilho
nos olhos dos nossos aprendizes e o interesse deles pela Matemtica, tendo como nosso
aliado, o recurso tecnolgico.
1.3 A Matemtica no ensino mdio: uma abordagem tradicional
Quase todas as aulas de Matemtica, no Ensino Mdio, ainda so ministradas no
modelo tradicional. Isso porque a maioria dos professores segue livros-texto que no
so atrativos e, portanto, no despertam interesse nos alunos, as aulas resumem-se
aplicao de problemas e suas solues, o que as torna cansativas, desagradveis e at
difceis de entender. O nvel de abstrao com que apresentam os contedos
matemticos, em alguns deles, muito elevado, sem contar com o formalismo e o rigor
da linguagem cientfica. Isso faz com que os alunos tenham antipatia pela disciplina e,
consequentemente, adquirem uma aprendizagem deficitria.
Geralmente, os professores costumam expor as definies de determinados
contedos matemticos e, em seguida, resolver uma srie de exerccios utilizando essas
definies. No entanto, quando os alunos se deparam com problemas vividos em seu
cotidiano, no sabem como empreg-las para resolv-los e terminam no fazendo o
problema, ou, quando o fazem, no chegam resposta correta.
20
Convivemos com isso durante muito tempo, em nossa prtica docente, e
resolvemos mudar, ao perceber que estamos vivendo uma nova era, a era da informao
rpida ou a era da informtica.
Nos dias atuais, a informao chega at as pessoas de forma muito veloz. Hoje
no enviamos mais uma correspondncia para relatar um fato da nossa vida ou nos
comunicarmos com algum que conhecemos ou com algum parente distante, porque
fazemos isso atravs de e-mails.
Diante desse quadro, mudar o procedimento metodolgico passou a ser uma
meta a alcanar e resolvemos fazer isso iniciando com o contedo de matrizes com os
alunos do segundo ano do ensino mdio. Escolhemos esse contedo por ser considerado
um assunto novo no campo da lgebra, com pouco mais de 150 anos, e por estar
associado a outros contedos, como sistemas lineares e determinantes. Some-se a isso o
fato de ter uma importncia considervel no ramo da lgebra. Doravante faremos um
comentrio acerca da escolha do contedo.
Segundo Messias, Franco e Fonseca (2006), o ensino de matrizes encontra-se
deficitrio, devido ao uso exacerbado de smbolos algbricos e de regras que so
utilizados pelos professores em suas aulas expositivas. Eles afirmam que os livros
didticos so inadequados por apresentarem conceitos confusos e linguagem
inadequada, com raras contextualizaes nos exerccios e nas definies feitas, onde os
contedos expostos seguem uma sequncia formal arcaica e ultrapassada. Nosso olhar
crtico em relao s afirmaes dos autores no sentido de que sua inteno mostrar
que os conceitos e as definies relativos ao tema estudado devem estar associados
vivncia dos discentes e se ligarem o outro, formando uma sequncia lgica para que
seja possvel se verificar sua coerncia.
Na viso de Sanches (2002), o ensino de matrizes apresenta-se em um verdadeiro descompasso em relao aos avanos tecnolgicos. Ela afirma que o ensino
de matrizes est resumido numa mera transmisso de regras, descontextualizado da
realidade dos discentes e da prpria matemtica, e que os contedos de matrizes e
determinantes ministrados no ensino mdio servem apenas como ferramentas
auxiliadoras na resoluo de sistemas de equaes lineares. Dessa forma,
desconsiderada a evoluo de seu conceito no tempo, e seu verdadeiro significado se
perde.
21
Neste trabalho de pesquisa, a escolha pelo estudo de matrizes deu-se pelo fato de
que, atualmente, alm de a matriz ser uma ferramenta poderosa, no contexto
matemtico, e estar sendo utilizada em vrias reas do conhecimento, se for associada
ao recurso tecnolgico, por analogia, pode produzir resultados satisfatrios no tocante
formao de conceitos. Alm disso, quando tratamos uma matriz segundo as definies
propostas por autores de livros didticos do ensino mdio, abrimos mais um caminho
para estudar mais detalhadamente a interpretao e a compreenso de tabelas, o que
favorece na tomada de decises e d margem ao desenvolvimento do pensamento
crtico. Sobre esse aspecto, Sanches (2002, p. 7) refere:
A lgebra das matrizes tem importncia significativa para vrias
cincias e encontra, cada vez mais, aplicaes em diversos setores como
a Economia, a Engenharia e Tecnologia, etc. Se no ocorrer uma
aprendizagem significativa e relevante dos conceitos de matrizes, os
estudantes podero apresentar dificuldades, em nveis mais avanados,
para compreender e aplicar outros conceitos relacionados, tais como
conceitos de programao, computao grfica, custos de produo,
teoria dos grafos, circuitos eltricos, modelos econmicos lineares,
entre centenas de outros.
Ressalte-se, tambm, que a formao de tais conceitos, em especial, o de
matrizes, ora aqui mencionados, na concepo de Miguel (2007, p. 190-194), deve
considerar, como teses centrais da ao na situao de ensino e aprendizagem, as
perspectivas de contextualizao, historicizao e enredamento, o que corrobora o
pensamento de Sanches. Tal contextualizao, qual o autor faz aluso, est
relacionada com o aspecto sociocultural do qual o aprendiz faz parte: a historicizao
o processo que se coloca em evidncia como as idias matemticas evoluem, formando
um todo orgnico, ou seja, um processo de construo. O enredamento, por sua vez,
a organizao das idias matemticas em articulao com as diversas reas do
conhecimento, posto que elas no surgem do nada.
No campo da Informtica, o estudo de matrizes um recurso importante na
criao de software em diversos setores, como, por exemplo, na indstria, e, em
especial, na teoria dos grafos3. Por isso consideramos importante o contedo de
matrizes como ponto de partida para o nosso trabalho de pesquisa, utilizando a planilha
eletrnica Excel, a fim de alcanarmos os pontos de vista colocados pelos autores.
3 Teoria dos Grafos: Tem suas origens em jogos e recreaes matemticas. Sua criao atribui-se ao
matemtico Leonhard Paul Euler. Tem sido aplicada em muitas reas, como: Informtica, Investigao
Operacional, Economia, Sociologia, Gentica etc.
22
1.4 Problemtica
Preocupados com a desmotivao dos alunos, no que diz respeito aos contedos
estudados na disciplina de Matemtica, e por estar acompanhando os avanos da
tecnologia, no seio da sociedade moderna, sobretudo no que concerne educao, e por
exercer a funo de docente em escolas pblicas, senti-me motivado a refletir sobre o
uso da tecnologia da informtica e de recursos metodolgicos que promovessem um
ambiente de estudo mais atrativo para o ensino dessa disciplina. Gravina e Santarosa
(1998) afirmam que ambientes informatizados so ferramentas que do suporte ao
processo de ensino e aprendizagem, embora tais ambientes tenham sido implantados de
forma acanhada, devido questo da adaptao ao contexto educacional e que, portanto,
incorpor-los na prtica docente um grande desafio.
