Post on 07-Jun-2015
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GEOMETRIAÉ um ramo da Matemática que estuda as propriedades e as dimensões das linhas, das superfícies e dos volumes, no plano e no espaço.
Do grego «terra», elemento de formação
de palavras que exprime a ideia de
Terra.
Suf. nom. de origem grega que exprime a
ideia de medição, medida
(calorimetria, volumetria).
O elemento mais “pequeno” que se estuda em Geometria, sendo considerado a mais pequena unidade gráfica.
PONTO, RETA e PLANO:
Vós já tendes uma ideia intuitiva (clara) sobre ponto, reta e plano, pois:
Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.
Uma corda bem esticada dá ideia de reta.
O quadro negro da sala de aula dá ideia de plano.
O ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no estudo
da Geometria.
A
r reta
ponto plano
PONTO, RETA e PLANO:
A
r reta
ponto plano
PONTO é identificado com letras maiúsculas do nosso alfabeto
,......,, CBA
RETA é identificada com letras minúsculas do nosso alfabeto
PLANO é identificado com letras gregas minúsculas
,......,, cba
,.....,,
Conforme verificaste , o ponto, a reta e o plano são identificados de modos diferentes.
Apesar de, habitualmente, se marcar um ponto fazendo pressão sobre o papel com o bico do lápis ou caneta, em Geometria, o ponto é definido pelo cruzamento de duas linhas, sejam elas curvas ou retas.
Os pontos devem identificar-se com letras MAIÚSCULAS.
É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento.
As linhas são o prolongamento de um ponto
Numa reta há infinitos pontos.
r r
Num plano há infinitos pontos.
Num plano existem infinitas retas.
m s
nt
r
Por dois pontos distintos passa uma única reta. Num plano há infinitos pontos
A B r
AB Indicaremos por uma reta que passa pelos pontos A e B.
A B
PONTOS COLINEARES:
Os pontos alinhados, pertencentes a uma mesma reta
são chamados Colineares.
Os pontos A, B e C
são pontos alinhados
- são colineares
C
Os pontos R, S e T
são pontos não alinhados
- não são colineares
RS
T
PONTOS EQUIDISTANTES
Os pontos que estão à mesma distância de um dado ponto chamam-se pontos equidistantes.
Assim, na imagem:
- Os pontos 3 e 4 estão à mesma distância do ponto 2 - são pontos equidistantes do ponto 2.
- os pontos M e N estão à mesma distância do ponto 4 – são pontos equidistantes do ponto 4.
COORDENADAS
As coordenadas formam o par ordenado (x,y).
A B C D E F G H I
As coordenadas do ponto A são (C,20).
As coordenadas do ponto B são (G,20).
As coordenadas do ponto C são (F,50).
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
COORDENADAS
Coordenadas Cartesianas
Os números do par ordenado são chamados coordenadas cartesianas.
Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado num plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
COORDENADAS
As linhas podem
ser :
Quebradas
Curvas
Mistas
Retas
É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento.
As linhas são o prolongamento de um ponto
Vamos aprender ou recordar o que define uma:
SEGMENTO DE RETA - com princípio e fim ( pode-se medir ) e identifica-se, no princípio e no fim, com letras MAIÚSCULAS.
SEMI-RETA - com princípio e sem fim e identifica-se com uma letra MAIÚSCULA no início.
RETA - não tem princípio nem fim e identifica-se com uma letra minúscula sobre a linha.
Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua posição:
HORIZONTAL quando se alinha pelo horizonte.
OBLÍQUA quando não está na posição vertical ou horizontal, quando dá a sensação de inclinação.
VERTICAL quando toma a posição do “fio-de-prumo”.
Linha do horizonte
FIO-DE-PRUMO
Utensílio de metal pesado, geralmente de forma cónica, suspenso por um fio, destinado a verificar a verticalidade de qualquer objeto, e de forma geral, a direção da vertical do lugar.
90º90º
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.
A
s
r
Asr
Retas paralelas: quando não têm ponto comum.
rs sr
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
SEMI – RETA: Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem
r
semi-reta semi-reta
P
Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os pontos A e B pertencentes a cada semi-reta.
