� Prof. Miguel Gabriel Prazeres de Carvalho

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Teoria de GrafosTeoria de Grafos-- GrafoGrafoTeoria de GrafosTeoria de Grafos-- GrafoGrafo

V3

V1 V2

Grafo Trivial

Teoria de GrafosTeoria de Grafos-- MultiMulti--GrafoGrafoTeoria de GrafosTeoria de Grafos-- MultiMulti--GrafoGrafo

V3

V1 V2

Teoria dos GrafosTeoria dos Grafos-- LaçoLaçoTeoria dos GrafosTeoria dos Grafos-- LaçoLaço

V3

V1 V2

V1

V3

V2

Laço

ConceitosConceitos-- Matriz de AdjacênciasMatriz de AdjacênciasConceitosConceitos-- Matriz de AdjacênciasMatriz de Adjacências

V3

V1V1V1V1 V2V2V2V2 V3V3V3V3

V1 0 1 1

V2 1 0 0

V3 1 0 0

V1 V2

ConceitosConceitos--CaminhoCaminhoConceitosConceitos--CaminhoCaminho

Caminho - seqüência de vértices v1...vj

Diâmetro - maior caminho do grafo

ConceitosConceitos--CaminhoCaminhoConceitosConceitos--CaminhoCaminho

Caminho - seqüência de vértices v1...vj

Diâmetro - maior caminho do grafo

ConceitosConceitos--CaminhoCaminhoConceitosConceitos--CaminhoCaminho

Caminho - seqüência de vértices v1...vj

Diâmetro - maior caminho do grafo

ConceitosConceitos--CicloCicloConceitosConceitos--CicloCiclo

Ciclo - seqüência de vértices v1...vj, tal que v1= vj.

ConceitosConceitos--CicloCicloConceitosConceitos--CicloCiclo

Obs.:*Acíclico –grafo que não possui ciclo*

Conceitos Conceitos –– Comprimento de um caminhoComprimento de um caminhoConceitos Conceitos –– Comprimento de um caminhoComprimento de um caminho

Comprimento = 3

ConceitosConceitos--Grau de um nóGrau de um nóConceitosConceitos--Grau de um nóGrau de um nó

d=2

d=1

Grau máximo = vértice com maior grau

d=1

Conceitos Conceitos -- TriângulosTriângulosConceitos Conceitos -- TriângulosTriângulos

Ciclo de tamanho 3

Conceitos Conceitos -- CompletosCompletosConceitos Conceitos -- CompletosCompletos

K3K2

Possuem os vértices possuem todas as arestas possíveis

Conceitos Conceitos -- RegularRegularConceitos Conceitos -- RegularRegular

2-Regular1-Regular

Todos os vértices possuem o mesmo grau.

Conceitos Conceitos -- PonderadoPonderadoConceitos Conceitos -- PonderadoPonderado

10

2055

As arestas possuem peso

40 50

Conceitos Conceitos –– Grafos DirecionadosGrafos DirecionadosConceitos Conceitos –– Grafos DirecionadosGrafos Direcionados

Sumidouro

Fonte

Conceitos Conceitos –– SubgrafoSubgrafoConceitos Conceitos –– SubgrafoSubgrafo

subgrafo

Clique – Subgrafo completo

Conceitos Conceitos –– IsomorfismoIsomorfismoConceitos Conceitos –– IsomorfismoIsomorfismo

a b f e

dc hg

Conceitos Conceitos –– BipartidoBipartidoConceitos Conceitos –– BipartidoBipartido

Um grafo é bipartido se somente se não possui ciclo impar.

Conceitos Conceitos –– ConexoConexoConceitos Conceitos –– ConexoConexo

Conexo – existe um caminho entre todos os pares de vértices.

Desconexo – grafo não conexo.Biconexo - para qualquer dois vértices existe dois

caminhos distintos entre eles.

Conceitos Conceitos –– ÁrvoresÁrvoresConceitos Conceitos –– ÁrvoresÁrvores

�Grafo Conexo�Acíclico�V = E +1

Conceitos Conceitos –– ConexoConexoConceitos Conceitos –– ConexoConexo

Articulação – vértices que quando removido desconecta o grafo.

Ponte - aresta que quanto removida desconecta o Grafo. Em uma árvore todas as arestas são pontes.

Conceitos Conceitos –– EulerianoEulerianoConceitos Conceitos –– EulerianoEuleriano

Passa por cada arestas somente uma vez.Um grafo é euleriando se somente se possuir todos os

vértices com grau par

Conceitos Conceitos –– HamiltonianoHamiltonianoConceitos Conceitos –– HamiltonianoHamiltoniano

Passa por cada vértice um única vez.Hamiltoniano – condição necessária não possuir

articulação.

Conceitos Conceitos –– ColoraçãoColoraçãoConceitos Conceitos –– ColoraçãoColoração

Coloração Própria de vértices.Vértices adjacentes não podem possuir a mesma cor.Em um grafo bipartido é possível colorir com duas

cores.

Conceitos Conceitos –– EmparelhamentoEmparelhamentoConceitos Conceitos –– EmparelhamentoEmparelhamento

Arestas de Emparelhamento

Conceitos Conceitos –– EmparelhamentoEmparelhamentoConceitos Conceitos –– EmparelhamentoEmparelhamento

e1 e2 e3 e4 Trabalhadores

Trabalhadores e Tarefas

t2t1 t4t3Tarefas

Conceitos Conceitos –– PlanaridadePlanaridadeConceitos Conceitos –– PlanaridadePlanaridade

Podem ser desenhados em um plano e uma esfera sem cruzamento de arestas.

Conceitos Conceitos –– BuscasBuscasConceitos Conceitos –– BuscasBuscas

A B

LarguraProfundidade

Algoritmo de Dijkstra*Algoritmo Guloso*

CD

Onde estão?Onde estão?Onde estão?Onde estão?

Onde estão?Onde estão?Onde estão?Onde estão?

Onde estão?Onde estão?Onde estão?Onde estão?