Os novos modelos de educao devem apontar para um profissional com perfil
diferente, preparado para conviver numa sociedade que sofre mudanas violentas, tanto
no campo da tecnologia quanto no da indstria, e em quase todos os setores. Dessa
forma, eles precisam ser capazes de construir seu conhecimento e tornam-se sujeitos
ativos do processo em que a intuio e a descoberta so elementos privilegiados e
primordiais no processo dessa construo.
Diante desse cenrio criado pelas transformaes sociais, o professor deve
deixar de ser um mero transmissor do conhecimento que, s vezes, arcaico e
ultrapassado devido maneira como transmitido, e passar a atuar como elo de
transmisso entre aprendiz e conhecimento, para auxiliar na construo da sua formao
ideolgica e em seu desenvolvimento cognitivo. Nessa nova perspectiva de ensino, o
aprendiz no deve ser visto como um ser vazio, simplesmente um espectador. Devemos
levar em considerao o conhecimento prvio que detm, dando-lhe condies de
desenvolver suas potencialidades a partir de suas habilidades pessoais. No contexto
atual, devido s inovaes por que a sociedade vem passando, o professor, que parte
integrante e sujeito ativo, colaborador desse novo paradigma social, ao qual a educao
est intrinsecamente ligada, deve procurar atualizar-se constantemente, a fim de dar sua
parcela de contribuio, para que o aprendiz alcance o perfil que exigido nos nveis
sociais.
23
A tecnologia da informtica rene caractersticas importantes que, se forem
exploradas de forma consciente e com objetividade, podem dar uma contribuio eficaz
no ensino e na construo do conhecimento. Ela pode despertar a motivao e o
interesse do aprendiz, por estar presente no seu dia a dia em, praticamente, todos os
ramos da sociedade. A priori, sua criao e seu desenvolvimento no previam fins
educacionais, mas, por estar atrelada s mudanas e aos avanos que temos
acompanhado nos ltimos anos, temos que lanar mo dela como recurso auxiliador na
formao cidad no mbito escolar. Inserir o computador no convvio escolar, tornando-
o parte da prtica docente, embora seja um grande desafio, uma realidade que no
podemos marginalizar.
Papert (2001) faz um comentrio que de suma importncia e que nos instiga a
refletir sobre a nossa prtica docente. Ele afirma, numa parbola que criou, que a
educao no acompanha as mudanas que ocorrem na sociedade. Assim, para que a
educao e o ensino resistam ao tempo e s mudanas sociais oriundas do avano
tecnolgico e cientfico, e ainda mais, para que os sistemas educacionais tenham
credibilidade e eficcia, precisamos abraar uma proposta pedaggica pautada na
realidade cotidiana. Nesse sentido, o papel do professor sobe mais um degrau no
processo de construo do conhecimento e no ato de ensinar. A relao professor-aluno
que, h muitos anos, distanciou um do outro, devido postura tradicional assumida por
muitos, deve ser deixada de lado e dar lugar a uma relao interativa, por meio da qual
ambos busquem a motivao no processo educacional de ensino e na convivncia
mtua. Trilhar nesse novo caminho de interao e participao culmina numa educao
de qualidade, que o que todos almejam.
Com os projetos de informatizao nas escolas pblicas, criados pelos governos
em vrios estados, muitas escolas pblicas j dispem de laboratrios de informtica, no
entanto, usar esse recurso adequadamente, fazendo com que ele possa proporcionar
mudanas nas modalidades de ensino, a nossa maior preocupao. A respeito disso,
Almeida (1999, p. 19) afirma:
Estamos em um momento em que a disseminao do computador na
educao atingiu larga escala. Mas o impacto das mudanas que
poderia provocar ainda no ocorreu, embora existam modalidades de
uso cujos ambientes de aprendizagem informatizados possam
contribuir para transformaes.
24
Diante dessa perspectiva, o professor assume um papel fundamental o de
fazer com que esse recurso no entre em desuso, no se torne um simples amontoado de
equipamentos eletrnicos que, com a ao do tempo, venham deteriorar-se. Alguns
docentes ainda resistem em no empregar recursos tecnolgicos que possibilitem um
ensino mais atraente, talvez, pela falta de planejamento ou de capacitao ou por
preconceito. Assim, compactuamos com o que afirma Dambrosio (1990, p. 17),
quando ele explicita a importncia da utilizao de computadores no contexto
educacional, como mostra este seu discurso:
Creio que um dos maiores males que a escola pratica tomar a atitude de que computadores, calculadoras e coisas do gnero no so para as escolas dos pobres. Ao contrrio: uma escola de classe pobre necessita expor seus alunos a esses equipamentos que estaro presentes em todo o mercado de futuro imediato. Se uma criana de classe pobre no v na escola um computador, como jamais ter oportunidade de manej-lo em sua casa, estar condenada a aceitar os piores empregos que se lhe ofeream. Nem mesmo estar capacitada para trabalhar como um caixa num grande magazine ou num banco. inacreditvel que a Educao Matemtica ignore isso. Ignorar a presena de computadores e calculadoras condenar os estudantes a uma subordinao total a subempregos.
Uma simples calculadora, ainda que tenha poucas funes, quando utilizada de
forma coerente pelo professor pode trazer resultados inesperados. Alm disso, devemos
levar em considerao que o computador pessoal, no contexto atual, tem se tornado to
popular quanto muitos equipamentos eletrnicos. A maioria dos discentes tem acesso a
ele de vrias formas: em lan houses, em casas de parentes ou no prprio lar. Em
consonncia com os Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs),
[...] a Matemtica componente importante na construo da
cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de
conhecimentos cientficos e recursos tecnolgicos, dos quais os
cidados devem se apropriar. A Matemtica precisa estar ao alcance
de todos e a democratizao do seu ensino deve ser meta prioritria do
trabalho docente. A atividade matemtica no olhar para coisas
prontas e definitivas, mas a construo e a apropriao de um
conhecimento pelo aluno, que se servir dele para compreender e
transformar sua realidade. O ensino da Matemtica deve relacionar
observaes do mundo real com representaes (esquemas, tabelas,
figuras) e tambm relacionar essas representaes com princpios e
conceitos matemticos. A aprendizagem em Matemtica est ligada
compreenso, deve favorecer conexes com outras disciplinas, com o
cotidiano do aluno e tambm conexes com os diferentes temas
matemticos. O conhecimento matemtico deve ser apresentado aos
alunos como historicamente construdo e em permanente evoluo.
Recursos didticos como jogos, livros, vdeos, calculadoras,
computadores e outros materiais tm um papel importante no processo
de ensino e aprendizagem (BRASIL - b, 1997, p. 19).
25
Portanto, tendo em vista os aspectos que aqui expusemos o fato de que nossa
viso educacional est focada nas transformaes que a tecnologia da informao tem
promovido na sociedade, neste trabalho de pesquisa, buscamos analisar o impacto que
o uso da planilha eletrnica Excel pode causar no ensino de matrizes aos discentes,
com base em pressupostos construcionistas.
Alm disso, o presente trabalho tem como objetivo geral investigar as contribuies do
software supracitado para o ensino de matrizes, segundo a Teoria Construcionista criada
por Seymour Papert.
