Filtragem no Domínio da Freqüência Transformada de Fourieradair/PID/Notas Aula/Filtragem no...
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Filtragem no Domínio da Freqüência Transformada de Fourier Adair Santa Catarina Curso de Ciência da Computação Unioeste – Campus de Cascavel – PR Fev/2018 Material de referência: Conci, A; Azevedo, E.; Leta, F. R. Computação gráfica: teoria e prática, v. 2. Rio de Janeiro : Elsevier, 2008.
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Filtragem no Domínio da Freqüência
Transformada de Fourier
Adair Santa CatarinaCurso de Ciência da Computação
Unioeste – Campus de Cascavel – PR
Fev/2018Material de referência: Conci, A; Azevedo, E.; Leta, F. R. Computação gráfica: teoria e prática, v. 2. Rio de Janeiro : Elsevier, 2008.
Filtragem no Domínio da Freqüência
1- A imagem é transformada do domínio espacialpara o da freqüência (transformada de Fourier).
2- Operações de filtragem são realizadas nessa imagem.
3- Realiza-se o processo inverso, onde a imagem nodomínio da freqüência é transformada para o
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domínio da freqüência é transformada para odomínio espacial.
Esquema de processamento no domínio da freqüência usando a transformada de imagens
Transformada de Fourier
Algumas imagens
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Algumas imagens representadas como funções
bidimensionais e seus espectros de Fourier.
Transformada de Fourier Unidimensional
A transformada de Fourier de uma função contínua f(x)de uma variável real x pode ser definida como:
[ ]∫∞
∞−
−= dxuxjxfuF π2exp)()( onde 1−=j
A partir de F(u), pode-se obter f(x) através da
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A partir de F(u), pode-se obter f(x) através datransformada inversa de Fourier:
[ ]∫∞
∞−
= duuxjuFxf π2exp)()(
Essas duas equações são chamadas de par detransformada de Fourier e podem existir se foremintegráveis e se f(x) for contínua.
Transformada de Fourier Unidimensional
A transformada de Fourier de uma função é uma funçãocomplexa:
)()()( ujIuRuF +=
que pode ser escrita na forma exponencial:)()()( ujeuFuF θ=
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)()( euFuF =
[ ] 2/122 )()()( uIuRuF +=
[ ])(/)(tan)( 1 uRuIu −=φ
onde:
)()()( 22 uIuRuP +=
� Espectro de Fourier
� Espectro da potência2
� Ângulo de fase
Transformada de Fourier Bidimensional
Transformada de Fourier para uma função bidimensional:
[ ]∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
+−= dxdyvyuxjyxfvuF )(2exp),(),( π
[ ]∫ ∫∞ ∞
+= dudvvyuxjvuFyxf )(2exp),(),( π
Transformada inversa:
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[ ]∫ ∫∞− ∞−
+= dudvvyuxjvuFyxf )(2exp),(),( π
[ ] 2/122 ),(),(),( vuIvuRvuF +=
[ ]),(/),(tan),( 1 vuRvuIvu −=φ
),(),(),( 22 vuIvuRvuP +=
� Espectro de Fourier
� Espectro da potência2
� Ângulo de fase
Transformada de Fourier Discreta
Transformada de Fourier para uma imagem discreta:
( )∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
2exp,1
),(M
x
N
y N
vy
M
uxjyxf
MNvuF π
para u = (0, 1, 2, ..., M – 1) e v = (0, 1, 2, ..., N – 1)
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( )∑∑−
=
−
=
+=1
0
1
0
2exp,),(M
u
N
v N
uy
M
uxjvuFyxf π
Transformada inversa:
para x = (0, 1, 2, ..., M – 1) e y = (0, 1, 2, ..., N – 1), onde ∆u = 1/(M.∆x) e ∆v = 1/(N.∆y)
Processamento de Imagens no Domínio
de Fourier
1- A imagem I(x,y) é transformada para odomínio de Fourier (transformada discreta).
2- A imagem no domínio de Fourier érepresentada por F(u,v) e é convoluída com o
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representada por F(u,v) e é convoluída com ofiltro H(u,v).
3- Ao produto F(u,v)H(u,v) é aplicada a inversada transformada de Fourier para retornar aodomínio espacial, onde se tem a imagemprocessada I’(x,y).
Processamento de Imagens no Domínio
de Fourier
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Esquema ilustrando os passos da filtragem no domínio de Fourier
O Espectro de Fourier
Imagem sem padrões de repetição
Espectro bem distribuído
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Imagem com linhas e colunas repetidas
Comportamento visível no espectro de
Fourier
Tipos de Filtros
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(a) Filtro passa-baixa (b) Filtro passa-alta (c) Filtro passa-banda
Filtragem Passa-baixa
• São os detalhes da imagem que geram altasfreqüências. Por exemplo as bordas, lados eoutras transições abruptas de nível de cinza;
• Utilizando um filtro passa baixa obtém-se uma
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• Utilizando um filtro passa baixa obtém-se umaimagem menos nítida ou suavizada;
• Tem-se uma perda de detalhes que são oscomponentes de altas freqüências.
Filtragem Passa-baixa
Comparação do espectro de Fourier de imagens de impressão
digital
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(a) (b) – sem ruído
(c) (d) – com ruído
Filtro Passa-baixa Ideal
H(u,v) = 1 se u2 + v2 < r2
H(u,v) = 0 se u2 + v2 ≥ r2
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Resultado da filtragem
passa-baixa
Filtragem Passa-alta
• Na filtragem passa-alta, os componentes dealta freqüência da transformada de Fourier nãosão alterados, enquanto os de baixa freqüência
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são alterados, enquanto os de baixa freqüênciasão removidos;
• Isto faz com que os detalhes finos da imagemsejam enfatizados.
Filtro Passa-alta Ideal
H(u,v) = 0 se u2 + v2 < r2
H(u,v) = 1 se u2 + v2 ≥ r2
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Resultado da filtragem passa-alta
Filtro Circular Não Centrado na Origem
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Espectro de Fourier da Imagem
Filtro Circular Não Centrado na Origem
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Resultado da filtragem
Filtro Setor Angular
Espectro de Fourier da Imagem
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Resultado da filtragem
Implementação Computacional da FFT
Press, William H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. Numerical Recipes: The art of scientific computing. 3. ed. Cambridge University Press : Cambridge, 2007.
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Disponível em: http://www.nr.com/