PB A
r
Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B
PA
PB
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
SEGMENTO DE RETA: Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades
BA
Indica-se o segmento por AB AB
NOTA: Entre as extremidades de um segmento há infinitos
pontos.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
BA
SEGMENTOS CONSECUTIVOS:
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são chamados consecutivos
e
São consecutivos
AB BCC
AC
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
BA
SEGMENTOS COLINEARES:
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa reta
C D
AB CD e são colineares
P Q R
QR QRe são colineares e (consecutivos)PQ
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
BA
SEGMENTOS CONGRUENTES:
Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais.
C D
CDAB AB é congruente a CD
4 cm
4 cm
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:
Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento se M está entre A e B e AB MBAM
M A B
Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua situação em relação umas às outras:
PARALELAS CONCORRENTES PERPENDICULARES
São aquelas que por muito se
prolonguem, nunca se encontram,
mantendo sempre a mesma distância
entre si.
São aquelas que se cruzam num ponto, formando ângulos
entre si.
São concorrentes e formam entre si
ângulos retos, com 90º.
90º
90º
ÂNGULO é uma região de um plano limitada por duas semi-retas ( lados do ângulo) com a origem no mesmo ponto (vértice do ângulo).
O é o vértice do ângulo
As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo
Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AOB ou BOA
(Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio
ÂNGULO
Bissetriz
Semi-reta
ÂNGULO
r
s
t
a
gf
e
cb
d
h
Ângulos formados entre retas
A “ferramenta” que utilizamos para medir (saber o valor em graus) de um ângulo, chama-se
TRANSFERIDOR.
45º
90º
135º
180º 0º
30º
60º120º
150º
A medida de um ângulo é dada pela medida da sua abertura (amplitude) e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.
Medida de um ângulo
Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta.
Ângulo Raso
BAC é um ângulo raso ou de meia-volta
Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente 180°
Ângulo Nulo
Quando duas semi-retas coincidem, obtemos um ângulo nulo, ou seja um ângulo de amplitude 0º.
ângulo nulo
Ângulo Giro
Ângulo giro é um ângulo que mede 360°
ângulo giro
Ângulo Adjacentes
Ângulos adjacentes são ângulos que têm um vértice e um lado em comum e não se sobrepõem.
<AOB e <BOC têm olado B em comum.
<AOC e <BOC têm olado C em comum.
Ângulo Geometricamente Iguais
Dois ângulos dizem-se geometricamente iguais, ou congruentes, quando sobrepostos coincidem um com o outro, ponto por ponto; ou seja, quando tem a mesma amplitude.
Na figura em acima, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Ângulo Geometricamente Iguais
Dois ângulos que tenham a mesma abertura dizem-se geometricamente iguais. Quer dizer que têm a mesma amplitude.
Ângulo Geometricamente Iguais
Ângulo Complementares e Suplementares
Dois ângulos são complementares
quando a soma das medidas dos dois
ângulos é 90º .
Dois ângulos são suplementares
quando a soma das medidas dos dois
ângulos é 180°.
ÂNGULO é o espaço compreendido entre duas retas concorrentes, sendo o GRAU ( º ) a unidade de medida da
amplitude dos ângulos.
ÂNGULO RETO quando as linhas
formam entre si um ângulo de 90º.
ÂNGULO AGUDO quando formam entre si ângulos inferiores a
90º.
ÂNGULO OBTUSO quando
formam entre si ângulos superiores a
90º.
90º
<90º
>90º
Vamos agora rever o que aprendemos!
Tentar encontrar ...Procurar algumas linhas rectas ...
Procurar linhas rectas e paralelas ...Procurar linhas retas
perpendiculares...
Procurar linhas retas perpendiculares...
Esta é ........ HORIZONTAL!
Esta é ....
....VERTICAL!
Procurar algumas linhas curvas...
Figuras no plano
Figuras geométricas
Figuras no planoFiguras geométricas
Polígono - figura plana limitada só por segmentos de reta, chamados lados dos polígonos onde cada segmento de reta, interseta exatamente dois outros extremos;
-se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular.
Figuras no planoFiguras geométricas
Figuras no planoFiguras geométricas
Figuras no planoFiguras geométricas
Polígonos Regulares
Polígonos com lados e ângulos todos iguais
Figuras no planoFiguras geométricas
Polígonos Regulares
Polígonos com lados e ângulos todos iguais
Figuras no planoFiguras geométricas
Polígonos Irregulares
Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.
Figuras no planoFiguras geométricas
Polígonos Irregulares
Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Triângulo é uma figura plana limitada por
três segmentos de reta (os lados)
Existem três tipos de triângulos considerando as medidas de seus lados:
Equilátero: quando todos os lados são iguais.