A fim de alcanar essa meta e desenvolver a pesquisa com alunos do ensino
mdio, elaboramos algumas etapas que se constituram em: compreender a linguagem
algbrica abstrata da definio de matrizes por analogia planilha eletrnica Excel;
efetuar as operaes de adio e multiplicao de matrizes, por meio da criao de
modelos de aplicativos desenvolvidos na referida planilha; determinar a inversa de uma
matriz A dada, utilizando como recurso as potencialidades oferecidas pela planilha
eletrnica Excel; determinar a incgnita de uma equao matricial, criando modelos de
aplicativos na planilha eletrnica Excel; determinar a soluo de sistemas de equaes
lineares, construdos de acordo com problemas cotidianos sugeridos, a partir de
equaes matriciais com modelos de aplicativos desenvolvidos na planilha eletrnica
Excel.
26
2 FUNDAMENTAO TERICA
A fundamentao terica que d respaldo a este trabalho de pesquisa est
estruturada em dois momentos que se complementam. No primeiro, buscamos, na
literatura, pesquisas que j haviam sido realizadas em Educao Matemtica, utilizando
o recurso da tecnologia, em especial, o software4 Excel, para auxiliar no processo de
ensino de algum contedo de Matemtica, expondo alguns objetivos dos autores e os
resultados alcanados em suas pesquisas, bem como suas percepes acerca do uso da
tecnologia.
Em seguida, selecionamos o autor que fosse capaz de traduzir aquilo que
pretendia realizar e descobrimos as ideias de Seymour Papert, que convergiram para o
que tinha em mente, no sentido de fundamentar este trabalho de investigao.
2.1 Pesquisa: outros olhares
O uso da tecnologia no ambiente escolar tem sido, nos ltimos anos, objeto de
estudo de muitos pesquisadores. Em relao planilha eletrnica Excel, desenvolvida
pela Microsoft Corporation, h vrios trabalhos de pesquisa publicados, em que se
utiliza esse software para o ensino e a aprendizagem de contedos matemticos. Isso
devido grande versatilidade e interao do usurio com o software, bem como a
enorme variedade de funes disponveis, das quais o aprendiz pode lanar mo para
criar seus prprios modelos a fim de resolver problemas especficos. Vejamos, agora,
autores que desenvolveram ou escreveram trabalhos de pesquisa utilizando a Planilha
eletrnica Excel.
Merchede (2001), autor do livro Matemtica financeira para usurios do Excel
e da calculadora HP-12c, mostra solues prticas de problemas relacionados a
contedos bsicos do ensino fundamental, como: porcentagem, juros simples, descontos
simples, equivalncia de capitais e juros compostos, obtidas com o uso do Excel. Nos
livros de Matemtica voltados para esse nvel do ensino, tais contedos, embora estejam
presentes no cotidiano da sociedade moderna e faam parte do dia a dia do aluno,
mesmo de forma implcita e imperceptvel por ele, no so tratados da mesma forma
pelos autores, com o uso da tecnologia.
4 Software: Programa ou aplicativo de computador desenvolvido para realizar tarefas especficas.
27
lamentvel o fato de os professores do Ensino Fundamental e Mdio adotarem
bibliografias que assumem essa postura, uma vez que a escola tem como papel
primordial preparar o cidado para inseri-lo no convvio social, e a maioria das
empresas faz uso da tecnologia, tanto no setor produtivo quanto no de servios. No
obstante o objetivo de cada seguimento da sociedade seja diferente, sempre h um vis
em comum. Em relao a isso, Leme (2007, p. 31) afirma:
Considera-se importante destacar que o emprego das tecnologias
no ambiente de trabalho dos setores produtivos e de servios
apresentam objetivos diferentes do uso nos ambientes de
aprendizagem dos sistemas de ensino. Enquanto no ambiente de
trabalho, os objetivos do uso das tecnologias so proporcionar
produtividade, agilidade e resultados no curto prazo; no
ambiente de aprendizagem, a tecnologia usada como
ferramenta de ensino que auxilia o aluno em cada etapa da
construo de seu conhecimento e, portanto, nesse processo o
fator tempo no o mais importante e, sim, a aprendizagem.
O trabalho realizado por Leme (2007) lhe conferiu o ttulo de mestre em
Educao Matemtica pela PUC-SP5 e teve como objetivo explorar as potencialidades
da planilha eletrnica Excel, utilizando juros e montante da matemtica financeira com
um grupo de alunos. A pretenso do pesquisador era fazer com que os aprendizes
criassem seus prprios modelos, a fim de resolver problemas especficos do contedo
escolhido.
Azevedo (2008) realizou um trabalho de pesquisa utilizando a TI6 para
desenvolver conceitos matemticos atravs de projetos de construo civil. O
referencial terico seguido pelo autor teve embasamento nas concepes de Papert. Ele
buscou relacionar contedos de Geometria com Matemtica Financeira utilizando os
seguintes softwares: Arcon e a Planilha eletrnica Excel. A priori a ideia ou objetivo
principal de Azevedo (2008) era criar um ambiente de aprendizagem construcionista
atravs dos softwares. O Arcom, com a finalidade de explorar os conceitos de geometria
plana e espacial, e o Excel, para efetuar clculos da matemtica financeira nos projetos
elaborados.
5 PUC-SP: Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo
6 TI: Tecnologias da informtica
28
Stieler (2007), valendo-se da metodologia da engenharia didtica, desenvolveu
um trabalho de pesquisa na UNIFRA7 com alunos do oitavo semestre do Curso de
Matemtica, utilizando a planilha eletrnica Excel para desenvolverem conceitos de
capitalizao simples e composta e desconto simples. Tais conceitos foram introduzidos
atravs de situaes-problema em que foi empregado o software. Segundo o autor
(2007), o resultado obtido foi muito satisfatrio.
Stieler (2007, p. 20) afirma:
imprescindvel que o professor perceba e saiba a importncia dos
recursos computacionais para o bom desempenho e eficcia do
trabalho escolar. A tecnologia, alm de renovar o processo de ensino-
aprendizagem, pode propiciar o desenvolvimento integral do aluno,
valorizando o seu lado social, emocional, crtico e ainda deixar
margens para a explorao de novas possibilidades de criao.
A afirmao feita pelo autor de suma importncia porque ainda h muita
resistncia por parte dos professores nas escolas pblicas em querer utilizarem as
tecnologias para auxiliar em suas aulas. Segundo Tajra (2001), os argumentos que eles
utilizam para justificar sua postura pedaggica so a falta de investimento por parte dos
diretores, a formao acadmica, em que no abordaram sobre o uso das tecnologias, a
falta de recursos tecnolgicos nas escolas e os salrios muito baixos. Achamos relevante
colocar essas afirmaes porque o trabalho desenvolvido por Stieler (2007) foi,
justamente, com estudantes do Curso de Matemtica. Isso mostra que, nas
universidades, j esto sendo realizados programas de Mestrado em que se destaca a
preocupao com a formao acadmica dos profissionais da rea de Educao.
