Filtragem no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier

Adair Santa CatarinaCurso de Ciência da Computação

Unioeste – Campus de Cascavel – PR

Fev/2018Material de referência: Conci, A; Azevedo, E.; Leta, F. R. Computação gráfica: teoria e prática, v. 2. Rio de Janeiro : Elsevier, 2008.

Filtragem no Domínio da Freqüência

1- A imagem é transformada do domínio espacialpara o da freqüência (transformada de Fourier).

2- Operações de filtragem são realizadas nessa imagem.

3- Realiza-se o processo inverso, onde a imagem nodomínio da freqüência é transformada para o

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domínio da freqüência é transformada para odomínio espacial.

Esquema de processamento no domínio da freqüência usando a transformada de imagens

Transformada de Fourier

Algumas imagens

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Algumas imagens representadas como funções

bidimensionais e seus espectros de Fourier.

Transformada de Fourier Unidimensional

A transformada de Fourier de uma função contínua f(x)de uma variável real x pode ser definida como:

[ ]∫∞

∞−

−= dxuxjxfuF π2exp)()( onde 1−=j

A partir de F(u), pode-se obter f(x) através da

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A partir de F(u), pode-se obter f(x) através datransformada inversa de Fourier:

[ ]∫∞

∞−

= duuxjuFxf π2exp)()(

Essas duas equações são chamadas de par detransformada de Fourier e podem existir se foremintegráveis e se f(x) for contínua.

Transformada de Fourier Unidimensional

A transformada de Fourier de uma função é uma funçãocomplexa:

)()()( ujIuRuF +=

que pode ser escrita na forma exponencial:)()()( ujeuFuF θ=

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)()( euFuF =

[ ] 2/122 )()()( uIuRuF +=

[ ])(/)(tan)( 1 uRuIu −=φ

onde:

)()()( 22 uIuRuP +=

� Espectro de Fourier

� Espectro da potência2

� Ângulo de fase

Transformada de Fourier Bidimensional

Transformada de Fourier para uma função bidimensional:

[ ]∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+−= dxdyvyuxjyxfvuF )(2exp),(),( π

[ ]∫ ∫∞ ∞

+= dudvvyuxjvuFyxf )(2exp),(),( π

Transformada inversa:

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[ ]∫ ∫∞− ∞−

+= dudvvyuxjvuFyxf )(2exp),(),( π

[ ] 2/122 ),(),(),( vuIvuRvuF +=

[ ]),(/),(tan),( 1 vuRvuIvu −=φ

),(),(),( 22 vuIvuRvuP +=

� Espectro de Fourier

� Espectro da potência2

� Ângulo de fase

Transformada de Fourier Discreta

Transformada de Fourier para uma imagem discreta:

( )∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0

2exp,1

),(M

x

N

y N

vy

M

uxjyxf

MNvuF π

para u = (0, 1, 2, ..., M – 1) e v = (0, 1, 2, ..., N – 1)

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( )∑∑−

=

−

=

+=1

0

1

0

2exp,),(M

u

N

v N

uy

M

uxjvuFyxf π

Transformada inversa:

para x = (0, 1, 2, ..., M – 1) e y = (0, 1, 2, ..., N – 1), onde ∆u = 1/(M.∆x) e ∆v = 1/(N.∆y)

Processamento de Imagens no Domínio

de Fourier

1- A imagem I(x,y) é transformada para odomínio de Fourier (transformada discreta).

2- A imagem no domínio de Fourier érepresentada por F(u,v) e é convoluída com o

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representada por F(u,v) e é convoluída com ofiltro H(u,v).

3- Ao produto F(u,v)H(u,v) é aplicada a inversada transformada de Fourier para retornar aodomínio espacial, onde se tem a imagemprocessada I’(x,y).

Processamento de Imagens no Domínio

de Fourier

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Esquema ilustrando os passos da filtragem no domínio de Fourier

O Espectro de Fourier

Imagem sem padrões de repetição

Espectro bem distribuído

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Imagem com linhas e colunas repetidas

Comportamento visível no espectro de

Fourier

Tipos de Filtros

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(a) Filtro passa-baixa (b) Filtro passa-alta (c) Filtro passa-banda

Filtragem Passa-baixa

• São os detalhes da imagem que geram altasfreqüências. Por exemplo as bordas, lados eoutras transições abruptas de nível de cinza;

• Utilizando um filtro passa baixa obtém-se uma

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• Utilizando um filtro passa baixa obtém-se umaimagem menos nítida ou suavizada;

• Tem-se uma perda de detalhes que são oscomponentes de altas freqüências.

Filtragem Passa-baixa

Comparação do espectro de Fourier de imagens de impressão

digital

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(a) (b) – sem ruído

(c) (d) – com ruído

Filtro Passa-baixa Ideal

H(u,v) = 1 se u2 + v2 < r2

H(u,v) = 0 se u2 + v2 ≥ r2

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Resultado da filtragem

passa-baixa

Filtragem Passa-alta

• Na filtragem passa-alta, os componentes dealta freqüência da transformada de Fourier nãosão alterados, enquanto os de baixa freqüência

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são alterados, enquanto os de baixa freqüênciasão removidos;

• Isto faz com que os detalhes finos da imagemsejam enfatizados.

Filtro Passa-alta Ideal

H(u,v) = 0 se u2 + v2 < r2

H(u,v) = 1 se u2 + v2 ≥ r2

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Resultado da filtragem passa-alta

Filtro Circular Não Centrado na Origem

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Espectro de Fourier da Imagem

Filtro Circular Não Centrado na Origem

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Resultado da filtragem

Filtro Setor Angular

Espectro de Fourier da Imagem

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Resultado da filtragem

Implementação Computacional da FFT

Press, William H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. Numerical Recipes: The art of scientific computing. 3. ed. Cambridge University Press : Cambridge, 2007.

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Disponível em: http://www.nr.com/