Isósceles: quando dois lados e só 2 são iguais.
Escaleno: quando todos os lados são diferentes.
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Os triângulos também são classificados de acordo com seus ângulos internos:
Triângulo retângulo: quando possui um ângulo igual a 90º e 2 agudos – a sua soma é de 180º.
Obtusângulo: quando possui um ângulo maior que 90º - 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.
Acutângulo: quando possui ângulos menores que 90º- tem 3 ângulos agudos.
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
A ângulo CBA mede 40º.
Lados diferentes e um ângulo reto.
Triângulo escaleno Retângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
Cada um dos 3 ângulos mede 60º. 3 lados e 3 ângulos iguais e agudos
(congruentes).
Triângulo equilátero Acutângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
Os ângulos medem: 65º, 70º e 45º.
Os ângulos são todos agudos.
Lados e ângulos diferentes
Triângulo escaleno Acutângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
O ângulo CBA mede 65º.Tem dois lados congruentes.
Os ângulos são todos agudos.
Triângulo isósceles Acutângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
O ângulo CBA mede 90º.Tem dois lados iguais (congruentes).
Tem um ângulo reto.
Triângulo isósceles Retângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
O ângulo a mede 95º.Tem lados diferentes.Tem 2 ângulos agudos e 1 obtuso.
Tem um ângulo obtuso
Triângulo escaleno Obtusângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos
O ângulo b mede 110º.Tem 2 lados iguais /congruentes.Tem 1 ângulo obtuso.
Tem um ângulo obtuso
Triângulo isósceles Obtusângulo
Figuras no plano - Figuras geométricas
Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Figuras no plano - Figuras geométricas
Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos; Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos; Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos retos); Losango: Quadrilátero com todos os lados iguais; Quadrado: Retângulo com lados iguais (Podemos também dizer que é um losango com os lados consecutivos perpendiculares).
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Um quadrilátero tem:
• 4 lados - [AB] , [BC] , [CD] , [DA] ;
• 4 vértices - A , B , C , D ;
• 4 ângulos - CBA , DCB , ADC ,
BAD;
• [AC] e [BD] são as diagonais
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.Um quadrilátero diz-se regular se tem todos os lados e ângulos iguais.
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Os Quadriláteros são classificados em:
Paralelogramas:
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo.Características de um paralelograma:
A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;As diagonais cortam-se no ponto médio;Os lados opostos são congruentes;Os ângulos opostos são congruentes.
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Os Quadriláteros são classificados em:
Tipos de Paralelogramas:Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si;
Losango: Todos os lados são iguais entre si;
Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. As diagonais cruzam-se no ponto médio.
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Os Quadriláteros são classificados em:
Trapézios:
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Pentágonos
Pentágono irregular
Pentágono é um polígono de cinco lados. A soma dos ângulos de um pentágono é de 540 graus.
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Hexágonos
Hexágono é um polígono de seis lados. A soma dos ângulos de um hexágono é de 720 graus.
hexágono regularhexágono irregular
Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros
Heptágonos
Heptágono é um polígono de sete lados. A soma dos ângulos de um heptágono é 900 graus.
heptágono regular
Circunferência
Circunferência é uma linha curva fechada,
cujos pontos se encontram todos à mesma
distância do centro.
Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão todos à mesma distância de um ponto nele fixado chamado centroO centro não pertence à circunferência.
Circunferência e Círculo
Círculo
Círculo é o espaço limitado pela
circunferência.
Um círculo é uma figura plana formada por uma circunferência e por todos os pontos que pertencem à sua parte interna. O centro pertence ao círculo.
Circunferência e Círculo
semicircunferência
semicircunferência metade de uma circunferência.
Semicírculo metade de um círculo.
Semi é o mesmo que metade!
Circunferência e Círculo
diâmetro
Diâmetro é um segmento de reta que
liga dois pontos da circunferência
passando pelo centro.
Circunferência e Círculo
raio
Raio é qualquer segmento de reta que liga
qualquer ponto da circunferência ao seu
centro.
O raio mede metade do diâmetro.
Circunferência e Círculo
corda
Corda é qualquer segmento de reta
que liga dois ponto da circunferência
sem passar pelo seu centro.
Circunferência e Círculo
circunferência
diâmetro
corda
raiocírculo
Circunferência e Círculo
Cavaleiro/2014