Neste item, pretendamos mostrar que, apesar de estarmos propondo o uso da
planilha eletrnica Excel para construir a formao de conceitos nos aprendizes com o
contedo de matriz, no somos os pioneiros a fazer isso. A diferena entre o nosso
trabalho e os outros estudos est na escolha do contedo e na elaborao do OA8, que
fizemos no decorrer do Curso de Mestrado em ensino de Cincias e Matemtica da
UEPB9.
7 UNIFRA: Centro Universitrio Franciscano - RS
8 AO: Objeto de Aprendizagem. No item 3.1, iremos detalhar a respeito dessa mdia.
9 UEPB: Universidade Estadual da Paraba.
29
2.2 O caminhar pela teoria
Nossa pesquisa, baseada no uso do computador como ferramenta para auxiliar
no processo de ensino e aprendizagem de contedos matemticos, em especial, o de
matrizes, tem como principal apoio terico as concepes de Seymour Papert. Em seu
clebre livro, A mquina das crianas, escrito e publicado na dcada de 1980, o autor
deixa implcito, numa parbola proferida no incio do livro, que a escola precisa
acompanhar o desenvolvimento da sociedade moderna, no que diz respeito ao uso do
computador. Eis o contedo da parbola:
Imaginemos viajantes do tempo de um sculo atrs um grupo de
cirurgies e outro de professores do ensino fundamental cada qual
mais ansioso para ver o quanto as coisas mudariam nas respectivas
profisses em 100 anos ou mais no futuro. Imagine o espanto dos
cirurgies entrando em uma sala de cirurgia de um hospital moderno.
Embora pudessem perceber que algum tipo de operao estava
ocorrendo e at mesmo adivinhar qual o rgo operado, na maioria
dos casos seriam incapazes de imaginar o que o atual cirurgio estaria
tentando fazes ou qual a finalidade dos muitos instrumentos estranhos
que ele e sua equipe cirrgica estavam utilizando. Os rituais de
antissepsia e anestesia, os sons de alarmes dos aparelhos eletrnicos e
at mesmo as luzes intensas, to familiares s platias de televiso,
seriam completamente estranhos para os visitantes. Os professores
viajantes do tempo reagiriam de forma bem diferente a uma sala de
aula do ensino fundamental. Eles poderiam sentir-se intrigados com
alguns objetos estranhos. Iriam constatar que algumas tcnicas
convencionais mudaram e provavelmente discordariam entre si se as
mudanas foram para melhor ou para pior -, mas perceberiam
plenamente a finalidade da maior parte do que se estava tentando fazer
e facilmente poderiam assumir a classe (PAPERT, 2001, p. 17).
Como evidenciamos, a parbola que o autor utiliza para fazer uma comparao
com os dois grupos de profissionais - mdicos e professores - infere que, embora haja
mudanas no contexto escolar, no haveria mudanas no modo de os professores
transmitirem o conhecimento. Papert quis dizer com isso que as mudanas acontecem
na sociedade, mas a postura pedaggica dos professores no muda. Ele faz outra
colocao em relao ao seu pensamento, ao referir-se parbola:
A parbola levanta a pergunta: por que, durante um perodo em que
tantas atividades humanas foram revolucionadas, no vimos mudanas
semelhantes na forma de ajudarmos nossas crianas a aprender?
(PAPERT, 2001, p. 18)
30
Fica claro que, sob o ponto de vista de Papert, a escola precisa adotar uma nova
postura pedaggica para se adaptar s exigncias oriundas das transformaes por que
as sociedades passam.
H quase trinta anos, Papert j expunha que o computador poderia ajudar a
criana na construo do conhecimento e que problemas abstratos e de difcil
compreenso poderiam se tornar mais concretos e transparentes.
No meu caso, ocorreu uma virada no incio da dcada de 1960,
quando os computadores mudaram na essncia o meu modo de
trabalhar. O que mais me impressionou foi que determinados
problemas abstratos e difceis de captar tornaram-se concretos e
transparentes e que certos projetos potencialmente interessantes, mas
complexos demais para empreender, tornaram-se manejveis. Ao
mesmo tempo, tive minha primeira experincia de empolgao e do
poder de domnio que mantm as pessoas trabalhando noite a dentro
com seus computadores. Percebi que as crianas poderiam ter
condies de desfrutar das mesmas vantagens um pensamento que
mudou a minha vida. (PAPERT, 2001, pp. 27- 28)
Outro ponto relevante no tocante ao uso do computador na escola para a
construo do conhecimento do aprendiz que ele, o computador, pode minimizar os
obstculos encontrados pelos professores ao explorar o conhecimento prvio dos
discentes. Em relao a isso, Papert (2001, p. 30) refere:
O problema central para a educao matemtica encontrar maneiras
de valer-se da vasta experincia da criana em matemtica oral, mas
os computadores podem fazer isso.
Hoje, para ns, tais experincias que o autor menciona consistem no
conhecimento que o aprendiz j tem a respeito de um determinado objeto, como, por
exemplo: mesmo que os alunos no conheam a planilha eletrnica Excel, eles utilizam
o computador com outras finalidades, outros aplicativos e sabem manipul-lo. Explorar
esse conhecimento de forma que ele possa auxiliar na construo de outros
conhecimentos especficos um desafio para os professores. Papert o criador da
Teoria Construcionista, concepo que defende o uso do computador como ferramenta
para auxiliar no desenvolvimento cognitivo do aprendiz.
O Construcionismo, uma teoria da aprendizagem que adotamos como respaldo
terico da nossa pesquisa, tem influenciado vrios autores quanto ao uso do computador
como facilitador da aprendizagem, principalmente por ter causado uma grande
31
revoluo no campo da informao, proporcionado pela informtica nas sociedades,
atravs dos sistemas de redes10
, e ter conquistado lugar em todos os setores: indstria,
comrcio, prestao de servios, entre outros. Tajra (2001, p. 26) assevera que,
nos ltimos anos, surgiram, de forma nunca vista antes, inclusive nos
aspectos quantitativo e qualitativo, grandes mudanas tecnolgicas,
principalmente no campo da microeletrnica e das telecomunicaes,
as quais proporcionaram o desenvolvimento em diversas reas: [... ].
Todas essas evolues cientficas foram tambm favorecidas pela
informtica, que possibilita o embasamento e aprimoramento dos
processos de produes e pesquisas.
A afirmao de Tajra (2001) coloca a informtica com um veculo que veio
contribuir com a revoluo tecnolgica que a sociedade tem alcanado.
No que diz respeito ao uso do computador, como ferramenta para proporcionar
mudanas significativas no contexto escolar, Valente (1993) considera que preciso
ensinar mais e melhor, criar oportunidades de aprendizagem cada vez mais eficaz e
eficiente e aproveitar os recursos disponveis, entre eles, o computador e suas
potencialidades.
Ponte (1997, p. 30) concebe que
o computador pode ainda ser utilizado como uma ferramenta de
trabalho, aberta e flexvel para o armazenamento e processamento de
informao, em numerosas profisses, tanto de natureza tcnica, como
administrativa, como de investigao cientfica. Diversos programas
utilizados so de aprendizagem relativamente simples e permitem a
execuo de uma variedade de tarefas. Podem indicar-se em especial,
programas de processamento de texto, desenho livre base de dados,
edio eletrnica, folha de clculo, grfico e tratamento estatstico de
dados. Nessa perspectiva, as novas tecnologias surgem como
instrumentos para serem usados livre e criativamente por professores e
alunos.
Para o autor, no h regras definidas para se utilizarem as tecnologias, ou seja, o
professor, junto com os alunos, tem a liberdade de criar modelos que possam ser teis
na construo do conhecimento. O mesmo acontece com os computadores quando so
utilizados como uma ferramenta para esse propsito.
10
So sistemas de rede: a intranet, a internet e as redes locais onde os computadores esto conectados
entre si.
32
As ideias defendidas por Papert, desde 1960, tornaram-se uma realidade, da qual
no podemos nos eximir. preciso promover, no mbito escolar, meios que favoream
a aprendizagem, pois a escola no est desvinculada da sociedade, e se esta passa por
transformaes, aquela tem o papel primordial de acompanhar tais transformaes de
forma que o aprendiz no se sinta num universo diferente, longe da sua realidade.
Trazer essa realidade, desde cedo, para dentro da sala de aula era o objetivo de
Papert (2001). Para sermos mais precisos, desde o ensino fundamental, ele tinha plena
convico de que seu trabalho intelectual ocorria melhor no meio do que na sala de aula,
onde seu ressentimento era atenuado por gostar de realizar tarefas que, para ele, eram
valiosas, com seus amigos e professores. Assim, procurou promover mudanas na
educao, enfatizando o uso do computador como ferramenta no ensino e na
aprendizagem, inicialmente com a publicao de seu primeiro livro, Mindstorms:
chilren, computers, and powerful ideas, publicado na dcada de 1970, quando os PCs11
surgiam como novidade.
A partir desse lanamento, seu objetivo foi se tornando cada vez mais forte e
culminou com o desenvolvimento da linguagem Logo, que possibilita a interao do
usurio com a mquina, e as aes de uma tartaruga so comandadas ou manipuladas
por quem o est utilizando.
O Logo proporcionou a muitos milhares de professores de
ensino fundamental a primeira oportunidade para apropriar-se
do computador de maneira que ampliaram seus estilos pessoais
de ensinar. (PAPERT, 2001, p. 66)
Portanto, compactuamos com as ideias de Seymour Papert, de que podemos
promover mudanas na educao e ajudar na formao do indivduo, concedendo-lhe a
oportunidade de construir seu conhecimento utilizando o computador como um recurso
metodolgico nas aulas de Matemtica.
2.3 Seymour Papert: a aprendizagem em um pressuposto construcionista
Seymour Papert nasceu em Pretria, na frica do Sul, onde foi educado e
formou-se em Licenciatura em Matemtica pelo Instituto Tecnolgico de
Massachusetts. Trabalhou com o psiclogo Jean Piaget, na University of Geneva, entre
11
PCs: Computadores pessoais
33
os anos de 1958 a 1963, onde recebeu forte influncia para desenvolver a Teoria
Construcionista. De 1954 a 1958, realizou vrias pesquisas na rea de Matemtica na
Cambridge University. Na dcada de 1960, inicia o desenvolvimento da Teoria
Construcionista, no Massachusetts Institute of Tecnology (MIT12
), e cria o Logo13
.
Posteriormente, escreve vrios livros, entre eles, A mquina das crianas, bem
reconhecido em toda a comunidade cientfica, em especial, na rea de Educao.
Por ter trabalhado algum tempo com Jean Piaget, Papert utilizou a Teoria
Epistemolgica para desenvolver seu trabalho, que recebeu o nome de Teoria
Construcionista, que defende o uso do computador como ferramenta para auxiliar a
formao do conhecimento, colocando o professor como um elo de ligao entre o
aprendiz e a aprendizagem.
Assim como Piaget, Papert acredita que a criana um ser pensante, capaz de
construir suas prprias estruturas cognitivas. Ao criar o Logo, seu objetivo estava
firmado nessa convico, pois, usando o programa, a criana tinha total autonomia para
comandar as aes realizadas pela tartaruga, e, dessa forma, a aprendizagem ia se
construindo.
Outro aspecto importante para Piaget que a construo do pensamento se
processa em funo da mutao biolgica que o indivduo sofre por estar em interao
com o meio em etapas universais, sendo que algumas delas no so atingidas por alguns
deles. Para Papert, essas etapas so atingidas pela disponibilidade de matrias no
ambiente, quando o indivduo pode explor-las. Isso explica o fato de determinados
conhecimentos se tornarem mais complexos para algumas crianas por no estarem
presentes em seu cotidiano.
Quanto ao estudo das operaes concretas, realizado por Piaget, Papert
considera importante que a construo do conhecimento, no pensamento concreto, seja
intensamente solidificada para que, em seguida, passe-se para a construo do
pensamento abstrato. Essa etapa de formao do conhecimento no indivduo deve estar
bem definida, pois, assim, a criana ter um arsenal maior de opes para atuar em
situaes vivenciadas em seu cotidiano de forma criativa.
Sobre a construo do conhecimento, tambm importante destacar que a
criao de um ambiente propcio tem um papel relevante. Papert (1986) comenta a
12
MIT: Massachusetts Institute of Technology 13
Logo: Linguagem de programao que possibilita o aluno expressar suas ideias atravs de uma
linguagem formal.
34
respeito de cinco dimenses que so fundamentais para se criar um ambiente de
aprendizagem construcionista, a saber: a pragmtica, a sintnica, a sinttica, a semntica
e a social. Vejamos um breve comentrio a respeito dessas dimenses a que Papert faz
referencia, pois elas esto correlacionadas ao que falamos anteriormente.
Na concepo de Papert, a dimenso pragmtica refere-se construo do
pensamento apoiada em situaes concretas, com a possibilidade de serem discutidas e
analisadas. Para ns, esse aspecto relevante porque o software Excel capaz de
propiciar situaes concretas, em que os alunos tm a oportunidade de criar seus
prprios aplicativos e discuti-los com os outros.
A dimenso sintnica sugere a contextualizao do objeto que interessa ao
aprendiz. Como nossa proposta utilizar o software Excel e um objeto de
aprendizagem, o aluno ter total liberdade para desenvolver seus prprios modelos de
aplicativos desenvolvidos na planilha. Alm disso, o interesse pela tecnologia uma
realidade na vida dos discentes, pois todos possuem celulares e outros aparelhos
eletrnicos.
No que diz respeito dimenso sinttica, Papert coloca em evidncia a
importncia do acesso fcil aos elementos bsicos do ambiente de aprendizagem e o
progresso na manipulao desses elementos, segundo a necessidade e o
desenvolvimento cognitivo.
A dimenso semntica trata da manipulao de elementos que tragam algum
elemento que faam sentido para o usurio. E por fim a dimenso social aborda sua
integrao nas relaes pessoais e culturais do meio o qual ele est inserido.
2.4 Intrucionismo versus Construcionismo
Consideramos importante expor o que Papert classifica como Instrucionismo e
Construcionismo para que o nosso trabalho possa ser avaliado dentro desse parmetro.
Instrucionismo versus Construcionismo um dos captulos do livro A mquina das
crianas, escrito por esse autor.
Resultante da convivncia de Seymour Papert com Jean Piaget, o Construcionismo
um termo cunhado pelo autor para se referir a um tipo de aprendizagem centrado no pensamento
operacional concreto. No captulo Instrucionismo vs. Construcionismo, ele demonstra a
importncia do pensamento concreto para a aprendizagem, sem a conotao de trampolim para
o abstrato. Se assim fosse, nas suas prprias palavras, deixaria o pensamento abstrato plantado
35
imvel como a forma derradeira de conhecer. Ele enfatiza a ao mental e material com
objetos enraizados no tempo, no espao e em experincias e representaes do mundo, onde
abstraes formais, certamente, so importantes, porm como ferramentas para intensificar o
modo concreto de pensar, o relacionamento mental de representaes concretas em redes
pessoais de conhecimento.
Pesquisador dos assuntos de matemtica, no Instituto de Tecnologia de Massachusetts,
Papert nos conta como viveu a poca do nascimento do computador de grande porte, que
mostrava suas maravilhas e ignorava o fato de ele ter sido pensado e financiado para a guerra,
concebido por matemticos e parido como uma tecnologia militar, hermtica para a pessoa
comum. Para ele, a mudana de matemtico para educador comeou a ocorrer no incio da
dcada de 1960, quando os computadores mudaram seu modo de trabalhar. Impressionou-o o
fato de determinados problemas abstratos e difceis de captar terem se tornado concretos,
transparentes, manipulveis.
Aps conhecer Jean Piaget, em Paris, e acreditando que as crianas poderiam desfrutar
das mesmas experincias dos adultos com as novas mquinas do conhecimento, Papert comeou
a trabalhar com sua equipe, numa linguagem de programao acessvel a crianas, e isso
resultou na linguagem Logo (www.eurologo.org), algo completamente diferente do que se
fazia ento com informtica na Educao. Em poucos anos, essa linguagem se espalhou por
todo o mundo, contrapondo-se a um modo de uso do computador na escola, baseado em
softwares educativos que replicavam o lugar comum dos livros didticos. Papert afirma que os
computadores no apenas melhoram a aprendizagem escolar, como tambm apoiam formas
diferentes de pensar e de aprender.
2.5 As tecnologias na Educao
Segundo Mercado (1998), o objetivo de introduzir novas tecnologias na escola
de fazer coisas novas e pedagogicamente importantes, que no se podem realizar de
outras maneiras. Com metodologias adequadas, o aluno poder utilizar essas
tecnologias na integrao de matrias estanques. Desse modo, a escola passa a ser um
lugar mais aprazvel, que tem como objetivo preparar o aluno para o futuro, e a
aprendizagem, a ser vista de forma inovadora, centrada nas diferenas individuais e na
capacitao do aluno para torn-lo um usurio independente da informao, com o
potencial de usar vrios tipos de fontes de informao e meios de comunicao
eletrnica.
36
O autor acrescenta que os ambientes computacionais, quando voltados para a
inteligncia e o desenvolvimento cognitivo, como processos bsicos da aprendizagem,
podem constituir-se como um desafio criatividade e inveno. Uma nova ecologia
cognitiva (LVY, 1993) significa uma nova dinmica na construo do conhecimento,
um novo movimento, novas capacidades de adaptao e de equilbrio dinmico, nos
processos de construo do conhecimento, um novo jogo entre sujeito e objeto, um
novo enfoque, mostrando o enlace e a interatividade existentes entre as coisas do
crebro e os instrumentos que o homem utiliza.
Outro aspecto de grande relevncia que, devido informatizao de
praticamente todos os setores da sociedade, os governos estaduais e municipais tm se
preocupado em levar o uso da tecnologia para o mbito escolar. Para isso, cria
laboratrios de informtica nas escolas pblicas, embora a formao acadmica dos
professores tenha sido deficitria, quanto implementao do uso da tecnologia como
metodologia para lecionar determinados contedos. Isso gera um grande problema,
porque o no uso dos laboratrios de informtica converge para a deteriorao das
maquinas e, com o tempo, elas acabam ficando obsoletas.
Sobre isso, Cysneiros (2000) afirma que o no uso das novas tecnologias deve-se
ao fato de que os computadores pessoais ainda so tecnologias em expanso,
relativamente novas, e pouco adaptadas s necessidades dos professores e dos alunos.
No Brasil, a implantao de laboratrios de informtica e o sucateamento deles tm se
tornado uma realidade, devido falta de preparao dos docentes na sua formao
acadmica. Aqui no pretendemos fazer apologia ao desuso dos laboratrios de
informtica implantados nas escolas, mas salientar sua importncia como recursos
pedaggicos de grande valia, no processo de ensino e aprendizagem, e a importncia de
se fazerem propostas educacionais que possam viabilizar o uso desse recurso.
Ainda devemos levar em considerao um fato sobremaneira importante: devido
minimizao do custo, o computador pessoal tem se popularizado de forma
significativa. Cerca de trina e cinco por cento dos alunos da rede pblica possuem
computador em casa, e os que no dispem tm acesso a ele em lan hauses ou em
residncias de parentes e amigos. Assim, a possibilidade que o computador oferece
como ferramenta para ajudar o aprendiz na construo do conhecimento pode constituir
37
uma revoluo no processo de ensino e aprendizagem. Almeida (1999, p. 19) enuncia
que
estamos em um momento em que a disseminao do computador na
Educao atingiu larga escala. Mas o impacto das mudanas que
poderia provocar ainda no ocorreu, embora existam modalidades de
uso cujos ambientes de aprendizagem informatizados possam
contribuir para transformaes. Uma das formas o emprego do
computador como ferramenta educacional com a qual o aluno resolve
problemas significativos. Por exemplo, atravs do uso de aplicativos
como processador de texto, planilha eletrnica, gerenciador de banco
de dados, ou mesmo de uma linguagem de programao que favorea
a aprendizagem ativa. Isto , que propicie ao aluno a construo de
conhecimentos a partir de suas prprias aes (fsicas ou mentais). O
aluno pode ainda fazer uso de outros recursos disponveis, tais como
redes de comunicao distncia ou sistema de autoria, para construir
conhecimento de forma cooperativa ou para a busca de informaes.
No ponto de vista do autor (1999), tal impacto poder levar o educador a
desenvolver uma nova forma de ensinar, aproveitando o recurso tecnolgico
disponibilizado em larga escala, tanto no mbito escolar quanto no cotidiano em que o
aprendiz est inserido. Dessa forma, possvel que surja na educao um profissional
com um novo perfil, distante daquele especialista que, por meio de uma oratria
refinada, habituado a lanar mo de padres pr-definidos para expor contedos numa
linguagem sistematizada - estamos nos referindo ao professor tradicional. Com um novo
perfil metodolgico, esse novo profissional capaz de promover a aprendizagem de
seus discentes atravs de diferentes meios e estratgias, pois sua preocupao estar
focada em contribuir para que o aprendiz tenha autonomia para navegar em um contexto
multifuncional.
O profissional de educao 14
com esse perfil tem o papel primordial de
estabelecer pontes entre o aluno e o conhecimento, sendo assim um facilitador da
aprendizagem. Quando o professor assume essa postura, o aluno passa a ser sujeito
ativo da construo e da reconstruo do conhecimento. Essa postura denominada por
Moran (2002) de mediao pedaggica, cujas caractersticas devem envolver todas as
aes do professor, incluindo o uso das novas tecnologias. Tais aes desempenhadas
14
Profissional de educao: Nessa expresso, estamos nos referindo ao professor como profissional de
educao.
38
pelo professor dizem respeito motivao, ao incentivo e participao no processo de
ensino e aprendizagem.
O uso das novas tecnologias, no contexto escolar, pode ser considerado uma
ferramenta indispensvel na construo do conhecimento. Moita (2006) buscou nos
games15
um espao de construo de currculo aberto e autnomo, conectado com o
ldico, o prazer, o subjetivo e a simulao. A construo de tal currculo refere-se ao
potencial que os games tm de produzir o conhecimento e desenvolver habilidades e
competncias, levando em considerao o ambiente onde o aprendiz est inserido.
2.6 Matrizes: um passeio pela histria
Em matemtica, um conceito ou uma definio de um determinado contedo torna-
se mais compreensivo quando o professor expe aos seus alunos a origem dele, ou seja,
como surgiu ou, at mesmo, como o pesquisador ou cientista conseguiu chegar quele
resultado. Essa exposio depende do domnio do professor em relao quele contedo
que ele quer transmitir para o seu aluno. Isso est intrinsecamente relacionado com o
conhecimento histrico do contedo. Vergnaud (1994) afirma que o processo de ensino
e aprendizagem de contedos matemticos mais produtivo quando ele ocorre atravs
do estudo interativo advindo do processo individual e histrico, pois, quando se
observam as dificuldades que o pesquisador ou cientista encontrou no passado,
possvel compreender os erros que os alunos cometem no presente.
Considerando a concepo exposta no pargrafo anterior, acreditamos ser necessria
a apresentao de um contedo matemtico seguido da sua evoluo. Nesse sentido,
faremos um breve comentrio sobre a origem e o desenvolvimento das matrizes, um
contedo que abordado no segundo ano do ensino mdio. Salientamos, tambm, que,
quando esse assunto exposto para os discentes, so colocados apenas os aspectos
fundamentais de seu desenvolvimento histrico.
Segundo Hawkins (1975, 1977a, 1977b)16, autor que fundamentou esse breve relato
histrico, o estudo das matrizes e de determinantes iniciou por volta do Sculo II a.C,
embora seja possvel identificar o aparecimento de seu conceito no Sculo IV a.C. As
matrizes ficaram esquecidas por, aproximadamente, vinte e um sculos e surgiram
15
Games: Jogos eletrnicos 16
Hawkins: Autor do livro: Cauchy and spectral theory of matrices. History Mathematica. Indicado nas
referncias bibliogrficas.
39
novamente por volta do Sculo XVII, quando seu conceito foi desenvolvido de forma
no convencional. O que formalizou os conceitos de matrizes e de determinantes foi o
estudo dos sistemas de equaes lineares.
Alguns problemas estudados pelos babilnicos convergiam para equaes lineares
simultneas. Descobertas arqueolgicas revelam que tais problemas eram registrados
em blocos de barro, alguns no se deterioraram. Um desses blocos, escrito por volta de
300 a.C, contm o seguinte problema: Dois campos tm rea total de 1800 jardas
quadradas. Um produz gros em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o
outro produz gros em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total de 1100
alqueires, qual o tamanho de cada campo?
H uma forte evidncia de que os chineses, por volta de 200 a 100 a.C, chegaram
mais prximos que os babilnicos do mtodo das matrizes. No texto, Nove captulos
sobre a arte matemtica, escrito durante o perodo da Dinastia de Han17, h o primeiro
exemplo prtico do mtodo de matriz. Nesse mesmo texto, encontra-se um problema
semelhante ao dos babilnicos escrito no bloco. O problema do texto Nove captulos
sobre a arte matemtica tem a seguinte redao: Existem trs tipos de milho, sendo
que trs pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro formam 39 unidades.
Dois do primeiro, trs do segundo e um do terceiro formam 34 unidades. Em um do
primeiro, dois do segundo e trs do terceiro formam 26 unidades. Quantas unidades de
milho esto contidas em cada tipo de pacote? Na resoluo do problema, o autor
distribuiu os coeficientes do sistema de trs equaes lineares a trs incgnitas de forma
anloga a uma tabela. A nica diferena foi a maneira como ele distribuiu os
coeficientes, pois os chineses escrevem de baixo para cima e da esquerda para direita.
Ento, a construo ficou da seguinte forma:
393426
113
232
321
Atualmente, representa-se o referido problema equacionando-o da seguinte forma:
17
Dinastia de Han: Foi governada pela famlia conhecida como o cl de Liu. Seu domnio,durou
aproximadamente, quatrocentos anos.
40
2632
3432
3923
zyx
zyx
zyx
ou
26321
34132
39123
Os valores de x, y e z, na soluo apresentada pelo autor, so idnticos ao
mtodo de eliminao de Gauss que, atualmente, muito conhecido e utilizado. Tal
mtodo conhecido como mtodo de escalonamento de sistema de equaes lineares e
consiste em se multiplicarem as equaes por valores reais, de forma que, somando-se
as equaes duas a duas, possam se eliminar incgnitas at que o sistema tome a forma
de uma escada, determinando-se assim, no final, o valor de z. No texto Ars Magna,
publicado em 1545 por Cardan, encontra-se uma regra para resolver sistemas de duas
equaes lineares, nomeado pelo autor de regula de modo, que, traduzida, entende-se
por me das regras. Esse trabalho escrito por Cardan deu origem regra de Cramer para
resolver sistemas lineares. A diferena entre o mtodo desenvolvido por Cardan e a
regra de Cramer e que Cardan no chegou definio de determinante, como fez
Cramer. A definio de determinante surgiu quase que paralelamente, na Europa e
Japo, no entanto, foi neste ltimo que tal definio foi publicada pela primeira vez por
Seki, que apresentou os mtodos matriciais escritos em tabelas da mesma forma que os
chineses. Ele fez essa apresentao no texto, Methods of solving the dissimulated
problem, que escreveu em 1683. Tambm mostrou que era possvel resolver sistemas de
equaes lineares 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 e apresentou solues. Nesse mesmo ano, surgiu,
na Europa, a primeira ideia de determinante, proposta por Libiniz, quando ele escreveu
uma carta para o Marquis de L Hospital, dizendo que o seguinte sistema:
0323130
0222120
0121110
yx
yx
yx
era passvel de soluo, devido igualdade 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31= 10.22.31 +
11.20.32 + 12.21.30. Essa igualdade escrita por Libniz trata do valor do determinante
dos coeficientes, a saber:
323130
222120
121110
41
que igual a zero. Libiniz trabalhou, aproximadamente, cinquenta anos a fim de obter
uma notao adequada para sistemas de coeficientes, e seus manuscritos, que no foram
publicados, contm mais de cinquenta maneiras diferentes de notaes para tais
sistemas. Nos anos de 1700 e 1710, foram publicados resultados para esses sistemas,
cujas notaes eram iguais s contidas na carta que ele enviou para o Marquis de
LHospital. Leibniz usou a palavra resultante para algumas combinaes de somas dos
termos de um determinante. O que, hoje, conhecemos como regra de Cramer ,
essencialmente, o que foi proposto por Libiniz. A expanso do determinante feita por
qualquer uma de suas colunas, que era utilizada na regra, mais tarde, ficou conhecida
como expanso de Laplace. Assim como o estudo de sistemas de coeficientes convergiu
para os determinantes, o estudo de sistemas de coeficientes de formas quadrangulares
levou Libniz teoria da matriz. Em 1748, foi publicado o texto Treatise of lgebra,
escrito por Maclaurin, onde se encontram resultados de determinantes, provando a regra
de Cramer para sistemas de equaes lineares 2x2, 3x3, e como ela funcionava para os
sistemas 4x4. O referido texto publicado dois anos depois da morte de seu autor. A
regra de Cramer, que bastante utilizada no ensino mdio, para se resolverem sistemas
de equaes lineares por meio da resoluo de determinantes relacionados aos
coeficientes das incgnitas, foi apresentada no artigo Introduo para anlises de
curvas algbrica, escrito por ele, em 1750. Nele, Cramer publicou a regra geral para
sistema nxn. O nico problema que essa regra apresenta que os determinantes das
matrizes incompletas devem ser diferentes de zero. Caso os planos sejam paralelos, a
regra no funciona, ou seja, no serve para discutir o sistema.
O interesse pelo estudo de determinantes cresceu depois dos trabalhos realizados
por Cramer. Matemticos como Bezout, em 1764, e Vandermonde, em 1771,
apresentaram mtodos para calcular determinantes. Em 1772, Laplace apresentou um
trabalho sobre o estudo das rbitas dos planetas, utilizando apenas determinantes. Ele
mostrou a discusso de sistemas de equaes lineares sem clculos e utilizou a palavra
resultante referindo-se ao determinante, a mesma expresso utilizada por Leibiniz.
Todos os detalhes que conhecemos hoje a respeito dos determinantes se devem a
Laplace.
Um artigo publicado por Lagrange, em 1773, apresentava em seu contexto um
estudo para determinantes funcionais de ordem 3x3. No obstante esse trabalho no
tinha nenhuma relao com os trabalhos feito por Laplace e Vandermonde. S em 1801,
o termo determinante foi usado pela primeira vez por Carl F. Gauss em Disquisitiones
42
arithmeticae, num estudo em que se discutiam as formas quadrticas, e ele utilizou esse
termo para fazer referncia quilo que determinava as propriedades das formas
quadrticas.
Gauss representou as formas quadrticas em retangulares e descreveu a
multiplicao de matriz que, para ele, era uma composio. O famoso mtodo da
eliminao ou do escalonamento que utilizado atualmente para se discutirem sistemas
de equaes lineares e para se encontrarem suas solues, foi utilizado por Gauss para
estudar a rbita de Pallas 18
; no texto, Nove captulos sobre a arte matemtica, escrito
200 a.C, o mtodo da eliminao j tinha sido descrito. Para realizar o estudo da rbita
de Pallas, Gauss fez vrias observaes entre os anos de 1803 e 1809, at obter um
sistema de equaes lineares formado por seis equaes e desenvolveu um mtodo
sistemtico para resolv-lo.
Outro grande matemtico que utilizou o termo determinante, s que numa
linguagem moderna, foi Cauchy. Seu trabalho com determinantes foi um dos mais
completos e mais bem elaborados, porquanto ele conseguiu sintetizar os resultados e
agrup-los de forma mais organizada. Por volta do ano 1812, numa reunio realizada no
Institut de France, o teorema da multiplicao para determinantes foi provado pela
primeira vez. Em relao s formas quadrticas, Cauchy utilizou o termo tableau para a
matriz de coeficientes e mostrou que, se duas matrizes so similares, elas tm a mesma
equao caracterstica. Ele obteve esse resultado atravs da diagonalizao das matrizes.
A ideia de matrizes similares foi, portanto, introduzida por ele.
DAlembert tambm deu sua contribuio na teoria de matriz e determinante,
estudando o movimento de um barbante com massas presas a ele distribudas em sua
extenso. Nesse estudo, ele obteve um sistema de equaes lineares. Jacques Sturm foi
outro matemtico que dedicou parte de seus estudos resoluo de sistemas de
equaes lineares, mas tanto ele quanto Cauchy desenvolveram seus trabalhos em
contextos especficos. Outros matemticos como Jacob, em 1830, Kronecker, por volta
de 1850, e Weierstrass, em 1860, estudaram matrizes numa abordagem especial: com
nfase nas transformaes lineares. Em 1841, Jacob escreveu trs tratados que deram
uma grande contribuio para o estudo das matrizes e dos determinantes e que
continham, pela primeira vez, a definio de um determinante.
18
Pallas: Segundo maior asteroide situado no cinturo entre Marte e Jpiter.
43
A representao de determinantes feita atravs de barras deve-se a Cauchy, que
utilizou essa notao quando publicou um artigo em 1841, a qual, at hoje, ainda
utilizada. Sua contribuio para o estudo de determinantes foi muito significativa. Como
nossa inteno de mostrar brevemente como surgiu a ideia ou a teoria das matrizes,
no podamos deixar de relatar seus vnculos com o estudo de sistemas de equaes
lineares e determinantes.
Agora iremos nos deter mais a esse assunto. Em 1850, Joseph Sylvester foi o
primeiro a fazer uma definio mais formal de matrizes e as definiu como um arranjo
de termos num quadriltero. H relatos de que ele abandonou a matemtica para seguir
a carreira de advogado na Inglaterra, onde conheceu Cayley que tambm era advogado,
mas demonstrava muito interesse pela Matemtica. Pela afinidade que tinham em
relao a essa Cincia, trabalharam juntos e fizeram vrias publicaes. A equao
IAA1
. , que conhecemos como equao matricial para calcular a inversa de uma
matriz A, foi mostrada numa nota publicada por Cayley em 1853. No ano de 1855,
surgiu uma publicao que mostrava a associao de matrizes a arranjos retangulares, os
quais eram quadrados.
Em 1858, Cayley publicou a Autobiografia da teoria das matrizes. Nesse texto,
aparece, pela primeira vez, a definio de uma matriz feita de forma abstrata. Cayley
mostrou que as formas quadrticas e as transformaes lineares so casos especiais das
variedades dos coeficientes outrora estudados. Ele tratou as matrizes como objetos
matemticos passveis de efetuar operaes algbricas e definiu a soma, o produto de
matrizes, e o produto por um escalar, bem como o clculo da matriz inversa como
expusemos no incio do pargrafo anterior. A Cayley deve-se a prova da existncia da
equao caracterstica prpria associada a uma matriz 2x2. Ele declarou que o mesmo
era possvel com as matrizes 3x3, no entanto no chegou a generalizar para o caso da
matriz nxn. Um fato curiosamente coincidente que, aos vinte e cinco anos de idade,
Cayley j havia escrito vinte e cinco livros de Matemtica. Em um deles, provavel